2023年三年高考数学真题分类解析：专题05-函数图象与方程.pdf

专题 05 函数图像与方程 考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 1.函数图象的判断 在掌握基本初等函数图象的基础上,利用函数变化的快慢、函数的定义域、奇偶性、单调性、函数图象过定点等特点对函数图象作出判断 选择题、填空题 2.函数图象的变换 掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换,熟悉各种变换的过程和特点,并由此解决相关问题 3.函数图象的应用 利用函数图象研究函数的性质,根据性质解决相关问题以及利用函数图象解决最值问题、判断方程解的个数 分析解读 1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 函数零点与方程的根 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系 2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数 3.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解 选择题 分析解读 函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.命题探究练扩展 2018年高考全景展示 1【2018 年浙江卷】函数 y=sin2x 的图象可能是 A.B.对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 C.D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项 A,B;因为时，所以排除选项 C，选 D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复 2【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 若 g（x）存在 2个零点，则 a 的取值范围是 A.1，0）B.0，+）C.1，+）D.1，+）【答案】C 详解：画出函数的图像，在 y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选 C.对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.3【2018 年理数全国卷 II】函数的图像大致为 A.A B.B C.C D.D【答案】B 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 4.【2018 年理数天津卷】已知，函数若关于 的方程恰有 2个互异的实数解，则 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数 的取值范围是.对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 5【2018 年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数 a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 6【2018 年全国卷理】函数在的零点个数为_【答案】【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数。详解：，由题可知，或，解得,或，故有 3 个零点。点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。2017年高考全景展示 1.【2017 山东，理 10】已知当0,1x时，函数21ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（A）0,12 3,（B）0,13,（C）0,22 3,（D）0,23,【答案】B 对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 2016年高考全景展示 1.【2016 高考新课标 1 卷】函数22xyxe在 2,2的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函数 f(x)=2x2 e|x|在 2,2上是偶函数,其图象关于y轴对称,因为22(2)8,081fee ,所以排除,A B选项；当 0,2x时,4xyxe 有一零点,设为0 x,当0(0,)xx时,()f x为减函数,当0(,2)xx时,()f x为增函数故选 D.考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.2.【2016 高考天津理数】已知函数 f（x）=2(4,0,log(1)13,03)axaxaxxx （a0,且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|()|2f xx 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）（A）（0，23 （B）23，34 （C）13，2334（D）13，23）34【答案】C 考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 3.【2016 年高考北京理数】设函数33,()2,xx xaf xx xa.若0a，则()f x的最大值为_；若()f x无最大值，则实数a的取值范围是_.【答案】2，(,1).【解析】试题分析：如图作出函数3()3g xxx与直线2yx 的图象，它们的交点是(1,2)A，对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 (0,0)O，(1,2)B，由2()33g xx，知1x 是函数()g x的极大值点，当0a 时，33,0()2,0 xx xf xx x，因此()f x的最大值是(1)2f ；由图象知当1a 时，()f x有最大值是(1)2f ；只有当1a 时，由332aaa，因此()f x无最大值，所求a的范围是(,1)，故填：2，(,1)考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程【2016 高考山东理数】已知函数2|,()24,xxmf xxmxm xm 其中0m，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【答案】3,对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要 f xb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30mmm mm mm，解得3m 考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.对函数图象作出判断掌握函数图象的平移变换对称变换伸缩变换和翻折变换熟悉各种变换的过程和特点并由此解决相择题填空题分析解读高考主要考查由函数解析式画出函数的图象两个函数图象的交点出现的情况近几年考查了用图象性避免出现以图代证的现象利用图象研究函数的性质特别是在判断非常规方程根的个数时此法有时妙不可言这是数形