新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆知识点考点重点难点解题规律归纳总结.pdf

第 一 章 直 线 与 圆 1 直 线 与 直 线 的 方 程.-1-1.1 一 次 函 数 的 图 象 与 直 线 的 方 程.-1-1.2 直 线 的 倾 斜 角、斜 率 及 其 关 系.-1-1.3 直 线 的 方 程.-6-第 1 课 时 直 线 方 程 的 点 斜 式.-6-第 2 课 时 直 线 方 程 的 两 点 式 直 线 方 程 的 一 般 式.-9-1.4 两 条 直 线 的 平 行 与 垂 直.-1 4-1.5 两 条 直 线 的 交 点 坐 标.-1 9-1.6 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 距 离 公 式.-2 5-2 圆 与 圆 的 方 程.-2 8-2.1 圆 的 标 准 方 程.-2 8-2.2 圆 的 一 般 方 程.-3 3-2.3 直 线 与 圆 的 位 置 关 系.-3 7-2.4 圆 与 圆 的 位 置 关 系.-4 1-1 直 线 与 直 线 的 方 程 1.1 一 次 函 数 的 图 象 与 直 线 的 方 程 1.2 直 线 的 倾 斜 角、斜 率 及 其 关 系 1.直 线 的 倾 斜 角 定 义：在 平 面 直 角 坐 标 系 中，对 于 一 条 与 龙 轴 相 交 的 直 线/,把 x 轴（正 方 向）按 逆 时 针 方 向 绕 着 交 点 旋 转 到 和 直 线/首 次 重 合 时 所 成 的 角，称 为 直 线 I 的 倾 斜 角.规 定：当 直 线/和 x 轴 平 行 或 重 合 时，它 的 倾 斜 角 为。.范 围：倾 斜 角 a 的 取 值 范 围 为）.2.直 线 的 斜 率 直 线 过 不 同 两 点 P1（X1,1）,P1X2,2）,其 斜 率 直 线 的 斜 率 表 示 直 线 的 倾 斜 程 度.3.直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角、方 向 向 量 的 关 系（1）从 函 数 角 度 看，攵 是 a 的 函 数，其 中 攵=t a n a（其 中 6（7 号，图 象 如 图 所 示.当 aG 0,等 时，斜 率 左 N O,且 左 随 倾 斜 角 a 的 增 大 而 增 大；当 a G（,无）时，斜 率 上 V 0,且 攵 随 倾 斜 角 a 的 增 大 而 增 大；当 a=5时，直 线/与 x 轴 垂 直，此 时 直 线/的 斜 率 不 存 在.（2）如 图，在 直 线/上 任 取 两 个 不 同 的 点 Pi（xi，“），P2（X2,yi）.由 平 面 向 量 的 知 识 可 知，向 量 加 2是 直 线 I的 方 向 向 量,它 的 坐 标 是 一 为，2yi）,直 线 的 倾 斜 角 a、斜 率 A 方 向 向 量 后 72分 别 从 不 同 角 度 刻 画 一 条 直 线 相 对 于 平 面 直 角 坐 标 系 中 光 轴 的 倾 斜 程 度.它 们 之 间 的 关 系 是 左=三 普=tan a（其 中 加 工 垃）.若 攵 是 直 线/的 斜 率，则。=（1,一 是 它 的 一 个 方 向 向 量:若 直 线/的 一 个 方 向 向 量 的 坐 标 为（x,y）,其 中 x W O,则 它 的 斜 率 人 号 思 考 卜 任 意 一 条 直 线 都 有 倾 斜 角 和 斜 率 吗？若 存 在，唯 一 吗？提 示 直 线 都 有 倾 斜 角 且 唯 一，但 并 不 是 所 有 的 直 线 都 有 斜 率.当 倾 斜 角 是 IT 7TI时，直 线 的 斜 率 不 存 在，此 时，直 线 垂 直 于 X 轴；当 倾 斜 角 不 是 I时，直 线 的 斜 率 存 在 且 唯 一.疑 难 问 题 类 型 1 直 线 的 倾 斜 角【例 1 求 图 中 各 直 线 的 倾 斜 角.(1)(2)(3)解(1)如 图(1),可 知 N 0 A 8 为 直 线/i的 倾 斜 角.易 知 乙 480=30。,ZOAB=60,即 直 线/i的 倾 斜 角 为 60.(2)如 图(2),可 知/x A B 为 直 线 的 倾 斜 角，易 知/OBA=45,：.ZOAB=45,：.ZxAB=135,即 直 线 b 的 倾 斜 角 为 135.(3)如 图(3),可 知 为 直 线 b 的 倾 斜 角，易 知 乙 480=60。，：.ZBAO=30,：.Z O A C=150,即 直 线 人 的 倾 斜 角 为 150.思 领 悟.求 直 线 的 倾 斜 角 的 两 点 注 意(1)直 线 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0,兀).(2)当 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时，倾 斜 角 为 0；当 直 线 与 x 轴 垂 直 时，倾 斜 角 为 7 12,类 型 2 直 线 的 斜 率【例 2】(1)已 知 两 条 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 60。，135。，求 这 两 条 直 线 的 斜 率;(2)已 知 A(3,2),5(-4,1),求 直 线 A B 的 斜 率；(3)己 知 直 线/的 一 个 方 向 向 量 是(小，1),求 该 直 线 的 斜 率.(4)求 经 过 两 点 A(2,3),B(m,4)的 直 线 的 斜 率.解 直 线 的 斜 率 分 别 为 女 i=tan 60。=4，2=tan 135。=1.1-2 I(2)直 线 A B 的 斜 率 kAB=_4_3=j.j _ _ S 直 线/的 斜 率=忑=3(4)当 初=2 时，直 线 A 3 的 斜 率 不 存 在；当?W2时，直 线 A 8 的 斜 率 为 ZAB=4-3 _1_m 2 m 2厂.力 5 思 领 悟.求 直 线 斜 率 的 三 种 方 法 已 知 直 线 的 倾 斜 角 a(aW90。)时，可 利 用 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系，即 仁 tan a求 得；(2)已 知 直 线 上 两 点 的 坐 标 时，可 利 用 直 线 斜 率 的 定 义 求.要 注 意，其 前 提 条 件 是 尤|WX2,若 汨=无 2时，直 线 斜 率 不 存 在；1 7(3)已 知 直 线 的 方 向 向 量=(?,鹿)时，可 利 用 攵=而 来 求，但 要 注 意，当 2=0时，直 线 的 斜 率 不 存 在.类 型 3 直 线 的 倾 斜 角、斜 率 的 应 用 命 题 角 度 1 三 点 共 线 问 题【例 3】如 果 三 点 A(2,1),B(2,in),C(6,8)在 同 一 条 直 线 上，求，”的 值.m-1 1-m 解 8-1 7Z AC=K=,VA,B,C三 点 共 线,口 一 根:k A B=kA C,即 一 4一 7不.*./77=-6.思 领 悟.斜 率 是 反 映 直 线 相 对 于 X 轴 正 方 向 的 倾 斜 程 度 的.任 意 两 点 所 确 定 的 直 线 的 方 向 不 变，即 同 一 直 线 上 任 何 不 同 的 两 点 所 确 定 的 斜 率 相 等，这 正 是 利 用 斜 率 相 等 可 证 点 共 线 的 原 因.命 题 角 度 2 数 形 结 合 法 求 倾 斜 角 或 斜 率 范 围【例 4】直 线/过 点 P(l,0),且 与 以 A(2,1),B(0,小)为 端 点 的 线 段 有 公 共 点，求 直 线/的 斜 率 和 倾 斜 角 的 范 围.解 如 图 所 示.,1 0 5 一 0kBP=,事,.依（一 8,一 小“1,+8）,.45WaW120.思 领 悟.直 线 与 线 段 有 交 点 求 斜 率 问 题，常 用 数 形 结 合 思 想 求 解，先 确 定 临 界 位 置 直 线 的 斜 率，再 让 直 线 从 一 个 临 界 位 置 转 动 到 另 一 个 临 界 位 置，并 考 察 斜 率 的 变 化 规 律，最 后 确 定 是 取“中 间”，还 是 取“两 边”.归 纳 总 结 1.直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角 是 刻 画 直 线 位 置 的 两 个 基 本 量，决 定 了 这 条 直 线 相 对 于 X轴 的 倾 斜 程 度.2.倾 斜 角 是 90。的 直 线 没 有 斜 率，倾 斜 角 不 是 90。的 直 线 都 有 斜 率，即 直 线 的 倾 斜 角 不 为 90。时，斜 率 公 式 才 成 立.3.斜 率 公 式 是 以 后 研 究 直 线 方 程 的 基 础，需 熟 记 并 会 灵 活 运 用.1.3 直 线 的 方 程 第 1课 时 直 线 方 程 的 点 斜 式 1.直 线/的 方 程 如 果 一 条 直 线 2上 的 每 一 点 的 坐 标 都 是 一 个 方 程 的 解,并 且 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 直 线 I上，那 么 这 个 方 程 称 为 直 线/的 方 程.2.直 线 的 点 斜 式 方 程 和 斜 截 式 方 程 3.直 线/在)，轴 上 的 截 距 名 称 点 斜 式 斜 截 式 已 知 条 件 点 P(xo,泗)和 斜 率 左 斜 率 k和 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 b图 示 z 4-方 程 丫 一 丫 0=4天-乂)适 用 范 围 斜 率 存 在 定 义：直 线/与 y 轴 交 点(0,一 的 纵 坐 标,叫 作 直 线/在 y轴 上 的 截 距.思 考 斜 截 式 方 程 应 用 的 前 提 是 什 么？(2)纵 截 距 一 定 是 距 离 吗？提 示(1)直 线 的 斜 率 存 在.(2)纵 截 距 不 一 定 是 距 离，它 是 直 线 与)，轴 交 点 的 纵 坐 标，可 取 一 切 实 数.疑 难 问 题 类 型 1 直 线 方 程 的 点 斜 式【例 1】根 据 条 件 写 出 下 列 直 线 的 方 程，并 画 出 图 形.(1)经 过 点 4-1,4),斜 率=3；(2)经 过 坐 标 原 点，倾 斜 角 为 45。；(3)经 过 点 8(3,-5),倾 斜 角 为 90。；(4)经 过 点 C(2,8),。(一 3,-2).解(l)_y4=3 x(1),即 y=-3 x+l.如 图(1)所 示.(2)Z:=tan 45=1,A y 0=x0,即 y=x.如 图 所 示.(3)斜 率 不 存 在，I.直 线 方 程 为 x=3.如 图(3)所 示.8(2)(4火=?_ _;=2,/.y-8=2(x-2),即 y=2 x+4.如 图(4)所 示.r-O1 2 3xX4321O(4)厂.七 反 思 领 悟 求 直 线 方 程 的 点 斜 式 的 步 骤 确 定 点 P(3 九)I由 点 斜 式 写 方 程|方 程 为 类 型 2 直 线 方 程 的 斜 截 式【例 2 求 满 足 下 列 条 件 的 直 线/的 方 程：(1)过 点 尸(0,1),斜 率 为 2；与 直 线 y=-x+l 在 y 轴 上 的 截 距 相 等，且 过 点 Q(2,2)；倾 斜 角 为 60,与 y 轴 的 交 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 3.解 y=2x+l.(2)由 题 意 知，该 直 线 过 点(0,1)和 Q(2,2),2 1 1 故，直 线/的 方 程 为 1-(3).直 线 的 倾 斜 角 为 60,.其 斜 率=tan6()o=/，.直 线 与)，轴 的 交 点 到 原 点 的 距 离 为 3,直 线 在 y轴 上 的 截 距 b=3 或/?=-3;所 求 直 线 方 程 为 y=S 九+3 或 y=y3x3.1.思 领 悟.直 线 方 程 的 斜 截 式 求 解 策 略(1)直 线 的 斜 截 式 方 程 是 点 斜 式 方 程 的 特 殊 形 式，其 适 用 前 提 是 直 线 的 斜 率 存 在，只 要 点 斜 式 中 的 点 在 y 轴 上，就 可 以 直 接 用 斜 截 式 表 示.(2)直 线 的 斜 截 式 方 程 y=履 十。中 只 有 两 个 参 数，因 此 要 确 定 某 直 线，只 需 两 个 独 立 的 条 件.(3)利 用 直 线 的 斜 截 式 求 方 程 时，如 果 已 知 斜 率 匕 只 需 引 入 参 数 b；同 理 如 果 已 知 截 距 4 只 需 引 入 参 数 人.类 型 3 直 线 过 定 点 问 题【例 3】求 证：不 论 机 为 何 值 时，直 线/：y=(m l)x+2m+1 恒 过 定 点.证 明 法 一：直 线/的 方 程 可 化 为 丁 一 3=(加 一 1)(%+2),直 线/过 定 点(一 2,3).法 二：直 线/的 方 程 可 化 为 m(x+2)-(x+y l)=0.%+2=0,x=-2,令,解 得 彳 x+y 1=0,ly=3.无 论 相 取 何 值，直 线/总 经 过 点(一 2,3).灰 思 领 悟.本 例 两 种 证 法 是 证 明 直 线 过 定 点 的 基 本 方 法，法 一 体 现 了 点 斜 式 的 应 用，法 二 体 现 了 代 数 方 法 处 理 等 式 恒 成 立 问 题 的 基 本 思 想.归 纳 总 结 直 线 方 程 的 点 斜 式 和 斜 截 式 的 关 系 与 使 用 条 件第 2 课 时 直 线 方 程 的 两 点 式 直 线 方 程 的 一 般 式 1.直 线 方 程 的 两 点 式 与 截 距 式 两 点 式 截 距 式 条 件 P1（X1，yi）和 P2（X2,2）其 中 X1WX2,y i W”在 x 轴 上 截 距 a,在 y 轴 上 截 距 b其 匚 口 abWO图 形 产 方 程 y-yi x-x yi-X2xia-b-适 用 范 围 不 表 示 垂 直 于 坐 标 轴 的 直 线 不 表 示 垂 直 于 坐 标 轴 的 直 线 及 过 原 点 的 直 线 1.直 线 的 方 程 一 定 能 用 两 点 式 表 示 吗？提 示 当 直 线 与 坐 标 轴 垂 直 时，直 线 的 方 程 不 能 用 两 点 式 表 示.2.直 线 方 程 的 一 般 式(1)直 线 与 二 元 一 次 方 程 的 关 系 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，对 于 任 何 一 条 直 线，都 可 以 用 一 个 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 表 示.每 个 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 都 表 示 一 条 直 线.(2)直 线 方 程 的 一 般 式 的 定 义 我 们 把 关 于 x,的 二 元 一 次 方 程 Ar+3y+C=0(其 中 A,3 不 全 为 0)叫 作 直 线 方 程 的 一 般 式，简 称 一 般 式.思 考 2.在 直 线 方 程 的 一 般 式 Ar+5y+C=0中，为 什 么 规 定 A,8 不 同 时 为 提 示 当 A,3 同 时 为 0 时，方 程 Ar+3y+C=0表 示 的 不 是 直 线.疑 难 问 题 类 型 1 直 线 方 程 的 两 点 式 和 截 距 式 命 题 角 度 1 直 线 方 程 的 两 点 式【例 1】已 知 ABC三 个 顶 点 坐 标 A(2,-1),8(2,2),C(4,1),求 三 角 形 三 条 边 所 在 的 直 线 方 程.解 A,8 两 点 横 坐 标 相 同，直 线 A B与 x 轴 垂 直，故 其 方 程 为 x=2.由 直 线 方 程 的 两 点 式 可 得，A C的 方 程 为-1 即%一 了 一 3=0.同 理 可 由 直 线 方 程 的 两 点 式 得，直 线 B C 的 方 程 为 E|=F|,即 x+2y6=0.三 边 AB,AC,BC所 在 的 直 线 方 程 分 别 为 x=2,xy3=0,x+2y6=0.思 领 悟.(1)当 已 知 两 点 坐 标，求 过 这 两 点 的 直 线 方 程 时，首 先 要 判 断 是 否 满 足 两 点 式 方 程 的 适 用 条 件：两 点 的 连 线 不 垂 直 于 坐 标 轴，若 满 足，则 考 虑 用 两 点 式 求 方 程.(2)一 般 用 两 点 式 求 直 线 方 程 时，由 于 减 法 的 顺 序 性，必 须 注 意 坐 标 的 对 应 关 系，即 X2与 2是 同 一 点 坐 标，而 汨 与?是 另 一 点 坐 标.命 题 角 度 2 直 线 方 程 的 截 距 式【例 2】求 过 点 A(5,2),且 在 坐 标 轴 上 截 距 互 为 相 反 数 的 直 线/的 方 程.2 解 法 一：当 直 线/在 坐 标 轴 上 的 截 距 均 为 0 时，方 程 为)，=尹，即 2%5y=0;当 直 线/在 坐 标 轴 上 的 截 距 不 为 0 时，可 设 方 程 为 2+土=1,即 又 过 点 A(5,2),：.52=a,a=3,的 方 程 为 x-y-3=0,综 上 所 述，直 线/的 方 程 是 2x5y=0,或 xy3=0.法 二：由 题 意 知 直 线 的 斜 率 一 定 存 在.设 直 线 方 程 的 点 斜 式 为 一 2=%。-5),2x=0 时，y=2 5 k,y=0 时，x=5 v.K根 据 题 意 得 2 5%=一(5一 1，解 方 程 得 上=|或 1.2 2当 人=时，直 线 方 程 为 y 2=(x 5),即 2x 5y=0;当=1 时，直 线 方 程 为 y 2=l X(x 5),即 x y 3=0.1.思 领 悟.求 解 此 类 问 题 常 用 待 定 系 数 法，其 求 解 步 骤 有 两 步：(1)根 据 题 中 条 件 设 出 直 线 方 程，如 在 x 轴、y 轴 上 的 截 距 分 别 为。，伙 aW O,W O)的 直 线 方 程 常 设 为:+方=1.(2)根 据 已 知 条 件，寻 找 关 于 参 数 的 方 程(组)，解 方 程(组)，得 参 数 的 值.类 型 2 直 线 方 程 的 一 般 式【例 3 设 直 线 I的 方 程 为 2加-3)%一(2/+2 l)y+6 2?=0.若 直 线/在 x 轴 上 的 截 距 为-3,则 m=；若 直 线/的 斜 率 为 1,则 加=.5.,2m6 3(2)-2 令 产。，则 尤=1 27二？.2m 6/曰 5,.-o Z Z=-3,仔 7 7 7=;或 7 7 7=3.n r2m3 3当 7/7=3 时，m22m 3=0,不 合 题 意，舍 去.5 m=一 1 由 题 意 知，2於+加 一 1 W 0,即 机 W 1且 团 制，由 直 线/化 为 斜 截 式 方 程，得)T+己 7,2 m-+m-1 2m+m 1jn2-2 6 3贝”9 I 1,2irr-rm-1得 机=-2 或 加=1(舍 去)././?:=-2.厂.反 思 领 悟.X直 线 方 程 的 几 种 形 式 的 转 化 类 型 3 直 线 方 程 的 综 合 应 用【例 4】已 知 直 线/：5ar5 ja+3=0.(1)求 证：不 论。为 何 值，直 线/总 经 过 第 一 象 限；(2)为 使 直 线/不 经 过 第 二 象 限，求。的 取 值 范 围.解(1)证 明：法 一：将 直 线 方 程 变 形 为)，=以 十?,当 a 0时，直 线 一 定 经 过 第 一 象 限；3当。=0 时，y=W，直 线 显 然 经 过 第 一 象 限；3-c i当 a0,因 此 直 线 经 过 第 一 象 限.综 上 可 知，不 论 a 为 何 值 时，直 线 5ar5ya+3=0 一 定 经 过 第 一 象 限.法 二：将 直 线 方 程 变 形 为 y|=a(x 它 表 示 经 过 点|j,斜 率 为 a的 直 线.点 A(，在 第 一 象 限，直 线/必 经 过 第 一 象 限.(2)1-。如 图，直 线 OA的 斜 率&=j-=3.直 线/不 经 过 第 二 象 限，.直 线/的 斜 率 氏 2 3,.,.a 2 3,即 a 的 取 值 范 围 为 a|a23.厂.oS思 领 悟.含 有 一 个 参 数 的 直 线 方 程，一 般 表 示 无 穷 多 条 直 线，称 为 直 线 系.若 这 无 穷 多 条 直 线 过 同 一 个 点.则 求 该 点 时，将 一 般 式 方 程 变 形 为 点 斜 式 方 程，便 可 求 出 该 点 的 坐 标.归 纳 总 结 1.截 距 式 方 程 应 用 的 注 意 事 项(1)如 果 问 题 中 涉 及 直 线 与 坐 标 轴 相 交，则 可 考 虑 选 用 截 距 式 直 线 方 程，用 待 定 系 数 法 确 定 其 系 数 即 可.(2)选 用 截 距 式 直 线 方 程 时，首 先 考 虑 直 线 是 否 过 原 点 以 及 是 否 与 两 坐 标 轴 垂 直.(3)要 注 意 截 距 式 直 线 方 程 的 逆 向 应 用.2.直 线 方 程 的 其 他 形 式 都 可 以 化 成 一 般 式，一 般 式 也 可 以 化 为 斜 截 式.一 般 式 化 斜 截 式 的 步 骤：(1)移 项，B y=-A x C；A r(2)当 8W 0时，得 y=一 一 万.3.在 一 般 式 Ax+8y+C=0(A2+52W 0)中，若 4=0,则 丁=一*它 表 示 一 条 c与 y 轴 垂 直 的 直 线；若 3=0,则/=它 表 示 一 条 与 X轴 垂 直 的 直 线.1.4 两 条 直 线 的 平 行 与 垂 直 1.两 条 直 线 平 行 设 两 条 不 重 合 的 直 线 八，/2,倾 斜 角 分 别 为 内，。2,斜 率 存 在 时 斜 率 分 别 为 防,k2.则 对 应 关 系 如 下:类 型 斜 率 存 在 斜 率 不 存 在 前 提 条 件 8=。2#9 0 0 内=。2=90对 应 关 系/1/2左 1=22 八/2仁 两 直 线 斜 率 都 不 存 在 图 示 27：思 考 1.(1)如 图，设 直 线 Zi与/2的 倾 斜 角 分 别 为 a i与 az,斜 率 分 别 为 h 与 近，若 八/2,则 如 与 之 间 有 什 么 关 系？所 与 心 之 间 有 什 么 关 系？(2)对 于 两 条 不 重 合 的 直 线/|与/2,若 kl=k2,是 否 一 定 有/1/2?为 什 么？I提 示(1)若(X1与(Z2之 间 的 关 系 为 ai=0:2；对 于 心 与 左 2之 间 的 关 系，当 出=。2/90时，k=ki,当 内=。2=90时，心 与 也 不 存 在.(2)一 定 有 lx/h.因 为 跖=4 2,所 以 tan a i=t a n(X2,所 以 a i=a 2,所 以/i 42.2.两 条 直 线 垂 直 类 型 斜 率 存 在 其 中 一 条 斜 率 不 存 在思 考 2.(1)当 两 条 直 线 垂 直 时，它 们 的 倾 斜 角 有 什 么 关 系？前 提 条 件|21|=90 ai=0.6 1 2=90对 应 关 系 Zi斜 率 为 0,/2斜 率 不 存 在 ir图 示(2)当 两 条 直 线 垂 直 时，它 们 的 斜 率 之 积 一 定 是 一 1吗？提 示 设 两 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 ai,ai,若 两 直 线 垂 直，则 如 一(/2|=90.(2)不 一 定.若 一 条 直 线 的 斜 率 为 0,则 与 其 垂 直 的 直 线 斜 率 不 存 在.疑 难 问 题 类 型 1 两 直 线 平 行、垂 直 的 判 定【例 1】(1)已 知 两 条 直 线 y=ox2 和 y=(a+2)x+l互 相 垂 直，则 实 数(2)“必=4”是 直 线 2x+ay-1=0 与 直 线 bx+2y-2=0平 行 的()A.充 分 必 要 条 件 B.充 分 不 必 要 条 件 C.必 要 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 思 路 点 拨(1)利 用 怎 依=1解 题.(2)先 求 出 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件，再 判 断.(1)-1(2)C(1)由 题 意 知(a+2)a=-l,所 以/+2。+1=0,则。=一 1.(2)直 线 2x+ay-1=0 与 直 线 b x+2y-2=0 平 行 的 充 要 条 件 是 一=/且 一#一 1,即 帅=4 且 a W l,则“出?=4”是“直 线 2x+ayl=0 与 直 线 笈+2 y-2=0 平 行”的 必 要 而 不 充 分 条 件.我 思 领 悟.判 断 两 条 不 重 合 直 线 是 否 平 行 的 步 骤类 型 2 利 用 两 直 线 平 行、垂 直 求 直 线 方 程【例 2】已 知 点 A(2,2)和 直 线/：3x+4y2 0=0,求：(1)过 点 A和 直 线/平 行 的 直 线 方 程；(2)过 点 A 和 直 线/垂 直 的 直 线 方 程.思 路 点 拨 利 用 两 条 直 线 的 位 置 关 系，设 出 直 线 的 方 程，然 后 由 另 一 条 件 确 定 直 线 方 程.解 法 一：.直 线/的 方 程 为 3%+4)，-2 0=0,:ki=(1)设 过 点 A 与 直 线/平 行 的 直 线 为/i,:ki=k、,勺|=一 不 3：.h 的 方 程 为 y-2=-(x2),即 3 x+4 y-1 4=0.(2)设 过 点 A 与 直 线/垂 直 的 直 线 为 h,.3 4 krk,=-1,(一 1,k.=12 4/2 12 J4的 方 程 为 y2=1。一 2),即 4x3y2=0.法 二：设 所 求 直 线 方 程 为 3x+4y+C=0,.点(2,2)在 直 线 上，/.3 X 2+4 X 2 4-C=0,/.C=-1 4.所 求 直 线 方 程 为 3 x+4 y-1 4=0.(2)设 所 求 直 线 方 程 为 4 x-3 y+z=0,.点(2,2)在 直 线 上，.*.4X 2-3X 24-2=0,：.X=2,即 所 求 直 线 方 程 为 4x3y2=0.,jJS 思 领 悟,.1.根 据 两 直 线 的 位 置 关 系 求 出 所 求 直 线 的 斜 率，点 斜 式 求 解，或 利 用 待 定 系 数 法 求 解.2.直 线 方 程 的 常 用 设 法 过 定 点 P(xo，y o),可 设 点 斜 式 y yo=Z(x xo)；知 斜 率 左,设 斜 截 式=依+；与 直 线 A x+5 y+C=0平 行，设 为 Ax+By+m=0；与 直 线 土+珍+。=0 垂 直，设 为 以 一 出+=0.类 型 3 两 条 直 线 平 行 与 垂 直 的 综 合 应 用 命 题 角 度 1 求 直 线 方 程 中 参 数 的 值【例 3】已 知 直 线 人：(左 一 3)x+(4A)y+1=0 与 人：2(%3)x2y+3=0.(1)若 这 两 条 直 线 垂 直，求 左 的 值；(2)若 这 两 条 直 线 平 行，求 上 的 值.5 5 解(1)根 据 题 意，得(攵 一 3)*2(%3)+(4左)X(-2)=0,解 得 1(=弓 一.；.若 这 两 条 直 线 垂 直，则 左=弯 后.(2)根 据 题 意，得 伏 一 3)*(2)2/一 3)义(4一 幻=0,解 得=3 或 攵=5.经 检 验，均 符 合 题 意.若 这 两 条 直 线 平 行,-&=3 或 l=5.思 领 悟.1.利 用 斜 率 研 究 两 直 线 的 平 行 和 垂 直 关 系 时，要 分 斜 率 存 在、不 存 在 两 种 情 况 进 行 讨 论.2.当 直 线 是 一 般 式 方 程 时，也 可 利 用 以 下 结 论 研 究 两 直 线 的 平 行 和 垂 直 关 系:直 线 八：A i x+S+G=0,直 线 以 A2x+B2y+C2=0.h/12AIB 2-A2BI=0 且 B C B2cl W0(或 A iQ-A 2G WO);1，/20A1A2+8|&=O.命 题 角 度 2 求 点 的 坐 标【例 4】已 知 四 边 形 ABCO的 顶 点 8(6,-1),C(5,2),0(1,2).若 四 边 形 ABCO为 直 角 梯 形，求 A 点 坐 标.f解 若 N A=N O=90。，如 图(1),由 已 知 A8 OC,A D 1 A B,而 kcD=O,故 A(l,-1).若 NA=NB=90,如 图(2).设 A(a,b),则 ZBC=3由 AD BC=kAD=kBc,即；=-3;a由 AB工 BC0kAB kBC=-1,即 7-(-3)=-1.a6f _J2-5，M2 in解，得 J u 故 人 g，_yj.综 上 所 述，A 点 坐 标 为（1,1）或 修，V厂.思 领 悟.此 类 题 目 应 用 数 形 结 合 法 求 解 较 为 方 便、简 单.1.两 直 线 平 行 或 垂 直 的 判 定 方 法 归 纳 总 结 斜 率 直 线 斜 率 均 不 存 在 平 行 或 重 合 一 条 直 线 的 斜 率 为 0,另 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在 垂 直 斜 率 均 存 在 相 等 平 行 或 重 合2.与 直 线=丘+/?平 行 的 直 线 可 设 为 y=Ax+c(cWA)；与 直 线 Ax+8y+C=0 平 行 的 直 线 可 设 为 Ar+8)，+。=0(。W O.3.设 直 线/i：y=kx+b,直 线 b：y=k2x+b2.若 人 工 A，则 h-%2=-1;反 之，若 k 左 2=1,则 已 知 两 直 线/i：Aix+Sy+G=0,Z2：Aiv+&y+C2=0,/|/2A1A2+B1B2=O.积 为 一 1 垂 直 1.5 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 1.两 条 直 线 的 交 点 坐 标 几 何 元 素 及 关 系 代 数 表 示 点 A A(m b)直 线/l：Ax+By+C=O点 A 在 直 线 1上 Aa+班+C=0直 线 人 与，2的 交 点 是 AAx+By+C=0 x=a方 程 组 L“八 的 解 是 zIA2X+Biy C20 y=b2.方 程 组 的 解 的 组 数 与 两 直 线 的 位 置 关 系 jAix+8iy+G=0思 考.方 程 组 A K+&y+C z u O 有 唯 一 一 组 解 的 充 要 条 件 是 什 么？方 程 组 的 解 交 点 个 数 直 线 的 位 置 关 系 无 解 Q 个 平 行 有 唯 一-解 L 个 相 交 有 无 数 组 解 无 数 个 重 合 提 示 A1B2A2B1O.疑 难 问 题 类 型 1 两 直 线 的 交 点 问 题【例 1】判 断 下 列 各 对 直 线 的 位 置 关 系.如 果 相 交，求 出 交 点 坐 标.(l)Zi：xy=0,Z2：3x+3y10=0；(2)Zi：3xy+4=0,Z2：6%-2y1=0；(3)/i：3x+4y5=0,b：6x+8y10=0.标 是 解 方 程 组，(I，1)x-y=Q,得 3x4-3 10=0,5画 5 所 以/1与/2相 交，交 点 坐 3xy+4=0,（2）1，6x2yl=0,义 2一 得 9=0,矛 盾，方 程 组 无 解，所 以 两 直 线 无 公 共 点，又 9 W 0,所 以 l/h.3x+4y5=0,(3Y6x+8y10=0,义 2 得 6x+8y10=0,因 此，和 可 以 化 成 同 一 个 方 程，有 无 数 组 解，故 和 表 示 同 一 条 直 线,所 以/1与/2重 合.厂.灰 思 领 悟.方 程 组 解 的 个 数 与 两 直 线 的 位 置 关 系.一 般 地，若 方 程 组 有 一 解，则 两 直 线 相 交；若 方 程 组 无 解，则 两 直 线 平 行；若 方 程 组 有 无 数 多 组 解，则 两 直 线 重 合.这 体 现 了“以 形 助 数，以 数 释 形”的 数 形 结 合 思 想.U 类 型 2 由 交 点 求 直 线 方 程【例 2】求 经 过 两 直 线 2九 一 3厂 3=0 和 x+y+2=0 的 交 点 且 与 直 线 3xy-1=0平 行 的 直 线/的 方 程.思 路 点 拨 思 路 一 求 出 两 直 线 2x-3y-3=0和 x+y+2=0 的 交 点 坐 标，由 平 行 关 系 得 到/的 斜 率，利 用 点 斜 式 方 程 求 解；思 路 二 利 用 过 两 直 线 的 交 点 的 直 线 系 方 程 求 解.2x3y3=0 C 3 7、解 法 一：由 方 程 组 彳 八，得 两 直 线 交 点 坐 标 为 一 彳，-7,x+y+2=0 V 5 5J.直 线/和 直 线 3元 一 一 1=0平 行，直 线/的 斜 率 左=3,根 据 点 斜 式 有 y1一 1j=3%一(一 5.即 所 求 直 线 方 程 为 15x5y+2=0.法 二：.直 线/过 两 直 线 2%3)3=0和 x+y+2=0的 交 点，.可 设 直 线/的 方 程 为：2x3y3+“x+y+2)=0,即 Q+2)x+Q 3)y+22 3=0.直 线/与 直 线 3 x-y=0 平 行,A 2=Az3 2 3,3 产-17解 得=不 从 而 所 求 直 线 方 程 为 15x5y+2=0.厂.灰 思 领 悟.1.本 题 法 一 是 基 本 方 法，求 解 交 点 坐 标 和 斜 率 是 解 题 关 键.2.经 过 两 直 线 交 点 的 直 线 系 方 程 与 直 线 A r+优，+。=0 平 行 的 直 线 系 方 程 为 A r+By+C=0(C W C)；与 直 线 A c+B y+C=O 垂 直 的 直 线 系 方 程 为 BxAy+C=O；过 两 直 线/1：4 x+B y+G=0,/2：A 2 x+&y+C 2=0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为 九(4 元+3 i+C i)+/l 2(A 2 x+&.y+C 2)=0 e，石 为 参 数).当 为=1,方=0 时，方 程 即 为 直 线 八；当 九=0,不=1时，方 程 即 为 直 线 机 类 型 3 直 线 过 定 点 问 题 探 究 问 题 1.不 论 左 取 什 么 值，直 线)=自+2 恒 过 定 点，试 求 出 此 定 点.提 示 由 直 线 的 方 程 可 知 当 x=0 时，y=2,此 时 与 k 的 取 值 无 关.故 直 线 恒 过 点(0,2).2.不 论 取 什 么 值，直 线 y-2=优。+3)恒 过 定 点.求 出 此 定 点.提 示 由 直 线 方 程 可 知 当=-3 时，y=2,与 机 的 取 值 无 关，故 直 线 恒 过 定 点(-3,2).【例 3】求 证：无 论 左 取 何 值 时，直 线/：(A+l)x(左 一 l)y2A=0 必 过 定 点，并 求 出 该 定 点 坐 标.思 路 点 拨 证 明 法 一：令 k=l,得 到 直 线 6：x=l,令 k=0,得 到 直 线，2：x+y=0,x 1由，、，得 人 与/2交 点 M(l,-1),尤+y=0把 M(l,-1)的 坐 标 代 入 方 程(女+1)田 一 代 一 1加 2攵=0 恒 成 立，无 论 攵 取 何 值 时，直 线(4+1)%(攵 一 1)，-2=0 必 过 定 点，且 定 点 为 M(l,-1).氏+1法 二：由 已 知 直 线/的 方 程 得(左+1)犬=(女 一 1+2攵，整 理 可 得 y+l=T(xK 1 1)(2 1),因 此 当 攵 W 1时，直 线/必 过 定 点 M(l,-1);当 出=1 时，原 直 线/的 方 程 为 x=l,也 过 点 M(l,-1).综 上 所 述，不 论 左 取 任 何 实 数 值 时，直 线/必 过 定 点 M(l,-1).法 三：方 程(k+l)x(A l)y2A=0 可 化 为 k(x y2)+(x+y)=0,%y2=0由 L，x+.y=0 x=1可 得 点 l=-1x=1显 然，,使 方 程(Z+l)x(kl)y-2左=0 恒 成 立，l y=-l，无 论 取 任 何 实 数 值 时，直 线/必 过 定 点 M(l,