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高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 1 页 共 20 页 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)的全部内容。高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 2 页 共 20 页 高考数学专题复习导数 目录 一、有关切线的相关问题 二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布 1、判断零点个数 2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明 1、作差证明不等式 2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围 1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用 导数运用中常见结论 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 3 页 共 20 页（1)曲线()yf x在0 xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为 000()()()yfxxxf x。(2)若可导函数()yf x在 0 xx 处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()f x,不等式()fx00（）的解集决定函数()f x的递增（减）区间。(4)函数()f x在区间 I 上递增(减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx 不恒为 0）。（5）函数()f x（非常量函数）在区间 I 上不单调等价于()f x在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程()0fx 在区间 I 上有实根且为非二重根。(若()fx为二次函数且 I=R，则有0）。(6)()f x在区间 I 上无极值等价于()f x在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在 I 上恒成立（7)若xI，()f x0恒成立，则min()f x0；若xI,()f x0恒成立，则max()f x0(8)若0 xI，使得0()f x0，则max()f x0；若0 xI，使得0()f x0,则min()f x0。（9)设()f x与()g x的定义域的交集为 D，若x D()()f xg x恒成立，则有 min()()0f xg x.(10）若对11xI、22xI，12()()f xg x恒成立，则minmax()()f xg x。若对11xI，22xI,使得12()()f xg x,则minmin()()f xg x。若对11xI，22xI，使得12()()f xg x，则maxmax()()f xg x.（11）已知()f x在区间1I上的值域为 A，,()g x在区间2I上值域为 B，高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 4 页 共 20 页 若对11xI,22xI，使得1()f x=2()g x成立，则AB.（12）若三次函数 f(x)有三个零点，则方程()0fx 有两个不等实根12xx、，且极大值大于 0，极小值小于 0。（13)证题中常用的不等式:ln1(0)xxx ln+1(1)xx x（）1xex 1xex ln1(1)12xxxx 22ln11(0)22xxxx sinx x（0 x)lnxx0)1 x x 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 5 页 共 20 页 一、有关切线的相关问题 例题、【2015 高考新课标 1，理 21】已知函数f（x）=31,()ln4xaxg xx。(）当a为何值时，x轴为曲线()yf x 的切线;【答案】（）34a 跟踪练习：1、【2011 高考新课标 1，理 21】已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。(）求a、b的值；解：（）221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线230 xy 的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即 1,1,22bab 解得1a，1b。2、（2013 课标全国，理 21)设函数f（x)x2axb，g(x）ex(cxd）若曲线yf(x)和曲线yg(x）都过点P（0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.（1)求a，b,c，d的值；解：（1)由已知得f(0）2，g(0）2,f（0)4，g(0)4。而f（x)2xa，g(x)ex（cxdc)，故b2,d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2。3、(2014 课标全国，理 21)设函数1(0lnxxbef xaexx,曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线为(1)2ye x。(）求,a b;高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 6 页 共 20 页【解析】:（)函数()f x的定义域为0,，112()lnxxxxabbfxaexeeexxx 由题意可得(1)2,(1)ffe，故1,2ab 6 分 二、导数单调性、极值、最值的直接应用(一）单调性 1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2015 高考江苏,19】已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1)试讨论)(xf的单调性；【答案】(1)当0a 时,f x在,上单调递增；当0a 时，f x在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a 时，f x在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减 当0a 时,2,0,3ax 时，0fx，20,3ax时，0fx,所以函数 f x在,0，2,3a上单调递增,在20,3a上单调递减 练习：1、已知函数1()ln1af xxaxx()aR.高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 7 页 共 20 页 当12a 时，讨论()f x的单调性；答案:1()ln1(0)af xxaxxx,222l11()(0)aaxxaf xaxxxx 令2()1(0)h xaxxa x 当0a 时,()1(0)h xxx ，当(0,1),()0,()0 xh xfx，函数()f x单调递减;当(1,),()0,()0 xh xfx，函数()f x单调递增。当0a 时，由()0fx，即210axxa ，解得1211,1xxa.当12a 时12xx,()0h x 恒成立，此时()0fx，函数()f x单调递减；当102a 时，1110a ，(0,1)x时()0,()0h xfx,函数()f x单调递减；1(1,1)xa时，()0,()0h xfx，函数()f x单调递增;1(1,)xa 时，()0,()0h xfx，函数()f x单调递减。当0a 时110a，当(0,1),()0,()0 xh xfx,函数()f x单调递减；当(1,),()0,()0 xh xfx，函数()f x单调递增。综上所述：当0a 时，函数()f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当12a 时12xx,()0h x 恒成立,此时()0fx，函数()f x在(0,)单调递减；当102a 时,函数()f x在(0,1)递减，1(1,1)a递增，1(1,)a 递减.2、已知a为实数，函数()(1)exf xax，函数1()1g xax，令函数()()()F xf xg x 当0a 时，求函数()F x的单调区间 解：函数1()e1xaxF xax，定义域为1x xa 当0a 时，222222221()21()ee(1)(1)xxaaxa xaaF xaxax 令()0Fx，得2221axa 9 分 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 8 页 共 20 页 当210a ，即12a 时，()0Fx 当12a 时，函数()F x的单调减区间为1(,)a，1(,)a11 分 当102a 时,解2221axa得122121,aaxxaa 121aaa，令()0Fx，得1(,)xa，11(,)xxa，2(,)xx；令()0Fx,得12(,)xx x 13 分 当102a 时，函数()F x的单调减区间为1(,)a，121(,)aaa，21(,)aa；函数()F x单调增区间为2121(,)aaaa 15 分 当210a ，即12a 时，由(2）知，函数()F x的单调减区间为(,2)及(2,)2、根据判别式进行讨论 例题：【2015 高考四川，理 21】已知函数22()2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a.（1）设()g x是()f x的导函数，评论()g x的单调性;【答案】(1）当104a 时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a 时，()g x在区间(0,)上单调递增.【解析】（1）由已知，函数()f x的定义域为(0,)，()()222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224()2xaag xxxx .当104a 时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 9 页 共 20 页 当14a 时,()g x在区间(0,)上单调递增.练习:已知函数()lnaf xxxx，a R（1）求函数()f x的单调区间；解:函数()f x的定义域为(0,)2221()1axxafxxxx 令()0fx，得20 xxa ，记14a （）当14a时，()0fx，所以()f x单调减区间为(0,)；5 分 （）当14a 时，由()0fx 得12114114,22aaxx，若104a ，则120 xx，由()0fx,得20 xx，1xx；由()0fx，得21xxx 所 以，()f x的 单 调 减 区 间 为114(0,)2a，114(,)2a,单 调 增 区 间 为114114(,)22aa；7 分 若0a,由（1）知()f x单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,)；若0a，则120 xx，由()0fx，得1xx；由()0fx，得10 xx ()f x的单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a 9 分 综上所述：当14a时，()f x的单调减区间为(0,)；当104a 时,()f x的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；当0a时，()f x单 调 减 区 间 为114(,)2a，单 调 增 区 间 为114(0,)2a 10 分 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 10 页 共 20 页 2.已知函数1()()2ln()f xa xx axR 求函数()f x的单调区间;解:函数的定义域为0,222122()(1)axxafxaxxx 1 分（1)当0a 时，2()20h xaxxa 在(0,)上恒成立,则()0fx 在(0,)上恒成立，此时()f x在(0,)上单调递减 4 分（2）当0a 时，244a,（）若01a，由()0fx,即()0h x，得211 axa或211 axa；5 分 由()0fx，即()0h x,得221111aaxaa 6 分 所以函数()f x的单调递增区间为211(0,)aa和211(,)aa,单调递减区间为221111(,)aaaa 7 分（）若1a,()0h x 在(0,)上恒成立,则()0fx 在(0,)上恒成立,此时()f x 在(0,)上单调递增 3、含绝对值的函数单调性讨论 例题：已知函数()lnf xx xax.(1）若a=1，求函数()f x在区间1,e的最大值;（2）求函数()f x的单调区间；（3)若()0f x 恒成立，求a的取值范围 解:（1）若a=1,则()1lnf xx xx 当1,xe时，2()lnf xxxx，2121()210 xxfxxxx ,高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 11 页 共 20 页 所以()f x在1,e上单调增，2max()()1f xf eee .2 分 （2)由于()lnf xx xax，(0,)x （)当0a 时，则2()lnf xxaxx，2121()2xaxfxxaxx ，令()0fx,得20804aax（负根舍去)，且当0(0,)xx时，()0fx;当0(,)xx时，()0fx，所以()f x在28(0,)4aa上单调减,在28(,)4aa上单调增。4 分(）当0a 时,当xa时，2121()2xaxfxxaxx ，令()0fx，得2184aax(284aaxa舍），若284aaa，即1a,则()0fx，所以()f x在(,)a 上单调增；若284aaa，即01a,则当1(0,)xx时,()0fx；当1(,)xx时，()0fx，所 以()f x在 区 间28(0,)4aa上 是 单 调 减，在28(,)4aa上 单 调增.6 分 当0 xa 时,2121()2xaxfxxaxx ,令()0fx，得2210 xax,记28a，若280a，即02 2a,则()0fx,故()f x在(0,)a上单调减;若280a，即2 2a，则由()0fx 得2384aax，2484aax且340 xxa，高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 12 页 共 20 页 当3(0,)xx时，()0fx；当34(,)xx x时，()0fx;当4(,)xx 时，()0fx，所以()f x在 区 间28(0,)4aa上 是 单 调 减，在2288(,)44aaaa上 单 调 增；在28(,)4aa上单调减.8 分 综上所述,当1a 时,()f x单调递减区间是28(0,)4aa，()f x单调递增区间 是28(,)4aa；当12 2a 时，()f x单调递减区间是(0,)a,()f x单调的递增区间是(,)a;当2 2a 时，()f x单调递减区间是（0,284aa）和28(,)4aaa，()f x单调的递增区间是2288(,)44aaaa和(,)a.10 分(3)函数()f x的定义域为(0,)x 由()0f x，得ln xxax *（）当(0,1)x时，0 xa，ln0 xx,不等式恒成立，所以Ra；（）当1x 时，10a，ln0 xx,所以1a；12 分（）当1x 时，不等式恒成立等价于ln xaxx 恒成立或ln xaxx 恒成立 令ln()xh xxx，则221ln()xxh xx 因为1x，所以()0h x，从而()1h x 因为ln xaxx 恒成立等价于min()ah x，所以1a 令ln()xg xxx，则221ln()xxg xx 再令2()1lne xxx，则1()20e xxx 在(1,)x上恒成立，()e x在(1,)x上无最大值 综上所述，满足条件的a的取值范围是(,1)16 分 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 13 页 共 20 页 2设a为实数，函数2()|f xx xa(2）求函数()f x的单调区间 4、分奇数还是偶数进行讨论 例题:【2015 高考天津,理 20 已知函数()n,nf xxxxR,其中*n,n2N。(I)讨论()f x的单调性；高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 14 页 共 20 页【答案】(I）当n为奇数时，()f x在(,1),(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增；当n为偶数时，()f x在(,1)上单调递增,()f x在(1,)上单调递减.(II)见解析；（III)见解析。(2)当n为偶数时,当()0fx,即1x 时，函数()f x单调递增；当()0fx，即1x 时，函数()f x单调递减。所以,()f x在(,1)上单调递增，()f x在(1,)上单调递减.5、已知单调区间求参数范围 例题：（14 年全国大纲卷文）函数f（x)=ax3+3x2+3x（a0）。（1）讨论函数 f(x)的单调性；（2）若函数 f（x）在区间（1，2）是增函数,求 a 的取值范围.解：（1）2()363fxaxx,2()3630fxaxx 的判别式=36（1-a）.（i)若 a1，则()0fx，且()0fx 当且仅当 a=1，x=1，故此时 f（x）在 R上是增函数。高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 15 页 共 20 页(ii)由于 a0，故当 a1 时，()0fx 有两个根：121111,aaxxaa，若 0a0，x0 时,()0fx，所以当 a0 时,f(x）在区间(1，2)是增函数.若 a0 时,f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f 且(2)0f ，解得504a .综上,a 的取值范围是5,0)(0,)4。二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题 例题：【2015 高考山东，理 21】设函数 2ln1fxxa xx，其中aR.（）讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由;（2）当0a 时，28198aaaaa 当809a 时，0,0g x 所以，0fx，函数 f x在1,上单调递增无极值;高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 16 页 共 20 页 当89a 时，0 设方程2210axaxa 的两根为1212,(),x xxx 因为1212xx 所以，1211,44xx 由110g 可得：111,4x 所以，当11,xx 时,0,0g xfx，函数 f x单调递增；当12,xx x时，0,0g xfx，函数 f x单调递减；当2,xx时，0,0g xfx，函数 f x单调递增；因此函数 f x有两个极值点(3）当0a 时，0 由110g 可得：11,x 当21,xx 时,0,0g xfx，函数 f x单调递增;当2,xx时,0,0g xfx，函数 f x单调递减;因此函数 f x有一个极值点 综上：当0a 时,函数 f x在1,上有唯一极值点；当809a 时，函数 f x在1,上无极值点；当89a 时，函数 f x在1,上有两个极值点；例题:【2015 高考安徽，理 21】设函数2()f xxaxb.(）讨论函数(sin)fx在(,)2 2 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;【解析】（)2(sin)sinsinsin(sin)fxxaxbxxab ，22x 。高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 17 页 共 20 页 (sin)(2sin)cosfxxax，22x 。因为22x ，所以cos0,22sin2xx 。当2,abR 时，函数(sin)fx单调递增，无极值。当2,abR时,函数(sin)fx单调递减，无极值。当22a ，在(,)2 2 内存在唯一的0 x，使得02sin xa。02xx 时，函数(sin)fx单调递减；02xx 时，函数(sin)fx单调递增.因此，22a ，bR时，函数(sin)fx在0 x处有极小值20(sin)()24aafxfb.（二）已知极值点个数求参数范围 例题：【14 年山东卷（理）】设函数)ln2(2xxkxexfx（k为常数，2.71828e 是自然对数的底数)（I）当0k 时,求函数 f x的单调区间；(II）若函数 f x在 0,2内存在两个极值点，求 k 的取值范围。）。的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2,:1ln0lnln2022,0)2(01)0(,01)0(ln,)(2)(),2()()2,0(2,0)(0e0,kx0k)0()(2()12(2)(12ln222x3242eeeekkkkekgekkegkeggkgkxkekexgkxexgxfxxfxxxfkxxxkxexxxkxxexexfkxxxxxx 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 18 页 共 20 页 练习：1、【2014 年天津卷（理)】2、（2014 湖南)(本小题满分 13 分）已知常数0a，函数2()ln(1)2xf xaxx。()讨论()f x在区间(0,)上的单调性；（)若()f x存在两个极值点12,x x，且12()()0f xf x，求a的取值范围.【解析】（）2412afxaxx 2224 112a xaxaxx 224112axaaxx，(*）因为2120axx,所以当10a 时,当1a 时,0fx,此时，函数 f x在0,单调递增,当01a 时，121102,2aafxxxaa （舍去),当1(0,)xx时，0fx;当1(,)xx时，0fx。故 f x在区间1(0,)x单调递减，在1(,)x 单调递增的。综上所述 当1a 时,0fx，此时，函数 f x在0,单调递增,当01a 时，f x在区间10,2aa上单调递减,在12aa 上单调递增的.高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 19 页 共 20 页(）由（*)式知,当1a 时,0fx 函数 f x不存在极值点，因而要使得 f x有两个极值点，必有01a，又 f x的极值点只可能是112axa和212axa，且由 f x的定义可知,1xa 且2x，所以112aaa，122aa，解得12a ，此时，（）式知1x,2x分别是 f x的极小值点和极大值点，而 1212121222()()ln(1)ln(1)22xxf xf xaxaxxx 121221212121244ln 1224x xxxa xxa x xx xxx 22412ln 21ln 2122121aaaaa 令21ax，由01a 且12a 知 当102a 时,10;x 当112a 时,01.x 记22()ln2g xxx （)当10 x 时，2()2ln2g xxx ，所以 222222()xg xxxx 因此，()g x在 1,0上单调递减,从而()(1)40g xg ，故当102a 时，12()()0f xf x （）当01x 时，2()2ln2g xxx，所以 222222()xg xxxx 因此，()g x在 0,1上单调递减，从而()(1)0g xg，故当112a 时，12()()0f xf x 综上所述,满足条件的a的取值范围是为1,12。【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式。（三）最值 高考导数专题复习(3)(word版可编辑修改)第 20 页 共 20 页
