高考数学压轴题跟踪演练系列一.pdf
江苏省备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列一-1（12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（）求这三条曲线的方程；（）已知动直线l过点 3,0P，交抛物线于,A B两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.解：（）设抛物线方程为220ypx p，将 1,2M代入方程得2p 24yx 抛物线方程为:（1 分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为 211,0,1,0,FF c=1（2 分）对于椭圆，2221221 121 1422 2aMFMF 2222222121232 222 2132 222 2aabacxy 椭圆方程为：（4 分）对于双曲线，1222 22aMFMF 2222222132 22 22132 22 22aabcaxy 双曲线方程为：（6 分）（）设AP的中点为C，l的方程为：xa，以AP为直径的圆交l于,D E两点，DE中点为H 令11113,22xyA x y C（7 分）2222221112121132344-23246222 22DHDCCHxyxaaxaaaDHDEDHlx 当时,为定值;为定值此时 的方程为：（12 分）2（14 分）已知正项数列na中，16a，点1,nnnA aa在抛物线21yx 上；数列nb中，点,nnBn b在过点 0,1，以方向向量为 1,2的直线上.（）求数列,nnab的通项公式；（）若 nnaf nb,n为奇数,n为偶数，问是否存在kN，使 2 74f kf k成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数n，不等式11202111111nnnnaanabbb 成立，求正数a的取值范围.解：（）将点1,nnnA aa代入21yx 中得 111111 15:21,21nnnnnnaaaadaannl yxbn 直线 （4 分）（）521nf nn,n为奇数,n为偶数（5 分）272742754 21,42735227145,24kkf kf kkkkkkkkkk 当 为偶数时，为奇数，当 为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。（8 分）（）由11202111111nnnnaanabbb （14 分）3.（本小题满分 12 分）将圆 O:4yx22上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线 C.(1)求 C 的方程;(2)设 O 为坐标原点,过点)0,3(F 的直线 l与 C 交于 A、B 两点,N 为线段 AB 的中点,延长线段 ON 交 C 于点 E.求证:ON2OE 的充要条件是3|AB|.解:(1)设点)y,x(P ,点 M 的坐标为)y,x(,由题意可知,y2y,xx(2分)又,4yx221y4x4y4x2222.所以,点 M 的轨迹 C 的方程为1y4x22.(4 分)(2)设点)y,x(A11 ,)y,x(B22 ,点 N 的坐标为)y,x(00 ,当直线 l 与 x 轴重合时,线段 AB 的中点 N 就是原点O,不合题意,舍去;(5 分)设直线 l:,3myx 由4y4x3myx22消去 x,得01my32y)4m(22 ,4mm3y20(6 分)4m344m34m34mm33myx2222200,点 N 的坐标为)4mm3,4m34(22 .(8 分)若OEON2,坐标为,则点 E 的为)4mm32,4m38(22 ,由点 E 在曲线 C 上,得1)4m(m12)4m(4822222,即,032m4m24 4m(8m22 舍去).由方程得,14m1m44m16m4m12|yy|2222221 又|,)yy(m|mymy|xx|212121 3|yy|1m|AB|212 .(10 分)若3|AB|,由得,34m)1m(422 .8m2 点 N 的坐标为)66,33(,射线 ON 方程为:)0 x(x22y ,由4y4x)0 x(x22y22 解得36y332x 点 E 的坐标为),36,332(OEON2.综上,OEON2的充要条件是3|AB|.(12 分)4.（本小题满分 14 分）已知函数241)x(fx)Rx(.(1)试证函数)x(f的图象关于点)41,21(对称;(2)若数列an的通项公式为)m,2,1n,Nm()mn(fan ,求数列an的前m 项和;Sm(3)设数列bn满足:31b1,n2n1nbbb.设1b11b11b1Tn21n.若(2)中的nS满足对任意不小于 2 的正整数 n,nnTS恒成立,试求 m 的最大值.解:(1)设点)y,x(P000 是函数)x(f的图象上任意一点,其关于点)41,21(的对称点为)y,x(P .由412yy212xx00 得.y21y,x1x00 所以,点 P 的坐标为 P)y21,x1(00 .(2 分)由点)y,x(P000 在函数)x(f的图象上,得241y0 x0.,)24(244244241)x1(f00000 xxxxx10 24121y210 x0,)24(2400 xx 点 P)y21,x1(00 在函数)x(f的图象上.函数)x(f的图象关于点)41,21(对称.(4 分)(2)由(1)可知,21)x1(f)x(f,所以)1mk1(21)mk1(f)mk(f ,即,21aa,21)mkm(f)mk(fkmk(6 分)由m1m321maaaaaS,得,aaaaaSm13m2m1mm 由,得,612m61221ma221)1m(S2mm).1m3(121Sm(8 分)(3),31b1)1b(bbbbnnn2n1n,对任意的0b,Nnn .由、,得,1b1b1)1b(b1b1nnnn1n即1nnnb1b11b1.1n1n11nn3221nb13b1b1)b1b1()b1b1()b1b1(T.(10 分),bb,0bbbn1n2nn1n 数列bn是单调递增数列.nT关于 n 递增.当2n,且Nn时,2nTT.,8152)194(94b,94)131(31b,31b321 .5275b13TT12n(12 分),5275Sm即,5275)1m3(121,394639238m m 的最大值为 6.(14 分)5（12 分）E、F是椭圆2224xy的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交椭圆于A、B两点.（1）当AEAF时，求AEF的面积；（2）当3AB 时，求AFBF的大小；（3）求EPF的最大值.解：（1）2241282AEFmnSmnmn （2）因484AEAFABAFBFBEBF，则5.AFBF（1）设(2 2,)(0)Pt t ()tanEPFtanEPMFPM 2213 223 222 22 23()(1)663ttttttt，当6t 时，3303tanEPFEPF 6（14 分）已知数列na中，113a，当2n 时，其前n项和nS满足2221nnnSaS，（2）求nS的表达式及2limnnnaS的值；（3）求数列na的通项公式；（4）设3311(21)(21)nbnn，求证：当nN且2n 时，nnab.MFEOyABPx解：（1）2111121122(2)21nnnnnnnnnnnSaSSSSS SnSSS 所以1nS 是等差数列.则121nSn.222limlim2212lim1nnnnnnnaSSS.（2）当2n 时，12112212141nnnaSSnnn，综上，21132214nnann.（3）令11,2121abnn，当2n 时，有103ba （1）法 1：等价于求证33111121212121nnnn.当2n 时，110,213n令 231,0,3fxxxx 23313232(1)2(1)2(1)02223fxxxxxxx，则 f x在1(0,3递增.又111021213nn，所以3311()(),2121ggnn即nnab.法（2）2233331111()()2121(21)(21)nnabbabannnn 22()()ab ababab （2）22()()()22abababaabb ()(1)(1)22baab a ab b （3）因33311111022222 3ababa ，所以(1)(1)022baa ab b 由（1）（3）（4）知nnab.法 3：令 22g bababab ，则 12102agbbab 所以 220,32g bmax gg amax aaaa 因10,3a 则 210aaa a ，2214323()3()0339aaa aa 所以 220g bababab （5）由（1）（2）（5）知nnab 7(本小题满分 14 分)设双曲线2222byax=1(a 0,b 0)的右顶点为 A，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于 Q 和 R 两点.(1)证明：无论P 点在什么位置，总有|OP|2=|OQOR|(O 为坐标原点)；(2)若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1)设 OP：y=k x,又条件可设 AR:y=ab(x a),解得：OR=(bakab,bakkab),同理可得OQ=(bakab,bakkab),|OQOR|=|bakabbakab+bakkabbakkab|=|bka|)k1(ba222222.4 分 设OP=(m,n),则由双曲线方程与 OP 方程联立解得:m2=22222kabba,n2=222222kabbak,第 21 题|OP|2=:m2+n2=22222kabba+222222kabbak=222222kab)k1(ba,点 P 在双曲线上，b2 a2k2 0.无论 P 点在什么位置，总有|OP|2=|OQOR|.4 分（2）由条件得：222222kab)k1(ba=4ab,2 分 即 k2=22a4ababb4 0,4b a,得 e 417 2 分
