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概率论与数理统计(46学时)A 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分）。1、A B、为两个随机事件，若()0 P AB，则（A）A B、一定是互不相容的；（B）AB 一定是不可能事件；（C）AB 不一定是不可能事件；（D）()0 P A 或()0 P B.2、二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为(,)F x y 为(,)X Y 的联合分布函数，则(1.5,1.5)F等于（A）1/6；（B）1/2；（C）1/3；（D）1/4.3、X Y、是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若()E XY EXEY,则 X Y、独立；（B）若 X Y、不独立,则 X Y、一定相关；（C）若 X Y、相关,则 X Y、一定不独立；（D）若()D X Y DX DY,则 X Y、独立.Y X 0 1 2 1 1/6 1/3 0 2 1/4 1/6 1/12 4、总体2 21 2(,),nX N X X X 均未知，为来自 X 的一个简单样本，X 为样本均值，2S为样本方差。若 的置信度为 0.98的置信区间为(,)X cS n X cS n，则常数 c为（A）0.01(1)t n；（B）0.01()t n；（C）0.02(1)t n；（D）0.02()t n.5、随机变量1 2,nX X X 独立且都服从(2,4)N 分布，则_11 niiX Xn服从（A）(0,1)N；（B）(2,4)N n；（C）(2,4)N n n；（D）4(2,)Nn.二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。6、已知 A B、为两个随机事件，若()0.6,()0.1,P A P AB 则(|)P A AB=1.7、已知随机变量 X 服从区间(0,2)上的均匀分布，则(2)E X=（）.8、已知连续型随机变量X的概率密度函数为2,0 1()0,x xf x 其它，则概率(|1 2)P X=（）.9、随机变量1 2(3,),(3,)3 3X b Y b,且,X Y 独立，则()D X Y=（）.10、已 知 随 机 变 量,1,2,3iX i 相 互 独 立，且 都 服 从(0,9)N 分布，若 随 机 变 量2 2 2 21 2 3()(3)Y a X X X，则常数a=（）.三、解答题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）。11、已知一批产品中有 95%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率为 0.04，一个次品被判为合格品的概率为 0.02，从这批产品中任取一个产品，求其被判为合格品的概率。12、已知离散型随机变量 X 的分布律为 X-1 0 1 P 2a 14 14a（1）求常数 a；（2）求 X 的分布函数()F x.13、设连续型随机变量 X的分布函数为：10()2,0 xxe xF xB Ae x，（1）求常数,A B；（2）求 X的概率密度函数()f x.14、二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为,0 1,|(,)0,a x y xf x y 其它，（1）求常数 a；（2）求概率2()P X Y.15、某种清漆的干燥时间（单位：小时）2(8,)X N,0，且由以往观测的 数据可知，此种清漆的干燥时间在 8 至 10 小时之间的概率为 0.2881，已知(0.8)0.7881，（1）求 的值；（2）求此种清漆的干燥时间不超过 6 小时的概率。16、总体 X 的概率密度函数为22,0()0,xxe xf x 其它，其中 0 是未知参数，1 2,nX X X 是来自 X 的一个简单样本，求 的最大似然估计量.四、解答题（本大题共 1个小题，5分）。17、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为,0()0,xe xf x 其它，若随机变量 1,10,1 21,2XY XX,求 EY.五、证明题（本大题共 1个小题，5分）。18、随机变量,X Y 都服从(0-1)分布，即 X 的分布律为1 10 11 p p,Y 的分布律为 2 20 11 p p,其中1 20,1 p p.证明：X Y、不相关是 X Y、独立的充要条件。2009 2010学年 第 1学期 概率论与数理统计A卷 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分）。1、抛两颗均匀骰子，若已知两骰子出现的点数和为 5，则其中有一颗骰子出现的点数是 3的概率为（A）1/9；（B）1/2；（C）1/18；（D）1/4.2、事件 A B、独立，且()0 P B，则下列命题不正确的是（A）A B_、独立；（B）A B_ _、独立；（C）_ _()()P A B P A|；（D）_()()P A B P B|.3、设随机变量 X 的分布函数为()F x，则()P X a 等于（A）()F a；（B）_()F a；（C）0；（D）_()()F a F a.4、随机变量 X Y、相互独立，且(1,1)X N，(3,2)Y N，则(3 2)D X Y 等于（A）3；（B）7；（C）11；（D）14.5、设总体(0,1)X N，1 2 3 4X X X X，是来自 X 的一个简单样本，若 1 22 23 4()(2)a X XtX X，则常数 a是（A）1；（B）2；（C）1/2；（D）1 2.二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。6、已知离散型随机变量 X 的分布律为1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4XP，则概率(2 1)P X=（）7、若二维随机变量(,)X Y服从区域(,):0 1,0 2 x y x y 上的均匀分布，则(,)X Y的联合密度函数(,)f x y=（）8、X Y、为两个随机变量，且 3 1 X Y，则XY（）9、一系统由 100 个独立工作的部件构成，各个部件损坏的概率都为 0.1，已知必须有87 个以上的部件完好，才能使整个系统正常工作。由中心极限定理，整个系统 不 能正常工作的概率近似为（）.（已知(1)0.8413）.10、已知某木材横纹抗压力2(,)X N（单位：公斤/平方厘米），现随机抽取 X 的一个容量为 9 的样本，测得样本均值_457.5 x，样本标准差 30.3 s，则 的置信度 为 0.95 的 置 信 区 间 为（）（已 知0.025(8)2.31 t，0.025(9)2.26 t，0.05(8)1.86 t）.三、解答题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）。11、某工厂有三种机床：钻床、磨床和刨床，它们的台数之比为 5：3：2，它们在一定的期限内需要修理的概率分别为 0.1，0.2，0.3.期限到后，随机抽检一台机床，发现其需要修理，求这台机床为钻床的概率。12、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为2,0 1()2,1 20,ax xf x x x 其它，（1）求常数 a；（2）求概率(1 2 3 2)P X.13、已知连续型随机变量X的分布函数为0,0()0 1/9,1/9xF x A x xB x，（1）求常数,A B；（2）求概率(0 116)P X；（3）求X的概率密度函数()f x.14、已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为 26,0 1,1(,)0,xy y y xf x y 其它，（1）求概率()P X Y；（2）求出边缘密度函数(),()X Yf x f y，并判断,X Y 是否相互独立。15、已知二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为（1）分别求出(,)X Y 关于 X Y、的边缘分布律；（2）求(,)Cov X Y.Y X-1 0 1 2-1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.1 0.15 0 0.05 1 0.05 0.05 0.15 0.15 16、已知总体 X的概率密度函数(5),5()0,5xe xf xx，其中0 是未知参数，1 2,nX X X 是来自总体X的一个简单样本,求 的最大似然估计量.1ln()ln(5).(5)niiL n x 对数似然函数 11ln()0(5)0.(8).(10)(5)niiniid L nxdnX 令的最大似然估计量 四、解答题（本大题共 1个小题，5分）.17、过点(0,)b 随机作一条直线，Y 表示坐标原点到所作直线的距离，求 EY.五、证明题（本大题共 1个小题，5分）。18、X 为连续型随机变量，随机变量XY e,0,若 EY 存在，证明：对任何实数 a，都有()()a XP X a e E e.2011 2012学年 第 1学期 概率论与数理统计A卷 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分）.1.设,A B 为两个随机事件，其中 0()1 P B，若(|)=(|)P A B P A B,则必有（A）A B 事件；（B）A B 事件,互不相容；（C）B A 事件；（D）A B 事件,相互独立.2.设随机变量 X 的分布函数为0,01 2,0 1()2 3,1 31,3xxF xxx，则(1)P X 等于（A）2/3；（B）1/2；（C）1/6；（D）0.3.设 X 服从区间(0,5)上的均匀分布，则关于 t的一元二次方程24 4 2 0 t Xt X 有实根的概率为（A）0.6；（B）0.4；（C）0；（D）1.4.随机变量 X 和 Y 独立同分布，方差存在且不为 0.记 U X Y,V X Y,则(A)U 和V一定不独立；(B)U 和V一定独立；(C)U 和V一定不相关；(D)以上选项都不对.5.总体 X 的分布为(0,1)N，1 5,X X 为取自 X 的简单样本，则下列选项 不正确 的是(A)12 22 52(4)XtX X；(B)2 2 21 2 32 24 52(2,3)3X X XFX X；(C)1 5(0,1)5X XN；(D)22 22 31()(2)2X XX.二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）.6设,A B 为随机事件，()0.5,()0.2 P A P A B，则()P AB=（）.7.设连续型随机变量 X 的分布函数为0,1()(arcsin 2),1 11,1xF x k x xx，则常数 k=（）.8已知,X Y 相互独立,4,1 DX DY,则(2)D X Y=（）.9随机从一批香烟中抽取 16包测其尼古丁含量的毫克数，从抽取的样本算得样本均 值 25.5 x，样本标准差 2.4 s.设香烟中尼古丁含量的分布是正态的，则总体均值 的置信度为 95%的置信区间为（）（已知0.025(16)2.1199 t，0.025(15)2.1315 t，0.05(15)1.7531 t）10 某保险公司接受了某辖区内 600辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为 50元 若车丢失，则得赔偿车主 1000元假设车的丢失率为 1 25.由中心极限定理，保险公司这年亏损的概率为（）（已知(1.25)0.8944,(2.5)0.9938）三、计算题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）.11某商店购进甲厂生产的产品 20箱,乙厂生产的同种产品 15箱,其中甲厂每箱装有一等品 74个，二等品 6个；乙厂每箱装有一等品 95个，二等品 5个.从这 35箱中任取一箱,从中任取一个，(1)求取到二等品的概率；(2)若取到二等品，问这个二等品来自甲厂的概率 12 设随机变量 X 的概率密度函数为,0 1()0,bax xf x 其它,且(1 2)1 8 P X，求：（1）常数,;a b（2）设2XY e，求 Y 的概率密度函数()Yf y.13.二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为：24,0 1,0(,),0,x x y xf x y 其它 求：（1）2()P Y X；（2）(,)X Y 关于 X 的边缘密度函数()Xf x；（3）条件概率(1 8|1 4)P Y X.14.设随机变量 Y 在区间(0,3)上服从均匀分布，随机变量 0,1,21,kY kX kY k.求：（1）1 2(,)X X 的联合分布律；（2）1 2(,)X X 的相关系数1 2X X.15.据以往经验，某种能力测试的得分服从正态分布(62,25)N，随机抽取 9 个学生参与这一测试，他们的得分记为1 9,X X，设9119iiX X.（1）求(|62|2)P X；（2）若得分超过 70分就能得奖，求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数()表示)16设总体 X 的概率密度函数为)(x f=1,00 xe x,其它，其中(0)是未知参数.设1,nX X 为该总体的一个容量为 n的简单样本.（1）求 的最大似然估计量；（2）判断 是否为 的无偏估计量.四、解答题（本大题共 1个小题，5分）.17设随机变量 X 在区间,-上服从均匀分布，求 min(|,1)E X.五、应用题（本大题共 1个小题，5分）.18.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周 5个工作日里无故障，可获利润 10万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元.求这部机器在一周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）.2008 2009学年 第 1学期 概率论与数理统计(46学时)A 卷评分标准 一、单项选择题 1（C）2（B）3（C）4（A）5（D）二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。6、1.7、2.8、1 4.9、43.10、1 9.三、解答题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）。11、解：1:A 取到合格品；2:A 取到次品；:B 被判为合格品。1 1 2 2()(|)()(|)().(5)(1 0.04)95%0.02 5%.(9)0.913.P B P B A P A P B A P A.(10)12、解:（1）由分布律的性质可得1 12()1.(4)4 4a a 1.(5)6a（2）由（1）知 X 的分布律为 X-1 0 1 P 13 14 512.(6)由分布函数的定义可得 0,11,1 03()().(10)7,0 1121,1xxF x P X xxx 13、解：（1）由分布函数性质：(0)(0)1 2.(2)()1 1.(4)F F B AF B 因此可得 1/2,1.(5)A B（2）代入,A B 的值，可得 102().(6)11,02xxe xF xe x，故 10()2().(10)1,02xxe xdF xf xdxe x，14、解：（1）由题意 10(,)1 1.(3)xxR Rf x y dxdy adx dy 可以得到 102 1 1.(5)a xdx a（2）把 1 a 代入密度函数 2221 120 0()(,).(7)().(9)1.6x yxxP X Y f x y dxdydx dy x x dx.(10)15、解：（1）由题意 8 8 8 10 8(8 10)0.2881 0.2881.(2)XP X P 即 2 2(0)0.2881 0.7881.(4)2.5.(5)（2）所求概率 8 6 8 2(6).(8)21 0.2119.(10)XP X P 16、解：221().(2)ixniixL e 似然函数为 21 11ln()ln ln.(4)2n ni ii iL x n x 对数似然函数 22121ln()10 0.(8)2.(10)2niiniid L nxdxn 令的最大似然估计量 四、解答题（本大题共 1个小题，5分）。17、解：由数学期望的定义 12 10 21(1)0(1 2)1(2)(1)(2).(3)1.(5)x xEY P X P X P XP X P Xe dx e dx e e 五、证明题（本大题共 1个小题，5分）。18、证明：必要性：若 X Y、独立，显然 X Y、不相关；.(1)充分性：若 X Y、不相关，则有()E XY EXEX,又()(1)(1,1)E XY P XY P X Y，(1)(1)EXEY P X P Y 从而 1 2(1,1)(1)(1).(3)P X Y P X P Y p p 由此可得(,)X Y 的联合分布律为 Y X 0 1 0 1 2(1)(1)p p 1 2(1)p p.(4)因此，由离散型随机变量独立的定义可得 X Y、独立。.(5)2009 2010学年 第 1学期 概率论与数理统计A卷评分标准 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分）。1（B）2（D）3（D）4（C）5（A）二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。6、0.5.7、1/2,0 1,0 20,x y 其它.8、-1.9、0.1587.10、(434.169,480.831)三、解答题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）。11、解：设:B 此机床需要修理；1:A 取到钻床；2:A 取到磨床；3:A 取到刨床,所求概率 1 1 1131()(|)()(|).(6)()(|)()50.110.(9)5 3 20.1 0.2 0.310 10 105 17.i iiP A B P B A P AP A BP BP B A P A.(10)12、解：（1）由密度函数的性质()1.(2)f x dx 即1 220 11(2)1 1.(4)3 2aax dx x dx 故 3 2.(5)a（2）由题意 1 2 1(1)p p 1 2p p 32123122112(1 2 3 2)().(7)3(2).(9)213 16.P X f x dxx dx x dx.(10)13、.解：（1）由分布函数的性质(1 9)(1 9)3.(1)()1 1.(2)F F A BF B 因此可得 3,1.(3)A B（2）由分布函数的性质(0 116)(116)(0)3 4.(6)P X F F（3）由密度函数的定义 1 23 10()().(10)2 90,x xdF xf xdx，其它 14、解：（1）由题意 2 1 13 50 0()(,).(2)6 3().(4)1.4x yyyP X Y f x y dxdydy xydx y y dy.(5)（2）由题意 203,0 16,0 1().(7)0,0,xXx xxydy xf x 其它 其它 214 6,0 13(1),0 1().(9)0,0,yYxydx yy y yf y 其它 其它 因(,)()()X Yf x y f x f y，故,X Y 不独立.(10)15、解：（1）由题意(,)X Y 关于 X 的边缘密度函数为 1 0 1.(2)0.3 0.3 0.4XP(,)X Y 关于 Y 的边缘密度函数为1 0 1 2.(5)0.25 0.25 0.2 0.3YP（2）由（1）可得 0.1,0.55.(7)EX EY 又 XY 的分布律为2 1 0 1 20.1 0.1 0.4 0.25 0.15，故()0.25.(9)E XY 因此(,)()0.195.(10)Cov X Y E XY EXEY 16、解：(5)1().(3)inxiL e 似然函数为 1ln()ln(5).(5)niiL n x 对数似然函数 11ln()0(5)0.(8).(10)(5)niiniid L nxdnX 令的最大似然估计量 四、解答题（本大题共 1个小题，5分）.17、解：设随机直线和 X 轴正向的夹角为，则(0,).(2)U 坐标原点到直线的距离|cos|.(3)Y b 故0|2|(|cos|)|cos|.(5)b bEY E b d 五、证明题（本大题共 1个小题，5分）。18、证明：设 X 的概率密度函数为()f x，则()().(1)()().(4)().x axa xax aa XP X a f x dxef x dx e e f x dxee E e.(5)2010 2011学年 第 2学期 概率论与数理统计A卷评分标准 一、单项选择题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。1（C）2（A）3（D）4（B）5（C）二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）。6、0.58.7、1/9.8、20.9、-1.10、（1.57711，2.83289）.三、计算题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）。11、解：设 B:某保险人在一年中没出事故；iA:保险人为第 i类人,1,2,3 i，则所求概率为 1 1 1131()(|)()(|).(6)()(|)()0.95 20%.(9)0.95 20%0.85 50%0.7 30%38 165.i iiP A B P B A P AP A BP BP B A P A.(10)12、解：（1）由密度函数的性质 2 211 11(1 2)().(4)1.(5)xP X f x dx e dxe（2）由数学期望的定义 2 2 1 211().(10)3X x xE e e e dx e 13、解：（1）由分布函数的性质+(0)(0)1 0 1.(3)F F A A（2）由分布函数的性质 1 3(1 3)(3)(1)2 4.(6)P X F F e e（3）由密度函数的定义,0()().(10)0,xxe x dF xf xdx 其它 14、解：（1）由题意 22120(,)|12 30()(,)6(1).(2)6(2)1 2.(3)yyx y x yP X Y f x y dxdy y dy dxy y y dy（2）由题意 126(1),0 1 3(1),0 1().(5)0,0,xXy dy x x xf x 其它 其它 06(1),0 16(1),0 1().(7)0,0,yYy y yy dx yf y 其它 其它（3）|8(1),1 2 11 1 1(|)(,)().(10)2 2 0,2Y X Xy yf y f y f 其它 15、解：（1）由题意(,)X Y 关于 X 的边缘密度函数为1 0 1.(3)5 12 5 12 2 12(,)X Y 关于 Y 的边缘密度函数为1 1.(5)7 24 17 24（2）由（1）可得 1 4,512.(6)EX EY 又 XY 的分布律为1 0 13 8 5 12 5 24，故()1 6.(8)E XY 因此(,)()116.(10)Cov X Y E XY EXEY 16、解：（1）(1)1().(2)niiL x 似然函数为 1ln()ln(1)ln.(3)niiL n x 对数似然函数 11ln()0 ln 0.(4).(5)lnniiniid L nxdnX 令的最大似然估计量（2）因为(1)2(2)2.(8)P X x dx 由最大似然估计的传递性，(2)P X 的最大似然估计量为1ln2.(10)niinx 四、解答题（本大题共 1个小题，5分）。17、解：设 L的寿命为 X，则有 1 2 3 44 41 1(180)(min,1,2,3,4180).(1)(180,180,180,180).(3)(180)1(180).iP X P X iP X X X XP X P X 4.(4)1(1).(5)五、应用题（本大题共 1个小题，5分）。18、解：设商场应购进 k 公斤月饼，由题意所获得利润为,().(2)(),ak k X nQ Q XaX b k X m X k 期望利润为 2 21()()1 1()1().(4)2 2nmk nm kE Q X Q x dxn max b k x dx akdxn m n ma b a bk bm an k mn m 故购进an bmka b公斤月饼时，期望利润最大.(5)2011 2012学年 第 1学期 概率论与数理统计A卷评分标准 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分）.1（D）2（C）3（A）4（C）5 B）二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）.6.0.7.7.1.8 17.9（24.2211,26.7789）10 0.1056 三、计算题（本大题共 6小题，每小题 10分，共 60分）.11解：（1）设 B:取到二等品；1A:取到甲厂生产的箱子,2A:取到乙厂生产的箱子，则取到二等品的概率为 1 1 2 2()(|)()(|)().(3)6 20 5 15.(4)80 35 100 359 140.P B P B A P A P B A P A.(5)（2）二等品来自甲厂的概率为 1 1 11()(|)()(|).(8)()()6 2080 352 3.(10)9 140P A B P B A P AP A BP B P B 12解：（1）由密度函数的性质 101 201()1.(3)1 8(1 2)bbf x dx ax dxP X ax dx 可得 3,2.(5)a b（2）由题意 2 23ln,18().(10)0,Yy y ey f y 其它 13.解：（1）由题意 2212 20 0(,):140()(,)4.(3)4 4 5.(4)xx y y xP Y X f x y dxdy x dx dyx dx（2）由边缘密度函数的定义 2 304,0 1 4,0 1().(7)0,0,xXx dy x x xf x 其它其它（3）由条件概率的定义 1 8|1 8 1 80(1 8|1 4)(|14).(9)(14,)4 12.(10)(14)Y XXP Y X f y dyf ydy dyf 14.解：（1）由题意 1 2(0,0)(1,2)1 3 P X X P Y Y；1 2(0,1)(1,2)0 P X X P Y Y；1 2(1,0)(1,2)1 3 P X X P Y Y；1 2(1,1)(1,2)1 3 P X X P Y Y.故1 2(,)X X 的联合分布律为 .(5)（2）由（1）可得 1 1 2 2 1 22 3,2 9;1 3,2 9;()13.(8)EX DX EX DX E X X 故 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2(,)()1 2.(10)X XCov X X E X X EX EXDX DX DX DX 15.解：（1）由题意|62|2(|62|2).(2)5 3 5 32(1.2)1.(5)XP X P（2）由题意 1 991911(70,70).(7)1(70).(8)62 70 621()1(1.6)5 5P X XP XXP 9.(10)16 解：（1）11().(2)ixniL e 似然函数为 11ln()ln.(3)niiL n x 对数似然函数 211ln()10 0.(4).(5)niiniid L nxdXn 令的最大似然估计量（2）由题意,1,.(7)iEX i n 而 2X 1X 0 1 0 1/3 0 1 1/3 1/3 1.(9)niiEXEn.(10)故 是 的无偏估计量 四、解答题（本大题共 1个小题，5分）.17解：X 的概率密度函数为 1,().(1)20,xf x 其它 故:|1:|110min(|,1)min(|,1)().(3)|()().(4)1 122 2x x x xE X x f x dxx f x dx f x dxx dx 1111 1 2.(5)2dx dx 五、应用题（本大题共 1个小题，5分）.18.解：假设 X 表示一周内发生故障的天数.则(5,0.2).(1)X b 因此(0)0.328 P X；(1)0.410 P X；(2)0.205 P X；(3)1 0.328 0.410 0.205 0.057.(3)P X 又设 Y 为该企业在一周内的利润，则 Y 的分布律为 Y 10 5 0 2 P 0.328 0.410 0.205 0.057.(4)因此 10 0.328+5 0.410+0 0.205+(-2)0.057=5.22().(5)EY 万元