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2023年九年级数学：第二十六章 反比例函数26.1反比例函数导导 学 团反比例函数是指如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x（k常 数，kwO,xwQ）的 形 式,那 么 而 是x的反比例函数反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的双曲线。反比例函图 像 数图像中每T限的每一支曲线会无限搦丘送机轴但不会与坐标轴相交 00）（1倬调性:当心0时，图象分别位于第一、三象限，限内，从左往右，丁随X的增大而减小当K 0 时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，卜解的增大而增大，冷0时，函数在Z 0 上同为减函数，在0 上同为减函数:K 0 时，函数由V0上为增函数.在0上同为增函数.对称性与比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点:反比例函数的图像也是轴对称图形，其 对 称 验 耳 反 比 例 通 数 图 象 上 的 点 关 于 坐 标 原 点 对 称.（3幅交性:因为由后0）中j 不能为0 j也不能为0厮以反比例函数的图酿阿能与x轴相交，也不可能与】轴相交，艮能无限接近r轴、J轴.知识 盘 点 团1.反比例函数的概念（1）一般地，形 如 尸 上（上为常数，际0）的函数，叫做反比例函数.其中X 是自变量，y 是函数.自变量X 的取值范围是不等于0 的一切实数.反比例函数解析式还有其他两种形式：y=kx-（为常数，0）;xy=k（左为常数，到0）.第1页（共23页）(2)反 比 例 函 数 尸 会 中 的x,夕成反比例，无 论 变 量x,y怎样变X化，k的 值 始 终 等 于X与丁的乘积，因 此 人 们 习 惯 上 称k为比例系数，若 依0,则 尸0恒 成 立，为 一 常 数 函 数，失去了反比例函数的意义.2.用待定系数法求反比例函数的解析式用 待 定 系 数 法 求 反 比 例 函 数 解 析 式 的 一 般 步 骤：(1)设根 据 题 意，设反比例函数的解析式为夕=七(左/0);x(2)代把 它 的 一 对 对 应 值(x,y)代入夕=中，得到关于左x的 方 程；(3)解解 方 程，求出常数左；(4)写把“的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式.3.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数图象的画法 列 表：自 变 量 的 取 值 以 原 点。为中心，一 般 地，在 点。的两边分 别 取 三 列 表 对 或 三 对 以 上 互 为 相 反 数 的 数，并 计 算 相 应 的y值，以 表 格 的 形 式 表 示 出 来；描 点：以 表 格 中 各 对对应值为点的坐标，描 出 各 点；连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸.(2)反比例函数图象的特点 反 比 例 函 数 的 图 象 是 双 曲 线，它 的 两 个 分 支 分 别 位 于 第 一、第三象限或第二、第 四 象 限；双 曲 线 有 两 个 分 支，延 伸 部 分 无 限 接 近 坐 标 轴，但永远不与坐标轴 相 交；第2页(共 23页)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线尸C或直线尸-X).(3)自变量x的取值范围是x和的一切实数：必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；因为#0,亦0,所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点.(4)反比例函数的性质如下表：反比例函数y=-(k 0)XA的符号k0k x十y =1 5,是和一定，则x和y不成比例：B、y=l x,即y:x =7,是比值一定，则x和y成正比例；C x:2 =y:3,即x:y =|是比值一定，贝！J x和y成正比例：D、x:2=3:y,即孙=6,是乘积一定，则x和y成反比例；故选：D.【练 习1】下列关系式能表示y关于x的反比例函数的是（）A.J2=-B.y=C.y=2022x+l D.y=2 0 2 2 x2+15x【答案】B【解析】A,V是x的正比例函数，故本选项不合题意；8、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；C、y是x的一次函数，故本选项不合题意；。、y是x的二次函数，故本选项不合题意.故选B.【练 习2】下列函数中，是反比例函数的是（）-2 1A.y=x B.y=-2x+3 C.y=D.y=-x x-5【答案】c【解析】A.y =x是正比例函数，故N不符合题意；第6页（共23页）B.y=-2x+3是一次函数，故5不符合题意；C.卜=二是反比例函数，故C符合题意；XD.y=_ L.不是反比例函数，故。不符合题意;故选C.【练 习 3 下列关系式中表示y是X的反比例函数的是（）A.y=B.y=2x+1 C.y=x2 D.y=x 2 2【答案】A【解析】A.y=2,是反比例函数，故N符合题意；XB.y=2x+,是一次函数，故8不符合题意;C.y=x2,是二次函数，故C不符合题意；D.y=C 是一次函数，故。不符合题意；2故选A.【练 习4】如果*=y,那么y和x（xA.成正比例 B.成反比例【答案】B【解析】、，X5=一，x和X成反比例，故选B.【练 习5】函数歹=/是反比例函数,A.0 B.1C.不成比例D.无变化则上=()C.2D.3【答案】A【解析】由题意得：k-=-,解得：k=0,故选:A.第7页（共23页）【考 向2】用待定系数法求反比例函数的解析式自学笔记：确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数丁=上（%0）中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x,y值或图象X上一个点的坐标，即可求出左的值，从而确定其解析式.尸命题方向：-利用待定系数法求反比例函数的解析式！尸名师点拨：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：,设出含有待定系数的函数解析式；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式,得到关于待定系数的-方程（组）；解方程（组），求出待定系数;将求得的待定系数的值代回所设的解析式.【精 讲4】已知点4 3,4）在反比例函数广4为常数，%0）的图象上，则该反X比例函数的解析式是（）A.y =3 B.y=4-C.y=1 2 D.y=-7X X X X【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.【答案】C第8页（共23页）【解析】将点”(3,4)代入反比例函数yJ,得4=&,x3解得左=12.反比例函数表达式为：y=-,X故选：C.【精 讲5】如图，/是反比例函数图象上一点，过点/作“轴于点8,点产在x轴上，OP=A B,四边形M P O的面积为6,则这个反比例函数的表达式【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=&X中人的几何意义.这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解人的几何意义.【答案】y=-X【解析】设反比例函数的解析式为X轴于点8,AB/OP,OP=AB,四边形Z 0 P 3是平行四边形，.0 8的面积 四边形/8 P O的面积=,阳，2 2左|=6,A =6;又 反比例函数的图象的一支位于第二象限，:.k 0.第9页(共 23页)k=-6 .这个反比例函数的解析式为y=-.X故答案为：y=-.x【练 习6】若反比例函数的图象经过点(-1,3),则该反比例函数的表达式是()A.y=B.y C.y=3x D.y=3xxx【答案】A【解析】设该反比例函数的解析式为：y=-(kO).X把(7,3)代入，得3=刍,解得k=-3.则该函数解析式为：y=-.X故选A.【练 习7】在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象经过山机,6),8(5,)两点，则机，n 一定满足的关系式是()A.m-n=l B.-=-C.-=-D.w =30n 6 n 5【答案】B【解析】设该函数解析式为y=七，由题意可得：X6 m=5n=k,即 6m =5n,解得丝n 6故选B.【练 习8】如图，已知点尸是双曲线上任意一点，过 点 尸 作 尸 轴 于 点 N ,B是x轴上一点，连接”、P 8,若 的 面 积 为2,则双曲线的解析式为()第 10页(共 23页)【答案】C【解析】连接0 P,.4 _Ly 轴于点 Z，轴，APIIOB,Spo=5A z（8.=2，设双曲线的解析式为y=X/.k=-4,双曲线的解析式为了=-3,X故选C.【解析】设此函数的解析式为夕=幺（h 0）,X把 x=-3,y=1，代入得%=-3，第 11页（共23页）故X,y之间用关系式表示为y=-2.X故 选C.【练 习10】如图，/是反比例函数图象上一点，过点N作/轴 于 点B,点尸在x轴上，O P=A B,四边形Z8P。的面积为6,则这个反比例函数的表达式为,X【答案】尸【解析】设反比例函数的解析式为夕=&,X,./8_Ly 轴于点 5,AB HOP,：OP=AB,.四边形力OP8是平行四边形，.A/IO8的面积=g四边形Z8PO的面积=；阳,/.|上|=6,/.%=6;又.反比例函数的图象的一支位于第二象限,:.k 0时，歹随x 的增大而减小”，这样就会出现与事实不符的矛盾.(3)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数太的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出4 的符号.亍命题方向：利用反比例函数解决函数图像性质问题.名师点拨：(1)若y 与x 成反比例，那么y 与x 的乘积是一个定值，反之成立.(2)反比例关系不一定是反比例函数，比如歹与刀2成反比例，但丁不是X的反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系.【精 讲 6】已知反比例函数y=的图象，当x0时，这个函数图象位于()XA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】本题考查了反比例函数的性质.反比例函数y=4(AH0)的图象上0时位X于第一、三象限，在每个象限内，y 随x的增大而减小；a 0时位于第二、四象限，在每个象限内，了随x的增大而增大.【答案】D第 13页(共23页)【解析】左=T =-工的图象，当x（）时，位于第四象限.X故选：D.【练 习 1 1】在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象如图所示，则X一次函数y=H +2 的图象经过的象限是（）A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四【答案】B【解析】由图可知：k Q,.一 次函数y=A x+2 的图象经过的象限是一、二、四.故选B.【练 习 1 2 已 知 反 比 例 函 数 当-3、,x,-1 时，y 的最大值是4,则X当X.6时，夕有（）A.最大值 B.最大值，C.最小值 D.最小值-12 6 3【答案】C【解析】反比例函数片3*0）,当T,x,-1 时，y 的最大值是4,X，左 3第 14页（共23页）.,.当 X.6 时，3.y有最小值-|,故选C.【练 习 13】在研究反比例函数 的图象时，同学们画出该函数的图象，并X得出下列结论：图象位于第二，第四象限图象关于坐标原点成中心对称图象不可能与坐标轴相交 当 时，y 随x的增大而增大其中，正确的个数有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】C【解析】图象在第二、四象限内，故本结论正确；图象关于坐标原点成中心对称，故本结论正确；图象不可能与坐标轴相交，故本结论正确；当x0或x 乂,1时，X.-8 ,说法不正确；D、因为反比例函数昨中的k=-8,所以在每个象限内y随X增大而增大，X说法正确；故选C.【练 习1 5 已知反比例函数夕=3,下 列 结 论 中 不正确的是()XA.其图像经过点(-1,-3)B.其图像分别位于第一、第三象限C.当x l 时，0 0,则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小,故8正确，不符合题意、C错误，符合题意；:x=l时，y=3,且当x 0时y随x的增大而减小.当x l时，0 y 0）的函数关系式为（）第 18页（共23页）【答案】A【解析】由题意得：矩形的长y关于宽x（x 0）的函数关系式为：j =-.5 x故选A.【练 习1 7 如图，等边三角形04 8,点8在X轴正半轴上，皿8=46，若反比例函数尸=幺（4片0）图象的一支经过点4,则人的值是（）X【答案】D【解析】如图，过点/作Z C L O B于点C,是正三角形，OC=BC,M OC-5sM=26=-I I 又.（）,：,k=4也,【练 习1 8】如图，点。是Q。/1 8 c内一点，力。与X轴平行，8。与y轴平行,第 19页（共23页）BD=y/3,ZBDC=120,SS=2 G，若反比例函数y=&（x 0）的图像经过c ,2x。两点，则女的值是（）A.-673 B.-6 C.一1 2 6 D.-12【答案】C【解析】过点。作C E L歹轴，延 长 交C E于点八 四边形0 4 8 c为平行四边形，AB/0C,AB=0C,./COE=/ABD,比)与y轴平行，4ADB=90,在 COE和ABD中,ZADB=/CEO ZCOE=NABD,OC=ABCOE MBD(AAS),/.OE=BD ,1 9 I-：SD C=-B D-C F=-,:.CF=9,ZBDC=20,/CDF=60,:.DF=3 6,第20页（共23页）点。的纵坐标为4 耳,设 C（，?,VJ）,则。（加+9,诉,：反比例函数y=&(x 0)的图象经过C ,。两点,Xk=VJ m =4A/3(,M+9),m=-1 2 ，.k =2-3 ，故选C.【练 习1 9 如图，正方形4 8。的顶点分别在反比例函数夕=4（匕 0）和X了 =殳（0）的图象上.若8 /y轴，点。的横坐标为3,则4+“2=（）【答案】BC.1 2D.9【解析】连接/C交8。于E,延长8。交x轴于尸，连接。、OB,如图:第21页（共23页）二四边形月BCQ是正方形，AE=BE=CE=DE,设 AE=BE=CE=DE=m,D(3,a),轴，B(3,a+2m)f Z(3+z,+m),A,8 都在反比例函数y=&(勺0)的图象上，Xk=3(a+2m)=(3+m)(a+m)9,/加。0,:.m=3 a,8(3,6-a),8(3,6-a)在反比例函数y=乂占 0)的图象上，D(3,a)在y=殳化0)的图象上,X Xkx=3(6一 a)=18-3，k?=3a,:.k+k2=18-3a+3a=18;故选B.【练 习 2 0 已知反比例函数了=七图象如图所示，下列说法正确的是()XB.若图象上点的坐标分别是M（-2,必）,N（-l,y2）,则%外第22页（共23页）C.y随X的增大而减小D.若矩形0/8C面积为2,则上=-2【答案】D【解析】.反比例函数图象在第二象限，:.k 必，选项8,C错误.由反比例函数系数4的几何意义可得矩形045。面积为|幻=2,：.k=-2,选项。正确.故选D.第23页（共23页）