2021届高考数学二轮专题复习讲义（新高考）专题6第3讲圆锥曲线的综合问题.pdf

第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 考情研析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探 索 性 问 题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点考向探究考 向1最值与范围问题角 度1最值问题例1 （2020.山东省烟台市高考适应性练习）已 知O为坐标原点，F为抛物线C：V =2pM?0）的焦点，过尸且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，AOB的面积为82.（1）求抛物线。的方程；（2）若 尸 为C上位于第一象限的任一点，直 线/与。相切于点P,连 接P R并延长交。于 点M,过P点作/的垂线交C于另一点M 求 PMN面 积S的最小值.方法指导J解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等）；代数法是建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值（利用普通方法、基本不等式法或导数法等）解决的.T对点精练（2020.山东省日照市高三6月校际联合联考）如图，在平面直角坐标系x O y中，抛 物 线C：产=2内（2 0）的焦点为 A为抛物线上异于原点的任意一点，以A。为直径作圆。，当直线O A的斜率为1时，|O4|=4&.(I)求抛物线C 的标准方程；(2)过焦点口作0 A 的垂线/与圆。的一个交点为M,/交抛物线于P,Q 两3点(点M 在 P,Q 之间)，记 QAM的面积为S,求 S?+习 PQ|的最小值.角度2范围问题例 2(2020.河北省衡水中学第九次调研考试)如图，椭圆C ：乐+方=1(。9 0)的左、右焦点分别为,F2,离心率为个，过抛物线C：r=4 勿的焦点F 的直线交抛物线于M,N 两点，当时，M 点在x轴上的射影为人连接NO,M O 并延长分别交。于A,B 两点，连接AB,OMN与 QAB的面积分别记为SOMN 和 S OA B,S OMNSAOAB设=求椭圆。和抛物线C2的方程；求2 的取值范围.方法指导与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解.(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.对点精练(2020.山东省潍坊市三模)设抛物线E：=2，3 0)的焦点为F,点A是E上一点，且线段A P的中点坐标为(1,1).(1)求抛物线E的标准方程；(2)若8,C为抛物线E上的两个动点(异于点A),且8 A 1 B C,求点C的横坐标的取值范围.考向2定点与定值问题角度1定点问题例3(2020.中国人民大学附中模拟)已知椭圆C:$+*=1(。0),四点Pi(l,l),P2(0,l),尸3(-1,坐)，当中恰有三点在椭圆C上.求。的方程；(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A,8两点.若直线P iA与直线P 2B的斜率的和为-1,证明：/过定点.历法指导,圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.提醒：(1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可.如直线 =履+仇 若万为常量，则直线恒过点(0,by,若 为常量，则直线恒过点(-0)(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为力(x,)+初(匚)=0(%为参数).解方力(x,y)=0,程 组,，、八 即得定点坐标.y)=0,对点精练（202。河北省保定市二模）已知椭圆C:$+=1 3 泌 0）的离心率为;，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为24.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点。（?,0）（?2）的直线/交椭圆C 于不同的两点M,N,点M关于x 轴的对称点为M,试证明:直线M N 与x 轴的交点S为一个定点，且QQHOSI=4（0 为原点）.角度2定值问题例 4（2020山东省济南市二模）已知椭圆C:叁+石=13。0）的左顶点和下顶点分别为A,B,阴=2小，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2.（1）求椭圆。的方程；已知M 为椭圆。上一动点（M 不与A,8 重合），直线AM与y 轴交于点P,直 线 与 x 轴交于点Q,证明：IAQHBPI为定值.方法指导圆锥曲线中定值问题的两种解法（1）首先由特例得出一个值（此值一般就是定值）然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关.（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值.对点精练已知椭圆C+营=1（。泌0）的离心率为坐，点 4 2,的在椭圆上，。为坐标原点.（1）求椭圆。的方程；（2）已知点P,M,N 为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形。PMN的面积S为定值，并求出该定值.考向3 探索性问题2 2例 5（2020.湖北省黄冈市模拟）已知椭圆C:招+方=1（。人 ）的左、右焦点 分 别 为 点Fi,左、右顶点分别为A,B,长轴长为4,椭圆上任意一点P（不3与A,B重 合)与A,8连 线 的 斜 率 乘 积 均 为-不(1)求 椭 圆C的 标 准 方 程；(2)如 图，过 点B的 直 线 外 与 椭 圆C交 于M,N两 点，过点尸2的 直 线/2与椭圆。交 于P,Q两 点，且/1/2,试 问：四 边 形MNPQ可否为菱形？并请说明理由.方法指导解 析 几 何 中 的 探 索 性 问 题，从 类 型 上 看，主 要 是 存 在 类 型 的 相 关 题 型，解决这 类 问 题 通 常 采 用“肯 定 顺 推 法”，将 不 确 定 性 问 题 明 确 化.其 步 骤 为：假设满足条件的元素(点、直 线、曲线或参数)存在，用 待 定 系 数 法 设 出，列出关于待定系 数 的 方 程 组，若 方 程 组 有 实 数 解，则元素(点、直 线、曲线或参数)存在；否 则，元素(点、直 线、曲线或参数)不存在.对点精练(2020.广东省韶关市二模)在直角坐标系x y中，已 知 点A(-2,2),伏2,2),直线AO,BD交于D,且 它 们 的 斜 率 满 足kA D-kBD=-2.(1)求 点。的 轨 迹。的 方 程；(2)设 过 点(0,2)的 直 线/交 曲 线。于P,。两 点，直 线OP与。分 别 交 直 线y=-1于 点M,N,是 否 存 在 常 数 九 使 SM PQ=1 OMN?若 存 在，求 出 人的 值；若 不 存 在，说明理由.真题“押题 真 题 检 验 1.（2020全国卷I ）已知A,B 分别为椭圆E：，+9=1（。1）的左、右顶点,G 为E 的上顶点，尼访=8,P 为直线x =6 上的动点，布 与 E 的另一交点为C,与 E 的另一交点为D 求E 的方程；（2）证明：直线C。过定点.2.（2020.新高考卷II）已知椭圆C：捻+5=13*0）过点M（2,3）,点A 为其左顶点，且A M 的斜率为g.求 C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求 AMN的面积的最大值.3.（2020.新高考卷I ）已知椭圆C：5+方=1（。乂0）的离心率为笔 且过点A（2,l）.求。的方程；（2）点M,N 在。上，且AM1 AN,AD 1 M N,。为垂足.证明：存在定点Q,使得D0I为定值.押题4.椭圆C:今=1（。匕 ）的焦距是8啦，长轴长是短轴长的3 倍，任作斜率为;的直线/与椭圆。交于A,B 两点（如图所示），且点P（3/，啦）在直线/的左上方.求椭圆C 的方程；（2）若|4 阴=2 ，求 的 面 积；（3）证明：出8 的内切圆的圆心在一条定直线上.专题作业1.(2020.山东省德州市一模)已知抛物线E：f =2py(p0)的焦点为尸，圆 M的方程为2+V _p)，=0,若直线x=4 与x 轴交于点R,与抛物线交于点Q,且应用=1RQ.(1)求抛物线E和圆M 的方程；(2)过焦点F 的直线/与抛物线E 交于A,B 两点，与圆M 交于C,。两点(A,。在 y 轴同侧)，求证：IACHDBI是定值.?22.(2020山东省泰安市三模)已知椭圆”+%=K。)的右顶点为A,上顶2 R点 为B,。为坐标原点，点。到直线AB的距离为拶，048的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/与椭圆交于C,。两点，若直线/直线A B,设直线AC,8。的斜率分别为M,k2,证明:几近为定值.3.已知抛物线C 的方程为丁=2*5 0),点R(l,2)在抛物线。上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点。(1,1)作直线交抛物线C于不同于坐标原点及火的两点A,B,若直线A R,)?分别交直线/：y=2x+2 于M,N 两点，求|用 2 最小时直线AB的方程.4.(2020.山东省泰安市二模)已知椭圆C:+p=1(。/0)的离心率e满足2e2-3啦 e+2=0,以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线2x-y+4小=0 相切.求椭圆。的方程；过点P(M)的动直线/(直线I的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点，问在y 轴上是否存在与点尸不同的定点Q,使得船=衰 恒 成 立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.5.(2020.山东省实验中学高考预测卷)已知抛物线：y =2px(p 0)的焦点为F,尸是抛物线，上一点，且在第一象限，满足而=(2,2仍).(1)求抛物线广的方程；(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线广于M,N 两点，经过定点3(3,-6)和 M 的直线与抛物线交于另一点L,问直线N L 是否恒过定点？如果过定点，求出该定点，否则说明理由.6.(2020湖南省常德市模拟)有一种曲线画图工具如图1 所 示.。是滑槽的中点，短杆O N 可绕。转动，长杆M N 通过N 处较链与。N 连接，M N 上的栓子。可 沿 滑 槽 滑 动，且 O N=O N =T，0 M =1 .当栓子。在滑槽A B 内做往复运动时，带动N 绕。转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，A 3 所在的直线为X 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系.人图 2(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)设B 为曲线C 的右焦点,P 为曲线C 上一动点，直线PF2的斜率为k(kWO),且尸B 与曲线。的另一个交点为Q,是否存在点7(0,。，使得N T P Q=N T Q P?若存在，求出f 的取值范围；若不存在，请说明理由.7.(2020.山东省济南市一模)在平面直角坐标系x Qy中，已知点A(小，0),直线/：x =半，动点P 满足到点A 的距离与到直线/的距离之比为竽；已知圆C 的方程为+f=4,直线/为圆C 的切线，记点4小，0),B(-3,0)到直线/的距离分别为M,d2,动点P 满足|例=4,P B =d2；点S,T 分另在x 轴、y 轴上运动，且 =3,动点P 满 足 舁=|示+；而(1)在这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；(2)记(1)中的轨迹为E,经过点。(1,0)的直线/交 E 于 M,N 两点，若线段MN的垂直平分线与y 轴相交于点Q,求点Q 纵坐标的取值范围.8.(2020.山东省青岛市三模)已知直线/.过坐标原点0且与圆x2+产=4 相交于点A,B,圆M 过点A,8 且与直线y+2=0 相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)若圆心在x 轴正半轴上面积等于2兀的圆W 与曲线C 有且仅有1 个公共点,求出圆W 的标准方程；已知斜率等于-1 的直线/2交曲线。于 E,F 两点,交圆W 于 P,Q 两点,求扬EF 的最小值及此时直线，2的方程.第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 考情研析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探 索 性 问 题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点考向探究考向1 最值与范围问题角度1 最值问题例 1 (2020.山东省烟台市高考适应性练习)已知。为坐标原点，F为抛物线C：尸=2*(0)的焦点，过/且斜率为1的直线交抛物线于A,8两点，X A O B的面积为872.(1)求抛物线。的方程；(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线/与。相切于点P,连接P F并延长交。于点M,过P点作/的垂线交。于另一点N,求 P M N面积S的最小值.解(1)由已知，得 直 线 的 方 程 为y=设A M,yA),B(XB,ye),yi=2px,联立，n 可得y2-2py-p2=0,显然/0,y=x-2，贝 l l yA+yB =2p,yAys=-p1.于是似-ys=j(yA+yB)2-4yAyB =4/72+4 p2=2啦p.S&AOB=g X X _ yn=坐p2=82,所以P=4.故抛物线。的方程为V =8x.设尸(x o,yo)(-o O),喂，y ,戏，”)，切线/的方程为io =r(y-yo),则有国;=(r 2,yi),乔=(三一2,yo),由M,F,P三点共线，可 知 前/F P,即 值-2卜一停一2卜=0,因为y()#yi,化简可得yo y=-1 6.x-xo=t(y-yo),S ,可得y2-8+8(yo-8x o =0,t r=8x,因为直线/与抛物线相切，故/u GM-SZf yo +M”故,=学所以直线P N的方程为y-yo=-5。-次)，即yo x +4y-4 yo _ g =0,y?yo ，“血I g+4 yi-4 yo-|点M到直线P N的距离为d=-r =-jyi+1 6,32“血1 6。+货+不将 6=而代入可得，冲 Yy6+1 6_。4+1 6)281 yo l 由 m，v o x +4 y-4 w -T-=0,联立-8)2 =8X,消去 X 可得，yoy2+32y-32yo =0,32 32所以y+”=一 品”P N =1 6+资伙)-2|=1 1 僚+1 6）2故 5=刊取=野而语*2()j+1 6)d)3+1 6）。+卸1 6 出 R y oX部 3=64,当且仅当yo =4时，=成立,此时，?断面积S 的最小值为64.方法指导解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等）；代数法是建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值（利用普通方法、基本不等式法或导数法等）解决的.对点精练(2020.山东省日照市高三6 月校际联合联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：V=2px(p0)的焦点为 A 为抛物线上异于原点的任意一点，以 AO为直径作圆Q,当直线QA的斜率为1时，|。4|=4也.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过焦点尸作0 4 的垂线/与圆。的一个交点为M,/交抛物线于P,。两3点(点M 在 P,Q 之间)，记OAM的面积为S,求 W+习 PQ|的最小值.解 当%=1时，可得A(2p,2p),OA=)4p2+4p2=2y12p,.*./?=2,抛物线C的标准方程为/=4x.(2)设A(xi,yi),M(xo,yo),P(X2,”)，Q(X3,”)，OAFM=O=%ixo+y lyo-xi=0,根据题意有_ 一OM-AM=-xxo+W-yyo=0,即焉+W=xi,又|AM|2=|0A|2-OM2=x?+y?-(+6)=x?+y?-xi=x?+3xi,/.S=AM-OM=+3%1 +0 S2=$I(6 +3),由题意可知，直线PQ的斜率一定存在且不为0,x=ny+1,设/PQ：x=ny+1,.*.9 y2-4ny-4=0,=4x.丁 2 +”=4凡/”=-4,-P Q =ypT r y2-y3=4 +层.q 62+”)2-4y2y3=4(1+n2),PQ LO A,-kP Q-=一 1=一 导|PQ=4(1+/)=4(1 +|,：.S2+P Q =x(x?+3xi)+6(1 +T),令/(x)=1x(x2+3尤)+60+(x)=+2 令 g(x)=犬+2/-3 2,贝 ij g(x)在 0 时单调递增，又 g(2)=0,.当 x(0,2)时，g(x)0,即当X6(0,2)时，7U)单调递减，当x(2,+8)时，4X)单调递增.当 X=2 时，fix)min=23.3即 S 2+/Q的最小值为23.角度2范围问题例 2（2020.河北省衡水中学第九次调研考试）如图，椭圆+1（0）的左、右焦点分别为n,Fl,离心率为彳，过抛物线a：f =4勿的焦点尸的直线交抛物线于M,N 两点，当|M同=（时，M 点在x 轴上的射影为Q.连接NO,MO并延长分别交C 于A,B 两点，连接AB,aOM N与048的面积分别记为、S&OMNS&OMN 和 S OA B,设 =T(1)求椭圆。和抛物线C2的方程;求的取值范围.解(1)由抛物线定义可得M(-c,(点M在抛物线f =4勿上，.,./=4弓-匕)，gp c2=7b-4b2,又由、坐，得/=3序，将上式代入，得 加=7d解得8=1,.=小,.*.67=2,椭 圆G的方程为+9=1,抛物线C2的方程为f =4卜(2)设直线M N的方程为y=辰+1y=kx+1,由 j,消去)，整理，得炉-4履-4 =0,设 M（xi,yi）,N（X2,”），则 xix2=-4,设 koN-m,koM-mi /y2 yl i 1则 相 加=x2=16x m=-4：.m=-r,4/n设直线ON的方程为y=mx(m0),y=twc,由j，解得X2=4m,f =4y,|CW|=1 +m2x2=4m 1 +n r,由可知，用-七代替加，可 得 汨=-5，QM=寸+（一 排 刈*/1+春y=mx,设 4（X 4,/），8（XB,冲），由JX2 9,彳+9=1，2解 得 必 二 而 4 7,：.OA=yj 1 +m2|x A|=1 2用一诟代替加，可得X B=“A w+1lOM sin/M ONSa(MB 邸 in/A OB1则JON-OM=OA-OB.：的取值范围为2,+8).方法指导J与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解.(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.对点精练(2020.山东省潍坊市三模)设抛物线E：/=2外。0)的焦点为E,点A 是 E 上一点，且线段A F 的中点坐标为(1 ).(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若8,C为抛物线E上的两个动点(异于点A),且 刚18 C,求点C的横坐标的取值范围.解 依题意，得/(0,2)设A Q),加)，1 2,由 的 中 点 坐 标 为(1,1),得 2J =2，即 x o =2,yo =2-2,所以 4 =2p(2-用，得2一4 +4 =0,即 p=2,所以抛物线E的标准方程为x2=4 y由题意知A(2,l),设“,&,),m T 则 kB A=j _ 2=4 +2)，4因为X学一2,所 以 法=-R，x?一 4故B C所在直线方程为y-1=7 7 K x-幻).f 3-4 Z 联立片 K(I),=4 y,因为 得(x +x i)(x i +2)+1 6=0,即 X+(x +2)x i +2x +1 6=0,因为/=(x +2)2 4(2%+1 6)20,即尤2一4%6020,故 x 21 0 或 x W -6.经检验，当x=-6时，不满足题意.所以点C的横坐标的取值范围是X2 1 0或x 0.设 A(xi,yi),8(x2,y2),贝 lJxi+X2=8km4储+14m2-4XX2=TT?4公+1而 +42y-1 yi-1 Axi+m-1 kxi+m-1 2kx xi+(m-l)(xi+X2)+XI X2+XIX2XX2由题意 ki+ki=-1,故(2Z+1 )x 1 x 2+(m-l)(x i +X2)=0.4 m2-4即 3+1).赤 7+(一).诉 7=8当且仅当加-1 时，/0,故/：y=-2 X +机，即 y+1 =2(九 一 2)，所以/过定点(2,-1).方法指导J(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.提醒：(1)直线过定点，常令参数的系数等于0 即可.如直线y=乙+仇 若 b为常量，则直线恒过点(0,by,若工为常量，则 直 线 恒 过 点 o).(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为力(x,)+初(x,y)=0(%为参数).解方力(x,y)=0,程 组 一、八 即得定点坐标.y)=0,对点精练(202。河北省保定市二模)已知椭圆C:5 +泌 0)的离心率为;，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2小.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过定点。(?,0)(?2)的直线/交椭圆C 于不同的两点M,N,点M关于x 轴的对称点为“，试证明:直线M N 与x 轴的交点S 为一个定点，且1 00Ho s|=4(0为原点).a=2,解(1)由题意得 0得(4一m 2/+3 0,即标 0)的离心率为当，点 42,啦)在椭圆上，。为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P,M,N 为椭圆。上的三点，若四边形O P M N 为平行四边形，证明四边形。P M N 的面积S 为定值，并求出该定值.工 也a 2，解(1)由题有4上 2 .层=8,拄=4,a2+b2=i j C2+=椭圆C的方程为g +1.(2)当直线P N 的斜率左不存在时，直线P N 的方程为=啦 或 x=-啦，从而有|P7V|=2小，所以四边形O P M N 的面积S =P N-OM =；X 2小 X 2/=26.当直线P N的斜率k存在时，设直线P N的方程为y=kx+机(mWO),P(xt,yi),N g,yi),将直线P N 的方程代入椭圆C 的方程，整理得(1 +2F)/+4knvc+2m2-8=O,c c _ 4 加当/二 64 K-S nr+32 0 时，有 x i +1 2=1 +2k2，2?2-8,八 2m 1 X 2=+，X +V2=Z(x i +-2)+2加=+2 3，由 而=舁+砺，得 M-4km1+2 R将M点的坐标代入椭圆C 的方程得/=1 +2巳该关系式满足/().又点。到直线P N 的距离为d=谭 云,|PN|=y1(x i -X 2)2+(y-yi)1=yj 1 +lx-X 2I,四边形O PMN的面积S =d,|P形=|*|x i -阉=寸1 +2 s.也?+X2)2 4 X 1 X 2综上，平行四边形。尸M N的面积S为定值2册.考向3探索性问题例5(2020湖北省黄冈市模拟)已知椭圆C：$+营=1(。匕 0)的左、右焦点分别为点B,尸2,左、右顶点分别为A,B,长轴长为4,椭圆上任意一点P(不3与A,8重合)与A,8连线的斜率乘积均为-主(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点Fi的直线八与椭圆。交于M,N两点，过点正2的直线/2与椭圆。交于P,Q两点，且人/2,试问：四边形M N P Q可否为菱形？并请说明理由.解(1)由题意，知。=2,则 A(2,0),B(2,0),设尸(x o,yo)(而W 4),则点P与点A连 线 的 斜 率 为=1为，点尸与点8连线的斜率为=肃:，故/=-*又因为点P在椭圆。上，故有手+消=1,联立，解得=3,则椭圆。的 方 程 为%9 L(2)由 于 点 份 关 于 原 点 对 称 且/1/2,故/1,/2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以四边形M N P。为平行四边形.由(1),知R(-1,0),易知直线M N不能平行于x轴.所以令直线M N的方程为 x 设 M(x i,yi),Ng yi).联立方程3+4/-1 2=0,x =my-1,得(3m 2+4)y 6my-9 =0,显然 A 0,6m 一 9所以6+券=病 大 2=WT4-若四边形MNPQ是菱形，则 O M I ON,即 丽丽=0,于是有汨垃+yy2=(nr+1 加”-m(yi+产)+1 =0,-1 2/2-5、整理得3 F+I=0,即 1 2 +5=0,上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ不可能是菱形.方法指导解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.对点精练(2020.广东省韶关市二模)在直角坐标系x O y 中，已知点4-2,2),仅2,2),直线 AO,BD交于D,且它们的斜率满足心。-如。=-2.(1)求点。的轨迹C 的方程；(2)设过点(0,2)的直线/交曲线C 于 P,。两点，直 线。P 与。分别交直线y=-1于 点 M,N,是否存在常数九 使 SM PQ=1 OWV?若存在，求 出 入的值；若不存在，说明理由.解(1)设。(乙 y),由 A(-2,2),8(2,2),得y-2 y-2kAD 2),kB D (x W2),X +，x Zy-2 y-2kAD-k/B D =-2,T T=-2,x+2 x 2整理，得 V =2MxW2).(2)存在常数 =4,使 SO P Q UIS AW M证明如下：由题意，知直线/的斜率存在，设直线/：y=kx+2,P(X1,1),Q(X2,y2).y-+2联 立，c 得2-2日-4 =0,显然/0,d =2y,贝x i+X2=2 k,九 1X2=-4.|xi-X2=N(Xl+X 2)2-4*1X2=、4 必 +16=2 标 +4,贝lj 5 OPQ=2-2-|xi-X 2=24 2+4.直线 OP：y=x,取/=-1,A1倚但 M=XI直线。Q：y=*，取y=-i,得必=-葭.X2 Xi 尢2丁1 -Xy23 一却=吊一11=1 y y xz(kx+2)-x(kx2+2)|(kx+2)(te+2)|2(X2 T l)|一|F尢 1X2+2k(x+X2)+4|一1 J-+4 S O MN=1 1|心/XN|=2 1S&OP Q -4sO M M 故存在常数 2=4,使 S OP Q =2S&OMN.真题学押题 真题检验91.（2020全国卷I）已知A,8 分别为椭圆E:，+尸=1（。1）的左、右顶点,G为E的上顶点,A G G B =S,P为直线x=6 上的动点，出 与 E 的另一交点为C,P8与 E 的另一交点为D 求E 的方程；（2）证明：直线CO过定点.解（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程 E：+溜=1(。1)可得A(_a,0),B(a,0),G(0,l),：.A G =(a,l),G B =(a,-1).：.A G G B =a1-1=S,.a2=9.椭圆E 的方程为g +V=L(2)证明：由得 A(-3,0),3(3,0),设 P(6,州),yo-0则直线A P的方程为y=。一(一+”3),VO即 y=7（x +3）,直线 BP 的方程为 y=（x 3）,gPy=f（x-3）.f-v2 2 i+V=l，联立直线A P的方程与椭圆的方程可得J,y=(x+3),整理得（的+9*+6ybc+9J8-81=0,3y8+27解得x=-3或x =及+9 .将*=需 子 代 入）=/+3）可得 =泰,.点c的坐标为（募手,黑；（3京 一 3-2y（）同理可得，点。的坐标为最R.直线C。的方程为6yo 1 -2yo（_ 2yo l M +9 t y3+1 J（3-3、，+1 J-3）6+27 3M 一 3?yo+I /W +9 yi+1整理可得_ 4 yo （3H-3 2y（）_ 4 yo （3A）-3（3-y8）F W +1 J 货+1 -3（3-2故直线C O过定点（I，0）.2.（2020新高考卷II）已知椭圆C：%+后=1（。0）过点加（2,3）,点4为其左顶点，且A M的斜率为方(1)求。的方程;点N 为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值.解(1)由题意可知直线AM的方程为y _ 3=g(x 2),即无-2y=_ 4.当y=0 时，解得x=-4,所以a=4,由椭圆 C:，+方=1(。0)过点 M(2,3),4 9可得读+7=1,解得从=12.9 2所以C 的方程为言+右=1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m,如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时AMN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m与椭圆方程/布+V右2=1,可得 3(m+2 +4;/=48,化简可得 16y2 +12my+3/n2-48=0,所以/=144*-4X16(32-48)=0,即 m2=6 4,解得加=8,与AM距离比较远的直线方程为无-2y=8,直线AM的方程为x-2y=-4,点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,8+4 12 5利用两平行线之间的距离公式可得点N到直线AM的距离仆由两点之间的距离公式可得|AM=4(2+4)2+32=3小.所以 AMN的面积的最大值为gx 3小 X喈=1 8.3.(2020.新高考卷I )已知椭圆C：乐+*=1(。0)的离心率为乎，且过点4 2,1).求 C 的方程；(2)点 M,N 在。上，且AM1 AN,A D 1 M N,。为垂足.证明：存在定点Q,使得1。1 为定值.工 啦a 2，解(1)由题意可得4上 _ 1 .次+庐=1，、标=序+C2,解得 a2=6,b2=c2=?,故椭圆C 的方程为版+5=1.(2)证明：设点 M i,yi),N(x 2,y2).因为AM_LAN,所以痴俞=0,即(项 _ 2)(X 2-2)+(yi-l)(yt-1)=0.0当直线M N 的斜率存在时,设其方程为 了 =依+根，如图L代入椭圆方程消去y 并整理，得(1 +2d)f +4kmx+2浮-6=0,4km 2 机 2 6川+*2=-1+2 P *1 X 2=+2庐，根据y i=H+y2=t e+m,代入整理，可得(F+1 )x i X 2+(km-k-2)(x i +X2)+(in-I)2+4 =0,r 2m2-6(4 k m、r将代入上式，得(乒+1)仁 正+(加 一%2)-五 朝+(加 一 1)+4 =0,整理化简得(2攵+3+1)(2%+1)=0,因为A(2,l)不在直线M N 上，所以象+机-1 70,所以2米+3阳+1=0,M l,于是M N的方程为y=(X 所以直线过定点戏，-1)当直线M N 的斜率不存在时，可得N(x i,-yi),如图2.代入(x i -2)(x 2-2)+Cyi -1)(2-1)=0 得(x i -2)2+1 -旧=0,结合?+5=1,解得x i =2(舍去)或x i =|,此时直线M N 过 点 既-1)因为A E 为定值，且 AOE为直角三角形，A E 为斜边，所 以 AE 的中点。满 足 DQ 为定值(AE长度的一半为g X (2 一|)2+1 +$=).由于 A(2,I),a,，故由中点坐标公式可得隐I).故存在点。传，W),使得。1 为定值.金版押题24.椭圆C:5+方=1(。0)的焦距是8 6，长轴长是短轴长的3 倍，任作斜率为W 的直线/与椭圆。交于A,8 两点(如图所示)，且点3 6，啦)在直线/的左上方.求椭圆。的方程；(2)若|AB|=2 E，求办8 的面积；(3)证明：出3 的内切圆的圆心在一条定直线上.解由题意可得2c=8 6，即c=4也，又 a=3b、4?_。2=，2=32,.。=6,/?=2,椭圆c 的方程为益+亍=1.设直线/的方程为y=*+f,代入椭圆方程可得2X2+6tx+9P-36=0,当/=-36P+288。，即产 2),9户 一 36贝IJ有的+九2=-31,XX2=,：.AB=y j 1 +)x 9、一 2(9 产 一 36)=2 ,解得r=2 或-2,满足/0.由题意可知，0,即 w2 =丘+1,A(x i,yi),3(x 2,yi).f=4 y,联 立 得1-4 日-4 =0.y=kx+1,贝 l j/=1 6(3 +1)0,且加+1 2=4 氏，xX2=-4.由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为“(0,1),半径为1,圆心就是抛物线E 的焦点.由抛物线的定义可知|AF=yi +i,1即=”+1.则|AC|=|AQ-l=yi,B D =B Fl=y2,AC B D =yyi=kx+l)(t e+1)=lxxi+k(xi+%2)+1 =-41c+41c+1 =1.即IACHDBI是定值1.9 22.(2020山东省泰安市三模)已知椭圆，+方=1 侬 0)的右顶点为A,上顶点为8,。为坐标原点，点。到直线A 8 的距离为告，04 8的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/与椭圆交于C,。两点，若直线/直线A B,设直线AC,8。的斜率分别为匕，ki,证明：h%2为定值.解直线A 8 的方程为 +=1,即+砂-=0,nil则 许ab 二2手小因为 0A8的面积为1,所以%8=1,gp ab=2,解得。=2,h=,所以椭圆的标准方程为，+V=L(2)证明：由知，A(2,0),8(0,1),直 线 的 斜 率 为-；，设直线/的方程为y=-5 +/,C(x i,yi),。(尤 2,”)，代入，+y 2=l,得 2y+-1 =0,t2-1贝I j yi+yi=t,yyi=,所以左小2=X I-2 X2 X1X2-2x2因为 X1X2-2x2=4(r-yi)。-2)-4(/一 yi)=4产-t(yi +yi)+yiyi-，+”=4(yi+J2)2-(yi +m)+)+?”一 (yi +yi)+yi=4(yiy2-y),所以=(为定值.3.已知抛物线。的方程为y2=2px S 0),点R(l,2)在抛物线C上.(1)求抛物线。的方程；(2)过点。(1,1)作直线交抛物线C于不同于坐标原点及R的两点A,B,若直线AR,分别交直线/：y=2x +2于M,N两点，求明可最小时直线的方程.解 点R(l,2)在抛物线C:y2=2px(p 0)上，4 =2 p,解得=2,.抛物线C的方程为V =4 x.(2)设点A(x i,yi),8(x 2,刈，直线A 3的方程为x =w(j-1)+1,加工0且m W l,(X=m(y-1)+1,2.消去X并整理得尸-4畋+4(m-1)=0,y-4x,.y+y2=4 m,yi y2=4(m-1).设直线A R的方程为y=Zi(x-l)+2,y=k(x-1)+2,匕由，.r 解得点M的横坐标砌=，y=2x+2,K-z._ ,yi-2 yi-2 4又 八 R=K4 -1ki 21 -X M=ks-2=一方2同理点N的横坐标刈=y2-y=+yi)2-4 yi y2=4yf?r-m+1,2 2|MN=5XM-XN =y5-+,2、后|A _ 8、行业 L5 1y l y 4|?7 Z-1|7 m2 一 2 +12小|m-1|令 2-1 =/W O 且 f W-1,则Z=r+1,W=2小 4：+#+江 灰，当，=-2,即机=-1时，也加取得最小值正，此时直线A B 的方程为x +y-2=0.4.（202。山东省泰安市二模）已知椭圆C：+p=13*0）的离心率e满足2e2-3也 e+2=0,以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线2x-y+4 币=0 相切.（1）求椭圆C 的方程;过点P（O,1）的动直线/（直线/的斜率存在）与椭圆。相交于A,B两 点,问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点。，使 得 鼠=/公 恒 成 立？若存在