2017届高三数学（理）一轮总复习（江苏专用）课时跟踪检测：第九章 平面解析几何.pdf

第九章平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 7 0双 热 宿 爵PKEQI AN S HU AN GJI LU OS H：强蟒金熊。惧。馔0会面图岸盘画)X必 过 教 材 关1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与*轴相交的直线，把 X 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的量小正兔称为这条直线的倾斜角.当直线/与 X轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线/倾斜角的取值范围是0 Wa180.2.斜率公式(1)直线/的倾斜角为aW90,则斜率=tan a.(2)PGi，)，尸 2(X2,%)在直线/上，且 x1W x2,贝卜的斜率A=号三鸟X2X23.直线方程的五种形式 小题体验1.若直线/的倾斜角为60,则 该 直 线 的 斜 率 为.名称方程适用范围点斜式y一出=(x一项)不含直线X=Xo斜截式尸 Ax+b不含垂直于X轴的直线两点式yf _ x r iyi-y x2 xx不含直线X=X1(X 1 WX2)和直线 y=yi(yizy2)截距式-+=1a b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式4r+5y+C=0,平面内所有直线都适用详细分析：因为tan 60=木,所以该直线的斜率为由.答案：小2.过点(0,1),且倾斜角为4 5 的 直 线 方 程 是.详细分析：因为直线的斜率A =tan 45=1,所以由已知及直线的点斜式方程，得 y-1=x-0,即 y=x+l.答案：j=x+l3.已知直线/：依+)2a=0 在 x 轴和y 轴上的截距相等，则实数“=.详细分析：令 x=0,则/在 j 轴的截距为2+a；令 y=0,得直线/在x 轴上的截距为2 21+依题意2+=1+-,解得q=或-2.答案：1 或一 24.已知。#0,直线ox+U-5 雁=0 过点(一2,1),则 此 直 线 的 斜 率 为.详细分析：因为直线ax +m y -5n i=0 过点(-2,1),所以-2。+胆-5股=0,得。=-2m,所以直线方程为-2/勿*+/-5 i=0.又所以 1#0，所 以 直 线 方 程-+叼-=0 可化为-2 x +y-5 =0,即y=2 x+5,故此直线的斜率为2.答案：2必 过 易 错 关1.利用两点式计算斜率时易忽视Xi=X2时斜率k不存在的情况.2.用直线的点斜式求方程时，在斜率A不明确的情况下，注意分A存在与不存在讨论,否则会造成失误.3.直线的截距式中易忽视截距均不为0 这一条件，当截距为0 时可用点斜式.4.由一般式Nx+3j，+C=0 确定斜率A时易忽视判断8 是否为0,当 5=0 时，*不存A在；当 5W 0时，k=一五 小题纠偏1.下列有关直线/：龙+，”y1=0 的说法：直线/的斜率为一直线/的斜率为一5；直线/过定点(0,1);直线/过定点(1,0).其 中 正 确 的 说 法 是(填 序 号).详细分析：直线/:x+1=0 可变为my=-(x-1).当/勿#0 时，直线/的方程又可变为y=-A(x-1)，其 斜 率 为 过 定 点(1，)；当，”=0 时，直线/的方程又可变为x=1,其斜率不存在，过点(1,0).所以不正确，正确.又将点(0,1)代入直线方程得，”-1 =0,故只有当,”=1 时直线才会过点(0,1),即不正确.答案：2.过点M(3,-4),且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 的 方 程 为.详细分析：若直线过原点，则 =-；,4所以y=铲，即 4x+3伊=0.若直线不过原点.殳 +1，即 K+p=.则 =3+(-4)=-1,所 以 直 线 的 方 程 为 1=0.答案：4x+3y=0 或 x+y+l=0菖 昌 席 奥 礁T KETANG O D叱TUP。国含国0 一源G纱同年。鱼幽命咽感考点一直线的倾斜角与斜率（基础送分型考点自主练透）题组练透1.直线x=W的 倾 斜 角 等 于.详细分析：直线X建，知倾斜角为宗答案：f2.（2016南通调研）关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法:两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；平行于x 轴的直线的倾斜角为0 或 180；若直线过点Pi（x”外）与 22住2,心），则该直线的斜率为铝工为一X 2其 中 正 确 说 法 的 个 数 为.详细分析：若两直线的倾斜角均为90,则它们的斜率都不存在，所以不正确.直线倾斜角a 的取值范围为0 180,所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0,不可能是 180,所以不正确.当方=也时，过点P i g,八）与 P2（X2,/）的直线的斜率不存在；当 为#*2时，过点P G i，Ji）与尸2（x 2,8）的直线的斜率才为吟，所以不正确.X X2答案：03.已知线段P Q两端点的坐标分别为P（1,1）和。（2,2）,若直线/：x+my+m=0与线段P Q有交点，则实数m的 取 值 范 围 是.详细分析：如图所示，直 线/:x+9+=0 过定点4（0,1），3当“iWO 时，kQA=k pA=-2,k尸 一 5*-工 0,0)过点(1,1),贝 Ia+b的最小值等于详细分析：将(1,1)代入直线+方=1得：+：=1,0,加 0,故 +b =(a +Z )U=2+1+，2 2 +2=4,等号当且仅当a =时取到，故“+Z(的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2.(2016苏州模拟)设P 为曲线C：y=f+2 x+3 上的点，且曲线C 在点尸处的切线倾斜角的取值范围为 o,T，则 点 尸 横 坐 标 的 取 值 范 围 为.详细分析：由题意知，=2x+2,设 P(*o，0),则 k =2xQ+2.因为曲线C 在点尸处的切线倾斜角的取值范围为 o,则 0 W A W 1,即 OW2xo +2Wl,故-1 W x o W -2-答案：-1，角度三：与圆相结合求直线方程问题3.在平面直角坐标系x的 中，设 N是半圆。：*2+=2 口20)上一点，直 线 的 倾斜角为45。，过点工作 x 轴的垂线，垂足为，过“作 0 4 的平行线交半圆于点8,则直线 A B 的方程是.详细分析：直线0 Z 的方程为7=%,代入半圆方程得4(1,1),直 线 的 方 程 为 j =x-L所以直线N 5 的方程为代入半圆方程得2-1+S 1+小2 T即+,_ 3 _ =0.答案：yix+yy31=0 方法归纳处理直线方程综合应用的2 大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够 看 出“动中有定”.(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.热硼筋0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.直线x+3+1=0 的倾斜角是.详细分析：由直线的方程得直线的斜率为4=-坐，设倾斜角为a,则 tana=-坐，所以a=警.O答案Y2.直线/：xsin 30+jcos 150+1=0 的斜率是.详细分析：设直线/的斜率为A,则 A=-碧熊=坐.答 案:平3.倾 斜 角 为 135,在 y 轴上的截距为一1 的 直 线 方 程 是.详细分析：直线的斜率为k=tan 135=-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0.答案：x+y+l=04.若 直 线/的 斜 率 为 k,倾斜角为a,而 aG 招，时序 J，则 k 的取值范围是详细分析：F=tana,a 去 U 竽，T T)-小Wk0 或 坐 WY1.答案：I一小，0)u 坐，15.如果4 C 0,且 C 0,那么直线4 r+与，+C=0 不经过第 象限.A Q详细分析：由题意知NBCWO,直线方程变形为y-v-g.-.4 C0,B CQ,，其斜率A =-最=-0.，直线过第一、二、四象限，不经过第三象限.答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1.(2016常州一中月号)已知直线/的斜率为A,倾斜角为，若 30 兴90,则实数k 的 取 值 范 围 是.详细分析：因为30“0,且斜率A 随 着。的增大而增大，所以答案：停+42.(2016南京学情调研)直线x+(/+l)y+l=0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是.详细分析：依题意，直线的斜率k=I-1,0)，因此其倾斜角的取值范围是一 3兀 AH nr答案：圉 兀)3.若 A G R,直线收一7一2A1=0 恒过一个定点，则 这 个 定 点 的 坐 标 为.详细分析：y+1=A(x-2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为Q,-1).答案：(2,-1)4.已知直线/过点(1,0),且倾斜角为直线6%2)2=0 的倾斜角的2 倍，则直线/的方程为.详细分析：由题意可设直线/。，/的倾斜角分别为a,2a,因为直线/o：x-2 y-2 =0 的斜率为:，则 tana=；,所以直线/的斜率A=tan2a=若翳=所以由点斜式可得直线/的方程为j-O =：(x-1),即 4x-3y-4=0.答案：4 x-3 y-4=05.直线/|：(2/H25/n+2)x(m24)j+5=0 的斜率与直线k xj+l=O 的斜率相同，则m等于,详细分析：由题意知 iW 2,直 线/,的斜率为直线h的斜率为1,则2 q+，-2 ；=1,即/-5 2 +6=0,解得胆=2 或 3(利=2 不合题意，舍去)，故 机=3.答案：36.直线/：(a2)x+(“+l)y+6=0,则 直 线/恒 过 定 点.详细分析：直线/的方程变形为。(*+刃-改+7+6=0,x+v=O,由 解得x=2,j=-2,t-2 x +j +6=0,所以直线/恒过定点(2,-2).答案：(2,-2)7.一条直线经过点4Q,一5)，并 且 它 的 倾 斜 角 等 于 直 线 的 倾 斜 角 的 2 倍，则 这 条 直 线 的 一 般 式 方 程 是.详细分析：直线y=旨 的 倾 斜 角 为 30,所以所求直线的倾斜角为60,即斜率A =tan 600=小.又该直线过点力(2,一 木),故所求直线为y-(小)=y 3(x-2),即由x-y -3小=0.答案：y/3x y 3y/3=08.(2016盐城调研)若直线/：+%=1(心0,力 0)经过点(1,2),则直线/在x 轴和J，轴上的截距之和的最小值是.详细分析：由直线/:b0)可知直线在X轴上的截距为，直线在J，轴上的截距为.求直线在x 轴和j 轴上的截距之和的最小值，即求 +的最小值.由直线经过点(1,2局+介1.于 是 a+3 X(%|)=3+%因 为 子 2 2 f=2a(当且仅当,=卷时取等号)，所以a+623+2啦.答案：3+2巾9.已知4(1,-2),3(5,6),直线/经过4 B 的中点M,且在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程.解：法一：设直线/在x 轴，y 轴上的截距均为a.由题意得M(3,2).若 a=0,即/过点(0,0)和(3,2),2直线/的方程为y=/，即 2x-3j=0.若#0,设直线/的方程为 +)=1,.直线/过点(3,2),3 21,解得 a=5,此时直线/的方程为方+1=1,即 x+y-5=0.综上所述，直线/的方程为2x-3y=0 或 x+y-5=0.法二：由题意知M(3,2),所 求 直 线/的 斜 率 存 在 且 则 直 线/的 方 程 为 y-2=A(x-3),2令 y=0,得 x=3-7;令 x=0,得 y=2-3A.K2 2.3-vK=2-3 A,解得 k =-I 或j、=可，,直线/的方程为y-2=-(x-3)或 厂 2=；(x-3),即 x+p-5=0 或 2x-3y=0.1 0.过点/(1,4)引一条直线/,它与x 轴，j 轴的正半轴的交点分别为(%0)和(0,)，当。+最小时，求直线/的方程.解：法一：由题意，设直线/:y-4=k(x -1),由于A 0,4如 J a=1 7,b =4-k.a+”5+(_/_ A)5+4=9.当且仅当A=-2 时，取“=”.故得/的方程为丁=-2x+6.法二：设/:+1(0,*0),1 4由于/经过点 Z(l,4),.,+T=1,4一比+C妙+9N一4+5+当 且 仅 当 户/即 =2时，取“=，即”=3,b=6.，所求直线/的方程为曰+5=1,即=-2x+6.J o三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.已 知 曲 线 =露，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.详细分析：，=(7M7=V 因为e*所 以e*+/，2 yp =2当且仅当e +/+211-1 1*=不，即 x=0 时取等号，所 以 e +出+2 2 4,故，=-j 2-不(当且仅当x=0 时 e、+/+2取等号).所以当x=0 时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0,切线的方程为-；(x-0),即x+4 y-2=0.该切线在x 轴上的截距为2,在 y 轴上的截距为;,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=2X 2答案：2.已知直线/：A x-y+l+2A=0(ae R).(1)证明：直线/过定点；(2)若直线/不经过第四象限，求力的取值范围；(3)若直线/交x 轴负半轴于点4 交 y 轴正半轴于点5,O 为坐标原点，设XOB的面积为S,求 S 的最小值及此时直线/的方程.解：(1加 明：直线/的方程可化为y=A(x+2)+l,故无论4 取何值，直线/总过定点(一2,1).(2)直线/的方程为y=A x+2 A+l,则直线/在j，轴上的截距为2*+1,要使直线/不经过第四象限，则 解 得 的 取 值 范 围 是 O+8).J+2 A 0,14-2*(3)依题意，直线/在x 轴上的截距为一一广，在 J，轴上的截距为1+2A,(1+2A、,./1I j,01,5(0,1+2*).r 1+2A.又Ki 0.故 5=3 0同。5|1 1+2A=5 X y-X(l+2A)=K4*+/+j+*=4，当且仅当4A=),即 A=；时，取 等 号.故 S的最小值为4,此时直线/的方程为x2yK X+4=0.第二节两直线的位置关系KEQ1AN SHUANGJ1LU0SHI 解一脱0惯=惯0会同窗穿 3囤必 过 教 材 关1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 若其斜率分别为由，k2,则有，泌=纭当直线/“，2不重合且斜率都不存在时，I t/1 2.(2)两条直线垂直：如果两条直线/”，2的斜率存在，设为舟，的，则有/,0 收 伍=一 1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时，/1/2.2.两条直线的交点的求法直线/|：4 x+5 y+G=0,/2：少+C 2=0,贝(J 与12的交点坐标就是方程组力 ix+u+G=O,力2、+8少+。2=0的解.3.距离Pl(X|，以)，修(巧，J2)两点之间的距离|尸1尸21=A/(-V2-Xi)2+(y2J,)2 小题体验点 Po（xo，jo）到直线/:Ax By C 0 的距离d Ax西n-+-B公y0+C平行线4 r+与+G=0 与 4 r+5 j，+G=0 间距离_,=.一。2|5+/1.已知过点4 一2,，）和 5（的4）的直线与斜率为一2 的直线平行，则 实 数m的值是4 m详细分析：由题意可知心8 工-2,所 以 旭=-8./十L答案：一82.已 知 直 线/：y=3 x+3,那 么 直 线x-y-2 =0关于直线/对称的直线方程为详细分析：由x，-y-2，=09（5 9、A得 交 点 坐 标 奈）.又 直 线 x-2=0 上的点 3x-y +3=0,v 2 27 9 5/17 9A+2 x+2。（2,0）关于直线/的对称点为0 （一三，三，故所求直线（即 P。）的方程为飞=行不,+5 2 5 2即 7x+j +22=0.答案：7x+y+22=03.与直线y=-3 x+l 平行，且在x 轴上的截距为一3 的 直 线/的 方 程 为.详细分析：由题意，知直线/的斜率为-3,且在*轴上的截距为-3,所以直线/的方程 为 厂 0=_ 3 _（_3）,即 3x+y+9=0.答案：3x+y+9=0 必 过 易 错 关1.在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑.2.运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的X,j的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错.小题纠偏1.已知p：直 线 A xy1=0 与直线心：x+ay2=0 平行，q：a=,贝!J p 是 4的 条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）.详细分析：由于直线/匚x-y-l =0 与直线心：*+a y-2=0 平行的充要条件是IX。-（-1）X1=0,即 4=-1.答案：充要2.已知直线，i：Q+2）x+（l-/）y=l 与，2：（，一1口+（2/+3 +2=0 互相垂直，则，的值为.详细分析：若 的 斜 率 不 存 在，此 时/=1,/1的方程为X=；,，2的 方 程 为 =-/，显 然 符 合 条 件；若，2的斜率不存在，此时/=-,易知/|与，2不垂直./+2/1当。，2的斜率都存在时，直线/1的斜率4|=一 1，直线，2的 斜 率 七=-3，V-.AI-A2=-1,即（-署）（一 景 9=-1，所以 f=T.综上可知t=-1 或 F =1.答案：一1 或 1=0 菖身 点 奥 碑 KET AN G KAWAN T U P。圉噩砒、盒僚倒0修面朝。含 御 命 强 血考点一两条直线的位置关系（基础送分型考点自主练透）题组练透1.（2016金陵中学模板）若直线 x+2 y+1=0 与直线x+y 2=0 互相垂直，那么”的值等于.详细分析：由仅1 +2T =0 得 a =-2.答案：一22.（2016金华十枚模拟）“直 线 a x-y=0 与 直 线x-a y=平 行 是 。=1”成立的条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）.详细分析：由直线a r-y=0 与 x-a y=1 平行得/=1,即 a =1,所 以 直 线 a r-y=0 与*-即=1 平行”是“a=l”的必要不充分条件.答案：必要不充分3.（2016启 东 研）已知直线A：（a l）x+y+6=0,/?：x+6y4=0,求满足下列条件的“，6 的值.（l）Z i /2,且-过点（1,1）;（2 M/2,且 4 在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解：./山 2，1）+=0.又 A 过点（1,1）,-a +b=0.a =0由，解得 b=0当a =0,力=0 时不合题意，舍去.,./=2,A =-2.（2）F/-b（T）=O,由题意，知 a0,6 0,直线&与 两 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 分 别 为 0），（0,）.1 4 4则1乂,义=2,得a b=4,由，得 a=2,b=2 谨记通法由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程/：4 x+5 u+G=0（另+厌W0）/2：/IK+3U，+G=0（H+鹿wo）1与，2垂直的充要条件4 4+5 1 5 2=06 与 平 行的充分条件今=如加252c2W0）。与，2相交的充分条件如凯2为r0)1与11重合的充分条件受=此。2片0)在判断两直线位置关系时，比例式S 与空，3 的关系容易记住，在解答填空题时，建多2 4,故直线上不存在点尸到点M 的距离等于4,不 是“切割型直线”；=2 4,故直线上不存在点P,使之到点M 的距离等于4,不 是“切割型直线”.故填.答案：3.已知直线/i：x+a 9+l=0 和直线力：(a2+l)x ftv+3=0(,bR).若 求 的 取 值 范 围；(2)若 求 阿 的 最 小 值.解：因为 所以-(/+1)2=0,即/=_ a2(a2+1)=-a-a=-卜 +9+:,因为所以6W0.又因为J+1 W 3,所以力W-6.故 的 取 值 范 围 是(-8,-6)U(-6,0.(2)因为/i /2,所以(J +1)-4%=0,显然 aW O,所以 ah=a+,ab ,+2 2,当且仅当 =1时等号成立，因此|臼的最小值为2.第三节圆的方程0用 易 宿 现 弓KEQIANSHUANGJILUOSm 蟒O 锡0 超。超。鱼画图尊晶园必 过 教 材 关1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2+(p/)2=r2(r0)圆心：(，b),半径：r一般方程f+y 2+0 x+E y+尸=0,(。2+笈 一4尸 0)圆 心:(二 缸 z f)半径：T/P2+2-472.点与圆的位置关系点M(x0,yo)与圆(X“尸+(J6)2=/的位置关系：若 M(xo，jb)在圆外，则(项一“卜+的TO?/.(2)若 M(xo，加)在圆上，则(M“)2+(1 乜 6)2=/.(3)若 M g,yo)在圆内，则应一七+八为一|小题体验|1.(致材习题改编)圆x2+/4v+6=0的 圆 心 坐 标 是.详细分析：由(x-2)2+什+3尸=1 3,知圆心坐标为(2,-3).答案：(2,-3)2.圆心在j 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则 该 圆 的 方 程 是.详细分析：设圆心为(0,b),半径为r,则 r=|b|,圆的方程为 x2+(y-h)2=b2.点(3,1)在圆上，.,.9+(1-/)2=62,解得=5.圆的方程为x2+y2-10y=0.答案：x2+j210j=03.(数材习题改编)已知圆心为C 的圆过点4(1,1),6(2,2)且圆心C 在直线/：x-y+1=0,则圆的标准方程为.答案：(x+3)2+(y+2)2=254.若点(1,1)在圆(x-a)2+e+“)2=4的内部，则实数。的 取 值 范 围 是.详细分析：因为点(1,1)在圆(X-a/+8+a)2=4 的内部，所以(1-4 +(1+)2 4.即/+尸=0 表示圆时易忽视D2+E2-4 F 0 这一成立条件.小题纠偏1.方程*2+4,”*2y+5,=0表 示 圆 的 充 要 条 件 是.详细分析：由(4?)2+4-4X 5,”0,得或,1.答案：，G(-8,U(l,+8)2.方程f+J+a x 2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r0)的圆，则该圆圆心位于第 象限.详细分析：因为方程/+丁+d-2ay+2a2+3a=0 表示的图形是半径为r 的圆，所以a2+(-2a)2-4(2a2+3a)=-3a2-12a 0,即(a+4)v 0,所 以-4v D I AN T l：M 国之梯0人 停 面 同 圾0:值I俞园相，考点一圆的方程(基础送分型考点自主练透)题组练透1.(易错题)(2015镇江调研)若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则 圆 C 的方程为.详细分析：由题意知圆C 的半径为2,且圆心坐标可设为(2,)，因此有#(2-1)2+(-0)2=2,解得=i/5,从而圆 C 的方程为(*-2)2+(pt/5)2=4.答案：(x-2)2+(yiV)2=42.(2016徐州模拟)若圆C 的半径为1,点 C 与点Q,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为.详细分析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+j2=1.答案：*2+/=13.(2015全国卷n改编)已知三点41,0),5(0,b)，C(2,小)，则4B C外接圆的圆心 到 原 点 的 距 离 为.1+。+?=0,详细分析：设圆的一般方程为f+x+班+尸=0,则1 3+V5E+尸=0,解、7+2。+小E+尸=0,rD=-2,帝E华，0).若圆 C 上存在点 P,使得/N P 5=90,则，的最大值为.,.xo=3+cos 0,详细分析：由(x-3)2+Q-4)2=l知圆上点P g,w)可化为，,jo=4+sm 0.N4P5=90,即 方 丽=0,(x0+m)(x0-ni)+jo=0,m2=/+晶=26+6cos 0+8sin 0=26+105皿(+9)36(其中1211夕=3，J.0,W 6,即，的最大值为6.答 案:6 方法归纳求解与圆有关的最值问题的2 大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.考点三与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点师生共研)典例引领在平面直角坐标系北功中，已知圆尸在*轴上截得线段长为2啦，在 p 轴上截得线段长 为 班.(1)求圆心尸的轨迹方程；(2)若 P 点到直线y=x 的距离为半，求圆P 的方程.解：(1)设 P(x,y),圆P 的半径为r,贝 +2=,x2+3=r2.,./+2=X2+3,即.尸点的轨迹方程为-x 2=1.(2)设尸的坐标为(xo,jo)，则爱=乎,即 Wo-，ol=L Jo-刖=1，即 Vo=x0l.当g=xo+1 时，由向-x：=1得(*()+1)2-*1,%0=0,ln=i，,-r2=3,/.圆P的方程为X?+-I)?=3；当 为=*o-1 时，由显-X：=1 得(Xo-1)2-X：=1,Xo=O，,A .I,LPO=T，.圆P 的方程为X2 +1)2=3.综上所述，圆P的方程为x2+(yl)2=3.由题悟法与圆有关的轨迹问题的4 种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.即时应用经过点”(4,0)作 圆。：X2+J2=4的割线A B C,求弦8 c 的中点P 的轨迹方程.解：法一：(直接法)设点P 的坐标为(X,y),连 结 OP.当xWO时，OP,N 尸所在直线的斜率均存在，贝 4。=己，k AP=T.O P I B C,：.kOP-kA P=即长=T,化简，得 f+-4 x=0.当x=0 时，点 P 的坐标为(0,0),显然x=0,y=0 是方程的解.弦8 c 的中点尸的轨迹方程为(x-2)2+/=4(0法二：(定义法)取。4 的 中 点 为 则 点 M 的坐标为(2,0),且 PM=；O4=2.由圆的定义，知点P 的轨迹方程是(X-2)2+/=4(0WX 一1=0 对称，则 圆 C2的方程为.详细分析：设 圆 G 的圆心坐标G(-1,1)关于直线x-y T =0 的对称点为(“，b),依题意得(b-r r r T，匠a-一 1 丁A +一 1 1=仇解得a=2,所以圆C2的方程为(x-2)2+3 +2)2=1.b =-2,答案：(*-2)2+0+2)2=15.若圆(乂-3)2+。+5)2=/上有且只有两个点到直线4 x 3 y=2的距离等于1,则半径 r 的 取 值 范 围 是.详细分析：易求圆心(3,-5)到直线4x-3y=2 的距离为5.令r=4,可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令 r=6,可知圆上有三点到已知直线的距离为1,所以半径r 取值范围在(4,6声间符合题意.答案：(4,6)6.在平面直角坐标系X切 中，以点(1,0)为圆心且与直线，xy2,-l=0QGR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.详细分析：因为直线，K-y-2,”T =0 恒过定点Q,T),所以圆心(1,0)到直线/心-j-2AM-1=0 的最大距离为4=1(2-I?+(-1-0)2 =所以半径最大时的半径,-=2,所以半径最大的圆的标准方程为(X-1)2+/=2.答案：(X1)?+/=27.直线x-2 y-2 k=0与 2 x-3 y-A=0 的交点在圆x2+y1=9的外部，则k的取值范围是.x-2A=0,fx=-4A,详细分析：由、，八 得 ，2x _ 3y _ 4=0-3.A(-4)2+(-3A)2 9,即 25A29,解得k ，或k-三.答案：(-O O,-|)U(l+8)8.设尸是圆(X-3)2+S+1)2=4上的动点，。是 直 线 x=-3 上的动点，则|PQ的最小值为详细分析：如图所示，圆心M(3,-1)与定直线x=-3 的最短距离为|MQ=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2 =4.答案：49.已知以点P为 圆 心 的 圆 经 过 点 1,0)和 5(3,4),线 段A B的垂直平分线交圆P于 点 C 和。，且|C|=4师.(1)求直线C D的方程；(2)求圆尸的方程.解：(1)由题意知，直 线 的 斜 率 A=l,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即 x+y-3 =0.(2)设圆心尸(a,b),则由点尸在CC上得a+6-3 =0.又 直径|。|=4亚，.1=2亚，(“+y =40.=-3 =q由解得 或 b =6 b=-2.圆心 P(-3,6)或 P(5,-2).J.圆尸的方程为(x+3)2+8-6)2 =40 或(x-5 y+(y+2)2=40.10.(2016南师附中月考)已知圆心为C 的圆经过点N(l,l)和 5(2,-2),且圆心C 在直线/：x-j+l =0 .(1)求 圆 C 的方程；(2)线段PQ的端点P 的坐标是(5,0),端点。在 圆 C 上运动，求 线 段 的 中 点 M 的轨迹方程.解：(1)设点O 为 线 段 的 中 点，直线，”为 线 段 的 垂 直 平 分 线，则。(|，-).又心6=-3，所 以 心=,所以直线m的方程为x-3j-3=0.x-3 j-3 =0,由 得圆心。(-3,-2),x-y +1=0,则半径 r=C4=N(-3-l)2 +(-2-l)2 =5,所以圆C 的方程为(x+3尸+8 +2)2=25.(2)设点 M(x,y),Q(x0,jo).因为点P 的坐标为(5,0),x所以V、y_ XQ+52No+0=2 喉x0=22x.-5,又点 Q(x0,y)在圆 C：(x+3)2+2)2=25 上运动,所以(*o+3/+5 +2)2=25,即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25,整理得(x-I)2+(y+I)2=y.25即所求线段PQ的中点M 的轨迹方程为(x-l)2+e+1)2=才.三上台阶，自主选做志在冲刺名校x 2 0,1.已 知 平 面 区 域 恰 好 被 面 积 最 小 的 圆 C：(x-a f+S)2=/及其内、x+2y4W0部所覆盖，则圆C 的方程为.详细分析：由题意知，此平面区域表示的是以0(0,0),尸(4,0),2(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.OPQ为直角三角形，圆心为斜边尸。的中点(2,1),半 径(=皇=挹，因此圆C 的方程为(X-2)2+0-1)2 =5.答案：(xZ p+e 1)2=52.(2016南通中学检测)如果圆的方程为/+/+依+2J，+A2=O,那么当圆的面积最大时，圆心坐标为.详细分析：r=pj/r2+4-4k2=)4-3k2,.,.当A=0 时，r 最大，此时圆的面积最大,圆的方程可化为*2+2y=o,即f +e+i)2=,圆心坐标为(0,-1).答案：(0,-1)3.已知点尸(2,2),圆 G*2+艮 _ 町=0,过点尸的动直线/与圆C 交于4 B两点,线段/1B的中点为M,O 为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|。尸|=|。切时，求直线I的方程及POM的面积.解：圆 C 的方程可化为/+&-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设 M(x,j),则 CM=(x,y-4),M P=(2-x92-y),由 题 设 知 丽 府=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)?+(y-3)2=2.由于点尸在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x-1尸+。-3 尸=2.(2)由可知M 的机迹是以点N(l,3)为圆心，啦为半径的圆.由于|OP|=|OM,故 O 在线段P/M的垂直平分线上，又 P 在圆N 上，仄 而ONLPM.因为QV的斜率为3,所以直线/的斜率为1 Q所以直线/的方程为y=3x +y又|OM=OP=2吸，点 O 到/的距离为生 曾，PM=生 展，所以 POM的面积为差.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系前用 层 符 鸥 KEQM SHSNWUOSHI 锡锡。演。演。会画置穿曷必 过 教 材 关1.直线与圆的位置关系(半径r,圆心到直线的距离为m相离相切相交图形量方程观点J 0化几何观点d rd三rdri+，2.一闻 V L1L2/=比一吃|心一耳 小题体验1.(数材习题改编)直线y=o x+l与圆f+J 2x3=0 的 位 置 关 系 是.详细分析：.直线y=ax+1 恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x-+y 2 =4 的内部，故直线与圆相交.答案：相交2.(教材习题改编)已知过点M-3,3)的 直 线/被 圆/+炉+幻 一 2 1=0所截得的弦长为4 4，则 直 线/的 方 程 为.答案：x+2y+9=0 或 2xy+3=03.圆/+/一 心=0 在点尸(1,小)处的切线方程为.详细分析：由题意，知圆心为(2,0),圆心与点尸连线的斜率为一小，所以所求切线的斜率为半，则在点(1,巾)处 的 切 线 方 程 为+2=0.答案：X 3/+2=0必 过 易 错 关1.对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率 不存在的情形.2.两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.小题纠偏1.已知直线/与直线y=x+l垂直，且与圆x 2+=I 相切，切点位于第一象限，则直线/的方程是.详细分析：由题意设直线/的方程为x+y+c=0(c 0).圆心(0,0)到直线x+y+c=0 的距离为3=1,解得c=-啦或啦(舍去)，即直线/的方程为x+y-啦=0.答案：x+y-y2=02.过点(2,3)与圆(xl)2+/=i 相 切 的 直 线 的 方 程 为.详细分析：设圆的切线方程为歹=A(x-2)+3,4由圆心(1,0)到切线的距离为半径1,得 A =1所以切线方程为4x-3j +1 =0,又直线x=2 也是圆的切线，所以直线方程为4x-3y+1=0 或 x=2.答案：x=2 或 4x3伊+1=00居 奥 径 flK ETA q KAODIANTUPO 回管鹏 市停短0修同躯2.闾命图因死考点一 直线与圆的位置关系(基础送分型考点自主练透)题组练透1.(2016湖北七市联考)将直线x+y 1=0 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转1 5 得到直线I,则直线/与圆(x+3尸+=4 的 位 置 关 系 是.详细分析：依题意得，直线/的方程是、=tan 150(x-1)=-雪(x-1),即xI 3-111 =0,圆心(-3,0)到 直 线/的 距 离 J=2,因此该直线与圆相切.V3+1答案：相切2.(易错题)(2016苏北四市调研)直线(a+l)x+(a-l)j+2a=0(aG R)与圆 x2+2-l v+2 y-7=0 的 位 置 关 系 是.详细分析：法一：f+/-2x+2 y-7=0 化为圆的标准方程为(XT)?+(y+I)?=9,故圆心坐标为(1,-1),半 径 r=3,圆心到直线的距离d=I ；J ：+2J=再(a +1)+(-1)yJ2a+2根据尸一=9-m-=-2-,而-4a+7=0 的判别式/=16-196=-1802。+2 a+/，即 心 故直线与圆相交.法 二：由(a+l)x+(a-l)y+2 =0(a R)整理得 x-j +a(x+j +2)=0,则由x-j =0,解得 x=-l,y=-l,即直线(+l)x+(-+2 =0(R)过定点(-1,x+2=0,-1),JL(-l)2+(-l)2-2 X(-1)+2X(-1)-7 =-5 0,则点(-1,-1)在圆 f+/一+2y-7=0 的内部，故直线(a+l)x+(a-l)y+2a=0(a R)与圆 f +-2x+2y-7=0 相交.答案：相交3.圆x2+y2=与直线y=A x+2没 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是.详细分析：法一：将直线方程代入圆方程，得(必+D，+4AX+3=0,直线与圆没有公共点的充要条件是/=1642-12%2+1)1,1,解得 A (-5,答案：k e(