2023年七年级数学专题训练23 与角相关的问题.pdf

七年级数学专题训练 23 与角相关的问题 阅读与思考 角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角.角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角.由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注.两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1.角的分类；2.角平分线的概念；3.互余、互补等数量关系角；4.用方程的观点来进行角的计算.例题与求解【例 1】如图，在 3 3 的网格上标出了 1 和 2，则 1 2.21（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出 1 2 的值.【例 2】如果 与 互补，且，则下列表示 的余角的式子中：90；90；1()2；1()2.其中正确的有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个（2013 年浙江省衢江市数学竞赛试题）解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例 3】已知 80 AOB，OC 是不在直线 OA，OB 上的任一条射线.OM，ON 分别平分 AOC，BOC.求 MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）BAOBA（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因 OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.【例 4】钟表在 12 点钟时三针重合，经过 x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求 x 的值.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用 x 的代数式表示，通过解方程求出 x 的值.【例 5】（1）现有一个 19的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出 1的角来.19（2）现有一个 17的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1的角来？（3）用一个 21的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1的角来？对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个 19（或 17 或 21）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到 19（或 17 或 21）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差 1.【例 6】如图所示，O 是直线 AB上的一点，COD是直角，OE 平分 BOC.（1）如图，若 30 AOC，求 DOE的度数；（2）在图中，若 AOC，直接写出 DOE的度数（用含 的代数式表示）；形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的（3）将图中的 DOC绕顶点 O 顺时针旋转至图的位置.探究 AOC和 DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在 AOC 的内部有一条射线 OF，满足 4 2 AOC AOF BOE AOF，试确定 AOF 与 DOE的度数之间的关系，说明理由 A B ODCEECDO B A 图 图（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出 DOE的度数；（2）先根据 DOE 与 COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用 BOC 表示出 COE，再根据互补角的关系用 表示出所求角的度数；（3）可设 BOC 为一个未知数，分别表示出 AOC 与 DOE，可得相应关系；结合 把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练 A 级 1.已知一个角的补角等于这个角余角的 6 倍，那么这个角等于.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.如图，45 BOD，90 AOE，那么不大于 90的角有 个，它们的度数之和是.ECDOBA（“希望杯”邀请赛试题）形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 3.如图，150 AOC BOD，若 3 AOD BOC，则 BOC 等于.A BODC 4.如图，O 是直线 AB上一点，120 AOD，90 AOC，OE平分 BOD，则图中彼此互补的角有 对.ECDOB A（北京市“迎春杯”竞赛试题）5.一个角的补角的117是 6，则这个角是（）A.68 B.78 C.88 D.98（“希望杯”邀请赛试题）6.用一副三角板可以画出大于 0且小于 176的不同角度有（）种 A.9 B.10 C.11 D.12 7.如图，若 180 AOB，1 是锐角，则 1 的余角是（）2A BO1 A.12 12 B.1 32 12 2 C.1(2 1)2 D.1(2 1)3（甘肃省兰州市竞赛试题）8.如图，180 AOB，OD 是 COB 的平分线，OE 是 AOC 的平分线，设 BOD，则与 的余角相等的角是（）形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 ABODCE A.COD B.COE C.DOA D.COA 9.如图，已知 2 COB AOC，OD 平分 AOB，且 19 COD，求 AOB的度数.CDOBA（北京市“迎春杯”竞赛试题）10.如图，已知 AOB与 BOC互为补角，OD 是 AOB的平分线，OE在 BOC内，12BOE EOC，72 DOE.求 EOC的度数.ECDOBA 11.已知 80 AOB，OC 平分 AOB，60 COD，OE平分 COD.求 AOE的大小.ECDOBA 12.如图，已知 OB，OC，OD 为 AOE内三条射线.（1）图中共有多少个角？（2）若 OB，OC，OD 为 AOE四等分线，且图中所有锐角的和为 400，求 AOE的度数.（3）若 89 AOE，30 BOD，求图中所有锐角的和.形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 ECDOBA B 级 1.已知一个角的补角比这个角余角的 3 倍大 10，则这个角的度数是.（浙江省杭州市竞赛试题）2.，中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15 的值时，有三位同学分别算出了 23，24，25这三个不同的结果.其中只有一个是正确的答案，则.（江苏省竞赛试题）3.如图，点 O 在直线 AB 上，OC，OD，OE，OF 是位于 AB 同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.FA BODCE（五城市联赛试题）4.如图，射线 OC，OD，OE，OF 分别平分 AOB，COB，AOC，EOC，若 24 FOD，则AOB.FECDOBA（2013 年“希望杯”数学邀请赛试题）5.4 点钟后，从时针到分针第二次成 90角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）A.60 B.30 C.40 D.33（“五羊杯”竞赛试题）6.如图是一个 3 3 的正方形，则图中 1 2 3 9 的和等于（）形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 987654321 A.270 B.315 C.360 D.405（广西省竞赛试题）7.已知，OM，ON，OP 分别是 AOB，BOC，AOC的平分线，则下列各式中成立的是（）OCBAPMN A.AOP MON B.AOP MON C.AOP MON D.以上情况都有可能 8.如图，AOC 是直角，21.5 COD，且 OB，OD 分别是 AOC，BOE 的平分线，则 AOE等于（）ABODCE A.111.5 B.138 C.134.5 D.178（五城市联赛试题）9.如图，在直线 AB 上取一点 O，在 AB 同侧引射线 OC，OD，OE，OF，使 COE和 BOE互余，射线 OF和 OD 分别平分 COE和 BOE.求证：3 AOF BOD DOF.FA B ODCE 10.如图，A1OA11是一个平角，3 2 2 1 4 3 3 2 5 4 4 3A OA A OA A OA A OA A OA A OA 11 10 10 92 A OA A OA.求11 10A OA 的度数.形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的.A5A4A3A2A10A11A1O（山东省竞赛试题）11.在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）.若现在时间恰好是 12 点整，问经过多少秒后，OAB的面积第一次达到最大？（“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 专题 23 与角相关的问题 例 1 45 提示：如图，通过拼补得 1+2=45.例 2 B 提示：（90）+=90 符合；（90）+=+90=180 90=90 符合；1 1(180 90 902 2）；1 1 1()180 902 2 2()+符合.故能表示 的余角.13 OM、ON 平分 AOC，BOC，AOM=COM=12AOC，CON=BON=12BOC（1）如图，若 OC 在 AOB 内，设 BOC=x，则 形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 图 图 图 例 6（1）2 0 m n，2(6)0 n，且2 m n与2(6)n互为相反数。2 0 m n 且2(6)0 n。12 m，16 n，即12 AB，6 CD（2）有两种情况，如图 当C在AB上时，1 1 1 1 1()()2 2 2 2 2MN AC BC BD AB BC BC CD BC 1(12 4)4(6 4)92；当C在AB的延长线上时，MN MB BC CN AB 1 112 4 6(12 4)(4 6)22 8 5 92 2BC CD AM ND，综上可 知，9 MN（3）作图如图，结论 正确，设BP x，则12 AP x，6 PC x 12 12 226 6PA PB x x xPC x x，当然对于 我们也不难找出其值不为 定值的原因。12 126 6PA PB x xPC x x，x变化，其值也变化 形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 A 级 1 5cm或1cm 提示：当A，B在O点两侧时，4 652EF cm；当A，B在O同一侧 时，6 412EF cm 2 20 3 41.6 提示：所有线段长度总和为4 6 6 AB BC CD AOC 80 x，MON MOC NOC 40（2）如图，若 OC 在 A OB 内，设 BOC x，则 AOC 80 x MON MOC NOC 40（3）如图，若 OC 在 A OB 内，设 BOC x，则 AOC 280 x MON MOC NOC 140（4）如图，若 OC 在 AOB 内，设 BOC x，则 AOC x 80 MON NOC MOC 40 综上所述：MON 40 或 140 例 4 x14271440 提示：显然 x 的值大于 1 小于 2，依题意得 6x 360(x1)360(x1)0.5x 例 5 提示：设“模板”角度为，假设可由 k 个 角与 t 个 180 角画出 1 的角来，即 k，t 满足等式 k 180t 1（1）当 19 时，取 k 19，t 2，即用模板连续画出 19 个 19 的角，得到 361 的角，去掉 360 的周角，即得 1 的角（2）当 17 时，即 17k 一 180t 1，此时，k 53，t 5 是一组解，即用模板连续画 53 个 17 的角，得到 901 的角，除去两个周角和一个平角，即得 1 的角（3）当 21 时，即 21k180t 1 无整数解，不能用 21 的模板与铅笔画出 1 的角 例 6(1)BOC 180 AOC 180 30 150 又 QE 平分 BOC，COE21 BOC 75，DOE 90 75 15（2）DOE 90 2180 21（3）AOC 180 2 COE 180 2(90 DOE)2 DOE；设 DOE x，AOF y 则 AOC 4 AOF 2 DOE 4 AOF 2x 4y 2 BOE AOF 2 COE AOF 2(90 DOE)AOF 2(90 一 x)y 180 一 2x y 故 2x4y 180 2x y，即 4x5y 180 所以 4 DOE 5 AOF 180 A 级 1 72 2 10 450 提示：一共有 10 个角，其中 AOE 90，BOD 45，AOB 十 BOE 90，AOC COE 90，AOD DOE 90，BOC COD 45 故这 10 个角的度数和为 90 4形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 45 2 360 90 450 3 30 4 6 提示：AOC 和 BOC，AOD 和 BOD，AOE 和 BOE，AOE 和 DOE，AOE 和 COD，AOD 和 COE 5 B 6 A 7 C 8 B 9 114 提示：设 AOC x，是 BOC 2x，AOD(23x)，COD(21x)，AOB AOC BOC 114 10 设 AOD BOD x，则 BOC 180 2x 又 BOE21 EOC，BOE31 BOC31(180 2x)又 BOD BOE DOE 72，x31(180 2x)72，解得 x 36 则 EOC32 BOC 32(180 2x)72 11（1）如图，若 OD 在 A OB 内时，AOC BOC 21 AOB 40，COE DOE 21COD 30，AOE AOC COE 70（2）如图，若 OD 在 AOB 内时，同理，AOC 40，OOE 30，AOE AOC COE 10 综上所述：AOE 70 或 10 BOAACEBDODABBECA 12（1）共有：4 3 2 l 10 个角（2）AOE 80（3）所有锐角度数和为：416 B 级 1 50 2 345 3 15 4 64 提示：设 EOF COF x，则 AOE 2x BOC AOC 2x x x 4x，COD BOD21 BOC 2x，又 FOD FOC COD x 2x 3x 24，x 80，AOB 8x 64 5 D 6 D 沿 AB 对折，上下图形能够完全重合，则 1 9 4 8 2 6 90 7 B 8 D 9 提示：COE BOE 90，DOF 45，AOF BOD 135 形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的 10 由题中条件知 A3OA2 A2OA1 2，A4OA3 A3OA2 2，A5OA4 A4OA3 2，A11OA10 A10OA9 2，以上 9 个等式相加得 A11OA10 A2 OA1 9 2 18.即 A11OA10 A2OA1 18 由题设知，A1OA11 A2OA1 A3OA2 A4OA3 A11OA1021(A2OA1 A11OA10)10 180 A2OA1 A11OA10 36，A11OA10 27 11 经过 x 秒时，OA 与 OB 第一次垂直由(6 0.1)x 90 得 x 155915 形按角的大小可以分成锐角直角和钝角由于直角和平角在角中显得特别重要所以处于不同位置但两角的和是一个直角 角叫做互为补角余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位解与角有关的问题常用到以下知 上标出了和则解题思路对图形行恰当的处理通过拼补求出的值希望杯邀请赛试题例如果与互补且则下列表示的余角的