新高考一轮复习人教B版第十章第4节　古典概型与事件的相互独立性学案.docx

第4节 古典概型与事件的相互独立性例课程标准要求1 .理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.2 .结合古典概型，了解两个事件独立性的含义.3 .能利用事件的独立性解决一些实际问题.必备知识课前回顾（对应学生用书第177页）知识梳理1 .古典概型古典概型的定义:一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是 有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事 件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概 率模型,简称为古典概型.古典概型的特点:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.每个基本事件发生的可能性相签,即等可能性.古典概型计算公式:如果样本空间含有n个样本点，且每个基本事件发生的可 能性大小都相等,因此每个基本事件发生的概率为:若事件C包含有m（mWn）个 n样本点，则P（C）二2 n2 .事件的相互独立性相互独立事件的定义一般地，当P （AB）=P股地（B）时,就称事件A与B相互独立（简称独立）.相互独立事件的性质如果事件A,B相互独立，那么才与B, A与 瓦万与再也相互独立.法三 由题意可得，一共比赛了五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场，输 一场.前四场甲队胜三场,输一场的情况有如下两种，甲队主场输一场,其概率Pi=Ci X 0. 6 X 0. 4 X馥X 0. 5=0. 12.甲队客场输一场,其概率P2=Ci X0. 62XC1X0.5X0. 5=0. 18.由于第五场必定是甲队胜,所以甲队以4 ： 1获胜的概率P=(P,+P2) X0. 6=0. 18.答案：0. 18网考点三“互斥、对立、独立”的综合应用0® 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8,乙射中 的概率为0. 9,求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率.解:记“甲射击1次，射中目标”为事件A, “乙射击1次，射中目标”为事件B, 则A与B, 1与B, A与瓦彳与月都为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为P(AB) =P(A)P(B)=0. 8X0. 9=0. 72,所以2人都射中目标的概率是0. 72.(2) “2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中，乙未射 中(事件A后发生)，另一种是甲未射中，乙射中(事件ZB发生).根据题意,事件A不 与彳B互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求 的概率为P (A 月)+P (4B) =P (A) P® +P(4) P(B)=0. 8X (1-0. 9) + (l-0. 8) X0. 9=0. 08+0. 18=0. 26.所以2人中恰有1人射中目标的概率是0. 26.法一 “2人至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人不中”2 种情况,其概率为 P=P(AB) + P(A月)+P(4B) = 0. 72+0. 26=0. 98.法二 “2人至少有一人射中”与“2人都未射中”为对立事件,2人都未射中目标的概率是 P (A B) =P (A) P(B) = (1-O.8) X (1-0. 9)=0. 02,所以2人至少有1人射中目标的概率为P=1-P(近)=1-0. 02=0. 98.典例迁移(变结论)本例第(3)问，将“至少”改为“至多”，又该如何求解？解:法一“2人至多有1人射中目标”包括“2人有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为P=P (AB) +P (AB) +P (4B)=P ® P (B) +P (A) P (B) +P (A) P(B)=0. 02+0. 08+0. 18=0. 28.法二 “2人至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求 概率为 P=l-P (AB)=1-P (A) P(B)=1-O. 72=0. 28.解题策略求复杂事件的概率,关键是对事件等价分解(分解成互斥事件的和或对立事件).一般地，已知两个事件A,B:(1)A, B中至少有一个发生为事件A+B;A, B都发生 为事件AB;(3)A,B都不发生为事件豆；(4)A,B恰有一个发生为事件 A月+和；(5) A,B中至多有一个发生为事件彳B+AB+K B.一备选例题C®D (1)从分别写有1, 2, 3, 4, 5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的 概率相等,且每张卡片上只有一个数字,则取到的两张卡片上的数字之和为偶数 的概率为()A争噌晦D.| (2)从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为. ?10件产品中有7件正品,3件次品，从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.?解析：(1)法一(列举法)从分别写有1, 2, 3, 4, 5的五张卡片中任取两张,总的情 况为：(1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1),(3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),共 20种情况.两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1, 3), (1,5), (2,4),1), (3, 5), (4, 2), (5, 1), (5, 3),共8种情况,所以从分别写有1, 2, 3, 4, 5的五张卡片 中任取两张,这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P-故选D-法二(组合法)由题意知本题是一个古典概率模型,试验发生包含的事件是从5 张中随机地抽2张，共髭二10种结果.满足条件的事件分两种情况，一种为从 1, 3, 5中任取两张,有髭二3种结果,另一种为从2, 4中任取两张,有种,所以 取到的两张卡片上的数字之和为偶数共有3+1=4(种)结果,所以母故选D.10 5从0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七个不同的数，共有种不同的取法.当这 七个数的中位数是6时,应该有3个比6小的数,还有3个比6大的数，因此一共 有底瑞种不同的取法,故所求概率P二军啰二黑二J。 1ZU 6从10件产品中取4件,共有C%种取法,取到1件次品的取法有屐G种，由古 典概型概率计算公式得P二萼二鬻答案：(1)D (2)i (3)1 6 L0® 在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的 岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.解：记“甲、乙两人同时参力口 A岗位服务”为事件Ea,那么P®)二慈二/ 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是三.，所以(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)二名二白C5A4 10甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (F)=1-P(E)二卷.因为有两人同时参加A岗位服务的概率P2二翳4,所以仅有一人参加A岗位C5A4 4服务的概率P尸l-P2v.4CWD某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如表:质量指标值mm<185185<m<205m205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如图所示的频率分布直方 图.0.030 00.026 0 0.020 0 0.010 00.009 0 0.002 5165 175 185 195 205 215 225 235 质量指标值根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品 至少要占全部产品的92%”的规定？在样本中，按产品等级用分层随机抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随 机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率.解：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为 0. 200+0. 300+0. 260+0. 090+0. 025=0. 875,由于该估计值小于 0. 92,故不能认为 该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品的92%”的规定.由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0. 375, 0. 5, 0. 125,故在 样本中用分层随机抽样的方法抽取的8件产品中,一等品有3件,二等品有4件, 三等品有1件.再从这8件产品中随机抽取4件.一、二、三等品都有的情形有2 种：一等品2件,二等品1件,三等品1件；一等品1件,二等品2件,三等品1件，C® （2019 全国n卷）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10 ：10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0. 5,乙发球时甲得分的概率为0. 4,各球的结果相互独立.在某局双方10 ： 10平后，甲先发球,两人又打了 X个 球该局比赛结束.求 P(X=2);求事件“X=4且甲获胜”的概率.解：(1)X=2就是某局双方打成10 ： 10平后,两人又打了 2个球该局比赛结束,则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此 P(X=2)=0. 5X0. 4+(l-0. 5) X (1-0. 4)=0. 5.(2) X=4且甲获胜，就是某局双方打成10 ： 10平后，两人又打了 4个球该局比赛结 束,且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此事件“X=4且甲获胜”的概率为0. 5X (1-0. 4)+ (1-0. 5) X0. 4X0.5X0. 4=0. 1. 相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不 影响,计算式为P (AB)二P (A) P (B),互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同 时发生,计算公式为P (A U B) =P (A) +P (B).展重要结论如果Ab A2,An相互独立,那么P (A也An)二P (Al) P (果P (An).标自1.(新教材习题改编)把一颗质地均匀的骰子抛掷两次,观察出现的点数,并记第 一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m二(a, b), n=(l, 2),则向量m与 向量n不共线的概率是(B )11111A.-B.C.D.6121218解析:若向量m与n共线,则2a-b=0,而(a, b)的可能性情况共有6 X 6=36 (种),其 中符合2a二b的有(1,2),4), (3, 6)这3个，所以向量m与向量n共线的概率是 从而不共线的概率是笔.故选B.36 121Z 1Z2. (2019 全国I卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是解析:在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n二26二64,恰有3个阳爻的基 本事件数为C萨20,所以在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的概率P普2故选A.64 16（2021 新高考I卷）有6个相同的球,分别标有数字1,2, 3, 4, 5, 6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表 示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（B ）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立解析:事件甲发生的概率P（甲）二；,事件乙发生的概率P（乙）二；,事件丙发生的概 66率P （丙）二2事件丁发生的概率P （丁 ）=二;, 3636 6事件甲与事件丙同时发生的概率P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），事件甲与事件丁同时发生的概率P （甲丁） 4二P （甲）P （丁），36事件乙与事件丙同时发生的概率p（乙丙）二3WP（乙）P（丙），事件丙与事件丁同 36时发生的概率P （丙丁）二0/p （T） p （丙）.故选B.4 .袋中有形状、大小都相同的4个球,其中1个白球，1个红球,2个黄球,从中一次随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为.解析:基本事件共有底二6 （种），设取出的两个球颜色不同为事件A.A包含的基本事件有5 （种）.故P（A）二|.答案卷O5 .五一放假，甲、乙、丙去某地旅游的概率分别是占假定三人的行动相互之 3 4 5间没有影响,那么这段时间内至少有1人去该地旅游的概率为. ?解析:记事件A为“至少有1人去该地旅游”，其对立事件为Z “三人都不去该地旅游”，由独立事件的概率公式可得P （© = （；）X （1-i） X由对立事件3455的概率公式可得p（a）=i-p a）=i-54 O kJ关键能力课堂突破（对应学生用书第178179页）嚏烤点一古典概型概率的计算（2021 全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 （C ）A-B. -C. -D.- 3535解析：法一（将4个1和2个0视为完全不同的元素）4个1分别设为 1A, IB, IC, 1D, 2个0分别设为0A, 0B,将4个1和2个0随机排成一行有A2种排 法，将1A, IB, IC, 1D排成一行有A%种排法,再将0A, 0B插空有Ag种排法,所以2 个0不相邻的概率P二攀。故选C.A6 3法二（含有相同元素的排列）将4个1和2个0安排在6个位置,则选择2个位 置安排0,共有髭种排法;将4个1排成一行,把2个0插空，即在5个位置中选2 个位置安排0,共有髭种排法.所以2个0不相邻的概率故选C% 3在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每 人1张,则恰有1位学生分到写有自己学号的卡片的概率为（C ）A. -B. -C. D一解析:法一 设三位同学分别为A, B, C,他们的学号分别为1, 2, 3.用有序实数列表示三人拿到的卡片种类,如(1, 3, 2)表示A同学拿到1号,B同学拿到3号,C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为(1,2,3), (1,3,2), (2, 1,3), (2, 3, 1), (3, 1,2), (3, 2, 1),共 6 种,其中满足题意的结果有(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1),共3种,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为故选C. o Z法二 把卡片分给3位同学,每人1张,有A券6种分法，恰有1位学生分到写有自己学号卡片的方法有二3种,所以p/二台.故选C.Ao o Z(2021 安徽合肥一模)某商场进行购物摸奖活动，规则：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1, 2, 3, 4, 5的形状、大小都相同的五个小球,每次摸奖需要同时 取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定，若第一次取出的两球号码 连号，则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸 球,若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖 的概率为(C )4192341A. -B. C. D.52550100解析:分两种情况,第一种情况为第一次摸到连号, 则概率为白4，l552第二种情况对应的概率为号义上二， L5 L5 5U所以中奖的概率为%W.故选c.4.某校选定4名教师去3个地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一地区的概率是.?解析：某校选定4名教师去3个地区支教(每地至少1人)，基本事件总数n二笔菖A"36,甲、乙两人在同一地区包含的基本事件个数m二第A:6,所以甲、乙两人不在同一地区的概率是 答案卷O一题后悟通求古典概型概率的步骤读题,理解题意.判断试验结果是否为等可能事件,设出所求事件A.分别求出基本事件总数n与所求事件A所包含的基本事件的个 数m.利用公式P (A)二巴求出事件A的概率.n提醒:在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，既要注意它们是否是 等可能的,又要保证计数的一致性,就是在计算基本事件数时,都按排列数求,或 都按组合数求.度唐点三I事件的相互独立性0角度-判断事件的独立性fflO判断下列各对事件是不是相互独立事件.(1)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个,取出 的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”；掷一枚质地均匀的骰子一次，”出现偶数点”与“出现3点或6点”.解：(1)设“从甲组中选出1名男生”为事件A, “从乙组中选出1名女生”为事 件B,则P (A)与P (B)互不影响，故二者是相互独立事件.(2) “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为J,若这一事件发生了,O则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为若前一事件 没有发生，则后一事件发生的概率为*可见，前一事件会不会发生,对后一事件 发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.设A表示出现偶数点,B表示出现3点或6点,则A二2, 4, 6, B二3, 6, AB二6, 所以P (A)二衿,P (B) 4 P(AB) =i故P (AB) =P (A) P(B),所以二者是相互独立事件.6 Z36一解题策略判断两个事件是不是相互独立的方法直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率.定义法:判断P (AB)二P (A) P (B)是否成立.转化法：由事件A与事件B相互独立知,A与瓦/与B,彳与万也相互独立.口角度二相互独立事件的概率朝逾(2020 全国I卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛 的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人 被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰;另一人最终获胜，比赛结 束.经抽签，甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为求甲连胜四场的概率；求需要进行第五场比赛的概率；求丙最终获胜的概率.解：甲连胜四场的概率为白.16根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况：甲连胜四场的概率为L16乙连胜四场的概率为上；16丙上场后连胜三场的概率为:， O所以需要进行第五场比赛的概率为16 16 8 4丙最终获胜,有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为:； O比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况,胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为白,因此丙最终16 8 8获胜的概率为:+2+立4.o 16 o o 16B懈题策略I求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的.确定这些事件可以同时发生.求出每个事件的概率,再求积.针对训练一袋中装有形状、大小都相同的5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中，设A产“第一次摸得白球”，A2二“第二次摸得白球”，则事件A与不是()A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件解析：由题意知不二”第二次摸到的不是白球”，即不二“第二次摸到的是黄球”， 由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与不是 相互独立事件.故选A.1. (2019 全国I卷)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四 场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为 “主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4 ： 1获胜的概率是. ?解析:法一 因为甲队以4： 1获胜，所以第五场甲胜，而前四场甲需要胜三场输一场，则甲队的胜负情况可分为“胜胜胜负胜”“胜胜 负胜胜” “胜负胜胜胜” “负胜胜胜胜”这4种.设事件A为“甲队以4： 1获胜”，4表示第i场甲队获胜.又前五场甲队的主客场安排为“主主客客主”，所以P (A)二P (AJ =P (A5) =0. 6, P (A3) =P (A4) =0. 5,贝ij P(A)=P (AAA：,彳4A5) +P (AA彳3A4A5) +P(Ai&A3A4A5) +PA2A3A4A5)=0. 6X0. 6X0. 5X0. 5X0. 6+0. 6X0. 6X0. 5X0. 5X0. 6+0. 6X0. 4X0. 5X0. 5X0. 6+0. 4X0. 6X0. 5X0. 5X0. 6=0. 18.法二 当甲队在前四场中有一场客场输,且第五场胜时，以4： 1获胜的概率是0. 63X0. 5X0. 5X2=0. 108;当甲队在前四场中有一场主场输,且第五场胜时，以4 ： 1获胜的概率是0.4X0. 62X0. 52X2=0. 072.综上所述，甲队以4 ： 1获胜的概率为P=0. 108+0. 072=0. 18.