高考数学预测题应用性问题.pdf

2009 届高考数学压轴题预测 专题七 应用性问题 1.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为 34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003年的年生产量的增长率为 36%）（1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决问题的能力。解析（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42 则2006年 全 球 太 阳 电 池 的 年 生 产 量 为 8.249942.140.138.136.1670(兆瓦)（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则441420(1)95%2499.8(142%)x解得0.615x因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61 点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。2.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交a元（35a）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911x）时，一年的销售量为2(12)x万件（）求该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()Q a 分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 解 析：（）分 公 司 一 年 的 利 润L（万 元）与 售 价x的 函 数 关 系 式 为：2(3)(12)9 11Lxaxx，（）2()(12)2(3)(12)L xxxax (12)(1823)xax，令0L 得263xa 或12x（不合题意，舍去）35a，2288633a 在263xa 两侧L的值由正变负 所以（1）当28693a即932a 时，2max(9)(93)(129)9(6)LLaa （2）当2289633a即952a时，23max2221(6)631264 33333LLaaaaa，所以399(6)32()194 3532aaQ aaa，答：若932a，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润L最大，最大值()9(6)Q aa（万元）；若952a，则当每件售价为263a元时，分公司一年的利润L最大，最大值31()4 33Q aa（万元）点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。3.（07 安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）a2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。解析：（1）我们有nnnarTT)1(1（2n）（2）11aT，对2n反复使用上述关系式，得：nnnnararara)1()1()1(12211。在式两边同乘以r1，得：)1()1()1()1()1(1121rarararaTrnnnnn 由，得nnnnnarrrdrarT)1()1()1()1(211 nnnararrrd)1(1)1(1，即 2121)1(rdrardnrrdraTnn。如果记nnrrdraA)1(21，21rdrardnBnnrdrdra21，则nnnBAT，其中nA是以)1(21rrdra为首项，以)0(1 rr为公比的等比数列；nB是以rdrdra21为首项，以rd为公差的等差数列。点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。4.如图，甲船以每小时 302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1处，此时两船相距 20海 里.当甲船航行 20 分钟到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B1处，此时两船相距 102海里，问乙船每小时航行多少海里？（07 山东理）分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。解析：如图，连结12AB，2210 2A B，122030 210 260AA，122A A B是等边三角形，1121056045B AB ，在121AB B中，由余弦定理得 22212111211122cos 45B BABABABAB，22220(10 2)2 20 10 22002 ，1210 2.B B 因 此 乙 船 的 速 度 的 大 小 为1 026 03 02.20 答：乙船每小时航行30 2海里.点评：连接12AB，构造两个可解的三角形122A A B与121AB B是处理此题的关键，此外，还可连接21A B来解。5.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为 A级时，产品为一等品，其余均为二等品.（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为 A级的概率如表一所示，分别求生产 工序 产品 第一工序 第二工序 甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 概 率 出的甲、乙产品为一等品的概率 P甲、P乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I）的条件下，求、的分布列及 E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资.金 60 万元.设x、y分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II）的条件下，x、y为何 值时，yExEz最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力 解析（）解：.6.08.075.0,68.085.08.0乙甲PP（）解：随机变量、的分别列是 （）解：由题设知.0,0,4028,60105yxyxyx目标函数为 2.4xyExEz作出可行域（如图），作直线:l,01.22.4yx 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点 M点与原点距离最大，此时yxz1.22.4 取最大值.解方程组.4028,60105yxyx 得.4,4 yx即4,4yx时，z 取最大值，z的最大值为 25.2.点评：6.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 等级 产品 一等 二等 甲 5（万元）2.5（万元）乙 2.5（万元）1.5（万元）利 润 项目 产品 工人（名）资金（万元）甲 8 8 乙 2 10 用 量 5 2.5 P 0.68 0.32 2.5 1.5 P 0.6 0.4 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250元；分 4 期或 5 期付款，其利润为300 元，表示经销一件该商品的利润。（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率()P A；（）求的分布列及期望E。分析：本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题能力。解析：（）由A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”2()(10.4)0.216P A ，()1()10.2160.784P AP A （）的可能取值为200元，250元，300元(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP ，(300)1(200)(250)1 0.40.40.2PPP 的分布列为 2000.42500.43000.2E240（元）点评：掌握对立事件的概率和为 1，学会用间接法求解概率问题。7.某人在一山坡 P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80（米），塔所在的山高 OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,21tan试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 A（200，0），B（0，220），C（0，300），直 线l的 方 程 为,t a n)200(xy即 .2200 xy 设点 P 的坐标为（x，y），则).200)(2200,(xxxP 由经过两点的直线的斜率公式,28003002200 xxxxkPC .26402202200 xxxxkPB 由直线 PC到直线 PB的角的公式得，要使 tanBPC 达到最大，只须288640160 xx达到最小，由均值不等式 当且仅当xx640160时上式取得等号，故当x=320 时 tanBPC 最大，这时，点 P的纵坐标y 为.602200320y 由此实际问题知，,20 BPC所以 tanBPC最大时，BPC最大，故当此人距水平地面60 米高时，观看铁塔的视角BPC最大.8.如图，设曲线(0)xyex在点(,)tM t e处的切线lxy与 轴轴所围成的三角形面积为()S t，求（1）切线l的方程；2）求证2()S te（1）解：()()xxfxee，切线l的斜率为te 故切线l的方程为()ttyeext，即(1)0tte xyet （2）证明：令01yxt 得，又令0(1)txyet得，从而1()(1)(1).2tS tett()S t的最大值为2(1)Se，即2()S te 点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法 在证明不等式中的优越性。9.对于定义在区间,m n上的两个函数 f x和 g x，如果对任意的,xm n，均有不等式 1f xg x成立，则称函数 f x与 g x在,m n上是“友好”的，否则称“不友好”的.现 在有 两个 函 数 log3af xxa与 1logag xxa0,1aa，给定 区间2,3aa.M x y（1）若 f x与 g x在区间2,3aa上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论函数 f x与 g x在区间2,3aa上是否“友好”.答案：（1）函数 f x与 g x在区间2,3aa上有意义，必须满足23020010,1aaaaaa a （2）假设存在实数a，使得函数 f x与 g x在区间2,3aa上是“友好”的，则 2222log43log431aaf xg xxaxaxaxa 即 221log431axaxa （*）因为 0,120,2aa，而2,3aa在2xa的右侧，所以函数 22log43ag xxaxa在区间2,3aa上为减函数，从而 于是不等式（*）成立的充要条件是 因此，当957012a 时，函数 f x与 g x在区间2,3aa上是“友好”的；当95712a时，函数 f x与 g x在区间2,3aa上是不“友好”的.