2021年上海市松江区高考数学一模试卷含答案.pdf

2021年上海市松江区高考数学一模试卷含答案2021年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题(本大即共有12题，满分S 4分，第1 6题每题J分，第7 1 2题每题5分)考生应在答JS纸的相应位置直接填写结果.1+2.2,若集合A=3-1 X0,y ,若2x+尸,则;的()A.最小值为8 B.最大值为8 C.最小值为2D.最大值为216.记$n为 数 列 的 前n项和，已知点（n，a/在直线y=1 0-2 x上，若有且只有两个正整数n满足与*则实数k的取值范困是（）A.（8,14）B,（W,18）C,（18,20 D 0瓦 /三、解答题（共5小题.满分7 6分）17.如图1,在三棱柱A B C-A R G中，已知ABJ_AC.AB=AC=1,刈=2,且M iJ 平面A B C,过A,J,B三点作平面截此三棱柱，截得个三棱徘利个四校锥（如图2）（1）求 异 面 直 线 所 成 角 的 大 小（结果用反三角函数表示）:（2）求四棱锥B-A C C/I的体积和衣面积.18.已知函数小）=J3sinxcosx+cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期和值域:（2）若对任意X 6 R,尚x）-k-f（x）-2 s 0的恒成立，求实数k的取住范围.试卷第3 页,总 13页19.某网店有（万件）商品,计划在元旦旺季售出商品x（万件），经市场调查漓算,花费t 万元）进行促销后,商品的剩余量3-xrj促销费t之何的关系为3-x=S I（其中k为常数），如果不搞促销活动，只能传出1（万件）商品.1）要使促销后商品的利余量不大于工（万件），促销费t至少为多少（万元）？（2）已知商品的进价为32 1元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均成本为Mt （元）,若将商品售价定位：”每件售出商品平均成本的16倍”与“每件传出商品平均促储费的一半”之和，则当促销费t为 多 少（万元）时，该网店传出商品的总利润最大？此时而品的利余星为多少？20.已知椭圆C：了 *1 b ）的右焦点坐标为（Z 0）,且长轴长为短轴长的企倍,直线交 F椭 圆 不同的两点M和N.（1）求椭圆I的方程；（2）若直线经过点P。仇且 MN的面积为2也，求真线I的方程：3）若直线的方程为丫=!+可 1（.）,点M关于X轴的对称点为M 1 在线MN.M%分别与X轴相交于P、Q两点,求证：IOPLIOQI为定值.21.对于由m个正整数构成的有限集M=ai，az，a3-am_ 记p（M）=a1+a?+.+a.,特别规定P（）=,若 集 满 足：对任意的正赘数ksP（M）,都存在集合M的两个子集A、B,使得k=P（A）-P（B）成 立：,则称集合M为“满集（1）分别判断集合M1=U,2与”2=1,4是否为“满集”,请说明理由;2）若%,a2，由小到大能排列成公差为d（dCN，）的等差数列,求证：集合M为 满集 的必要条件是 1 =1,d=l或2：试卷第4页,总1 3页(3)若久，a2，am由小到大能排列成首项为1,公比为2的等比数列，求证：集合M是 满集试卷第5页，总13页参考答案与试题解析2021年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共有12题，满分S4分，第 1 6 题每眶4 分，第 7 1 2 题每题S 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.【解答】2.【解答】=A=x|-l x。时,F(x)l且为增函数，”/0时，y l,当x 0时,o y a与b的夹角为6 0,设a=(1,0),则b=(弁),今 今 今c=xa+yb,试卷第7页，总1 3页.1 3c=(x+-yzyy)又 Ic|=l,+”2+(讶=1,化简得x2+xy+/=l,(x y 、i(x+y)-1=XV-4-,当且仅当x=V=W时，等号成立,【解答】设 XX2,f if(xJ)=f(X t llO g -H =llO g -l则ITO&X=lg2X2 故log?，2=2,XJ2X22=4(Xj2 2)又2f的+x2)=12log2(x1+X2)-2 I=|log?%+x?产-2 1,logjfXj+x2)2-2=l-logjx/x j=(logjfx+j +4)-2=l-logi2则 lo g#：+4x +4)=3,x：+4x+4=8,x尸 师2故x产即i,a 也也+2,则实数a的最小值为m 2+2二.选择题(本大理共有4 9.满分20分,每咫5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.【解答】若a=2,则K2x+y T=o和l2：x-2y+l=o,k/k 2=-2 4 =-l,所以直线L L满足充分性：若 直 线%则ax 1+1 x(-2)=。，解得a=2,满足必要性.所以a=2是 直线 1 的充要条件.14.【解答】试卷第8页,总13页连接叩1,A Bi=BiC=C Di=A Di,四面体A B Q i是正四面体,v6点Bl在平面A D f上的投影为AA%C的中心,设为点。，连接BQ.0 C,则=产,设宜:线与平面AD所成的角为则8 s6=乐=菽=，,故选项B错 误 连 接B J A D1/BC1,J1B1C 1 B C1,直线B jAD所成的角为第 二 故选项C正 确 A B 1平面BCCB,AB 1 B,l即亘线C与AB所成的角为9 0 ,故选项D正确.故选：B.15.【解答】由已知2x+2可得v=是 仅4,Y 1 1 1所以-2 Ax M：八；当x=：时，此时(编8,【解答】由已知可得=1 0-2 n,山an-a._i=_2,所以数列S J为等差数列，首项为8,公差为-2,n(n-l)所以Sn=8n+丁*卜2)=_ _ +9 n当n=4或5时，5”取得最大值为20.因为有且只有两个正整数n满足S”所以满足条件的n=4和n=5,因为$3=$6=18,所以实数k的取值范围是(18,20.试卷第9页,总13页三、解答题(共5小题，满分7 6分)17.【解答】AA C J 即为异面直线叫 与AA所成角,丛11平面ABC,c ci1平面ABC,4 1 c B=9 0.CB=xAB2+AC2=/i+l=A/2t CC1=2JiJitanZCjCB=-Z C1CB=arctany更即异面直线 叫 与A%所成角的大小为arctan，12 4VBo-AACrC-JA.J=3-x lx 2 =3-S=$RAC+$BAA A BAJCJ+ScAAfi i i t-i r-=-x l x l +-x l x2 +-x l x +-x x 2 +lx 2=；+l +F +&+2=：+R +F18.【解答】r-2 3 cos2x-l、3 1 3,n,3f(x)=3sinxcosx+cos x+1=ysin2x+-+1=ysm2x+-cos2x+-=sin(2x+-)+-T 巴 fl-1所以f(x)的 最 小 正 周 期 值 域 为d记f(x)=t，则联对由f2(x)-k-f(x)-2O恒成立，知1 2*-2 4 0恒成立，即跟“2-2恒成立，上 2 2 1 5因为t。，所以 口，因为g(3 t-;在 时 单 调 递 增，gma#)=g(M9 W,试卷第1 0页,总1 3页所以k的取值范围是19.【解答】由“x=n,当t=o,x=l时，得k=2,3+品品叫*1 9,故要使促销后商品的剩余量不大于。1（万件）,促销费t至少为19（万元）：设网店的利涧为y（万元），由题意可得，,3 32x t,y=x（1 X 1.5+-）-（3+32x+1），7 5 4 =5。-博 +V）S 50-23*=4232 t+1当且仅当M =即t=7时取等号，此时3-x=0.25.当促销费t为7（万元）时，该网店传出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25（万件）.20.【解答】由题意可得a=2b,a2-b2=4,解 第=2区b=2,W 丁 1所以椭圆的方程为+3=1:设点M.N的坐标为N%，M,（y=kx+4室=18 4,消去V可得：（l +2k2*+16kx+24=0,-16k 24X,+x,=-；x,x,=-;则 1 2 l*2 k2,1 2 l+2 k 所以5 AoMN=；,4 J%+X?产 的 汽=宵L=2企,k+更 更 A解得K=-T所以直缴的方程为丫=TX+4.证明：由题意知M，点的坐标为M J,-y j,将y=kx+1代入椭圆方程可褥:（1+2k%2+4ktx+2t2-8=0,-4kt 2t 8所以X J K有/汽=讪.所/+丫 广 血+&）+正 点,试卷第11页,总13页对于直线丫=6 +、令y=0,得、=工，所以|OP|=I_J,yj-Vj、-v/xj-xjl对于直线M N：V-V2=*(X72)令Y=O,得x=7为1+X2XM+X2*1 xikx2 +o+xkXj t)-h*y.-YJ+VI2匕 产27%2)8k 8 k-再一=-：,所以|OQ|=I：I,所以|0P|OQ|F ,卜；1=8为定值，故原结论成立.【解答】集合“I是”满 集%集 合“2不是“满集”，理由如下：对于集合“I.P(MJ=l +2=3,且MI共有.4个子集：0,1,2),1,2,当k分别取 1,2,3时,有 1=P(1)-P(0),2=P(2)-P(0),3=P(1,2-P(0),故集合M l是“满集：对于集合“2,P(M2)=1+4=5,14Ml共有4个子集：a,1,4,1,4),当k=2时,不存在“2的两个子集A,B,使得P(A)-P(B)=2,故集合“2不是“满集”，证明：ab%，由小到大能排列成公差为d(d eN，)的等差数列，a1a2.集合M为“满集”，对 任 意 的 正 整 数%,都存在集合M的两个子集A、B.使得k=P(A)-P(B)成立,当卜二 时，由%-l=p(A)-p(B),及P(B)2O,知P(A)=ko或P(A)=%T,若P(A)=%,则P(B)=1,此时A=ai，azam B=aJ,ai=l.若P(A)=%T,则在M的真子集中，P(A)=az+a3+ag最大，必有a=i,此时人=卜2,a2,a),6=0,综上，可得勾=1：若d2 3,当k=%-3时，ko-O k0-l (k0-l)-l .1-(1+d),不存在柒合M的两个子柒A、B,使得k=%-3=p(A)_p(B)成立，试卷第12页.总13页 d=l或2,综，可得集合M为“满集”的必要条件是a】=l,d=l或2,证明：由题设，可得M=1,2,4，,P(M)=1+2+4+.+2m-1=2m-l,对任意心2*-1,k WN ,存在左 匕kW N ,p F。1 ,使得k=2 k jP,|5jS|kl=2 k2+P2.k2=2 k3+P3，其中Xk,k|N,0,1,经过有限次的操作后，必存在 1=1(0 4 sm),k=2 ki+Pi=2(2 k2+P2)+Pi=.=2$+2s-1ps+2s-2ps_1+.+2P2+2pb当=%=%=】时,卜 二八小d+2此时取A=25,2*22，,2s,B=%则有P(A)-P(B)=2$+21+22+2，s-0=k,集合M是“满集试卷第13页，总 13页