计算方法课后习题答案.pdf

习 题 一3.已知函数y=在x=4,x=6.25,x=9处 的 函 数 值，试通过一个二次插值函数 求4的 近 似 值，并 估 计 其 误 差。解：由题意y=知：%=4,4=6.25,w=9;%=2,y=2.5,%=32（1）采 用Lagrange插 值 多 项 式y=4 =4 ）=W?/。）力j=oy=V7=L2(X)|J=7(x JC jX%JC2)(x0-x,)(x0-x2)0-0)0 12)(X|一%)(%-九2)。一4)。_ 玉),(x2-x0)(x2-x,)2-(-7-6-2-5-)-(-7-9-)-v(7-4)(7-9)(7-4)(7-6.25)v.XZH-X 2.3 H-X j2.25x5-2.25x2.75 2.75x5=2.6484848其误差为f(5)&=!彳(7-4)(7-6.25)(7-9)a-工X/(3，W=-X 23-则 m ax|/(x)|=24 2 0.011721 4.9 1 8.I 7?2 K-(4.5)(0.01172)=0.00879（2）采 用Newton插 值 多 项 式y=77=刈3）根 据 题 意 作 差 商 表：i为/（七）一 阶差商二 阶差商04216.252.5%293%-%95乂 =2+%x(7-4)+(-%5)x(7-4)x(7-6.25)=2.64848484.设=f (左=0,1,.,)，试列出/(x)关于互异节点 x,.(i=0,1,的L agrange插 值 多 项 式。注意到：若“+1个 节 点=.,)互异，则对任意次数W 的多项式/(x),它关于节点x,.(z=0,1,.,)满 足 条 件)=0,1,.,n的插值多项式尸(x)就是它本身。可见，当女时幕函数/(九)=/(左=0,1,.,)关于+1个节点看(1=0,1,.,)的插值多项式就是它本身，故依L a g r a n g e公式有X(x)=(口-)xj =xk,k=0,1,.,n；=0 六0 f=o Xi xi特别地，当&=0时，有立 =丫 _ Y 三 1y=0 六 0 i=0 xi 洋j而当出=1时有*(x)=t n 7 勺三*j=0 j=0 i=0 X j 七 咫 75.依据下列函数表分别建立次数不超过3的插值多项式和N ewton值 多 项 式，并 验 证 插 值 多 项 式 的 唯 一 性。X0124/(X)192 33解：(1)L a g r a n g e插值多项式4鱼)=t/X)匕 Z/x)=1 1 7 7J=o z=0,xj xi详j，/、x-x,x-x9 x-x,x-x-2 x-4 x3-7 x2+14 x-8L(x)=-=-=-XQ Xj XQ x2/-”3 0 -1 0 2 0 4 84(幻=x-x。.Xf .1一&X-Xo X,-%2 X-X3x 0 x 2 x 4 6 x+8xT o eT 2 *7 4-s-，/、x-xa x-x,x-x,x-0 x-1 x-4 x3-5x2+4 xl9+(0-l)(0-2)(0-4)(l-0)(l-2)(l-4)(x-0)(x-l)(x-4)*2 3+(x-0)(x_l)(x_2)*3(2-0)(2-l)(2-4)(4-0)(4-l)(4-2)=一(卜2 -3X+2)(X-4)+3X(X2-6X+8)-2 3一X4-5 X+4)+_ 卜2 -3x+2)-入+3-x+12（2）N ewt o n 插值多项式4 4kXkf（Xk）一阶差商二阶差商三阶差商0011198222 3143343-10-8M （x）=/（/）+/（X。,玉）（x 玉）+/（%，玉，Z）（%一5）（-X1）+f（xo,玉，X3）（x *0）（x-X）（x 一 刀2）由求解结果可知：4（幻=%（%）说明插值问题的解存在且唯一。7.设 X）=/,试利用L a g 加g e 余 项 定 理 给 出/（%）以-1,0,1,2 为节点的插值多项式4（%）。解：由 L a g r a n g e余项定理R“(x)=F(x)-L (x)=严1）5+1)!可+G）J e a,b可知：当=3时，/5+l）（J）=/（4）（x）,力=4!4!4(X)=/(X)-(X-XO)(X-X 1)(X-X2)(X-X3)=X(X+l)(x 0)(x 1)(2)=2 丁+x-2 x8.设/Q)w C?a,可且 f(a)=f(b)=0,求证X/匐masu-00证明：以。力为节点进行线性插值，得L j(x)=x-ba-h/()+x-ah-af(b)由于/(a)=/S)=。,故。(=0。于是由/(x)-i(x)=，；：，a b令，(x)=(x-a)(x-b)XG a,htx)=2 x-(q +b)=0工=早 时|心)|有极大值二 m a x|/(x)|=-m a x m a x(x-a)(x-b)axb11 2 H x幼 ax0)+/(毛0)。一天)+3 +/(%,-一,%)(%一5)(1 一%-。一 七 _)1 ,%一/,(X一%)0一)(X玉 _)=-1-1-1-a-x()(Q _/)(1_%)(Q_4)(Q _%-(当)k=oaxk/=o axi J16.求作满足条件H(0)=1,4(0)=g,”=2,”，=2.的插值多项式P(x)。解 法1：根据三次H er m i t e插值多项式:吗 =(1-2)(L)2%+(1-2 L)(L)2 必xo 一九xo-X,X-Xo Xj-%0+(X X。)(X A)2 y；+(x _%)(A A|)2 乂%一王 玉 一 玉)并依条件 H(0)=1,(0)=L =2,=2.,得2“3 (x)=(1 +2x)(x -I)2+2(3-2x)V +；x(x _ 1)2+2(x-l)x21 ，1 ,=第 +x+12 2解 法 2：由于%=0,%=1,故可直接由书中(3.9)式，得H3(%)=4 (%)为+A (%)y+线(x)%+4 (%)y=(x-1)(2x +1)x 1 +x2(-2x +3)x 2+x(x-1)x+x2(x 1)x 21 ,1 ,=-X +-X+12 21 8.求作满足条件“3 (0)=1,”3 (1)=2,4 (2)=9,H/(l)=3 的插值多项式/(X),并估计其误差。解 法 1：由已知条件X012y129/y3用基函数方法构造“3(X)。令“3 (x)=4(X)+A (x)X +4 (x)2+4 (x)X其中，4(X)，A(X)，4(X)，4(X)均为三次多项式，且满足条件4(0)=1 4=4 =4=。4 1)=1 A(0)=A(D =A(2)=0硝1)=1 4(0)=耳=旦=04 =1 4(0)=4=4 =0依条件可设4(x)=C(x-l y(x-2),由 4(0)=1,可得：C=-g,4(x)=-；(x l)-(x-2)同理，A(x)=x(x 2)，a(x)=；x(x I 1,耳(x)=x(元 1)(元 2)I、H3(x)=(x-l)(x-2)x l-x(x-2)x 2-x(x-l)(x-2)x 3i9+-x(x-l)X9=X3+1误差为:鸟(力=/(切一&(%)=仆)4!x(x 1)(x 2)解 法 2：用 承 袭 性 构 造“3 (力由条件4 (0)=1,4 (1)=2,4 (2)=9 先构造一个二次多项式N式X)作差商表：iXiP(%)一阶差商二阶差商001112122973于是有：7V2(X)=1 +1X(X-O)+3(X-0)(X-1)=3X2-2X+1令所求插值多项式“3 (%)=N 2(X)+C(X-XO)(X-X1)(X-X2)利用剩下的一个插值条件H；(l)=3,得N；(3)+c(x,-x0)O|-)=(西)由此解出c=3-4(王一小乂玉一%2)(1-0)(1-2)故有 P(x)=N2(x)+x(x-l)(x -2)=X，+11 9.求作满足条件“3 (毛)=/(七)(=0，1)，3 )G o)=f，(x()(A=1,2)的插值多项式P(x)。并给出插值余项。解：令2(X)=/(XO)+/(XO)(XTO)+/，)(X-X(1)2(九)=2(刈+，(%-%)3利用插值条件 3(XJ =X J 定 出：/(%)一(X-X)3注意到这里X。是三重零点，可是单零点，故插值余项为/(x)-%(%)=严-XO)3(X-X,)2 0.求作次数W 4的多项式尸(x),使满足条件P(0)=-l,P(l)=0,尸(0)=_2/=1 0,y(1)=40并列出插值余项。解 法1：由 于 在x =0处有直到一阶导数值的插值条件，所以它 是“二重节点”；而在x =l处有直到二阶导数值的插值条件所以x =l是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：/x,x,.,x=li n 4+1 J T X九*_”x)k可以作出差商表玉“x j一阶二阶三阶四阶0-10-1-21013101 096101 0201 15根 据N e w t o n插 值 多 项 式，有P(x)=/(/)+/(%，)(X-)+/(%，/，%)(%一/+/(X0,X0,XI,XI)(JC-X0)2(X-X1)+/(X0,X0,XI,X1,XI)(X-X0)2(x-Xj)2尸(x)=1 2x +3 x +6x-(x 1)+5 x (无 一1),且插值余项为“X)P(X)=*(加2(1)3弟 一 早 合 柒1.计算下列函数/(X)关于c 0,i 的 L,|4，|/|2：注：帆Lual/axwgfva)网,用2=。：/(力 公(l)x)=(x 1)3(2)/(x)=(3)/(x)=x (x-l),m与 为正整数(4)/(x)=(x+l)e-J t解：/(x)=(x-l)3|/(”L =m a x|/(x l=m a x|(x-l)3|=11 4 =J；Y(x)=J；&-x)&=g02=(x)时=(1)6时咚“尤)=卜-;l/(x)L=m a x|x)|=m a x x 彳2114=(x g),=1(：_幻 心+(%_ 公=；乙乙912 2m 2 =(f 可=(f(X一 步=263./(尤)：0是区间 0,1上带权p(x)=jc的最高次项系数为1的正交多项式族，其中%(x)=l,求k 0()公 和9i(x)。解法一：J。MM*)=，)P(x)83(x)8o(x)dx GO：。是区间 0,1上带权p(x)=g勺最高次项系数为1的正交多项式.p(%)7(%)%(x)么=0,即J。(幻公=。由于温饴J x2dx 2(px)=x-=-xdx 3Jo解法二：设8(x)=x+c,则由行(、+加=泻兀4.求,使积分+一sin、)?否 取得最小值。解：题 意 即 为 在 =spa l,x中 求/(x)=sinx的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式P x)-aa+ax,故4,q满足法方程(%(x),夕o(x)g+(%(x),q(x)q =(y,Q o(x)3(x),%(x)%+Q(x)q=y,(Pi(x)积 分 可 得：42兀 4 i 6 Zn 4-=2 0 8 ,2 3兀 7V i%H-q=lI 8 0 24 1,8万一24g =b=-兀96 244a.=a=-兀=”0.66443 8 9,/7=0.1 1 4770 7.或者按下述方法：因为(o r +/7-s i n x)2小乃3 +-7T2-2a+b+-2 bJ。7 24 4 2 4上式分a别对a乃求偏导，并令其为零，有a-1 3 人2 c 八=a兀+一 万-2=012 41 7=a 兀+b 兀 2=04从而也有 a=7T,8-24b=-715.对 x),g(x)e C1 a,b ,定义(l)(/，g)=J：/(x)g (x)公(2)(y,g)=7(x)g (x)d r +a)g(a)问它们是否构成内积？(1)显 然 有(fg)=(g j)，(/g)=c(g)，c是常数-+%g)=，g)+(为，g)但 不 满 足“当且仅当/=0时(/,/)=0,(/,/)0 这 是 因 为(f/)=S (x)2 =0推 出 了(x)=0,即/为 常 数，但 不 一 定 为0,故(1)不 构 成 内积。(2)显 然 内 积 公 理 的1),2),3)均 满 足，考察第四条(/，/)=J：f(x)Z+/2(a)若 x)=0,则 必 有(/)=0反 之，若(/)=(),则/(x)=0 且 尸 =0,由此 可 推 得 x)=0,即 内 积 公 理 第 四 条 满 足，故(2)构 成 内 积。8.判断函数l,x,Y-g在-1,1 上两两正交，并求一个三次多项式，使其在-1,1 上与上述函数两两正交。解：845所以，1,无 在 1,1 上两两正交。(2)设所求多项式为外(%)，8o)SeJ=X3|x2dxX32x 1Ldx3jX22dxI32 1X 352.用最小二乘法求一个形如y =a+bd的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。Xk192531384 4yk19.032.34 9.073.397.8解:e 0(力=1序(力=%=(1,1,1,1,1)，5=(36 1,6 25,96 1,14 4 4,1936)7y =(19.0,32.3,4 9.0,73.3,97.8)r(G o，R)=l x l +l x l +l x l +l x l +l x l =5(%,/)=1x 36 1+1x 6 25 +1x 96 1+1x 14 4 4 +1x 1936 =5 327(例 用)=72776 99(y,)=36 9321.5(y，8o)=27L 4 5 a+5 327/?=271.4|o =0.9725 295 327a+72776 9%=36 9321.5 匠 0.0 5 0 0 35 1公式是y =0.9725 29+0.0 5 0 0 35 l x2将 x=19,25,31,38,4 4 分另M弋入 y =0.97+0.0 5 炉,得y；=19.0 2,y*=32.22,y；=4 9.0 2,y；=73.17,y；=97.77.所以误差(y*)2=0.0 25A=012.求函数 x）在给定区间上对于=span,x的最佳平方逼近多项式:(y，8o)=J；(l)/(x)=ar c t an x,0,1;(2)/(x)=c o s x,0,l ;(3)/(x)=V x,0,l ;(4)/(x)=e-l,l .解：设夕0(1)=1必(1)=尤(8o，9 o)o +(G o ,0)%=(y，Go)=(y-J(1)/(x)=ar c t an x,0,l(G o，%)=Jo 公=1，)用)=Jo X公=1/2，(件 例)=Jo f 公=1/3arctgxdx=(-g In 2,(y,9)=J。xarctgxdx=(一 g1 1 1 ca、T ci.=-In 2an0=-2 1 n 2 +32 1 4 2 01 1 7 t 1H-Clx=-12 0 3 1 4 2o 2a.=-6+31n 212=-y-2 1 n 2 +3+(y-6+31n 2)x(2)/(x)=c o s x,0,l(%，%)%+(%，(P )i =(y,%)3，%)“o +3，8i)q =(y,p j(8o，)=L=l，(8oM)=J；岫=1/2,(例 用)=J；/d x =l/3(，%)=cos Tcxdx=0,1y、q)=J；x cos 兀 xdx-_-%+gq=oi i6f()4-a,=12 3 112242=/必=一 12 24-2X 7T 7V-)TC(3)/(x)=Vx,0,l j(%，8o)=Jo =l，(8o,8j=J：9=l/2,，Gi)=J o X/=l/3(y，%)=4公=：，(，)=J：公=|1 _ 2%+万4=5 4 4 4 41 J 2 15 1 5 15 5 a.+-7,=12 3 1 5(4)/(x)K，1,1 (%,%)=J _ 0 =2,(%,?)=xdx=0，S必)=必=2/3(y 8o)=J Ie d x n e,()=J Xedc=2e2册=e-e 1-i-i o e-e 3 e-e 32 =-y =+-X o a.=2e 2 e 2 e131 3(月=N，在-1,1上求关于中=即。1,已一 的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是-1,1上的正交多项式取()(%)=1，“2(x)=g (3x2-1),/?4(x)=：(3 5/一 30 x2+3)(Pk(x),pk(x)=(Z=0,2,4)2Z+1(/,Po(x)=j (-x)dx+xdx=1(/,p2(x)=J：-1孤3-l)d r+g虫3尤2 -1)公=；(，,P4(X)=J；(3 5%4 30r +3)xdx+J (35x4 30尤-+3)xdx i i 5 5 9 3%=彳(/,。0(幻)=弓,。2 =：(/，P2(x)=q，%=q(/，P4(x)=-772 Z Z o Z lo所以 P：(x)=a。Po(X)+a2 P2(x)+a4.4(x)=-0.8203125x4+1.640625%2+0.257812516.求/(x)=Inx在 1,2上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。解：设X=+=：+：/，则/(M=lnx=I n ,+:/=8(f),/e 1,1乙 乙 乙 乙 k w 乙 JP：(f)=2 c d (h o23 1-+-t2 2dt=cos e x In W cos e 的=1.520575U 2 J(2r2-l)ln -+-/1 .-2 1 力=2 cos 26 x In H +cos 夕 扪=-0.46204V T 7 万 J。【2 2)所以；(r)=-1.15519+1.520575%一 0.46204(2x2-l)=-0.92408x2+1.520575x-0.69315其误差为111弓+，卜 P；=0.00002055第三章习题答案1.分别用梯形公式、S impson公式、Cotes公式计算积分/=f 4 d I,并估计误差。J 0.5解：1)用梯形公式有：5=+/(0.5)=小 +臼=0.42678 7(b _ aY()53(一 之、-E7(/)=-L f 5)=-:-7 2=2.6042x10-3 2 7 -5)+3 24 i)+124 il+3 2/0+7/(1)焉(4.94 97 5 +2 5.2 982 2 +1 0.3 92 3 0 +2 9.93 3 2 6 +7)=0.4 3 0 96加74+324+噬+7)Ec(f=2v 94 5、jy12-4rf_lx6(94 5x -Z7 2 2 5.6,所以取=2 6。=Jx a 0+l +2 s i n(磊)+s i n(尊)+s i n 嚼)+.+s i n(等)=0.94 6 571喻士-需即学家.兀 兀则 喻 小 磊xjx(=26)n磊xgx=7 x 1 0 -9I 1 1 I 1 80 2 2 n 1 8()2 2 n71 用 小 高X上 恭440一6则 2 7.6=87.推导下列三种矩形求积公式：f/(*)公=(一)/()+4 (一)2；f“X)公=(a)/S)一 一(3)J：/(x)公(学证 明：将/(X)在X=。处T a y l o r展开，得/(x)=/+/，C)(x -a)，e (a,x).两边在 a,切上积分，得C f(x)dx=1 f(a)dx+1/C)(x -d)dxJ a J a J a=0-)/()+-J：*-a)dx=S-)/(t z)+；f(n)(b 一 ,e a,b.将f(x)在x =b处T a y l o r展开，得/(*)=/3)+八4)(%-勿,会(乐故两边在 a,切上积分，得C f(x)dx=1 f(b)dx+/O(九-b)dx=S-a)/S)+八 )J：(x-b g=(b-)/(/?)-g f(r)(b一a)?,e a,b.(3)将/(x)在x =彳处T a y l o r展开，得/(幻=/(?)+/(等)5 -与)+1 /6)(%-早 了,a,b.两边在 a,切上积分，得(尤 但 心 中)八+1：八?)(“一等但1/(审)/=3。)/(噌)+/(彳)：(龙 一 修 心+；7 0()2公=(j)型黄+与/-4.10.判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：3a力 小 耳 /+/解：插值型求积公式：f(x)dx=支 Akf(xQ 其中 4 =Y二*dxa k=0 a i=0 Xk Xii/kn .r3 x 2 3.3%1 3则 AQ=I-dx ,A.=I-dx.J。1-2 2 Jo 2-1 23 3因此，f/*)为:。一 +/(2)是插值型的求积公式。J。2因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。对于/(X)=Y时，f(x)dx=x2dx=9;3 3 15-/(l)+/(2)=-(l+4)=y 9.可见它对于/(x)=r不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。1 1.构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：公=4/(0)+4 1)；(2)J：。a (0)+a j 仅)+笈/(0)+/(力)；J：/(X)叱 4/(-)+A/(药).解(1)：令原式对于/*)=l,x准确成立，于是有4 +A=1闩2解之得 A)=-，A =-于是有求积公式2 2/U KX-1 /(O)+-1/(I)容易验证，它对于/*)=/不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。解(2)：令原式对于/(九)=1,匕无2,丁准确成立，于是有a0+ai=1a +片=；c”1a+24=-cC 1a+3片=1解之得=4=-!-,g=-，.于是有求积公式2 2 12 12rh J 1 0/(-M/(0)+/(/)+-/2/(0)-/1(A).ph 1 0容易验证当/(幻=/时，I/(幻心：=/亡而J。5!(0)+/(%)+1/(0)-/()=J 川(W ：/?)2 12 6 5可见，它对于/(x)=Y不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。解(3)：令原式对于/(x)=l,x,/准确成立，于是有chA+A叱 公=27?-A o 4%=0 解得：=-1A/2+M =|“Ch 1 3 h于是有求积公式 f fxdx。一 /矿(一 九)+-().Jf 2 2 3容易验证，当/(x)=d时，：/0)必:=0;而；好(一/1)+3妙(=一副孔可见，它对于/(幻=尤3 不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。12.利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式:公=4/(Xo)+A/(xJ=4/(/)+4/(%)解(1)：令原式对于/(x)=l,x,x2,丁准确成立，于是有4+4=.“24%+4%=-.,24不+4芍=1(1)4内 +A-i29利用 的 第1式，可将第2式化为2 2-%0+(%)-x0)4 =-(2)同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得2 2-x0+(x,-x0)x,4 =-(3)2 27%+(无(4)/y由(2)(3)(4)式消去(用一无o)A，得2 ,2 2、2-xo+(-r o).1=?2 ,2 2、2/+(,一1 0)芯=进一步整理Z 、2 2M(X o+X|)一 尤0%=-,2 2 2由此解出 玉)玉=捺,毛+%=与.X,=0.8 2 1 1 6 1 9 1 3 1 8 6,X.=0.2 8 9 9 4 9 1 9 7 9 2 5,解得.14=0.3 8 9 1 1 1 0 6 6 8 4 3 6,=0.2 7 7 5 5 5 9 9 8 2 3.因此所求的两点G au ss求积公式：Qjx)dx-0.3 8 9 1 1 1 0 6 6 8 4 3 6/(0.8 2 1 1 6 1 9 1 3 1 8 6)+0.2 7 7 5 5 5 9 9 8 2 3/(0.2 8 9 9 4 9 1 9 7 9 2 5).或依下面的思想：在 0,1 上构造权函数0（x）=4二次正交多项式g 2（x）g0（x）=lg （x）=x-|5gz x 2 1 0 52（x）-x-x-9 2 1令（x）=（x 九0 ）（x -X j ）=x2 X+03 5 +2 V 1 0 3 5 -2 Mx0=-,x.=-0 6 3 1 6 3代入：A。+4=4xdxA0 x0+4内=x4xdxA。=A =5 0 +7 V 1 01 5 05 0-7丽1 5 0，五/(九)公=5 0 +7 厢 3 5 +2 厢 5 0-7厢 3 5-2 厢1 5 0 -63+1 5 0 6 3解(2)：令原式对于/(x)=l,x,x 2,x 3准确成立，于是有4+A =24 4 24）x（）+A x =4片+4工：=-V o+A%i3 =|(1)利用 的 第1式，可将第2式化为2%+(3-/)4=(2)同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得2 2/+(%-5i 4=w (3)2 21%+(尤 一%)西4=,(4)由(3)(4)式消去。-尤0)4,得2 Nc、2+(耳 2%)%=g 2 ,2 2、2-x0+(-x0)Xi=-进一步整理-2 2-(xo+x)-2 xoxl=-2 2 2-Uo+-V|)-V i=3 6由此解出 XQX,=,X0+X,=-.%=0.1 1 5 5 8 7 1 0 9 9 9 5,用=0.7 4 1 5 5 5 7 4 7 1 4 6,解得.14=1.3 0 4 2 9 0 3 0 9 7 2,A=0.6 9 5 7 0 9 6 9 0 2 8 4.因此所求的两点G au ss求积公式：或依下面的思想:1.3 0 4 2 9 0 3 0 9 7 2/(0.1 1 5 5 8 7 1 0 9 9 9 5)+0.6 9 5 7 0 9 6 9 0 2 8 4/(0.7 4 1 5 5 5 7 4 7 1 4 6).(2)在 0,1 上构造权函数/?(x)=十 二 次 正 交 多 项 式 g 2(x)g0(x)=lg/x)=1:x-32 6 3-x x+7 3 56 3令(O o(x)=(x )(x%)x x+=01 5 +2 而 1 5 +2 回=-,x.=-3 5 1 3 5代入：A。+4=A0 xo+Axi-x-=dx 1 8-V 3 OA。=-1 8*,18+同I 1 8pl1 8-回，,1 5 +2回 1 8 +而，/5-2闻0 于 =-/()+-/(-)，x l o 3 5 l o 3 51 3.分别用三点和四点G au ss-C h e by sh e v求积公式计算积分/=J：心:，并估计误差。解：（1）用三点（7 7 =2）G au ss-C h e by sh e v求积公式来计算:此时，/(x)=Vn,/(6)u)=-(2 +x)-5,6 44=k F 5方丁=。，1，），兀 6 371c 5 4 百即=cos =,X,=cos =0,X,=cos =-,6 2 1 6 6 2由公式可得：/=?J2 +.=y(+y/2+0+,2争=4.3 6 8 9 3 9 5 5 6 1 9 7jr 0 4 5由余项可估计误差为|居|=2.0 1 3 3 5 x 1 0 3.-250 5!6 4（2）用四点（=3）G au ss-C h e by sh e v求积公式来计算:,-9 4 5 1 4 3 -止 匕 时，/(%)=A/2-KX,/(8)(x)=-x-x(2+无)2,6 4 4AAk=-=-,xkn+4 k=c o s(i 2+271 3兀 5 4 7 4(2 二 (),，),乃 9 4 5 1 4 3由余项可估计误差为|E.f=3.2 1 3 2 7 X 1 0-4.3 27E 8!6 4 41 4.用三点Gauss-Lege，以re 求积公式计算积分/=，e*cosX，拄，并估计误差。解：作变换x=5(l+f),则得r 1 x 1 兀1*】+，)r兀/I 乃 B f 9 兀I=e cosxax=J e2 cos(1+t)dt=-e2j e2 cos tat由三点 Gauss-Legendre公式：hfM d x|/(-4 )+1./(0)+j /(手)Ja 9 5 9 9 5万一2Q普乃e5-9+8-9+零jr-8=5 e 2(0.05705252905+-+0.650303782451)-12.06167600229.其估计误差为：回(加=5需/C)，六T 1 =#X,偌*(一 9)。吟)卜 7*10：(J =g)。其准确值/=eXcosx&c=-；(l+e)=-12.07034631639.其准确误差等于：|-1 2.06167600229-(-1 2.07034631639)h 8.6703141 x 10-3.第四章习题答案2。用 Gauss列主元素消去法解方程组-3 26、05,10-75-1解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素-3 2 61(4、p o -7 0)代、710-7 0X2二7“f、)-3 2 6X2=45-1 5 jb-i 5 jt6(10-7 00 6100-51 2；X2=(A761105J ;/10-7 0 z x 7玉 10-5 X,=92-2c 1 61()-6 I 10 J l i o j、10-70 X、X2710 x j -lx2=7=00525=52得到方程组，5 _ 5产+5 f=X2=-l0031lX3 J3131 31=1一 当=一I5)I 5)1 5-56。用 Doolittle分解法解方程组 1 0 2 0、(5)0 1 0 1X231 2 4 3X317、0 1 0 3,J,1 0 2 0、1 0 00 Y10 1 0 10 1 0解：A=1 2 4 31 2 1、0 1 0 3,、0 1 0000、112,00勺0其中L=10 21 00 20 00、112,1八 00 0 0 1 0 21 0 00 1 0u二2 1 00 0 21 0 1?、0 0 0由 L y=(5,3,6,17)解得 y=(5,364)7由 Ux=y,解得 x=(1,122)7 o 用 Crout分解法接方程组。11J2 34 98 2716 8 14 丫百、1664256八 2、1044J 9 0,1解：A =L U =J0 02 06 614 360 Y 1 20 0 1330 0 0 124人0 0 04、64L由 L y=b=(2,10,44,19 0f 得 y=(2,4,3,1)由 Ux=y=(2,4,3,l)得 x=(-1,1,一 1,1)11。已 知(2,3,-4)，求 国,凡，凡。解：国1 =闻=9,网2=(.2。=回，网8=零 小|=4I 1 I 1 1 I 13o求证：(1)114 H n|x|L(2)白|H o o-网8=2图k|H h所以|那=人(一)4 4(和7)+4(/1#)+=:+=+%=之端=ZZMI A=f r =1-9 9 100)|A|(9 9 -l O O j矩阵A的较大特征值为19 8.00505035,较小的特征值为-0.00505035,贝Uco d(A)2=|4*仙 ,=19 8.00505035/0.00505035=39 206co d(A)8=A x A-1=199x199=39601g o o第五章习题答案lOx,2X2-2X3=18芯-3X2+2X3=202.设方程组(1)-2X+10 x2-x3=0.5(2)/000因为II G%=巴25=上1 1 .故Gauss-S eidel迭代法收敛。1 50 2据方程组的Jacobi迭代格式:取 x()=(0,0,0尸，计算求得尤=(0.100000,0.050000,0.333333)7,无=(0.176667,0.103333,0.400000)r,x(4)=(0.217289,0.136244,0.483778)r,x(6)=(0.227686,0.144460,0.502559)r,x=(0.230266,0.146434,0.506997)r,x(10)=(0.230893,0.146908,0.508064)r,x(I2)=(0.231044,0.147023,0.50832 l)r,x(3)=(0.200667,0.125333,0.46 llll)7,x(5)=(0.224004,0.141836,0.496593)，产=(0.229404,0.145793,0.505535)7x(9)=(0.230686,0.146753,0.507711/,x(ll)=(0.230994,0.146985,0.508236)r,x=(0.229311,0.146191,0.50723 l)r,x(5)=(0.230684,0.146860,0.508134)r,x(6)=(0.230999,0.147013,0.50834 l)r,x7)=(0.231071,0.147048,0.508389)r.由于|x一xILNOZXIOTW IO T,因此，所求的解为 0.2 3 1 07 l,x；=0.147048,无；=0.508389.r8-3 2、因 为 系 数 矩 阵A=4 11-1、6 3 12,是严格对角占优矩阵，所 以Jacobi迭代法和Gauss-S eidel迭代法均收敛。此方程组的Jacobi迭代格式为：A1Y(小)人20_4_1 7380_ P41HAI+/523 5-407取光=(0,0,0),可求得x=(2.50000,3.00000,3,00000)T彳)=(2.99998,1.99998,1.00002)7尤(=(2.99999,2.00001,1.00002)由 于 卜(一 w o.3xi(r*故所求解为:x：2.99999,X；=2.00001,芯 1.00002丫(*+1)_ 3 丫 (*)_ 1 (*)%一 常 x3 T5-2据 Gauss-Seidel迭代格式：，(*+1)11(k+l),X,=-X?4x)+34 11r(*+1)_ 1 r(*+)_ 1 rx3-2 1 42(+I)+3取光=(0,0,0)，求得:尤=(2.50000,2.09091,1.22727)7产=(2.99993,2.00000,1.00004)r/)=(2.99999,2.00000,1.0000 l)r由于卜-x 卜 0.6x10-4,故所求解为：无：=2.99999,x；=2.00000,石=1.00001x,+0.4X2+0.4X3=13.设方程组0.4%+冗2-O.8X3=20.4x,-F0.8X2+x3=3x+2X2-2X3=1(2)X+%+九3=1 试考察此方程组的Jacobi2X1+2工2+&=1迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。0-0.4-0.4、解：所给方程组的Jacobi迭代矩阵B=-0.400.8、0.4-0.80，A 0.4 0.4因为一阴=0.4 A-0.8=矛+0.32丸=0 解得：4 =0,4 3=3 4 行/0.4 0.8 2则2（8）=0.4四 1,所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。0-0.4-0.4、所给方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵G=00.160.96、00.032一 0.608,因为=4（/12+0.44820.128）=0 解得：4=0,43 =-0.224 Jo.178176则2（G）=0.65 1所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法收敛。0-2 2、Jacobi迭代矩阵8=-1 2-32 0 2,2 2-2因为图阴=1 2 1 =矛=02 2 2则）（B）=0 =0 解得：0 0 2-24 =0,4 3=2 则。（8）=2 1,所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法不收敛。5.讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组Ax=的收敛性，如果收敛，比3 0-2、1 0.5 0.5、较哪种方法收敛较快，其中（1）A=0 2 1；(2)A=0.5 1 0.5、一 2 1 2J、0.5 0.5 1 7、解：Jacobi迭代法迭代矩阵3=0 0-222 0卬-同=0 23-=万-11=0,所以/(B)=更1,Jacobi迭代收敛。2 12 v V122/0 0Gauss-Seidel 迭代矩阵6 =0 00 0232111274同-G|=00040_232212=矛 卜 得)=0 所以。(G)*11 112,Gauss-Seidel 迭代收敛11 后因为 -I，12