一轮复习北师大版第一章第2节　命题及其关系充分条件与必要条件学案.docx

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲展示1 .理解命题的概念.2 .了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命 题的相互关系.3 .理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.必备知识1. ./知识梳理1 .命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.2 .四种命题及其相互关系四种命题间的相互关系若加则 “若为，则四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念C.甲是乙的充要条件若p?q,则p是q的充分条件,q是P的必要条件P是q的充分不必要条件p?q且q力PD.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：当aXO, q>l时,为=ad%。,此时数列瓜递减,所以甲不是乙的充分条件.当数列氐递增时,有 Sn+1-Sn=an+1=aiqn>0,若 a1>0,则 qn>0(neN*),即 q>0;若<0,则qyO(n£N*),不存在.所以甲是乙的必要条件.故选B.1例2已知函数f (x)=X”, g(x)二碗,其中m, n£N*,那么"ni=n"是"函数f(x)与 g(x)的图像关于直线y二x对称”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当叫n为相等的偶数时(如m二n二2),函数f (x)与g (x)的图像不关于直线y=x1对称;函数f(X)=/的图像关于直线y二X对称的图像对应的函数解析式为y气瓶若f (x) =xm (m £ N*)与g(x)=小(n£N*)的图像关于直线y=x对称,则工二工,即m=n, n m综上知，“m二n”是“函数f(x)与g(x)的图像关于直线尸x对称”的必要不充分条件.故选B.例3设a , B为两个平面,则a B的充要条件是()a内有无数条直线与B平行A. a内有两条相交直线与B平行a, B平行于同一条直线B. a , B垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理知，a内两条相交直线都与B平行是a B的充分 条件，由面面平行性质定理知,若a B ,则a内任意一条直线都与8平行,所以 a内两条相交直线都与B平行是a B的必要条件,故选B.例4设p: ln(2xT) WO, q: (x-a) x-(a+l)0,若q是p的必要而不充分条件, 则实数a的取值范围是()0,A. (0,C (-8, 0 U 巳 +8)D. (-8, 0) U (-, +8)解析：由p得,"xWl,由q得,aWxWa+1,因为q是P的必要而不充分条件，所以aW,且a+121, 2所以故选A. 2P是q的必要不充分条件P力q且q?PP是q的充要条件p?qP是q的既不充分也不必要条件P> q且q今P(1)否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只 否定命题的结论.互为逆否命题的两个命题等价，注意转化思想的活用.A是B的充分不必要条件?B是A的充分不必要条件.(3)设 A=x |p(x), B=x | q(x).若A?B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.若A?B,则p是q的充分不必要条件,q是P的必要不充分条件.若A=B,则p是q的充要条用/基础自测1.判断下列结论的正误.(正确的打“ J ”，错误的打“义”)(1) ux2+2x-3<0n是命题.()命题“若P,则q”的否命题是“若P,则f” .()当q是P的必要条件时,P是q的充分条件.()(4) “若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()解析：(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.错误.否命题既否定条件,又否定结论.答案：(l)X (2) X (3) V (4) V2.命题“若x2>y；则x>y”的逆否命题是(C )A. “若 xy,则 x2y2" B. “若 x>y,则 x?""C. “若 xWy,则 x?Wy2" D. “若 x>y,则 x2>y2”解析：“若x2>y2,则xy”的逆否命题是“若xWy,则x2y2".故选C.3 . （2020天津卷）设a£R,则“a>l"是 "a"的（A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由a2>a,得a>l或a<0,反之，由a>l,得a2>a,则“a>l”是 2a”的充分不 必要条件,故选A.4 .下列四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是（A ）A. a>b+lB. aB. a>b-lC. a2>b2 D. a3>b3解析:选项A中a>b+lb,所以充分性成立.但必要性不成立.所以“2功+1”是，州” 成立的充分不必要条件.故选A.5 .已知p:x>a是q:2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是. ? 解析：由题意,得x|2<x<3?x|x>a,所以aW2.答案：（-8,2'关键能力，考点一命题及其关系M题组过关.设a>b, a, b, c£R,则下列命题为真命题的是（）A.3 B1C. a-c>b-cC. a-c>b-cD. a2>b2解析：对于选项A, a>b,若c=0,则ac2=bc2,故A错；对于选项B, a>b,若b<0,则三1,故B错;b对于选项C, a>b,则a-c>b-c,故C正确；对于选项D, a>b,若a, b均小于0,则a2<b2,故D错.故选C.1 .命题“若x2l,则的逆否命题是（）A.若 x2l,贝U x，l 或 xW-lB.若-则 x2<lC.若 x>l 或 x<-l,则 x2>lD.若xl或xJ,贝U x2l解析:逆否命题是将原命题的条件和结论交换,并加以否定,所以题中原命题的 逆否命题是“若x2l或xW-1,贝IJ x22l”.故选D.3.原命题为“若z1,Z2互为共辗复数，则|zj = |z2，关于其逆命题、否命题、逆 否命题真假性的判断依次如下,正确的是（）A.真、假、真 B.假、假、真C.真、真、假 D.假、假、假解析：由共掘复数的性质,得|Z1| = | z2|,原命题为真,因此其逆否命题为真;取 ZFl, z2=i,满足I Z I=I z21,但zb z2不互为共粗复数，因此逆命题为假,从而否命题 也为假.故选B.昌反思因纳写一个命题的其他三种命题时,需注意：对于不是“若P,则q”形式的命题,需先改写.若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.判断一个命题为真命题,要给出推理证明，判断一个命题是假命题，只需举 出反例.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质，当 一个命题直接判断不易时,可间接判断.考点二充分条件、必要条件的判定与探究例1已知角a是AABC的一个内角，则“sin a弓”是“cos。二手'的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2021四川成都一诊）若a, B, Y是空间中三个不同的平面,a n B =L, aCl y =m, y Cl 8 =n,则“lm" 是"nm” 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2021 河南开封一模）使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是（）A. V B. ea>eb b aC. ab>ba D. In a>ln b>0解析：（1）因为角a是AABC的一个内角，所以a £ （0,冗）.由sin a二：可得a二合 26或a二巴，止匕时cos a =±. 62由cos a =,可得a26此时 sin a所以“sin a”是“cos a二3”的必要不充分条件.故选B. 乙乙(2)如图,不妨设a , B , y分别为该几何体的三个侧面，判断充分性：当lm时，由条件知所以mB,又m?Y, 丫 G B二n,所以m/n,即充分性成立.判断必要性：当mn时，由条件知m? 3 , n? 3 ,所以m/ B ,又m? a , a n B=,所以1111,即必要性成立.故选C.当a>b>0时,白工,eaeb成立，即eaeb是a>b>0的必要条件,不符合题意,排 b ab a除 A,B;当ab>ba0f,可取a=l, b=T,但a>b>0不成立,故a"'不是a>b>0的充分条件,排除C;函数y=ln x在(0, +°°)上单调递增，当In a>ln b>0时,a>b>l>0;当a>b>0时,取a=-, b=二,则 In b<ln a<0. e e，综上，In a>ln b>0是a>b>0的充分不必要条件.故选D.昌反睫纳充分条件、必要条件的三种判断方法定义法:根据P?q, q?P进行判断,适用于定义、定理判断性问题.集合法:根据使P, q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.I等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其 逆否命题进行判的对点训练1 (1) "log3a<log3b"是“工4”的() a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知 f (x)=24,则 “Xi+x2=0" 是"f(Xl)+f(x2)=0"的() ex+lA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由log3a<log3b,得0<a<b,此时可推出工>£充分性成立；当工4时，由于a a ba b与b的正负不能确定，所以必要性不成立.所以"logsa<log3b"是“三*”的充分 a b不必要条件.故选A.(2)f (xD+f (x2) ='e%1-lexi+le32-iex2+i(e%-l) (e%2 + i) + (e%2-i) 9町 + 1)(exi + l) (e%2 + i)2(ex1+x2-1)(exi + i) (ex2 + iV若 Xi+x2=0,则 f(Xi) +f(X2) =0 ；若 f (xi) +f (x2) =0,则e%+%2-i=o, 解得X1+X2=O.所以“X+X2=O”是 所(x”f(X2)=0”的充要条件.故选C考点三 充分条件、必要条件的应用例2 (1)已知命题p:x?+2x-30;命题q:x>a,且的一个充分不必要条件是P,则a的取值范围是()A. 1, +°°) B. (-8,1C. -1, +8)D. (-8, -3(2)已知命题p：-a<x<a(a>0),命题q：-2<x<3.若p是q的充分条件,则实数a的 取值范围是,若P是q的必要条件,则实数a的取值范围 是.?解析：(1)由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>l,由q的一个充分不必要条件是P,可知q是P的充分不必要条件,所以x|x>a?x | x<-3 或 x>l,所以 aNl.故选 A.(2)设 A=x |a>0,B=x|-2<x<3,(a > -2,若P是q的充分条件,则A?B,所以卜M 3, Q > 0,解得0<aW2;若P是q的必要条件,则A?B,(a < 2,所以Q之3,解得aN3.a > 0,答案：A (2) (0, 23,+8)充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之 间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值 范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增 解的现象.对点训练2 (1)已知p:x>l或x<-3, q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a 的取值范围是()A. 1, +8)B. (-00, 1C. -3, +°°) D. (-8, -3)若不等式I x-t | <1成立的必要条件是lxW4,则实数t的取值范围是()A. 2, 3 B. (2, 3C. 2, 3) D. (2, 3)解析：(1)设P二x|x>l或x-3, Q=x|x>a,因为q是p的充分不必要条件，所以 Q?P,因此3,21.故选A.(2)由 | x-11 得-因为不等式|x-t|l成立的必要条件是lxW4,所以x | T+t<x<t+l ? x | lxW4,故1 +1之 L ?2<t<3叫 t + 14 4，故选A.二备选例题1例1 (2021 全国甲卷)等比数列4的公比为q,前n项和为S.设甲：q0, 乙：区是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件