2023年专升本数学公式超详细知识汇总全面汇总归纳.pdf
专升本高等数学公式 一、求极限方法：1、当 x 趋于常数0 x 时的极限：02 20 0 x xlim(ax bx c)ax bx c；00 000ax b cx dax blimcx d cx dx x 当；0 00 00cx d,ax bax blimcx dx x 当 但；2 2 20 020ax bx f cx dx e,ax bx flimx xcx dx e 当 且可以约去公因式后再求解。2、当 x 趋于常数 时的极限：3、可以使用洛必达发则：0 f(x)f(x)x f(x)g(x)lim limg(x)g(x)x x 当 时，与 都 或；对0 x 也同样成立。而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。二、求导公式：1、0 c；2、1 n n(x)nx；3、x x(a)a lnx；4、x x(e)e；5、1(log x)axlna 6、1(ln x)x；7、(sin x)cos x；8、(cos x)sin x；9、2(tan x)sec x 10、2(cot x)csc x；11、(sec x)sec xtan x；12、(cscx)cscxcot x 13、211(arcsin x)x；14、211(arccos x)x；15、211(arctan x)x；16、211(arccot x)x；17、(shx)chx；18、(chx)shx；19、2(thx)ch x；20、211(arshx)x；21、211(archx)x；22、211(arthx)x；三、求导法则：(以下的 5、7、8 三点供高等数学本科的学员参阅)1、(u(x)v(x)u(x)v(x)；2、(kv(x)kv(x)；3、(u(x)v(x)v(x)u(x)v(x)u(x)；4、2u(x)u(x)v(x)v(x)u(x)()v(x)v(x)4、复合函数 y f（x）的求导：f=f(u)u(x),u=(x)（x）其中。5、莱布尼茨公式：0(n)k(n k)(k)nn(uv)=u vkc。6、隐函数求导规则：等式两边同时对 x 求导，遇到含有 y 的项，先对 y 求导，再乘以 y 对x 的导数，得到一个关于 y 的方程，求出 y 即可。7、参数方程x g(t)y f(t)的求导：dy f(t)dx g(t)；22f(t)f(t)d()d y g(t)g(t)dxdx dxdt，高阶导数依次类推，分母总是多一个dxdt，这一点和显函数的求导不一样，要注意！四、导数应用：1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。2、求极值的步骤：方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。方法二：求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。4、求最值的步骤：求导、求驻点及使导数不存在的点、求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值，最小的是最小值。5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。6、图形描绘步骤：确定定义域、与 x 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图形。五、积分公式：1、kdx kx c；2、111x dx x c()；3、1dx ln x cx；4、x xe dx e c；5、1x xa dx a clna；6、cos xdx sin x c 7、sin xdx cos x c；8、tan xdx ln|cos x|c；9、cot xdx ln|sin x|c；10、cscxcot xdx csc x c 11、sec xtan xdx secx c；12、2sec xdx tan x c；13、2csc xdx cot x c；14、shxdx chx c；15、chxdx shx c；16、secxdx ln|secx tan x|c；17、cscxdx ln|cscx cot x|c；18、211dx arctan x cx；19、211dx arcsin x cx；20、2 21 10 xdx arctan c,(a)a x a a；21、2 21 102a xdx ln|c,(a)a x a a x；22、2 21 xdx arcsin caa x；23、21 arcsinxdx xarcsinx x c；24、21 arccosxdx xarccosx x c；25、21 arctanxdx xarctanx ln x c；26、21 arccot xdx xarccot x ln x c；27、udv uv vdu；六、定积分性质：1、b ba akf(x)dx k f(x)dx；2、b b ba a af(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx 3、b c ba a cf(x)dx f(x)dx f(x)dx；4、badx b a；5、b af(x)dx f(x)dxa b；6、baf(x)dx f()(b a),(a,b)；7、udv uv vdu；8、xa(f(t)dt)f(x)；9、020 xaf(x)dx axaf(x)dx 是偶函数是奇函数；10、b b budv(uv)|vdua aa；11、bf(x)dx lim f(x)dxa ab；12、c bf(x)dx lim f(x)dx lim f(x)dxa ca b；七、多元函数 1、N维空间中两点之间的距离公式：1 2 1 2,n,np(x x.x),Q(y y.y)的距离 2、多元函数z f(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，zx表示对 x 求偏导，计算时把 y 当作常量，只对 x 求导就可以了。3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即2 2z zx y y x。4、多元函数z f(x,y)的全微分公式：z zdz dx dyx y。5、复合函数z f(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：dz z du z dvdt u dt v dt。6、隐函数 F(x,y)=0 的求导公式：XyF dydX F，其中x yF,F 分别表示对 x,y 求偏导数。7、求多元函数 z=f(x,y)极值步骤：第一步：求出函数对 x,y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的 x,y 的值 第二步：求出0 0 0 0 0 0 xx xy yyf(x,y)A,f(x,y)B,f(x,y)C 第三步：判断 AC-B2的符号，若 AC-B2大于零，则存在极值，且当 A小于零是极大值，当 A大于零是极小值；若 AC-B2小于零则无极值；若 AC-B2等于零则无法判断 8、双重积分的性质：（1）(,)(,)D Dkf x y d k f x y d（2）(,)(,)(,)(,)D D Df x y g x y d f x y d g x y d(3)1 2(,)(,)(,)D D Df x y d f x y d f x y d(4)若(,)(,)f x y g x y，则(,)(,)D Df x y d g x y d（5）Dd s，其中 s 为积分区域 D的面积（6）(,)m f x y M，则(,)Dms f x y d Ms（7）积分中值定理：(,)(,)Df x y d sf，其中(,)是区域 D 中的点 11、双重积分总可以化简为二次积分（先对 y，后对 x 的积分或先对 x，后对 y 的积分形式）2 21 1()()()()(,)(,)(,)P x P yb dD a P x c P yf x y d dx f x y dy dy f x y dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定 12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 八、排列组合及概率公示 1、排列数公式：(1)(2)(1)mnP n n n n m。当 m n 时称作 全排列，且其排列总数的计算公式是(1)(2)1 n n n，简记作 n!。2、组合公式：(1)(2)(1)!mmnnmmP n n n n mCP m。特殊的，记 1nnC。另有m n mn nC C，故记01nC。3、互斥事件：不能同时发生的事件。互斥事件 A、B 中有一个发生的事件记作 A+B，其概率等于事件 A、B 概率之和，即 P（A+B）P（A）+P（B）。相互独立事件：有 A，B两个结果，且 A事件的发生与否与 B事件是否发生没有关系。两个事件同时发生记作 AB，其概率是()()()p AB p A p B。相互独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是相互独立事件。4、n 次独立重复试验：设 A事件发生的概率是 p，则 n 次试验中 A事件发生了 k 次的概率是()(1)k k n knp A C p p。
