新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 重点难点归纳总结.pdf

第 五 章 三 角 函 数 5.1 任 意 角 和 弧 度 制.25.1.1 任 意 角.25.1.2 弧 度 制.85.2 三 角 函 数 的 概 念.145.2.1 三 角 函 数 的 概 念.145.2.2 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系.215.3 诱 导 公 式.27第 一 课 时 诱 导 公 式 二、三、四.27第 二 课 时 诱 导 公 式 五、六.325.4 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质.365.4.1 正 弦 函 数、余 弦 函 数 的 图 象.365.4.2 正 弦 函 数、余 弦 函 数 的 性 质.41第 一 课 时 正、余 弦 函 数 的 周 期 性 与 奇 偶 性.41第 二 课 时 正、余 弦 函 数 的 单 调 性 与 最 值.485.4.3 正 切 函 数 的 性 质 与 图 象.535.5 三 角 恒 等 变 换.585.5.1 两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦 和 正 切 公 式.58第 一 课 时 两 角 差 的 余 弦 公 式.58第 二 课 时 两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦 公 式.62第 三 课 时 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式.68第 四 课 时 二 倍 角 的 正 弦、余 弦、正 切 公 式.725.5.2 简 单 的 三 角 恒 等 变 换.765.6 函 数 y=Asin（3 x+（p）.815.6.1 匀 速 圆 周 运 动 的 数 学 模 型.815.6.2 函 数 y=Asin（3x+p）的 图 象.81第 一 课 时 函 数 y=Asin（3x+p）的 图 象 及 变 换.81第 二 课 时 函 数 y=Asin（3 x+.）图 象 与 性 质 的 应 用.855.7 三 角 函 数 的 应 用.895.1 任 意 角 和 弧 度 制 5.1.1任 意 角 知 识 点 一 任 意 角 的 概 念 1.角 的 概 念 角 可 以 看 成 平 面 内 一 条 射 线 绕 着 它 的 端 点 旋 转 所 成 的 图 形.2.角 的 表 示 如 图，始 边：射 线 的 起 始 位 置。4;终 边：射 线 的 终 止 位 置 0&V L _O A 顶 点：射 线 的 端 点。；记 法：图 中 的 角 a 可 记 为“角 a”或“N。”或“N A O B”.3.角 的 分 类 名 称 定 义 图 形 正 角 一 条 射 线 绕 其 端 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 负 角 一 条 射 线 绕 其 端 点 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 零 角 一 条 射 线 没 有 做 任 何 旋 转 形 成 的 角 A 1.当 角 的 始 边 和 终 边 确 定 后，这 个 角 就 被 确 定 了 吗？提 示：不 是 的.虽 然 始、终 边 确 定 了，但 旋 转 的 方 向 和 旋 转 量 的 大 小（旋 转 圈 数）并 没 有 确 定，所 以 角 也 就 不 能 确 定.2.正 角、负 角、零 角 是 根 据 什 么 区 分 的？提 示：根 据 组 成 角 的 射 线 的 旋 转 方 向.1.判 断 正 误.（正 确 的 画“，错 误 的 画“义”）小 于 90的 角 都 是 锐 角.（）（2）终 边 与 始 边 重 合 的 角 为 零 角.（）（3）大 于 90的 角 都 是 钝 角.（）(4)将 时 钟 拨 快 20分 钟，则 分 针 转 过 的 度 数 是 120.()答 案：(1)X(2)X(3)X(4)X2.下 列 说 法 正 确 的 是()A.最 大 的 角 是 180 B.最 大 的 角 是 360。C.角 不 可 以 是 负 的 D.角 可 以 是 任 意 大 小 答 案：D3.下 图 中 从 O A 旋 转 到 OB,OB,O&时 所 成 的 角 度 分 别 是 知 识 点 二 角 的 加 法 1.若 两 角 的 旋 转 方 向 相 同 且 旋 转 量 相 等，那 么 就 称。=6.2.设 a,尸 是 任 意 两 个 角，把 角 a 的 终 边 旋 转 角 尸，这 时 终 边 所 对 应 的 角 是 a+B.3.相 反 角：把 射 线 O A 绕 端 点 O 按 不 同 方 向 旋 转 相 同 的 量 所 成 的 两 个 角 叫 做 互 为 相 反 角,角 a 的 相 反 角 记 为 n，a B=a+(B).下 列 所 示 图 形 中，/=a+的 是；y=a一 尸 的 是 解 析：在 中，a 与 7的 始 边 相 同，a 的 终 边 为 用 的 始 边，与 y 的 终 边 相 同，所 以 y=a+.在 中，a 与 7 的 始 边 相 同，a 的 终 边 为 一 夕 的 始 边，一 夕 与 的 终 边 相 同，所 以 y=ot+(/?)=/.同 理 可 知，中 y=ai,中 y=a+K答 案：知 识 点 三 象 限 角 与 终 边 相 同 的 角1.象 限 角 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，若 角 的 顶 点 与 原 点 重 合,角 的 始 边 与 左 轴 的 非 负 半 轴 重 合，那 么，角 的 终 边 在 第 几 象 限,就 说 这 个 角 是 第 几 象 限 角;如 果 角 的 终 边 在 坐 标 轴 上,就 认 为 这 个 角 不 属 于 任 何 一 个 象 限.2.各 象 限 角 的 集 合 象 限 角 象 限 角 a 的 集 合 表 示 第 一 象 限 角 a|360 a%360+90,k Z 第 二 象 限 角 ak-360+90 a k-360+180,k Z 第 三 象 限 角 a|360+180 a k-360+270,k Z 第 四 象 限 角 ak-360+270 a 4 360+360,k&Z3.终 边 相 同 的 角 所 有 与 角 a 终 边 相 同 的 角，连 同 角 a 在 内，可 构 成 一 个 集 合 S=/30=a+A360,ZGZ,即 任 一 与 角 a 终 边 相 同 的 角，都 可 以 表 示 成 角 a 与 整 数 个 周 角 的 和.对 集 合 S=SW=a+%-360,kZ 的 理 解(1)角 a 为 任 意 角，“e Z”不 能 省 略；(2)360与 a 中 间 要 用+”连 接，、360-a 可 理 解 成 k360+(-a)；(3)相 等 的 角 的 终 边 一 定 相 同，而 终 边 相 同 的 角 不 一 定 相 等；终 边 相 同 的 角 有 无 数 个，它 们 相 差 3 6 0 的 整 数 倍.1.判 断 正 误.(正 确 的 画“，错 误 的 画“义”)(1)终 边 相 同 的 角 一 定 相 等.()(2)-3 0 是 第 四 象 限 角.()(3)第 二 象 限 角 是 钝 角.()(4)225是 第 三 象 限 角.()答 案：义(2)V(3)X(4)V2.与 6 1 0 角 终 边 相 同 的 角 表 示 为(其 中 A d Z)()A.k 360+230 B.k 360+250C.k-360+70答 案：B3.-179 角 是（）D.k-180+270A.第 一 象 限 角 B.第 二 象 限 角 C.第 三 象 限 角 答 案：cD.第 四 象 限 角 例 1(多 选)下 列 说 法 正 确 的 是()A.锐 角 都 是 第 一 象 限 角 题 型 一 任 意 角 的 概 念 B.第 一 象 限 角 一 定 不 是 负 角 C.小 于 1 8 0 的 角 是 钝 角、直 角 或 锐 角 D.在 90 W f 1 8 0 范 围 内 的 角 夕 不 一 定 是 钝 角 解 析 锐 角 是 大 于 0 且 小 于 9 0 的 角，终 边 落 在 第 一 象 限，是 第 一 象 限 角，所 以 A 正 确；-3 5 0 角 是 第 一 象 限 角，但 它 是 负 角，所 以 B 错 误；0 角 是 小 于 1 8 0 的 角，但 它 既 不 是 钝 角，也 不 是 直 角 或 锐 角，所 以 C 错、口 沃：由 于 在 90。或 1 8 0 范 围 内 的 角 包 含 9 0 角，所 以 不 一 定 是 钝 角，所 以 D 正 确.答 案 AD理 解 与 角 的 概 念 有 关 问 题 的 关 键 关 键 在 于 正 确 理 解 象 限 角 与 锐 角、直 角、钝 角、平 角、周 角 等 概 念，弄 清 角 的 始 边 与 终 边 及 旋 转 方 向 与 大 小.另 外 需 要 掌 握 判 断 结 论 正 确 与 否 的 技 巧，判 断 结 论 正 确 需 要 证 明，而 判 断 结 论 不 正 确 只 需 要 举 一 个 反 例 即 可.例 2(链 接 教 科 书 第 170页 例 2)已 知 角 a=2 021.题 型 二 终 边 相 同 的 角 的 表 示(1)把 a 改 写 成 k360+(ZdZ,0 WV360)的 形 式，并 指 出 它 是 第 几 象 限 角；(2)求 仇 使。与 a 终 边 相 同，且 一 360 W，360；(3)求 与 a 终 边 相 同 的 最 大 负 角 与 最 小 正 角.解 由 2 021除 以 360,得 商 为 5,余 数 为 221,二 取 左=5,=221,则 a=5X360+221.又 4=221是 第 三 象 限 角，a 为 第 三 象 限 角.(2)与 2 021角 终 边 相 同 的 角 为/360+2 021,GZ.令 一 360 Wk 3600+2 021 360,kGZ,.左 可 取 一 6,-5,将 女 的 值 代 入 上 3600+2 021 中，得 角。为 一 139,221.(3)由(2)知，与 a 终 边 相 同 的 最 大 负 角 是 一 139,最 小 正 角 是 221.终 边 相 同 角 常 用 的 三 个 结 论(1)终 边 相 同 的 角 之 间 相 差 360的 整 数 倍；(2)终 边 在 同 一 直 线 上 的 角 之 间 相 差 180的 整 数 倍；(3)终 边 在 相 互 垂 直 的 两 直 线 上 的 角 之 间 相 差 90的 整 数 倍.题 型 三 象 限 角 的 判 定 例 3(链 接 教 科 书 第 170页 例 1)(1)(多 选)在 160；480；一 960；1 5300这 四 个 角 中，是 第 二 象 限 角 的 是()A.B.C.D.解 析 第 二 象 限 角 a 需 满 足 k360+90 ak-360+180,kGZ,分 析 可 知：是 第 二 象 限 角；是 第 二 象 限 角；是 第 二 象 限 角：不 是 第 二 象 限 角.故 选 A、B、C.答 案 ABCa(2)已 知 a 是 第 二 象 限 角，求 角 下 所 在 的 象 限.解.%是 第 二 象 限 角，：.k-360 4-90 a k-360+180/e Z)./.1 360+45 y 1 360+90(M Z).当 女 为 偶 数 时，令&=2(e Z),得 n-360+45 y n 360+90,这 表 明 方 是 第 一 象 限 角；当 女 为 奇 数 时，令=2+l(e Z),得 n-360+225 y-360+270,这 表 明 日 是 第 三 象 限 角.为 第 一 或 第 三 象 限 角.母 题 探 究 1.(变 设 问)在 本 例(2)的 条 件 下，求 角 2 a的 终 边 的 位 置.解：.七 是 第 二 象 限 角，.攵 360+90 a 攵 360+180(ZCZ).,.k*720+180 2ak*720+360(M Z).角 2 a的 终 边 在 第 三 或 第 四 象 限 或 在 y 轴 的 非 正 半 轴 上.2.(变 条 件)若 将 本 例(2)中 的“第 二 象 限”改 为“第 一 象 限”，如 何 求 解?解:3 6 0 a k-360+90 g Z),：.k-180-k 180+45当=2(“GZ)时，n 360 y 360+45,.y是 第 一 象 限 角.当 女=2+l(”e Z)时，n 360+180 y/?360+225,.是 第 三 象 限 角.是 第 一 或 第 三 象 限 角.1.给 定 一 个 角 判 断 它 是 第 几 象 限 角 的 思 路 判 断 角 a 是 第 几 象 限 角 的 常 用 方 法 为 将 a 写 成 4十%360(其 中 k Z,在 0 3 6 0 范 围 内)的 形 式，观 察 角 夕 的 终 边 所 在 的 象 限 即 可.2.分 角、倍 角 所 在 象 限 的 判 定 思 路(1)求 解 的 思 维 模 式 应 是：由 欲 求 想 需 求，由 已 知 想 可 知，抓 住 内 在 联 系，确 定 解 题 方 略；(2)由 a 的 象 限 确 定 2 a的 象 限 时，应 注 意 2 a可 能 不 再 是 象 限 角，对 此 特 殊 情 况 应 特 别 指 出.如 a=135,而 2 a=2 7 0 就 不 再 是 象 限 角.5.1.2 弧 度 制 知 识 点 一 度 量 角 的 两 种 制 度 角 定 义 用 度 作 为 单 位 来 度 量 角 的 单 位 制 度 1度 1度 的 角 等 于 周 角 的 击，记 作 1制 的 角 弧 定 义 以 弧 度 为 单 位 来 度 量 角 的 单 位 制 度 1弧 度 长 度 等 于 半 径 长 的 圆 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1弧 度 的 制 的 角 角.1弧 度 记 作 1 rad(rad可 省 略 不 写)1.用 瓠 度 为 单 位 表 示 角 的 大 小 时，“瓠 度”或“rad”可 以 略 去 不 写，只 写 这 个 角 对 应 的 弧 度 数 即 可.2.不 管 是 以 弧 度 还 是 以 度 为 单 位 度 量 角 的 大 小，都 是 一 个 与 半 径 大 小 无 关 的 定 值.知 识 点 二 角 度 制 与 弧 度 制 的 换 算 1.弧 度 数 的 计 算 2.弧 度 与 角 度 的 换 算 1.一 个 角 的 度 数 是 否 对 应 一 个 弧 度 数？提 示：是.一 个 给 定 的 角，其 度 数 和 弧 度 数 都 是 唯 一 确 定 的.2.在 大 小 不 同 的 圆 中，长 度 为 1的 弧 所 对 的 圆 心 角 相 等 吗？提 示：不 相 等.这 是 因 为 长 度 为 1的 弧 是 指 弧 的 长 度 为 1,在 大 小 不 同 的 圆 中，由 于 半 径 不 同，所 以 圆 心 角 也 不 同.1.判 断 正 误.(正 确 的 画“，错 误 的 画“义”)(1)“度”与“弧 度”是 度 量 角 的 两 种 不 同 的 度 量 单 位.()(2)用 角 度 制 和 弧 度 制 度 量 角，都 与 圆 的 半 径 有 关.()(3)1的 角 是 周 角 的 击，1 rad的 角 是 周 角 的 会.()(4)1 rad的 角 比 1的 角 要 大.()答 案：(1”(2)X(3)V(4)72.(多 选)下 列 转 化 结 果 正 确 的 是()A.60化 成 弧 度 是 亍 B.一 九 化 成 度 是 一 6007C.一 150化 成 弧 度 是 一 石 九 D.今 化 成 度 是 15答 案：ABD知 识 点 三 扇 形 的 弧 长 和 面 积 公 式 设 扇 形 的 半 径 为 R，弧 长 为/,a(0a2”)为 其 圆 心 角，则(1)弧 长 公 式：/=盛；(2)扇 形 面 积 公 式：S=glR=g a R?.在 应 用 弧 长 公 式、扇 形 面 积 公 式 时，要 注 意 a 的 单 位 是“弧 度”，而 不 是“度”，若 已 知 角 是 以“度”为 单 位 的，则 应 先 化 成“弧 度”，再 代 入 计 算.1.判 断 正 误.(正 确 的 画“，错 误 的 画“X”)(1)扇 形 的 半 径 为 1 c m,圆 心 角 为 30,则 扇 形 的 弧 长/=r|a 1=1X30=30(cm).()(2)圆 的 半 径 变 为 原 来 的 2 倍，而 弧 长 也 增 加 到 原 来 的 2 倍，弧 长 所 对 的 扇 形 的 面 积 不 变.()答 案：(1)X(2)XJI-2.已 知 扇 形 的 半 径 r=30,圆 心 角 a=不，则 该 扇 形 的 弧 长 等 于,面 积 等 于.答 案：5 n 75 n题 型 一 角 度 与 弧 度 的 换 算 例 1(链 接 教 科 书 第 173页 例 4)将 下 列 角 度 与 弧 度 进 行 互 化:511 7 n(l)-n;一 五;(3)10；(4)-855.解(1)空 n=*180=15 330.7n 7(2)一 1 7=一 正 义 180。=-105.n n 10。=1 0 乂 而=而。n 19 n(4)-855=-8 5 5 X y=-角 度 制 与 弧 度 制 的 互 化 原 则 和 方 法(1)原 则：牢 记 180=n rad,充 分 利 用 1=念 rad和 1 rad=(号 卜 进 1OV V JL/行 换 算；(2)方 法：设 一 个 角 的 弧 度 数 为 a,角 度 数 为。，则。rad=(a)；=.而 JIrad.注 意 用“弧 度”为 单 位 度 量 角 时，常 常 把 弧 度 数 写 成 多 少 TT的 形 式，如 无 特 别 栗 求，不 必 把 n 写 成 小 数.例 2(链 接 教 科 书 第 175页 练 习 3 题)把 下 列 角 化 成 2女 n+a(0 W a 2 n，题 型 二 用 弧 度 制 表 示 角 的 集 合 ZGZ)的 形 式，指 出 它 是 第 几 象 限 角 并 写 出 与 a 终 边 相 同 的 角 的 集 合.46 n(1)-;(2)-1 485.解(1)一 誓=-8 X 2 n+等，它 是 第 二 象 限 角，与 半 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为，a a=2 攵 n+4,左 7 n(2)-1 485=-5X360+315=-1 0 n+,它 是 第 四 象 限 角，与 岑 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为|a a=2攵 口+与 kRZ弧 度 制 下 与 角 a 终 边 相 同 的 角 的 表 示 在 弧 度 制 下，与 角 a 的 终 边 相 同 的 角 可 以 表 示 为 夕 族=2 A n+a,kZ,即 与 角 a 终 边 相 同 的 角 可 以 表 示 成 a 加 上 2 Ji的 整 数 倍.注 意（1）注 意 角 度 与 弧 度 不 能 混 用；（2）各 终 边 相 同 的 角 需 加 2Z”，Z.例 3（链 接 科 书 第 174页 例 6）若 扇 形 的 面 积 是 4 cm2,它 的 周 长 是 10 cm,则 扇 形 圆 心 角（正 角）的 弧 度 数 为（）题 型 三 扇 形 的 弧 长 公 式 及 面 积 公 式 的 应 用 A-24 解 析 由 题 意,设 扇 形 的 半 径 为 r,圆 心 角 为 a（0 V a V 2 n）,l2 r+ra=1 0,由 得，r=o_j_,2十 a把 代 人，得 2a217a+8=0.解 得 a=2或 a=8（舍 去）.故 扇 形 圆 心 角 的 弧 度 数 为:.答 案 A关 于 弧 度 制 下 扇 形 问 题 的 解 决 方 法（1）三 个 公 式：|a|=:,5=尸=3。7，要 恰 当 选 择 公 式，建 立 未 知 量、已 知 量 间 的 关 系，通 过 解 方 程（组）求 值;（2）弧 长、面 积 的 最 值：利 用 圆 心 角 的 弧 度 数、半 径 表 示 出 弧 长（面 积），利 用 函 数 知 识 求 最 值，一 般 利 用 二 次 函 数 的 最 值 求 解.扇 形 的 弧 长 公 式 的 应 用 如 图，点 P,Q 从 点 A（4,0）同 时 出 发，沿 圆 周 运 动，点 PJI JT按 逆 时 针 方 向 每 秒 钟 转 至，点 Q 按 顺 时 针 方 向 每 秒 钟 转 至.问 题 探 究 1.点 P,。第 一 次 相 遇 时 用 了 多 少 秒？提 示：设 点 P,。第 一 次 相 遇 所 用 的 时 间 是 f s,则 力/+/=2 n,解 得 f=4,，第 一 次 相 遇 时 用 了 4 s.2.点 P,Q 第 一 次 相 遇 时 各 自 走 过 的 弧 长 是 多 少？4 n提 示：第 一 次 相 遇 时，点 P 运 动 到 角 飞-的 终 边 与 圆 相 交 的 位 置，点。运 动 到 角 一 早 的 终 边 与 圆 相 交 的 位 置，.点 P 走 过 的 弧 长 为 写 4=-n,点 Q 走 过 的 弧 长 为|一 胃 X4=.3.若 点 Q 也 按 逆 时 针 方 向 转，则 点 P,。第 一 次 相 遇 时 用 了 多 少 秒？提 示：设 点 P,Q 第 一 次 相 遇 的 时 间 为 ts,则 三 一/弓=2 n,解 得 t=12 s.所 以 第 一 次 相 遇 时 用 了 12 s.迁 移 应 用 某 时 针 的 秒 针 端 点 A 到 中 心。的 距 离 为 5 c m,秒 针 均 匀 地 绕 点。旋 转，当 时 间 1=0时，点 A 与 钟 面 上 标 12的 点 B 重 合.设 秒 针 端 点 A 转 过 的 路 程 为 cm,所 形 成 的 扇 形 面 积 为 Sen?,分 别 求 d 与 S 关 于 时 间*s）的 函 数，其 中 度 0,60.解：.秒 针 的 旋 转 方 向 为 顺 时 针，.,s后 秒 针 端 点 A 转 过 的 角 a=-V rad,.秒 针 端 点 A 转 过 的 路 程 为 d=|a|.r=w（cm）,，形 成 的 扇 形 面 积 为 S=|a|r=(c m2),n t 5 n t-g o,60),S=R g O,60).5.2 三 角 函 数 的 概 念 5.2.1 三 角 函 数 的 概 念 知 识 点 一 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 条 件 如 图，设 a 是 一 个 任 意 角，aGR,它 的 终 边 0 P 与 单 位 圆 交 于 点 P(x,y),定 义 正 弦 点 P 的 纵 坐 标 y 叫 做 a 的 正 弦 函 数,记 作 sin%即 y=sin_。余 弦 点 P 的 横 坐 标 x 叫 做 a 的 余 弦 函 数,记 作 cos a,即 X=cos _ a正 切 点 P 的 纵 坐 标 与 横 坐 标 的 比 值;叫 做。的 正 切，记 作 tana,即:=tan_。(冗#0)三 角 函 数 正 弦 函 数 旷=5抽*,X G R；余 弦 函 数=8 5%，x C R；正 切 函 数=1211%，x W g+A”，kGZ三 角 函 数 的 定 义(1)三 角 函 数 是 一 个 函 数，符 合 函 数 的 定 义，是 由 角 的 集 合(弧 度 数)到 一 个 比 值 的 集 合 的 函 数;(2)三 角 函 数 值 实 质 是 一 个 比 值，因 此 分 母 不 能 为 零，所 以 正 切 函 数 的 定 义 域 就 是 使 分 母 不 为 零 的 角 的 集 合.1.判 断 正 误.(正 确 的 打“，错 误 的 打“义”)(l)sin。表 示 sin与 a 的 乘 积.()(2)如 图 所 示，sin a=y.(3)终 边 落 在 y 轴 上 的 角 的 正 切 函 数 值 为 0.()答 案：X(2)X(3)Xa 的 终 边 经 过 点(一 半，一 则 sin a=,cos a=答 案：一 义 知 识 点 二 如 图 所 示：_ 3 吏 一 2 3三 角 函 数 值 的 符 号 余 弦：一 四 象 限 正,二 三 象 限 负;正 切：一 三 象 限 正,二 四 象 限 负.简 记 口 诀：一 全 正、二 正 弦、三 正 切、四 余 弦.1.判 断 正 误.(正 确 的 打“，错 误 的 打“X”)(1)若 a 是 三 角 形 的 内 角，则 必 有 sin a 0.()若 sin。0,则 a 是 第 一 或 第 二 象 限 角.()答 案：(1)J(2)X2.若 sin 0 且 c o s。0,则 角 a 为 第 象 限 角.答 案：三 知 识 点 三 诱 导 公 式 一 终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 的 值 相 签，由 此 得 到 一 组 公 式:sin(a+/?2 n)=sin a,co s(a+/2 n)=cos a,tan(a+Z?2 n)=tan a,其 中 k Z.根 据 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 一，终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 值 有 何 关 系？提 示：终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 值 相 等.诱 导 公 式 一 的 结 构 特 点(1)其 结 构 特 点 是 函 数 名 相 同，左 边 角 为 a+2 A n,右 边 角 为 a；(2)由 公 式 一 可 知，三 角 函 数 值 有“周 而 复 始”的 变 化 规 律，即 角 的 终 边 每 绕 原 点 旋 转 一 周，函 数 值 将 重 复 出 现；(3)此 公 式 也 可 以 记 为：sin(a+A?360)=sin a,cos(a+-360)=cos a,tan(a+A?360)=tan a.其 中 乙 题 型 一 三 角 函 数 的 定 义 及 应 用 例 1(链 接 教 科 书 第 179页 例 2)(1)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以 x 轴 的 非 负 半 轴 为 角 的 始 边，如 果 角 a,的 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于 点 借，总 和(T 号，那 么 sin Qcos=()36 3A-65 B-百 c 4 48C13D65 设 a 0,角 a 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 P(-3 a,4 a),那 么 sin a+2cos a的 值 等 于()25-1-5-B.D.2-51-5A.C 解 析 角 a,的 终 边 与 单 位 圆 分 别 交 于 点(H，总 和(一|,野,5 3故 由 定 义 知 s i n。=百，cos=一 予 5/3、3/.sin a cos=百*(一 习=一 百.(2)；点 尸 在 单 位 圆 上，则|OP|=1.即 yj(3a)2+(4a)2=1,解 得 a=g.八 1 Q0,=g.P 点 的 坐 标 为 修 一).4 3.sin a=一 1 cos a=亍 sin a+2cos a=-+2 X-=.答 案(1)B(2)A利 用 三 角 函 数 的 定 义 求 一 个 角 的 三 角 函 数 值 有 以 下 几 种 情 况：(1)若 已 知 角 a 终 边 上 一 点 P(x,y)是 单 位 圆 上 的 点(有 时 此 点 的 坐 标 需 求 出),y则 sin a=y,cos a=九，tan a=(xW0);(2)若 已 知 角 a 终 边 上 一 点 P(x,y)不 是 单 位 圆 上 的 点，则 首 先 求 r=ylx2+y2,贝!sin a=：，cos a=*tan a=*x#0)；(3)终 边 在 已 知 直 线(射 线)上，可 以 在 直 线(射 线)上 取 两 个(一 个)点，再 利 用 定 义 求 解；(4)参 数 问 题：若 点 的 坐 标，角 的 三 角 函 数 值 中 含 有 字 母，则 需 要 注 意 字 母 是 否 需 要 分 类 讨 论.题 型 二 三 角 函 数 值 符 号 的 判 定 例 2(链 接 教 科 书 第 180页 例 3、第 181页 例 4)(1)已 知 点 P(tan a,cos a)在 第 三 象 限，则 角 a 的 终 边 在()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限(2)sin 285 cos(-105)0(填 或 tan a 0,解 析(1)依 题 意 得,八 cos a 0,不 符 合 题 意.故 选 B.(2)因 为 2 8 5 是 第 四 象 限 角，所 以 sin285 0.因 为 一 1 0 5 是 第 三 象 限 角，所 以 cos(-105)0.答 案(1)B(2)正 弦、余 弦 函 数 值 的 正 负 规 律 例 3(链 接 教 科 书 第 181页 例 5)求 下 列 各 式 的 值.25 n(15 n(1)cos-飞+tanl(2)sin 420 cos 750+sin(690)cos(660).解(1)因 为 c o s-j c o s|n万+8 nn 1=cos-y=2,4 n+TT=tany=l,所 以 C O S-(2)因 为 sin 420=sin(360+60)=sin 60=为,Acos 750=cos(2X360+30)=cos 30。=彳，sin(-690)=sin(-2X360+30)=sin 30=1,cos(-660)=cos(-2X360+60)=cos 60=g,所 以 sin 420 cos 750+sin(690)cos(660)=坐 义 率+；x g=1.利 用 诱 导 公 式 求 解 任 意 角 的 三 角 函 数 值 的 步 骤 将 已 知 的 任 意 角 写 成 2An+a 的 形 式，其 中 a e 0,2 n）,fcG Z根 据 诱 导 公 式，转 化 为 求 角 a 的 某 个 三 角 函 数 值 若 角 为 特 殊 角，可 直 接 求 出 该 角 的 三 角 函 数 值 三 角 函 数 在 单 位 圆 中 的 几 何 表 示 及 应 用 设 角 a 的 顶 点 在 原 点。，始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合，终 边 与 单 位 圆 相 交 于 点 P,如 图，过 点 P 作 垂 直 x 轴 于 点 作 P N 垂 直 y 轴 于 点 N,则 点 P的 坐 标 为（cos a,sin a）,其 中 cos a=OM,sin a=O N,即 角 a 的 余 弦 和 正 弦 分 别 等 于 角 a 的 终 边 与 单 位 圆 交 点 的 横 坐 标 和 纵 坐 标.以 A 为 原 点 建 立 轴 与 y 轴 同 向，V 轴 与 a 的 终 边（或 其 反 向 延 长 线）相 交 于 点 八 或 7），如 图，则 tana=AT（或 A T）.我 们 把 有 向 线 段 OM,O N 和 AT（或 A 7）分 别 叫 做 a 的 余 弦 线、正 弦 线 和 正 切 线，它 们 分 别 是 余 弦 函 数、正 弦 函 数 和 正 切 函 数 的 一 种 几 何 表 示.问 题 探 究 1.设 角 a=x r a d,且 0 4 受，于 是 尤，sin x,tan x 都 是 实 数，请 你 给 一 个 具 体 的 值，比 较 三 个 实 数 的 大 小.提 示：我 们 先 给 x 一 个 具 体 的 值 来 进 行 比 较：取 x=,则 sin x=g,tan尤 亚 c J 3 n n n n 近 2733 因 为 了 不 于 所 以 sin不 8.又 ta n d=3=6n n n 石，所 以 ta n 不.从 而 n n n n,可 彳 于 s i n v v t a n 不.即 当 尤=不 时 sin xxtan x.2.你 在 第 1 问 中 得 到 的 大 小 关 系 是 否 对 区 间（0,高 上 的 任 意 x 都 成 立？提 示：设 角 a 的 顶 点 与 圆 心。重 合，始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合，终 边 与 单 位 圆 相 交 于 点 P,如 图 所 示.过 点 P 作 尸 M_Lx轴 于 点 M,过 x 轴 正 半 轴 与 以 坐 标 原 点 为 圆 心 的 单 位 圆 的 交 点 A 作 该 单 位 圆 的 切 线 A T,交 a 的 终 边 于 点 T,连 接 A P,则 M P=sinx,AT=tan x,SOAPS M A O P SOAT.因 为 SOAP=2O A*M P=sin x,S 扁 段 A。,1SAOAT=/O A,AT=tan x,所 以 5sm.x1A1tan x,即 sin jcxtan x.因 此 当 X d o,-y时，sin x x ta n x.这 在 后 面 的 学 习 中 会 经 常 用 至 L 迁 移 应 用 在 单 位 圆 中 画 出 适 合 下 列 条 件 的 角 a 的 终 边 的 范 围，并 由 此 写 出 角 a 的 集 合.(l)sin a（2）cos a W-g.解：（1）如 图 所 示，作 直 线 丁=为-交 单 位 圆 于 A,B 两 点、,连 接 0 4,0B,则 Q A与 0 8 围 成 的 区 域（阴 影 部 分）即 为 角 a 的 终 边 的 范 围.故 满 足 条 件 的 角 a 的 集 合 为 f n 2 n 1ja 2kn+了 W a 2 Z T T ZWZ卜 O C与 O D 围 成 的 区 域（阴 影 部 分）即 为 南 a 的 终 边 的 范 围.故 满 足 条 件 的 角 a 的 2 n 4 n集 合 为 j a 2ZT T a W 2 Z n+,k Z.5.2.2 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 知 识 点 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系关 系 式 文 字 表 述 平 方 关 系 sin2 a+cos2 a=1同 一 个 角 a 的 正 弦、余 弦 的 平 方 和 等 于 1商 数 关 系 sin Q-tan.Qcos a同 一 个 角 a 的 正 弦、余 弦 的 画 等 于 角 a 的 正 切 基 本 关 系 式 的 变 形 公 式 sin2 o=1-cos2 a,cos2 a=1 sin2 a,(s i n。土 cos a)2=l2sin a cos a.sin o=tan a cos a,sin acos Q=-.tan a1.判 断 正 误.（正 确 的 画“J”，错 误 的 画“X”）(1)对 V x R,sin24x+cos24x=1.()ein x(2)对 V九 G R，t a n x=.()若 cos a=0,则 sin a=1.()答 案：(1)V(2)X X2.化 简 的 结 果 是()JI JIA.cos B.cos-yJI JIC.sin-D.sin-答 案：A5(3 吟 3.已 知 cos a=一 百，则 tan a=u g 12答 案：T4.化 简：(1+tar?acos2 a 等 于.答 案：1角 度 一 已 知 一 个 角 的 某 个 三 角 函 数 值，求 该 角 的 其 他 三 角 函 数 值 题 型 一 利 用 同 角 基 本 关 系 式 求 值 例 1(链 接 教 科 书 第 183页 例 6)(1)已 知 sin a=g,求 cos a,tan a 的 值；已 知 tan a=2,求 c o s。的 值.解(l)Vsin a=0,a 是 第 一 或 第 二 象 限 角.当 a 为 第 一 象 限 角 时，cos a=J1 sin2 a=11 tan a=访 v j 25 5 cos a水=12：当 a 为 第 二 象 限 角 时，cos a=-2芈，tan a=一 建.sin a _=2,cos asin2 a+cos2 a=1,由 得 sin a=2cos a 代 入 得 4cos2 a+cos2 ct=,91 f 3nA.8 铲 口=予 又,/.cos a 0,.a 亚 cos a 5.求 三 角 函 数 值 的 方 法(1)已 知 sin。（或 cos 9）求 t a n。常 用 以 下 方 法 求 解:sin2o+cos2o=l)T sir?8=1-cos2 8 jsin ecosO-*ccs2 e=1-sW e j t