概率论与数理统计A试卷文档.pdf

第 1 页 共 11 页 概 率 论 与 数 理 统 计概 率 论 与 数 理 统 计 A试试 卷卷 试卷试卷一一 一、单项选择题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）1.袋中有 3 个红球 2 个白球，每次取 1 只，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（）（A）35 （B）34 （C）12 （D）310 2.罐中有 6 个红球 4 个白球，任意摸出一球，记住颜色后再放入罐中，一共进行 4 次 设X为红球出现的次数，则()E X（）（A）1610 （B）410 （C）2410.（D）24610.3设随机变量X的概率密度为21()(1)f xx，则2YX的概率密度为（）（A）21(14)y （B）22(4)y （C）21(1)y （D）1arctan y 4设12,XX是来自总体(,1N）的容量为2的样本，其中为未知参数，下面四个关于的估计量中，只有（）才是的无偏估计（A）122433XX （B）121244XX （C）123144XX （D）123144XX 5设123,XXX是取自总体的一个样本，为一未知参数，则下列样本的函数中是统计量的为（）.（A）3211()3iiX （B）123XXX （C）123XX X （D）12X X 6变量间线性相关程度越低，则相关系数的数值（）.（A）越小；（B）越接近于0；（C）越接近于1；（D）越接近于1 7下列结论中，正确的是（）.)(A假设检验是以小概率原理为依据 )(B由一组样本值就能检验出原假设是否真正正确 )(C假设检验的结果总是正确的 第 2 页 共 11 页 )(D对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结果是完全相同的 8.假设检验时，样本容量不变，若缩小犯第一类错误的概率，则犯第二类错误的概率会(）(A)不变 (B)变小 (C)变大 (D)不确定 二、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）1已知事件A与B相互独立，P(A)0.5，P(B)0.6，则()P A B .2设随机变量X的分布函数为1 0()0 xexF x 其他，则 3P X .3设随机变量 X 的概率密度为40,1()0cxxf x其他，则常数c .4.已知()1D X，()4D Y，0.5XY，则(23)DXY .5设随机变量X与Y独立同分布，且 则max,UX Y的概率分布为 .6设随机变量 X 的数学期望()E X，方差2()D X，由契比雪夫不等式知|4XP .7设12,nXXX是来自总体(0,1N）的一个样本，则统计量2222321(1)nXXXYnX服从的分布是_.8.某食品厂生产一大批食品罐头，根据生产过程和经验认为，每听罐头中维生素 C 的含量服从2(,3.98)N，按规定只有当21mg时，产品才可以出厂，现从中随机抽查 17 听罐头，测得其维生素 C 的含量（单位：mg）的均值为20mg，要检验在显著性水平05.0下这批罐头是否可以出厂，原假设 H0应为_.三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量),(YX具有概率密度 2,01,02(,)0,xcxyxyf x y其它,(1)求常数c；（2）求出),(YX关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度；(3)判断 X 和 Y 是否相互独立(4)求概率XYP X 0 1 P 1/2 1/2 第 3 页 共 11 页 四、计算题（本题 10 分）一盒同型号螺丝钉共有 100 个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g，试用中心极限定理求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.五、计算题（本题 10 分）设总体X的分布律为,其中0为未知参数.已知取得一个样本值1234(,)(1,2,1,3)x x x x，试求的矩估计值和极大似然估计值.六计算题（本题 10 分）经验表明，钢珠直径(单位：mm)X服从正态分布2(,)N，现从刚生产出的一大批钢珠中随机抽出9个，测得其样本均值31.06x，样本方差220.98s，试分别求出和2的置信度为0.95的置信区间 七七计算题（本题计算题（本题 1010 分）分）为考察某种毒药的剂量(mg/单位容量)与老鼠死亡之间的关系，取多组老鼠(每组 25 个)做试验，得到数据如下表：剂量 x 4 6 8 10 12 14 16 18 死亡的老鼠数 y 1 3 6 8 14 16 20 21 (1)计算xxL,yyL,xyL；(2)计算样本相关系数r，并判断其相关方向和密切程度；（3）求变量 y 倚 x 的线性回归方程.（计算结果保留到小数点后四位）试卷二 一、填空题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分，将答案填在下面的横线上）1设随机变量X的分布函数为0,0()sin,1,xF xxxx022，则概率|6PX .2 在 5 把钥匙中，有 2 把能把门打开，现逐把试开，则恰好第三次把门打开的概率是_.3设随机变量X与Y独立同分布，且 X 1 2 3 P 2 2(1)2(1)第 4 页 共 11 页 X 0 1 P 1/2 1/2 则min,UX Y的概率分布为 .4已知()25D X，()4D Y，0.4XY，则(2)D XY .5.设123,XXX是n个独立同分布的随机变量，()iE X，()8iD X，对于3113iiXX，则用契比雪夫不等式估计|4PX .6 设12,nXXX是来自总体2(,N）的样本，则212()niiXY服从的分布是 .7设随机变量 X 的概率密度为30,2()0kxxf x其他，则常数k _.8.设随机变量 X 的概率密度2(1)81()2 2xf xe，则2()E X_ _.二、单项选择题（本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,将答案填在下面的横线上）1.设A,B两事件互不相容，0P(A)p1，0P(B)q1，则推不出结论（）.（A）P(A|B)0 （B）P(A B)0 （C）P(A B)p （D）P(AB)1 2.设随机变量X在(0,)2上服从均匀分布，则cosYX的概率密度为（）（A）2(0,)20y其他 （B）22(0,1)10yy其他 （C）2arccos(0,1)0yy其他 （D）2cos(0,)20yy其他 3已知随机变量(,)X Y服从二维正态分布，则下列结论不成立的是（）.（A）32XY一定服从正态分布 （B）X一定服从正态分布 （C）X与Y相互独立是X与Y不相关的充分必要条件 （D）Y一定服从正态分布 4设总体2(,)XN ，且已知、2未知，设123,XXX是来自该总体的一个样本，第 5 页 共 11 页 则下列样本的函数中不是统计量的为（）.（A）12XX （B）3211()3iiX （C）3133maxiiXX （D）2123XX X 5设123,XXX是来自总体(,1N）的一个样本，其中为未知参数，下面四个关于的无偏估计量中，采用有效性这一标准来衡量，最好的是（）（A）122133XX （B）123111424XXX （C）131566XX （D）123111333XXX 6 对总体2(,XN）的均值作区间估计,得到置信度为0.95的置信区间,其意是指这个区间（）.(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含的值 (D)有95%的机会含样本的值 7.假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率(）(A)都减小 (B)都增大 (C)都不变 (D)一个增大一个减小 8相关关系按相关的方向区分，有（）（A）完全相关、不完全相关、不相关 （B）线性相关和非线性相关 （C）正相关和负相关 （D）单相关和复相关 三、计算题（本题 12 分）设二维随机变量),(YX具有概率密度 ,03,02(,)0,cxyxyf x y其它,(1)求常数c；（2）求出),(YX关于 X 和关于 Y的边缘概率密度；(3)判断 X 和 Y 是否相互独立；(4)求概率2XP Y.四、计算题（本题 10 分）设总体X的概率密度为1(1),0()0,xxf x 其它,其中0为未知参数.1,nxx是取自总体X的样本值，试求的极大似然估计值.五、计算题（本题 10 分）某工厂有200台同类型的机器，由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，试用中心极限定理，求任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.六计算题（本题 10 分）已知某柴油发动机，使用柴油1L的运转时间服从正态分布，第 6 页 共 11 页 现测试装配好的6台的运转时间分别为28,27,31,29,30,27(min)，按设计要求，平均1L运转应在30(min)以上，根据测试结果，在显著性水平0.05下，能否说明这种发动机符合设计要求？七七 计算题（本题计算题（本题 1010 分）分）在某个生产过程中，在一个大气压下，温度从 0oC变到 10oC,需考察得率 Y 与温度 x 的关系，今测得数据如下表：温度 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得率 Y 3 5 7 10 11 14 15 17 20 21 (1)计算xxL,yyL,xyL；(2)计算样本相关系数r，并判断其相关方向和密切程度；（3）求变量 y 倚 x 的线性回归方程.（计算结果保留到小数点后四位）试卷试卷三三 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分）1.设事件 A,B 相互独立，()0.3,()0.7P AP B，则)(BAP（）.A.1;B.0.97;C.0.79;D.0.21.2.袋中有 20 个乒乓球，其中有 8 个为黄色球，其余为白色球.从中任取一球，记住颜色后再放回，连续摸取 5 次，设X为取得黄色球的次数，则 3XP（）.A.32812520C CC;B.3258 1220;C.3325812()()2020C;D.38.3.设随机变量X服从1,6上的均匀分布,则14PX（）.A.53;B.54;C.43;D.44.4.设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为),(yxf，则关于X的边缘概率密度 函数为().A.dxyxf),(;B.dyyxf),(;C.),(xf;D.)0,(xf.5.设(1,4)XN,则)2(2XE().第 7 页 共 11 页 A.1;B.2;C.5;D.10.6.123,XXX是来自总体X的容量为 3 的一个样本，是未知参数，以下函数不是统计量的为().A.321XXX;B.321XXX;C.1X;D.312)(31iiX.二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分）1.有一批两个品牌的瓶装红葡萄酒共 14 瓶，其中甲品牌的 6 瓶，乙品牌的8 瓶，瓶子外形相同，由于不小心把标签搞混了.现从这 14 瓶酒中任取 3 瓶，用A表示事件“这 3 瓶酒中至少有一瓶是甲品牌的”，则事件A的概率()P A .2.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度函数分别是 1,01()0,Xxfx其他,0()0,0yYeyfyy.则（X，Y）的联合概率密度函数(,)f xy .3.设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命（单位：百小时）,X Y的分布率分别为 X 9 10 11 Y 9.5 10 10.5 p 0.1 0.8 0.1 p 0.3 0.4 0.3 通过计算数学期望和方差，比较的结果是：厂生产的灯泡质量较好(在下面的空白处写上你的计算结果,无需过程）.4.设1()2,()3,Cov(,),6E XE YX Y 则)(XYE .5.设总体X的密度函数为：1(,)0 xf x.,10其它 x nXXX,.,21是来自此总体的一个样本，niiXnX11是样本均值，则未知参数的矩估计量是 .X 0 1 2 3 kP 0.1 0.3 0.4 0.2 X 0 1 kP 32 31 第 8 页 共 11 页 6.根据已知样本资料算得 17.5,9.51,437.5,78.75,14.49,xxxyyyxyLLL 由此算出y关于x的线性回归方程为y .三、（本题三、（本题 8 分）分）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是03.0，第二台出现废品的概率是02.0，已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的两倍，加工出来的零件放在一起.现任取一个零件，1.求取到的零件是合格品的概率;2.若取出的零件是废品，它是第一台车床加工的概率是多少？四四、（本题、（本题 8 分）分）已知随机变量(3,4)XN，00.5，求a的值使得aXPaXP.五五、（本题、（本题 8 分）分）设随机变量的概率密度函数为0,0,03)(3 xxexxXf,3XY 求Y的概率密度函数).(yfY 六六、（本题、（本题 8 分）分）某保险公司有一项寿险业务，投保人每人每年付 120元保险费，如果一年内被保险人死亡，其家属可向保险公司领得 10000 元。已知有 10000 个人参加这项保险，当地一年内的死亡率为 0.006.请利用中心极限定理计算并回答：保险公司亏本的概率有多大？七七、（本题、（本题 8 分）分）设总体X的概率密度为 (1),01()(1)0 xxf x 其他，12,nXXX为来自总体的样本，求未知参数的极大似然估计量.八八、（本题、（本题 8 分）分）某厂生产一种零件，其口径X（单位：毫米）服从正态分布),(2N现从某天生产的零件中随机抽取 9 个，分别测得其口径如下：14.6,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.7 求这批零件的标准差2的置信水平为 0.95 的置信区间（取小数点后三位有效数字）.九九、（本题、（本题 8 分）分）某厂原生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2N，其中scm/40，2未知，现在用新方法生产了一批推进器，从中 第 9 页 共 11 页 随机抽取12n只，测得样本均值1.41x，样本方差220.578s.问用新方法生产的推进器的燃烧率是否较以往的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0）十十、（本题、（本题 8 分）分）设总体2(,)XN，12,nXXX为来自总体的样本，证明：22211()()niiXn.试卷试卷四四 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分）1.已知事件 A,B 的概率()0.5,()0.6,(|)0.8,P AP BP B A则)(BAP（）.A.1.1;B.0.7;C.0.62;D.0.8.2.锅炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度超出临界温度0t，电路就断电.设事件E为“电路断电”，且 4 个温控器显示的温度值按照从小到大排列为(1)(2)(3)(4)TTTT，则事件E（）.A.0(1)Tt;B.0(2)Tt;C.0(3)Tt;D.0(4)Tt.3.设随机变量X的概率密度函数2,01()0,xxf x其他,则00.5PX（）.A.14;B.12;C.34;D.1.4.已 知 二 维 随 机 变 量),(YX的 联 合 分 布 函 数 为(,)(arctan)(arctan)23xyF x ya bc，则常数,a b c的值是（）.A.21,22abc;B.21,22abc;C.21,22abc;D.,222abc.5.设,X Y是任意两个随机变量，如果()()()E XYE X E Y，则（）第 10 页 共 11 页 A.()()()D XYD X D Y;B.()()()D XYD XD Y;C.,X Y相互独立;D.,X Y不相互独立.6.设总体X服从参数31p的(01)分布，niiXnX11是样本均值，则)(XD（）.A.13;B.29;C.n92;D.213n.二、填二、填空题（每小题空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分）1.设,A B是随机事件，()0.7,()0.4,P AP A B 则()P AB .2.设随机变量(2,),(3,),XBpYBp如果519P X，则1P Y .3.设连续型随机变量的概率密度为21)(xAxf，x，则常数A .4.设X Y,相互独立，都服从于正态分布2(,),N 则32XY .5.设321,XXX是来自总体X的一个样本，2)(,)(XDXE均未知，如果1231223XXkX是的无偏估计量，则k 6.已知一批零件的长度服从正态分布(,1),N从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值40,x 则的置信度为 0.95 的置信区间是 .三、（本题三、（本题 8 分）分）某厂的一、二、三车间生产同一种产品，三个车间所生产的产品数分别占总量的50%,25%,25%，次品率分别为1%,2%,4%.生产的产品混合存放在同一个仓库，现任取一件产品，1.求取到的产品是次品的概率;2.若取出的产品是次品，问该次品出自这三个车间的概率分别是多少？四四、（本题、（本题 8 分）分）设随机变量 X 的概率密度函数是 其他,023,2,cos21)(xxxf,求 12XY 的概率密度函数.五五、（本题、（本题 8 分）分）已知二维随机变量),(YX的联合分布律是 X 0 1 2 3 kP 0.1 0.3 0.4 0.2 X 0 1 kP 32 31 第 11 页 共 11 页 Y X 1 1 2 0 121 0 123 1 122 121 121 3 123 121 0 求),(YX关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.六六、（本题（本题 8 分）分）设总体X的概率密度为,0(,)(0)00 xexf xx，12,nXXX为来自总体的样本，求未知参数的极大似然估计.七七、（本题（本题 8 分）分）已知一只某品牌的电灯泡正常使用 600 个小时损坏的概率为 0.2.请利用中心极限定理计算并回答：100 只这种品牌的电灯泡正常使用 600个小时损坏的数目不超过 30 只的概率.八、（本题（本题 8 分）分）已知去年一个家庭的每月用电量2(32,)XN，2未知；今年抽查 100 个家庭，经统计得样本均值和样本方差分别为234.25,100XS.问今年每个家庭的每月用电量是否比去年有提高.（取显著性水平05.0）九、（本题九、（本题 8 分）分）在对某问题的研究中，测得关于变量 X,Y 的样本数据如下表：X 2 4 6 8 10 Y 1.8 1.5 1.4 1.1 1.1 已知随机变量 Y 关于普通变量 X 呈线性相关关系，求（1）,xxyyxyLLL；（2）Y关于 X 的线性回归方程；（3）样本相关系数r，并判断相关方向和密切程度.十、（本题十、（本题 8 分）分）设总体(,)XB np，12,XX为总体样本，证明：1122121231,3322uXXuXX 都是 E（X）的无偏估计，并说明哪一个较有效.