【测试】《生活中的优化问题举例》练习4.docx
生活中的优化问题举例同步练习6（2013江门一模）某产品生产成本C与产量9 （qN*）的函数关系式为。= 100 + 4夕,销售单价p与产量9的函数关系式为p = 25-q.（1）产量9为何值时，利润最大？（2）产量9为何值时，每件产品的平均利润最大？1. （2013福建高考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格尤（单位：元/千克）满足关系式y =二+ 10（x6）2,其中3Vx<6,。 x-3为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（1）求的值（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大.2. （2013西城一模）如图，抛物线y = f+9与x轴交于两点A3,点在抛物线上 （点。在第一象限），CD/ AB.记|CO|=2x,梯形ABCD面积为S.（1）求面积S以x为自变量的函数式；CD7（2）若上其中左为常数，且°左<1,求S的最大值. I ABI（2013江苏高考）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸 片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点 重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、尸在AB上是被切去的等 腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB = xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm2)最大，试问X应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积丫(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.3. (2010.湖北理，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万 元.该建筑物每年的能源消耗费用。(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(%) k=五百(0*10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设/为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.求上的值及7U)的表达式.隔热层修建多厚时，总费用/(x)达到最小，并求最小值.4. (2009山东理，21)两县城A和3相距20km,现计划在两县城外以45为直径的半圆弧 工 上选择一点。建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城3的总影响度为城A与对城8的影响度之和.记C点到城A的距离为无km,建在。处 的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为'统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与 所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为晨当垃圾处理厂建在弧;7)的中点时，对城A和城3的 /n总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；讨论中函数的单调性，并判断弧工上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B的总影响度最小？若存在，求出该点对城A的距离；若不存在，说明理由.生活中的优化问题举例同步练习6答案1.1 9(1)销售收入H = qx p = 259 一.8利润 L = R C =工，+21q 100 (0<<200). 81 9L =一84)2 +782. 8,产量q = 84时，利润£最大.每件产品的平均利润加)=，21-5+100/ qa, 、1100/() = -+.8 q令解得得9 = 20后.当0<<20后时，f(q) > 0, /(q)单调递增； 当20/<q< 200时，f(q) < 0, /单调递减.28 < 20V2 < 29，且 /(28) > /(29), 产量9 = 28时，每件产品的平均利润L最大. 答：当产量4 = 28时，每件产品的平均利润最大.(1) " = 5时,y = ll,由函数式丁 = J + 10(x6)2, x-3得11 = 3 + 10, q = 2.2(2)由(1)知。=2,2每日的销售量为> =+ 10(x 6)2,(3<x<6). x3每日销售该商品所获得的利润为2/(x) = (x-3)- + 10(%-6)2X 5= 10(115/+72x)-1078,(3<x<6)./r(x) = 10(3x2-30x+72)= 30(x6)(x4).于是，当X变化时，/'(X)，/(X)的变化情况如下表:X(3,4)4(4,6)/'(%)+0/(%)/极大值42由上表可以看出，x = 4是函数在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.工当x = 4时，函数“X)取得最大值42.因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.3. (1)依题意，点。的横坐标为x,点。的纵坐标为>c=V+9.点B的横坐标/满足方程-£+9 = 0 ,解得/=3,舍去乙=一3.1 19 9 s = _ (| CO +1 A31) “ = _ (2x + 2 X 3)(/ + 9) = (x + 3)(3 + 9). 22由点C在第一象限，得0<x<3.S关于x的函数式为S = (x + 3)(V+9), 0<x<3.0 < x < 3,(2)由 < x及0<Zvl,得0<xW3左.< k13-记于(X)= (%+3)(f + 9), 0 < % < 3% ,则 f'(x)= -3x2-6x+9 = -30-1)。+ 3).令八%) = 0,得 = 1.若1<33即:<%<1时，广(%)与/(%)的变化情况如下：X(0,1)1(1,3左)广+0/(X)/极大值当x = l时，/(X)取得最大值，且最大值为/(1) = 32.若12 33即0左时，,(x)>0恒成立， /(X)的最大值为/(3左)=27(1 +左)(1-).综上，工工人<1时; S的最大值为32；30<攵<,时，S的最大值为27(1+ 2)(1 右).(1)根据题意有 S = 602-4x2 -(60 - 2x)2 = 240x-8x2=8(x 15)2 +1800 (0 < x < 30), x = 15cm包装盒侧面积S最大.(2)根据题意有 V = (V2x)2 (60 - 2x) = 2a/2x2 (30 - x)(0 < % < 30)， V' = 6后(20 x),当0<x<20时，当V'>0H寸，V递增；当20vxv30时' V'<0, V递减，当x = 20时，V取极大值也是最大值.此时，包装盒的高与底面边长的比值为 £(60 2x) = 1 .7S - 2即x = 20包装盒容积V (cm3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为 24. k(1)设隔热层厚度为xcm,由题设，每年能源消耗费用为。(幻=工印，40再由 C(0) = 8,得=40,因此 C(x) = 3x+5,而建造费用为G(x)=6x.40最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为段) = 20Ca)+ G(x) = 20x姿石+6x800= 3x+5 + 6x(0<a<10).2400(2了(©=6 一 (3+5户2400令/(©=0,即(3x+5)2=6,25解得x=5, x=一行(舍去).当0<x<5时，/(x)<0,当54<10时，/(x)>0,故x=5是/U)的最小值点，对应的最小值为8007(5) = 6x5 + 15+5 = 70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.6.(1)根据题意NAC3=90。，AC=xkm9 BC=/400-x2km,4k且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为m，对城B的影响度为400N，4 k因此，总影响度y为y=L+400x2(0<x<20).又因为垃圾处理厂建在弧方的中点时，对城A和城B的总影响度为，44_所以(102+1()2)2 + 400-(3()2+102)2 =，_49解得左=9,所以)，=/+400x2(0<x<20).118x(2)因为 V = 一了+(400二尸18/一8><(400一/)2 (炉+800)( 10/7600)=x3(400-x2)2=x3(400-x2)2-由 y=o 解得 x=4、/Ib 或 %= -(舍去).易知 4Vm £(0,20).y, V随工的变化情况如下表：X(0,4标4VT0(4也，20)y0+y极小值/由表可知，函数在(0,4、口)内单调递减，在(4回, 20)内单调递增. 1y最小值=>11=4、质=16, 此时工=4、而，故在；7)上存在。点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城8的总影响最小，该点与城A /n
