宁夏银川一中2019届高三第一次模拟考试数学试卷.pdf

绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题卷(银川一中第一次模拟考试)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合10,8,6,4,2,0A，432xxB，则BA A.8,4 B.6,2,0 C.2,0 D.6,4,2 2复数12zi，则231zz A2i B-2 C2i D2 3高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x，2x，nx，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是 A1x，2x，nx的平均数 B1x，2x，nx的标准差 C1x，2x，nx的最大值 D1x，2x，nx的中位数 4已知等比数列na中，有31174a aa，数列nb是等差数列，其前n项和为nS，且77ba，则13S A26 B52 C78 D104 5如图，在ABC中，23ANNC，P是BN上 一点，若13APtABAC，则实数t的值为 A23 B25 C16 D34 (5题图)正视图 侧视图 俯视图 第 9 题图 6学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们 目送着大家远去，渐行渐远执行如图所示的程序框图，若输入64x，则输出的结果为 A2 B3 C4 D5 7双曲线C：)0,0(12222babyax和直线135yx，若过C的左焦点和点（0，-b）的直线与l平行，则双曲线C的离心率为 A45 B35 C34 D5 8已知函数()sin 23f xx，()sing xx，要得到函数()yg x的图象，只需将函数()yf x的图象上的所有点 A横坐标缩短为原来的12，再向右平移6个单位得到 B横坐标缩短为原来的12，再向右平移3个单位得到 C横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6个单位得到 D横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3个单位得到 9一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图 为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正 方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该 球的表面积为 A B2 C4 D 6 10已知函数)(2)1(2)(2Rmemxxfx有两个极值点，则实数m的取值范围为 A 0,1e B)1,11(e C)1,(e D),0(11如图，在正方体1111DCBAABCD 中，点P在线段1BC上运动，则下列判断中正确的是 平面DPB1平面ACD；/1PA平面1ACD；异面直线PA1与1AD所成角的取值范围是3,0(；三棱锥APCD 1的体积不变.A B C D 12已知函数1,0()3,0 xexf xxaxx，若函数()()2g xf f x恰有 5 个零点，且最小的零点小于-4，则a的取值范围是 A(,1)B(0,)C.(0,1)D(1,)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1310(1)x的展开式中，3x的系数等于 14已知实数,x y满足约束条件2211xyxyxy ，若目标函数2zxay仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是 15已知抛物线28yx的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆22(2)1xy于点A，B，C，D四点，则|4|ABCD的最小值为 16已知数列na的前n项和为nS，数列nb的前n项和为nT，满足12a，3()nnSnm a，（mR），且12nna b.若对任意*nN，nT恒成立，则实数的最小值为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分)17.（12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知6a，1cos8A.(1)若5b，求sin C的值；(2)ABC的面积为15 74，求bc的值.18.（12 分）2014 年 7 月 18 日 15 时，超强台风“威马逊”登陆海南省据统计，本次台风造成全省直接经济损失 119.52 亿元适逢暑假，小明调查住在自己小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在 7：00 到 8：00 之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在 7：30 到 8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续 3 天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.附：临界值表 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P(K2k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 参考公式：K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，nabcd.19.（12 分）如图所示，ABCD是边长为 2 的正方形，AE 平面BCE，且1AE.（1）求证：平面ABCD 平面ABE；（2）线段AD上是否存在一点F，使二面角A BFE 所成角的余弦值为64？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由.20.（12 分）已知点3(1,)2A在椭圆2222:1(0)xyCabab 上，O为坐标原点，直线223:12xylab的斜率与直线OA的斜率乘积为14.（1）求椭圆C的方程；经济损失 4000 元以下 经济损失 4000 元以上 合计 捐款超过 500 元 30 捐款低于 500 元 6 合计 （2）不经过点A的直线3:2l yxt（0t 且tR）与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AMAN.21（12 分）已知函数 212ln,xf xa xxaxR.（1）讨论 f x的单调性；（2）若 f x有两个零点，求实数a的取值范围 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。22 选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2 cos0aa；直线l的参数方程为tytx22222(t 为参数）.直线l与曲线C分别交于,M N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为 2,，5 2PMPN，求a的值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数()2f xx.（1）求不等式 1f xxx 的解集；（2）若函数 2log32fxfxfxa 的定义域为R,求实数a的取值范围.银川一中 2019 届高三第一次模拟理科数学试题参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B C C A D C B B C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13.-120 14.(,2)15.13 16.12 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分)17解：（）由1cos8A，则02A，且 3 7sin8A，由正弦定理5 7sinsin16bBAa，因为ba，所以02BA ，所以9cos16B，sinsin()CAB7sincoscossin4ABAB（）113 715 7sin2284ABCSbcAbc，20bc，2222cosabcbcA 2212 20368bc ，2241bc，222()2bcbcbc414081，9bc.18.解(1)如下表：经济损失 4000 元以下 经济损失 4000 元以上 合计 捐款超过 500 元 30 9 39 捐款低于 500 元 5 6 11 合计 35 15 50 K250(30695)2391135154.0463.841.所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000 元有关 (2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，则(x，y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(x，y)|7x8,7.5y8.5，则S1，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A(x，y)|yx，7x8,7.5y8.5，即图中的阴影部分面积为SA112121278，所以P(A)SAS78，连续 3 天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为，则)87,3(B 821)(E 19.解：（）AE 平面BCE，BE 平面BCE，BC 平面BCE，AEBE，AEBC，又BCAB，AEABA，BC 平面ABE，又BC 平面ABCD，平面ABCD 平面ABE.（）如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，1AE，2AB，AEBE，3BE.假设线段AD上存在一点F满足题意，3 1(,0)22E，(0,2,0)B，(0,0,)Fh，(0)h，易知：平面ABF的一个法向量为(1,0,0)m，33(,0)22BE，(0,2,)BFh，设平面BEF的一个法向量为(,)nx y z，由00n BEn BF，得3302220 xyyhz，取1y，得2(3,1,)nh，263cos,4|44m nm nmnh，1h.点F为线段AD的中点时，二面角A BFE所成角的余弦值为64.20.解：（）由题意，22122321243OAbbkkaa ，即224ab 又221314ab 联立解得21ab 所以，椭圆C的方程为：2214xy.（）设11(,)P x y，22(,)Q xy，11(,)Rxy，由223214yxtxy，得22310 xtxt ，所以240t ，即22t ，又因为0t，所以，(2,0)(0,2)t，123xxt ，2121xxt ，解法一：要证明AMAN，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，只需证明0AMANkk，即证明0AQARkk.1212332211AQARyykkxx12211233()(1)()(1)22(1)(1)yxyxxx 1221123333()(1)()(1)2222(1)(1)xtxxtxxx 1212123()3(1)(1)x xt xxxx2123(1)(3)30(1)(1)tttxx 0AMANkk，AMAN.21解：(1)f x的定义域为0,，233(2)122()1xaxxfxaxxx.1分(i)当0a 时，210ax 恒成立，0,2x时，()0fx，f x在 0,2上单调递增；2,x时，()0fx，f x在2,上单调递减；2 分(ii)当0a 时，由()0fx 得，123112,xxxaa（舍去），当12xx，即14a 时，()0fx 恒成立，f x在(0,)上单调递增；3 分 当12xx，即14a 时，10,xa或2,x时，()0fx 恒成立，f x在10,a，2,单调递增；1,2xa时，()0fx 恒成立，f x在1,2a上单调递减；4 分 当12xx即104a 时，1,xa或 0,2x时，()0fx 恒成立，f x在1(0,2),a单调递增；12,xa时，()0fx 恒成立，f x在12,a上单调递减；5 分 综上，当0a 时，f x单调递增区间为 0,2，单调递减区间为2,；当14a 时，f x单调递增区间为0,，无单调递减区间；当14a 时，f x单调递增区间为10,a，2,，单调递减区间为1,2a；当104a 时，f x单调递增区间为1(0,2),a，单调递减区间为12,a 6 分(2)由(1)知，当0a 时，f x单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)，又因为 10fa，7 分 取01max,5xa，令1()2lnf xxx，21()fxx，则12()10fxx 在(2,)成立，故1()2lnf xxx 单调递增，10()52ln512(2ln5)1f x ，0002220000011111()(2ln)0f xa xxaxxxxx ，（注：此处若写“当x 时，f x”也给分）所以 f x有两个零点等价于1(2)(22ln2)04fa，得188ln2a ，所以1088ln2a 8 分 当0a 时，21()xf xx，只有一个零点，不符合题意；当14a 时，f x在(0,)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9 分 当0a 且14a 时，f x有两个极值，1(2)(22ln2)04fa，12lnfaaaaa，记()2lng xxxxx，10 分 11()2(1ln)1ln2g xxxxx ，令1()lnh xxx，则 3322112122xhxxxx.当14x 时，()0h x，()g x在1,4单调递增；当104x 时，()0h x，()g x在10,4单调递减 故1()22ln204g xg ，()g x在(0,)单调递增 0 x 时，()0g x，故12ln0faaaaa 11 分 又1(2)(22ln2)04fa，由(1)知，f x至多只有一个零点，不符合题意 综上，实数a的取值范围为1,088ln2.12 分 22.解：（1）由2sin2 cos0aa，得22 sin2cos0aa，所以曲线C的直角坐标方程为2222xyyax，即 22211xaya.由直线l的参数方程得直线l的普通方程为2yx.（2）将 直 线l的 参 数 方 程22222xtyt 代 入2222xyyax，化 简 并 整 理，得23 22440ta ta.因为直线l与曲线C分别交于,M N两点，所以23 224 440aa，解得1a、由一元二次方程根与系数的关系，得 123 22tta，1 244t ta.又因为0a，所以1 20t t.因为点P的直角坐标为 2,0，且在直线l上，所以123 225 2PMPNtta，解得2a，此时满足0a，且1a，故2a.23.解：（1）由已知不等式 1f xxx ，得21xxx ，当2x 时，绝对值不等式可化为21xxx ，解得3x ，所以2x；当12x 时，绝对值不等式可化为21xxx ，解得13x，所以123x；当1x 时，由21xxx 得3x，此时无解.综上可得所求不等式的解集为1,3.（2）要使函数 2log32fxfxfxa 的定义域为R，只要 32g xf xf xa 的最小值大于 0 即可.又 12232g xxxaa ，当且仅当 1,2x时取等号.所以只需320a，即32a.所以实数a的取值范围是3,2.