一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化02“荆、荆、襄、宜四地七校”高二期中联考圆锥曲线.docx
2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校”高二期中联考圆锥曲线“一题多解”谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化【方法策略简述】一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种: 1、根与系数的关系法(主流方法).设出动直线的方程(丁 =丘+机,% =冲+及,丁-% =%(-玉),；二£：；靠：)，与圆锥曲线方程联立消元得到关于x(y)的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾>(),或 = ()的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解.2、 多变量多参数联动变换法.此种方法善别于方法1,不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线(直 线)方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体 变形整体代换而求解.如弦中点问题常用点差法处理.此种方法对多变量多参数的代数式 的驾驭能力及变换技巧是一种考验.3、设点求点法.方法1、2均采用了设而不求的策略.当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出 点的坐标进行求解，即设点求点法.如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出;直接求出;再如动直线y = kx与椭圆=1的交点易求出.【典题精析】(2021年秋-“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考22) 226已知椭圆E： a+frW8。)的离心率为三，椭圆E的短轴长等于4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设A(0,-1), 3(0,2),过A且斜率为左的动直线/与椭圆上交于M, N两点，直线BN 分别交。C： f+(,_=于异于点3的点?，。，设直线的斜率为女2,直线 期, 8N的斜率分别为&，左"求证：3 M4为定值； 求证：直线PQ过定点.b = 2解得=而 c = V2所以椭圆的标准方程为：二+匕=1； 64【解析】2b = 4(1)由题思 二 下 a3b2 + c2 =a2(2)法一：对称韦达法22设MN的方程为丁 =匕11,与菅+=1联立得：（3好+2k26匕x 9 = 0,6kx+ x?=；1 - 3k；+ 2设N%,%），则9玉工2二AJ 3K+ 2 =72（2%；+1）0 恒成立, 必一2 %2（% 内一2M 3）一3Z（X + x,） + 90 fVO , IV A +N ,xx x2xx x2xx2xxx20,设PQ的方程为3 =左2%+ 1，与Y+（y 1）2=1联立得仅；+1k2+2履（”1卜+62）=“干r设 P（X3，%），。（X4，%）则 ,4- 2）A2 =4卜；-产+ 21）0+ / 2*左2%4 +（ 2） k：/ + 公（，2）（工3 + Z）+（， 2）X|X2由左3 ,忆4 =' %BQ即一2/. PQ的方程为y = k2x + 7一2,.=,此时A? =4层3I+lh°,故直线PQ恒过定点（0 ,- 3,.n n2 %-2_（一工3, * KBP KBQ 一工3 Z女;，, 2）2 公 0 2*%1）+（%： +11一2）2 后/2后（/1）+k：+ 2） t 2评析：韦达法，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解!法二：设点求点法22直线即/的方程为y = &x + 2,与菅+ q = l联立得：（3后+2卜2+12% = 0,解得解得3婷+2 v 12k3 -6一+4、_一6g+4'故”（一而为延百）"3婷+ 2同理可得N（一噂%'蔓A）'二直线MN过点4。, 1）,.= （w，即二直线MN过点4。, 1）,.= （w，即12k33k； + 212k43勺2 + 2整理得k； 2 kj 2，（k3k4 + 2）（女3 24 ） = 0上3 W k4：.左4 + 2 = 0,左3 .左4 = -2 .直线的的方程为 =占1 + 2,与f+（y 1）2=1联立得：（4+1卜2+26% = 0,2Lx =x = 0一或x = 0一或婷+12k32、八，2%2 、解得解得2'故尸（一币T'E '同理可得"一币？百）'产于T2k NpQk NpQk：一 k；2k§ + 2k4攵3%4 _ k'kj+kq-4 -2k、+ 2k+攵4一43k；+1+2 k.+kd z 2k.、于是直线p。的方程为yZ-二美。+苛7），iv I 1J十 J.2442k3*3 + kJ2 _ 22-42 _ 2婷+2 _ 23（占2 +1） 婷+3（婷+1） 2+1-3（32 + 1） 39（2、故直线PQ恒过定点0,-. 3）评析：处理直线与圆锥曲线相交问题时，设点不求点的思想深入人心.然而当一交点坐标已知 时，可考虑直接求出另一交点的坐标.对本题而言，设点求点思路简洁运算简单，是很好的解 题方向.
