2020年全国高考理科数学试题分类汇编：三角函数.pdf

2020年全国高考理科数学试题分类汇编：三角函数一、选择题1 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知210cos2sin,R,则2tanA.34 B. 43 C.43 D.34【答案】C 2 （ 2013 年高考陕西卷 （理 ） ）设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若coscossinbCcBaA, 则ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B 3（ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）在 ABC中 , ,2,3,4ABBCABC则 sinBAC = (A) 1010(B) 105(C) 3 1010(D) 55【答案】C 4 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理） 试题（含答案）将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后 ,得到一个偶函数的图象, 则的一个可能取值为(A) 34 (B) 4 (C)0 (D) 4【答案】B 5 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）在ABC, 内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c1sincossincos,2aBCcBAb且ab, 则BA.6 B.3 C.23 D.56【答案】A 6 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知函数=cossin2fxxx,下列结论中错误的是(A)yfx的图像关于,0中心对称 (B)yf x的图像关于直线2x对称(C)fx的最大值为32 (D)fx既奇函数 , 又是周期函数【答案】C 7 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）函数cossinyxxx的图象大致r为【答案】D 8 （2013 年高考四川卷（理）函数( )2sin(),(0,)22f xx的部分图象如图所示, 则,的值分别是 ( ) (A)2,3 (B)2,6 (C)4,6 (D)4,3【答案】A9 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案 ) ）既是偶函数又在区间(0)，上单调递减的函数是( ) (A)sinyx(B)cos yx (C)sin 2yx (D)cos 2yx【答案】B 10 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理） 试题（含答案）004cos50tan40 ( ) A.2 B.232 C.3 D.221【答案】C 11 （ 2013年 高 考 湖 南 卷 （ 理 ）在 锐 角 中ABC, 角,A B所 对 的 边 长 分 别 为,a b. 若2 sin3 ,aBbA则角等于A.12 B.6 C.4 D.3【答案】D 12 （ 2013 年高考湖北卷（理）将函数3cossinyxx xR的图像向左平移0m m个长度单位后, 所得到的图像关于y轴对称 , 则m的最小值是 ( ) (DCl，X312A. 12 B. 6 C. 3 D. 56【答案】B 二、填空题13 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版） ）ABC中,090C,M是BC的中点 , 若31sinBAM, 则BACsin_.【答案】6314 （ 2013 年高考新课标1（理）设当x时, 函数( )sin2cosf xxx取得最大值 , 则cos_【答案】2 55. 15 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版） ）如图ABC中, 已知点D 在 BC边上 ,ADAC,22sin,3 2,33BACABAD则BD的长为 _ 【答案】316 （ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）函数2sinyx的最小正周期是_【答案】217 （ 2013 年高考四川卷（理）设sin2sin,(, )2, 则tan2的值是 _.【答案】318 （ 2013年 高 考 上 海 卷 （ 理 ）若12cos cossinsin,sin 2sin223xyxyxy, 则sin()_xy【答案】2sin()3xy. 19（2013 年高考上海卷 （理）已知 ABC的内角 A、 B、 C所对应边分别为a、 b、 c, 若22232330aabbc,则角 C的大小是 _( 结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos3C20 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）已知是第三象限角,1sin3a, 则cota_.【答案】2 221 （ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题） ）函数)42sin(3xy的最小正周期为_.【答案】22 （ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）在ABC中 , 角A B C、所对边长分别为a b c、, 若5860abBo，, 则b=_【答案】7 23 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版） ）设ABC的内角,A B C所对边的长分别为, ,a b c. 若2bca, 则3sin5sin,AB则角C_.【答案】3224 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯WORD 版含答案） ）设为第二象限角, 若1tan()42, 则sincos_.【答案】10525 （ 2013 年高考江西卷（理）函数2sin 22 3 sinyxx的最小正周期为T为_.【答案】26 （ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）函数4sin3cosyxx的最大值是 _【答案】5 三、解答题27 （ 2013 年高考北京卷（理）在ABC中,a=3,b=26, B=2A. (I) 求 cosA的值 ; (II)求c的值 . 【答案】解 :(I)因为a=3,b=26, B=2A. 所以在 ABC中 , 由正弦定理得32 6sinsin 2AA. 所以2sincos2 6sin3AAA. 故6cos3A. (II)由(I)知6cos3A,所以23sin1cos3AA.又因为 B=2 A, 所以21cos2cos13BA. 所以222sin1cos3BB. vT在ABC中,5 3sinsin()sincoscossin9CABABAB. 所以sin5sinaCcA. 28 （ 2013 年高考陕西卷（理）已知向量1(cos ,),(3sin,cos2),2xxxxabR , 设函数( )f xa b . ( ) 求f (x)的最小正周期 . ( ) 求f (x)在0,2上的最大值和最小值. 【答案】解:( ) ( )f xa b=)62sin(2cos212sin232cos21sin3cosxxxxxx. 最小正周期22T. 所以),62sin()(xxf最小正周期为. ( ) 上的图像知，在，由标准函数时，当65,6- sin65,6- )62(2, 0 xyxx. 1 ,21)2(),6- ()62sin()(ffxxf. 所以 ,f (x)在 0,2上的最大值和最小值分别为21, 1. 29 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在ABCV中, 内角,A B C的对边分别是, ,a b c, 且2222ababc. (1) 求C; (2)设2coscos3 22coscos,5cos5ABAB, 求tan的值 . 【 答案】由题意得j)+i4-0雩&aflr泠供rotc2A2故（r=30 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）已 知 函 数2( )2sin 26sincos2cos41,f xxxxxxR . ( ) 求f(x) 的最小正周期 ; ( ) 求f(x) 在区间0,2上的最大值和最小值. 【答案】31 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 （ 理 ） 试 题 （ WORD版 ）设 向 量3 sin ,sin,cos ,sinx,0,.2axxbxxA(sinasrnB5W此(iarursmAcosA)(tmiasinB-cos5卜=itan1asinAB-tanasinAcos及十CUTjsinB)cosBV2tarrasinAinB-tanaa(n(j十丑+1AmsB-1A,+B=所以5fVr(/l十S因为C=tH2叫为cas(TI4-iJ)=cosAcosi?-shrAsinB,t!|JsinAsinB532725sinAsiaB由CLHtern2a-Stema+4=0-鮮得如/jai:faua=4.U5)本小i耍耆宵两角和与S_的H=弦公式、二倍角的E弦与余弦公式*三fr品数的ft小正周期、单性基磁知S.考査基本运算能力.W分3分，(I)H;/(Jf)-IsinlxatAn一/5cos2x4iti一+lsin2i：-cos2戈SSITISJ-2Cn：因为/o)在区间o,上是m函数*勝M警）翬小ffiS-2.上是减函數.乂2,故函数/(t)在区间jaj上的大值为26=2-Jl.(I) 若.abx求 的值；(II)设函数,.fxa bfxg 求的最大值【答案】32 （ 2013 年高考上海卷（理）(6 分+8 分) 已知函数( )2sin()f xx, 其中常数0; (1) 若( )yf x在2,43上单调递增 , 求的取值范围 ; (2) 令2, 将函数( )yf x的图像向左平移6个单位 , 再向上平移1 个单位 , 得到函数( )yg x的图像 ,区间 , a b(,a bR且ab) 满足 :( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点 , 在所有满足上述条件的 , a b中, 求ba的最小值 .【答案】(1) 因为0, 根据题意有34202432(2) ( )2sin(2)f xx,( )2sin(2()12sin(2)163g xxx1( )0sin(2)323g xxxk或7,12xkkZ, 即( )g x的零点相离间隔依次为3和23, 故若( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点 , 则ba的最小值为2431415333. 33 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理） WORD 版含答案 （已校对） ）设ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,()()abc abcac. I II IC1ill|fl|2=(V3si4(s i n=4sihz上.bp(cosr)z+sinJ0;=1,lk|a|=t|.rAC|0H1.If.Jiiix=.WrHnJf=Tb=V3sinx-cosjf+sinjf/u=vltt1T)+7.ytiJO.jlfKsin(2Jt-HOAkifiI.2.v-cos2x+T气X312(I) 求B(II)若31sinsin4AC, 求C.【答案】34 （ 2013年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）在ABC中 , 角,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c, 且232coscossin()sincos()25ABBABBAC. ( ) 求cosA的值 ;( ) 若4 2a,5b, 求向量BAuu u r在BCuuu r方向上的投影 .【答案】解:由232coscossinsincos25ABBABBAC, 得3cos1 cossinsincos5ABBABBB, 即3coscossinsin5ABBABB, 则3cos5ABB, 即3cos5A由3cos,05AA, 得4sin5A, 由正弦定理 , 有sinsinabAB, 所以 ,sin2sin2bABa. 由题知ab, 则AB, 故4B. 根据余弦定理, 有22234 252 55cc, 解得1c或7c( 舍去 ). 所以沪+c1fr*3ri1-hi1解：5n/w-060所以W5(AOaCinAaitC+2arAainC=+O如t,751T+2X4一呑一了，AC二30或A-C_JO*IC-lS,*C=-45ttw此故向量BAuu u r在BCuuu r方向上的投影为2cos2BABuu u r35 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设ABC的内角,A B C所对的边分别为, ,a b c, 且6ac,2b,7cos9B. ( ) 求,a c的值; () 求sin()AB的值 . 【答案】解:( ) 由余弦定理2222cosbacacB, 得222(1cos )bacacB, 又6ac,2b,7cos9B, 所以9ac, 解得3a,3c. ( ) 在ABC中,24 2sin1cos9BB, 由正弦定理得sin2 2sin3aBAb, 因为ac,所以A为锐角 , 所以21cos1sin3AA因此10 2sin()sincoscossin27ABABAB. 36 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 安 徽 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 纯WORD版 ）已 知 函 数( )4cossin(0)4f xxx的最小正周期为. ( ) 求的值; () 讨论( )f x在区间0,2上的单调性 . 【答案】解: ( )2)42sin(2)12cos2(sin2)cos(sincos22xxxxxx122. 所以1,2)42sin(2)(xxf( ) ；解得，令时，当82424,4)42(2, 0 xxxx所以.288, 0)(上单调递减，上单调递增；在在xfy37 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 （ 理 ） 试 题（ 纯WORD版 ）已 知 函 数( )sin()(0,0)f xx的周期为, 图像的一个对称中心为(,0)4, 将函数( )f x图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2 倍( 纵坐标不变 ), 在将所得图像向右平移2个单位长度后得到函数( )g x的图像 . r(1) 求函数( )f x与( )g x的解析式 ; (2) 是否存在0(,)64x, 使得0000(),(),() ()f xg xf x g x按照某种顺序成等差数列?若存在 , 请确定0 x的个数 ; 若不存在 ,说明理由 . (3) 求实数a与正整数n, 使得( )( )( )F xfxag x在(0,)n内恰有 2013 个零点 .【答案】解:( ) 由函数( )sin()f xx的周期为,0, 得2又曲线( )yf x的一个对称中心为(,0)4,(0,)故()sin(2)044f, 得2, 所以( )cos2f xx将函数( )fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ( 纵坐标不变) 后可得cosyx的图象 , 再将cosyx的图象向右平移2个单位长度后得到函数( )sing xx( ) 当(,)64x时,12sin22x,10cos22x所以sincos2sincos2xxxx问题转化为方程2cos2sinsincos2xxxx在(,)64内是否有解设( )sinsincos22cos 2G xxxxx,(,)64x则( )coscos cos22sin 2 (2sin)G xxxxxx因为(,)64x, 所以( )0Gx,( )G x在(,)64内单调递增又1()064G,2()042G且函数( )G x的图象连续不断, 故可知函数( )G x在(,)64内存在唯一零点0 x, 即存在唯一的0(,)64x满足题意( ) 依题意 ,( )sincos2F xaxx, 令( )sincos20F xaxx当sin0 x, 即()xkkZ时 ,cos21x, 从而()xkkZ不是方程( )0F x的解 , 所以方程( )0F x等价于关于x的方程cos2sinxax,()xkkZ现研究(0,)( ,2 )xU时方程解的情况令cos2( )sinxh xx,(0,)( ,2 )xU则问题转化为研究直线ya与曲线( )yh x在(0,)(,2 )xU的交点情况22cos (2sin1)( )sinxxh xx, 令( )0h x, 得2x或32x当x变化时 ,( )h x和( )h x变化情况如下表x(0,)22(,)23( ,)2323(,2 )2( )h x00( )h xZ1Z当0 x且x趋近于0时,( )h x趋向于当x且x趋近于时 ,( )h x趋向于当x且x趋近于时,( )h x趋向于当2x且x趋近于2时,( )h x趋向于故当1a时 , 直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有无交点 , 在( ,2 )内有2个交点 ; 当1a时, 直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有2个交点 , 在( ,2 )内无交点 ; 当11a时, 直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有2个交点 , 在( ,2 )内有2个交点由函数( )h x的周期性 , 可知当1a时, 直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内总有偶数个交点, 从而不存在正整数n, 使得直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内恰有2013个交点 ; 当1a时 , 直线ya与曲线( )yh x在(0,)( ,2 )U内有3个交点 , 由周期性 ,20133 671, 所以671 21342n综上 , 当1a,1342n时 , 函数( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有2013个零点38 （ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题） ）本小题满分14 分. 已知(cos,sin)(cos,sin)abrr，,0. (1) 若|2abrr, 求证 :abrr;(2)设(0,1)cr, 若abcrrr, 求,的值 . 【答案】解:(1) 2|ba2|2ba即22222bbaaba, 又1sincos|2222aa,1sincos|2222bb222ba0baba(2) ) 1 ,0()sinsin,cos(cosba1sinsin0coscos即sin1sincoscos两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 :sin22121sin21sin061,6539 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 （ 理 ） 卷 （ 纯WORD版 ）已 知 函 数( )2 cos12f xx,xR. ( ) 求6f的值; () 若3cos5,3,22, 求23f. 【答案】( )2 cos2 cos2 cos1661244f; ( ) 22cos 22 cos 2cos2sin 233124f因为3cos5,3,22, 所以4sin5, 所以24sin22sincos25,227cos2cossin25所以23fcos2sin 272417252525. 40 （ 2013 年高考湖南卷（理）已知函数2( )sin()cos(). ( )2sin632xf xxxg x. (I) 若是第一象限角 , 且3 3()5f. 求()g的值 ; (II)求使( )( )fxg x成立的 x 的取值集合 . 【答案】解: (I)533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf. 51cos12sin2)(,54cos)2, 0(,53sin2g且(II)21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx,322,2652 ,62641 （ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题） ）本小题满分16 分. 如图 , 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径. 一种是从A沿直线步行到C, 另一种是_先从A沿索道乘缆车到B, 然后从B沿直线步行到C. 现有甲 . 乙两位游客从A处下山 , 甲沿AC匀速步行 ,速度为min/50m. 在甲出发min2后, 乙从A乘缆车到B, 在B处停留min1后, 再从匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m, 山路AC长为m1260, 经测量 ,1312cosA,53cosC. (1) 求索道AB的长 ; 来源 : (2) 问乙出发多少分钟后, 乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 , 乙步行的速度应控制在什么范围内? 【答案】解:(1) 1312cosA,53cosC），（、20CA135sinA,54sinC6563sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（根据sinBsinCACAB得mCACAB1040sinsinB(2) 设乙出发t 分钟后 , 甲. 乙距离为d, 则1312)50100(1302)50100()130(222ttttd)507037(20022ttd13010400t即80t3735t时, 即乙出发3735分钟后 , 乙在缆车上与甲的距离最短. (3) 由正弦定理sinBsinAACBC得50013565631260sinsinBAACBC(m) 乙从 B出发时 , 甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min/m, 则350710500v3507105003v14625431250v为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 ,乙步行的速度应控制在14625,431250范围内法二 : 解:(1)如图作BDCA于点D, 设BD=20k, 则DC=25k,AD=48k, AB=52k, 由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. C B A (2) 设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点, 如图所示 . 则:AM=130 x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AMANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中 0 x8, 当x=3537 (min)时,MN最小 , 此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3) 由(1) 知:BC=500m,甲到C用时 :126050 =1265 (min). 若甲等乙3 分钟 , 则乙到C用时 :1265 +3=1415 (min),在 BC上用时 :865 (min) . 此时乙的速度最小, 且为:500865 =125043 m/min. 若乙等甲3 分钟 , 则乙到C用时 :1265 -3=1115 (min),在 BC上用时 :565 (min) . 此时乙的速度最大, 且为:500565 =62514 m/min. 故乙步行的速度应控制在125043 ,62514 范围内 . 42 （ 2013年 高 考 湖 北 卷 （ 理 ）在ABC中 , 角A,B,C对 应 的 边 分 别 是a,b,c. 已 知cos23cos1ABC. (I) 求角A的大小 ; (II)若ABC的面积5 3S,5b, 求sinsinBC的值 . 【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos1AA22cos3cos20AA, 解得1cos2A,角60A(II)1sin5 32SbcA4c, 由余弦定理得:221a,222228sinaRA25sinsin47bcBCR43 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学 （理） （纯 WORD 版含答案）ABC在内角,A B C的对边分别为, ,a b c, 已知cossinabCcB. ( ) 求B; ( ) 若2b, 求ABC面积的最大值 . 【答案】C B A D M N 44 （ 2013年高考新课标1（理）如图 , 在ABC 中, ABC=90 ,AB=3 ,BC=1,P 为ABC 内一点 , BPC=90 (1) 若 PB=12, 求 PA;(2) 若APB=150 , 求tan PBA【答案】( ) 由已知得, PBC=o60, PBA=30o,在PBA中,由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74, PA=72; ( ) 设PBA=, 由已知得,PB=sin, 在PBA 中 , 由正弦定理得,oo3sinsin150sin(30), 化简得,3cos4sin, tan=34, tanPBA=34. 45 （2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）本题共有2 个小题 , 第一小题满分4分, 第二小题满分9 分. 在平面直角坐标系xOy中, 点A在y轴正半轴上 , 点nP在x轴上 , 其横坐标为nx, 且nx是首项为1、公比为 2 的等比数列 , 记1nnnP AP,nN. (1)若31arctan3, 求点A的坐标 ; (i由ti知及Ji#定siii/tEliftriinr%in8*XJC=K*(0CttsinHotin(B+C)=sinflcosC+cessinC.祕_smtf-cosfi.X5c(0.ic).所以B=CINAJiKT的面ffi5iacsinJJ4墨-2KTCOS-.4:今庀2知及*炫定圩抑乂a12ac.当址仅当训紐2-/iWifcAflCiSiS!的滅人ft为5+1._r(2) 若点A的坐标为(0 82)，, 求n的最大值及相应n的值 . 解(1) 设(0)At，, 根据题意 ,12nnx. 由31arctan3, 知31tan3, 而3443343223443()4tantan()321xxt xxtttOAPOAPxxtxxttt, 所以241323tt, 解得4t或8t. 故点A的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2) 由题意 , 点nP的坐标为1(2 0)n，,12tan8 2nnOAP. 11112122218 28 2tantan()22216 2218 28 2 8 28 228 2nnnnnnnnnnnOAPOAP. 因为16 222 228 2nn, 所以12tan42 2n, 当且仅当16 2228 2nn, 即4n时 等号成立 . 易知0tan2nyx，在(0)2，上为增函数 , 因此 , 当4n时,n最大 , 其最大值为2arctan4. 46（2013 年高考江西卷 （理）在ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 cosC+(conA-sinA)cosB=0. (1) 求角 B的大小 ; 若 a+c=1, 求 b 的取值范围【答案】解:(1) 由已知得cos()coscos3sincos0ABABAB即有sinsin3 sincos0ABAB因为sin0A, 所以sin3cos0BB, 又cos0B, 所以tan3B, P2 0 xyAP1P3 P4 vl又0B, 所以3B. (2) 由余弦定理 ,有2222cosbacacB. 因为11,cos2acB, 有22113()24ba. 又01a, 于是有2114b, 即有112b.