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第1页（共 34页）概率统计大题专项练习一解答题（共19 小题）1随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017 年 18 月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，请用相关系数r 加以说明；（系数精确到0.01）；（2）建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到0.01）；如果该公司计划在9 月份实现产品销量超6 万件，预测至少需要投入促销费用多少万元（结果精确到0.01）参考数据：，其中 xi，yi分别为第i 个月的促销费用和产品销量，i1，2，3，8参考公式：（1）样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数（2）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，2某厂有4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1 次故障，且每台机器是否出现第2页（共 34页）故障是相互独立的，出现故障时需1 名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1 台机器的能力，每月需支付给每位工人1 万元的工资 每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有2 名工人求该厂每月获利的均值3某厂有4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1 名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为（）若出现故障的机器台数为x，求 x 的分布列；（）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（）已知一名维修工人每月只有维修1 台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1 万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5 万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2 名维修工人，求该厂每月获利的均值4某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10 分，背诵错误减10 分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为 Sn”（）求 S620 且 Si0（i1，2，3）的概率；（）记|S5|，求 的分布列及数学期望5某篮球队在本赛季已结束的8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图（1）根据这8 场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差；（2）假设甲在每场比赛的表现服从正态分布N（，2），且各场比赛间相互没有影响，依次估计甲在82 场比赛中得分在26 分以上的平均场数参考数据：正态分布 N（，2）在区间（2，+2）内取值的概率为0.954 第3页（共 34页）6已知具有相关关系的两个变量x，y 之间的几组数据如下表所示：x246810y3671012（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程x+，并估计当 x20 时，y 的值；（2）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取3 个点，记落在直线2xy 40 右下方的点的个数为，求 的分布列以及期望参考公式：，x7A，B，C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A 班6 6.5 7 7.5 8B 班6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）试估计C 班的学生人数；（）从A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和 1的大小（结论不要求证明）8某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险012345第4页（共 34页）次数保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值9某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列；（）若要求 P（Xn）0.5，确定 n 的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？10某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；第5页（共 34页）如果最高气温位于区间20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？11海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828第6页（共 34页）K212为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（，2）（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在（3，+3）之外的零件数，求P（X1）及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3，+3）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得9.97，s0.212，其中 xi为抽取的第i 个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数作为 的估计值，用样本标准差s 作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计 和（精确到0.01）附：若随机变量Z 服从正态分布N（，2），则 P（3 Z+3）0.9974，0.9974160.9592，0.09 13如图是某地区2000 年至 2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图第7页（共 34页）为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，17）建立模型 ：30.4+13.5 t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，7）建立模型 ：99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由14 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p（0p1），且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求 f（p）的最大值点p0（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0作为 p 的值已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？15从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200 件，测量这些产品的一项质量指标值（记为 Z），由测量结果得如下频率分布直方图：第8页（共 34页）（1）公司规定：当Z95 时，产品为正品；当Z95 时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90 元；若是次品，则亏损30 元记 为生产一件这种产品的利润，求随机变量 的分布列和数学期望；（2）由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布N（，2），其中 近似为样本平均数x，2 近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）利用该正态分布，求P（87.8Z112.2）；某客户从该公司购买了500 件这种产品，记X 表示这 500 件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用 的结果，求E（X）附：12.2 若 Z N（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2 Z+2）0.954416从某工厂的一个车间抽取某种产品50 件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如表：数据分组12.5，15.5）15.5，18.5）18.5，21.5）21.5，24.5）24.5，27.5）27.5，30.5）30.5，33.5）频数389121053（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在27.5，30.5）的概率；（2）求这 50 件产品尺寸的样本平均数；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布N（，2）；其中 近似为样本平均值，2近似为样本方差S2，经计算得S2 22.37，利用正态分布，求 P（z 27.43）17随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策第9页（共 34页）略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站2017 年 18 月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5（1）根据数据可知y 与 x 具有线性相关关系，请建立y 关于 x 的回归方程x+（系数精确到 0.01）；（2）已知 6 月份该购物网站为庆祝成立1 周年，特制定奖励制度：以z（单位：件）表示日销量，z 1800，2000），则每位员工每日奖励100 元；z2000，2100），则每位员工每日奖励 150 元；z2100，+），则每位员工每日奖励200 元现已知该网站6 月份日销量 z 服从正态分布N（0.2，0.0001），请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元（当月奖励金额总数精确到百分位）参考数据：xiyi 338.5，xi21308，其中 xi，yi分别为第 i 个月的促销费用和产品销量，i 1，2，3，8参考公式：（1）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归方程x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，x（2）若随机变量Z 服从正态分布N（，2），则 P（，+）0.6827，P（2，+2）0.9545 18在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000 名考生的参赛成绩统计如图所示（1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布N（，2），其中 ，2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区 4000 名考生成绩超过84.81 分的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考第10页（共 34页）生中随机抽取4 名考生，记成绩不超过84.81 分的考生人数为，求 P（3）（精确到0.001）附：s2204.75，；zN（，2），则 P（z+）0.6826，P（2 z+2）0.9544；0.841340.50119为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）（）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布XN（，2）（uu0，约为19.3）按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知 A 市理科考生约有1000 名，某理科学生此次检测数学成绩为107 分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示 x x1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X N（0，1），从而利用标准正态分布表?（x0），求 xx1时的第11页（共 34页）概率 P（xx1），这里 x0相应于 x0的值?（x0）是指总体取值小于x0的概率，即?（x0）P（xx0）参考数据：?（0.7045）0.54，?（0.6772）0.46，?（0.21）0.5832）第12页（共 34页）概率统计大题专项练习参考答案与试题解析一解答题（共19 小题）1随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017 年 18 月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，请用相关系数r 加以说明；（系数精确到0.01）；（2）建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到0.01）；如果该公司计划在9 月份实现产品销量超6 万件，预测至少需要投入促销费用多少万元（结果精确到0.01）参考数据：，其中 xi，yi分别为第i 个月的促销费用和产品销量，i1，2，3，8参考公式：（1）样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数（2）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归方程的斜率和截第13页（共 34页）距的最小二乘估计分别为，【解答】解：（1）根据数据绘制散点图如下，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系；计算（2+3+6+10+13+21+15+18）11，（1+1+2+3+3.5+5+4+4.5）3，相 关 系 数0.99，由相关系数的值接近于1，说明变量y 与 x 的线性相关性很强；（2）计算0.22，30.2211 0.58，y 关于 x 的回归方程为0.22x+0.58；令0.22x+0.58 6，解得 x24.64；即实现产品销量超6 万件，预测至少需要投入促销费用24.64 万元2某厂有4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1 次故障，且每台机器是否出现第14页（共 34页）故障是相互独立的，出现故障时需1 名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1 台机器的能力，每月需支付给每位工人1 万元的工资 每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有2 名工人求该厂每月获利的均值【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A 的概率为；该厂有 4 台机器就相当于4 次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则，则 X 的分布列为：X01234P设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为Xn，则 X 0，X1，X2，X n，这 n+1 个互斥事件的和事件，则n01234P（Xn）1，至少要3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%；（2）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8，第15页（共 34页）P（Y18）P（X0），；则 Y 的分布列为：Y18138P则；故该厂获利的均值为3某厂有4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1 名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为（）若出现故障的机器台数为x，求 x 的分布列；（）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（）已知一名维修工人每月只有维修1 台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1 万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5 万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2 名维修工人，求该厂每月获利的均值【解答】解：（）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A，则事件A 的概率为，该厂有4 台机器就相当于4 次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X，故X B，即 X 的分布列为：X01234P第16页（共 34页）（）设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为x n，即 x0，x1，xn，这 n+1 个互斥事件的和事件，则n01234P（xn）1，至少要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于 90%（）设 该 厂 获 利 为Y万 元，则Y的 所 有 可 能 取 值 为：18，13，8，即 Y 的分布列为：Y18138P则，故该厂获利的均值为4某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10 分，背诵错误减10 分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为 Sn”（）求 S620 且 Si0（i1，2，3）的概率；（）记|S5|，求 的分布列及数学期望【解答】解：（）当S6 20 时，即背诵6 首后，正确个数为4 首，错误2 首，若第一首和第二首背诵正确，则其余4 首可任意背诵对2 首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3 首可任意背诵对2 首，此时的概率为：；第17页（共 34页）（）|S5|的取值为10，30，50，又，的分布列为：1030505某篮球队在本赛季已结束的8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图（1）根据这 8 场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差；（2）假设甲在每场比赛的表现服从正态分布N（，2），且各场比赛间相互没有影响，依次估计甲在82 场比赛中得分在26 分以上的平均场数参考数据：正态分布 N（，2）在区间（2，+2）内取值的概率为0.954【解答】解：（1）这 8 场比赛队员甲得分为：7，8，10，15，17，19，21，23故平均数为：（7+8+10+15+17+19+21+23）15，方差 s2（715）2+（815）2+（1015）2+（1515）2+（1715）2+（1915）2+（2115）2+（2315）232.25，故 s5.68，根据这8 场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值 15 和标准差5.68，（2）甲在每场比赛的表现服从正态分布N（15，32.25），且各场比赛间相互没有影响，则估计甲在82 场比赛中得分在（4，26）之间的概率为0.954；第18页（共 34页）估计甲在82 场比赛中得分在26 分以上的概率为（10.954）0.023；由 0.023 822 得：估计甲在82 场比赛中得分在26 分以上的平均场数为2 场6已知具有相关关系的两个变量x，y 之间的几组数据如下表所示：x246810y3671012（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程x+，并估计当 x20 时，y 的值；（2）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取3 个点，记落在直线2xy 40 右下方的点的个数为，求 的分布列以及期望参考公式：，x【解答】解：（1）依题意，7.6 1.1 61；回归直线方程为，故当 x 20 时，y23（2）可以判断，落在直线2xy 40 右下方的点满足2xy40，故符合条件的点的坐标为（6，7），（8，10），（10，12），第19页（共 34页）故 的可能取值为1，2，3；，故 的分布列为：123p故7A，B，C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A 班6 6.5 7 7.5 8B 班6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）试估计C 班的学生人数；（）从A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和 1的大小（结论不要求证明）【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20 个学生，其中C 班抽取 8 个，故抽样比 K，故 C 班有学生8 40 人，（）从从A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有 5 840 种情况，第20页（共 34页）而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2 种情况；当甲锻炼时间为6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；当甲锻炼时间为7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；当甲锻炼时间为7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；当甲锻炼时间为8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4 种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P；（）018某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解答】解：（）某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于2 时，续保人本年度的保费高于基本保费，由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：p110.300.15 0.55（）设事件 A 表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件 B 表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意 P（A）0.55，P（AB）0.10+0.050.15，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，第21页（共 34页）则其保费比基本保费高出60%的概率：p2P（B|A）（）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：1.23，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 9某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数（）求X 的分布列；（）若要求P（Xn）0.5，确定 n 的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？【解答】解：（）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X16）（）2，P（X17），P（X18）（）2+2（）2，P（X19），第22页（共 34页）P（X20），P（X21），P（X22），X 的分布列为：X16171819202122P（）由（）知：P（X18）P（X16）+P（X17）+P（X18）P（X19）P（X16）+P（X17）+P（X18）+P（X19）+P（Xn）0.5 中，n 的最小值为19（）解法一：由（）得P（X19）P（X 16）+P（X17）+P（X18）+P（X19）+买 19 个所需费用期望：EX1200+（200 19+500）+（200 19+500 2）+（200 19+5003）4040，买 20 个所需费用期望：EX2+（200 20+500）+（20020+2500）4080，EX1EX2，买 19 个更合适解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n19 时，费用的期望为：19 200+500 0.2+1000 0.08+1500 0.04 4040，当 n20 时，费用的期望为：20 200+500 0.08+1000 0.044080，买 19 个更合适第23页（共 34页）10某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解答】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P（X200）0.2，P（X300），P（X500）0.4，X 的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200 瓶，只需考虑200 n500，当 300 n500 时，若最高气温不低于25，则 Y6n 4n2n；若最高气温位于区间20，25），则 Y6300+2（n300）4n1200 2n；若最高气温低于20，则 Y6200+2（n 200）4n800 2n，EY2n0.4+（1200 2n）0.4+（800 2n）0.26400.4n，当 200 n300 时，若最高气温不低于20，则 Y6n 4n2n，第24页（共 34页）若最高气温低于20，则 Y6200+2（n 200）4n800 2n，EY2n（0.4+0.4）+（800 2n）0.2 160+1.2n n300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520 元11海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由 P（A）P（BC）P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5 0.62，故 P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）50.66，第25页（共 34页）故 P（C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为P（A）P（B）P（C）0.62 0.660.4092；A 发生的概率为0.4092；（2）22 列联表：箱产量 50kg箱产量 50kg总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则 K215.705，由 15.705 6.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）5 0.34，箱产量低于55kg 的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）50.68 0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）12为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（，2）（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在（3，+3）之外的零件数，求P（X1）及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3，+3）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95第26页（共 34页）经计算得9.97，s0.212，其中 xi为抽取的第i 个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数作为 的估计值，用样本标准差s 作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计 和（精确到0.01）附：若随机变量Z 服从正态分布N（，2），则 P（3 Z+3）0.9974，0.9974160.9592，0.09【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（3，+3）之内的概率为0.9974，则落在（3，+3）之外的概率为10.9974 0.0026，因为 P（X 0）（10.9974）00.997416 0.9592，所以 P（X 1）1P（X0）0.0408，又因为XB（16，0.0026），所以 E（X）160.0026 0.0416；（2）（）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16 个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的（）由9.97，s 0.212，得 的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（169.97 9.22）10.02，因此 的估计值为10.02 2160.2122+16 9.9721591.134，第27页（共 34页）剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134 9.22215 10.022）0.008，因此的估计值为0.0913如图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，17）建立模型 ：30.4+13.5 t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，7）建立模型 ：99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【解答】解：（1）根据模型 ：30.4+13.5t，计算 t19 时，30.4+13.5 19226.1；利用这个模型，求出该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是226.1 亿元；根据模型 ：99+17.5 t，计算 t9 时，99+17.5 9256.5；利用这个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是256.5 亿元；（2）模型 得到的预测值更可靠；第28页（共 34页）因为从总体数据看，该地区从2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些，从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些，所以，利用模型 的预测值更可靠些14 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p（0p1），且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求 f（p）的最大值点p0（2）现对一箱产品检验