2023年两角和与差的余弦精品教案.pdf
山西省第九届“晋阳杯”中学数学课堂教学（高中二组）两角差的余弦公式 教学设计 单 位：柳林四中 教 师：刘 辉 时 间：20XX 年 8 月 14 日3.1.1 两角差的余弦公式 学习目标【知识目标】理解用几何法和向量的数量积法推导两角差的余弦公式的过程，熟记两角差的余 弦公式，能熟练运用两角差的余弦公式，解决相关数学问题。【能力目标】体会向量和三角函数间的联系，培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生 发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。【情感目标】体验和感受数学发现、创造的过程，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学 会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。教学重点:两角差的余弦公式的推导和应用.教学难点:两角差的余弦公式的推导.教学过程:一、创设情境 阅读课本，理解引例模型。设计意图：让同学们通过实例建立模型，锻炼学生应用所学知识的能力，也让同学明白引出本节 内容的必要性。问题 1：cos()cos cos成立吗？请验证。设计意图：培养学生用特值验证的能力。让同学们懂得数学结论不是“想”出来的。问 题 2：通 过 给 角,赋 予 特 殊 值，比 如 cos30 cos(60 30)o o o，猜 想 cos()与 sin,cos,sin,cos之间的关系。设计意图：培养学生的归纳总结能力，感受从特殊到一般的发现规律。二、公式探究 公式 cos()cos cos sin sin的几种证法：方法一：（几何法）前提条件，角 与角 均为锐角且。如右图：设角 的终边与单位圆的交点为1p，1pop，则pox过点P作1PA OPPAC_ PA=_(用表示)OA=_(用 表示)OM=OB+BM=OB+CP=_ 而 OM=cos()所以，cos()cos cos sin sin设计意图：通过方法一的探究，让同学们理解研究角度一般将角 度放在直角三角形中的方法，以及对三角函数线做一定的回顾。方法二：（向量法）在 直 角 坐 标 系xOy中,以Ox轴 为 始 边 分 别 作 角,其 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于cos,sin A,cos,sin B,则 AOB,设向量a OA;b OB,则cos?b a b a=;问题 3：向量a OA和b OB所成的角 和角,有什么关系？设计意图：课本上两个图说明了和两种情况，但最终两种方法所得结果是相同的，正是因为上述原因。2 1 2 1y y x x b a?=.最后得出什么样的结论？设计意图：让同学们通过方法二理解引入向量使得证明过程变得非常简洁。从而理解解题或证明中好的思路非常重要。问题 4:在公式cos()cos cos sin sin中，,都是任意角，但两个向量的夹角是 在 0,之间的，例如：若 OA的终边落在第三象限，这时 便不是这两个 向量的夹角。这是否意味着方法二是错误的呢？设计意图：通过问题 3 的探究，能使得所得公式拓展到任意角。问题 5:除了课本上分和两种情况来说明公式的一般性，你是否能用诱导公式来说明这个问题？设计意图：让同学回顾诱导公式的应用。问题 6：（方法三）在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于0P,以Ox为始边分别作出角,其终边分别和单位圆交于3 2 1,P P P,由1 2 3 0P P P P,你能否导出两角差的余弦公式?设计意图：让同学们尝试新的证明方法，了解数学中证法的多样性，培养学生思考、动手能力。三.公式应用1.利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式:(1)sin2cos(2)cos cos设计意图：让同学们了解诱导公式可以由新学习的公式推导，而不是仅仅记住“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，为学生理解和记忆诱导公式提供了又一种方法。2.利用两角差的余弦公式,求cos15o.设计意图：让同学们逐渐形成这样的意识：只要能用常见特殊角表示的角，它的三角函数值能根据新学的公式推导出来。3.已知23,53cos,2,32sin,求 cos 的值.设计意图：让同学们理解运用公式之前，先应该求出必要的四个函数值，本题中未知函数值需要通过象限进行判断，这是对以前所学知识和本节所学知识的综合应用。三.巩固训练 课后练习题 1,2,3，4 四.课堂小结 1.公式 cos()cos cos sin sin中，,是任意角 2.了熟练掌握并运用两角差的余弦公式;3.了解几种证明方法;每种方法的思想特点，限制条件及推广 4.cos cos cos不一定成立.注意“不一定”和“一定不”的区别设计意图：防止学生因为在公式的推导中是用比较简单得情况做分析的而产生只有锐角才适用公式的误解。通过对几种证明方法的概述让同学们对几种思路产生一定的影响。五.作业习题 3.1 A 组 1,2,3 六.知识拓展：（1）根据本节公式解决引例中提出的问题。（2）你能根据cos()cos cos sin sin求出cos()的公式吗？（3）你能根据方法三的思路推出cos()的公式吗？设计意图：回归引例，达到提出问题、探究问题，最终回归到解决问题的目的。后两个问题的设置是为同学们下节课学习打基础。
