高考数学二轮复习解题思维提升专题12立体几何大题部分训练手册.pdf
1 专题 12 立体几何大题部分【训练目标】1、掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、掌握等体积法求点面距；5、掌握几何体体积的几种求法；6、掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17 分到 22 分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】1、已知直三棱柱中，为中点，.求证：平面；求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连结交于点，连结，则和分别为和的中点，所以，而平面，平面，所以平面.2（2）因为平面，所以点和到平面的距离相等，从而有.2、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，PAD是正三角形，E是PD的中点（1）求证：ADPC；（2）判定CE是否平行于平面PAB，请说明理由【答案】（1）见解析（2）平行（2）CE平行于平面PAB，理由如下：取PA的中点为F，连接,EF BF可知，3 又，所以四边形BCEF为平行四边形，故/CEBF.又BF平面,PAB CE平面PAB，所以/CE平面PAB.3、在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且底面ABCD为边长为2 的菱形，60BAD，2PD（1）证明：面PAC面PDB；（2）在图中作出点D在平面PBC内的正投影M（说明作法及其理由），并求四面体PBDM的体积【答案】（1）见解析（2）4 321【解析】（1）因为PD平面ABCD，所以PDAC，在菱形ABCD中，ACBD，且，所以，又因为，所以面（2）取BC的中点E，连接DE，PE，易得BDC是等边三角形，所以BCDE，又因为PD平面ABCD，所以PDBC，又，所以，在面PDE中，过D作DMPE于M，即M是 点D在平面PBC内的正投影，则DMBC，又，所以，经计算得3DE，在RtPDE中，2PD，4，4、如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。（1）证明：直线BC面OEF；（2）在线段DF上是否存在一点M，使得二面角的余弦值是13133，若不存在请说明理由，若存在请求出M点所在的位置。【答案】（1）见解析（2）M为DF中点（本题可先证明BC/EF后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）（2）设OD的中点为G，以G为原点，GE、GD、GF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。易知，)0,1,0(O，)0,0,3(E，)3,0,0(F,)0,1,0(D.5 设DFDM，1,0.可得，5、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，2AB，4AC，D为BC的中点（1）求证：ADPB；（2）若二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积【答案】（1）见解析（2）4【解析】（1）在ABC中，由余弦定理得，则27BC因为D为BC的中点，则因为，则，所以3AD因为，则ABAD（5 分）因为PA底面ABC，则PAAD，所以AD平面PAB，从而ADPB（2）分别以直线AB，AD，AP为 x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图6 设PAa，则点2,0,0B，0,3,0D，0,0,Pa 所以，6、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2 的菱形，DAB 60，ADP90，平面ADP平面 ABCD，点 F 为棱 PD的中点（1）在棱 AB上是否存在一点E，使得 AF平面 PCE，并说明理由；（2）当二面角DFCB的余弦值为24时，求直线PB与平面 ABCD所成的角【答案】（1）点 E 为棱 AB的中点（2）60【解析】（1）在棱 AB 上存在点E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB的中点7 理由如下：取PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ，由题意，FQDC且 FQ12CD，AECD且 AE12CD，故 AEFQ且 AEFQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.所以，AFEQ，又 EQ?平面 PEC，AF?平面 PEC，所以，AF平面 PEC.设平面 FBC 的法向量为m()x，y，z，则由得2yaz 0，3xy 0，令 x1，则 y3，z 23a，所以取m 1，3，23a，显然可取平面DFC的法向量n()1，0，0，由题意：24|cos m，n11312a2，所以 a3.由于 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD内的射影为BD，所以 PBD为直线 PB 与平面 ABCD所成的角，易知在 RtPBD中，tan PBDPDBDa3，从而 PBD60，所以直线PB 与平面 ABCD所成的角为60.7、已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别是AB和BC的中点。（1）证明：MN平面AACC；（2）设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论【答案】（1）见解析（2）2 8（2）连接BN，设AAa，则AB，由题意知BC2，NCBNa2122a2，三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，平面ABC平面BBCC，ABAC，点N是BC的中点，AN平面BBCC，CNAN.要使CN平面AMN，只需CNBN即可，CN2BN2BC2，2a2122a222a2?2，当2时，CN平面AMN.8、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，.（1）求证：平面PBC平面ABCD；（2）若PCPB,求点D到 平面PAB的距离.【答案】（1）见解析（2）22【解析】（1）证明：取BC中点M，连接,DMPM可知且MDBC又,在Rt PBC有1PM又2PDQ，,即MDPM，9 又平面PBC,BC平面PBCMD平面PBC，又MDQ平面ABCD平面PBC平面ABCD（2）设点D到平面PAB的距离为h，22h所以点D到平面PAB的距离为22。9、如图,在三棱柱中,点,P G分别是111,AA B C的中点,已知1AA平面ABC,.（1）求异面直线1AG与AB所成角的余弦值.（2）求证：1AG平面11BCC B.（3）求直线1PC与平面11BCC B所成角的正弦值.【答案】（1）74（2）见解析（3）7510（2）在三棱柱中,1AA平面ABC,1AG平面ABC,11AAAG,11BBAG,又,1AG平面11BCC B.（3）解：取BC的中点H,连接,AH HG;取HG的中点O,连接1,OP OC.1POAGP,PO平面11BCC B,1PC O 是1PC与平面11BCC B所成的角.由已知得,直线1PC与平面11BCC B所 成角的正弦值为75.10、如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC中，PA=AB=2，PB=PC=22（1）求证：PA平面 ABC；（2）若点 D在线段 PC 上，且直线BD与平面 ABC所成角为6，求二面角D AB C 的余弦值11【答案】（1）见解析（2）（2）以 A 为原点，AC为 y 轴，AP为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设 D（0，b，c），0 1，则（0，b，c2）=（0，2，2），D（0，2，22），=（，2 1，22），直线 BD与平面 ABC所成角为，平面 ABC的法向量=（0，0，1），sin=，解得或=2（舍），D（0，1，1），=（），=（0，1，1），设平面 ABD的法 向量=（x，y，z），则，取 x=1，得=（1，），平面 ABC的法向量=（0，0，1），设二面角D ABC 的平面角为，则 cos=12 二面角D ABC 的余弦值为11、如图，在斜三棱柱中，ACAB，侧面11BCCB与底面ABC所成的二面角为120，FE,分别是棱11CB、AA1的中点（1）求AA1与底面ABC所成的角；（2）证明/1EA平面FCB1；（3）求经过CBAA,1四点的球的体积【答案】（1）60（2）见解析（3）3由于四边形 A1AGE为平行四边形，得 A1AG=60（）证明：设EG与 B1C的交点为 P，则点 P 为 EG的中点连接 PF在平行四边形AGEA1中，因 F为 A1A 的中点，故 A1EFP而 FP?平面 B1FC，A1E?平面 B1FC，所以A1E平面B1FC13 12、如图，在四面体ABCD中，BABC，（1）证明：BDAC；（2）若，2BA，四面体ABCD的体积为2，求二面角BACD的余弦值【答案】（1）见解析（2）10535【解析】（1）如图，作RtABD斜边BD上的高AE，连结CE14 因为BABC，所以 RtABDRtBCD可得CEBD所以BD平面AEC，于是BDAC设是平面BAC的法向量，则00ABACmmuuu ruuu r，即，可取设是平面DAC的法向量，则00ACADnnuuu ruuu r，即，可取因为，二面角BACD的平面角为钝角，所以二面角BACD的余弦值为10535z x y A B C D E
