2023年度七年级数学第二学期期末模拟试卷及答案（三）.pdf

2023年七年级数学第二学期期末模拟试卷及答案（三）一、选择题（本大题共12小题，每小题3 分，共 36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的1.下列 慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A A B A C D曰）2.下列计算结果正确的是（）A.(a3)2=a6 B.(-3a2)2=6a4C.(-a2)3=a6 D.(-(ab2)3=-a3b63.一次课堂练习，小颖同学做了如下4 道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是()A.x2-y2=(x-y)(x+y)B.x2-2xy+y2=(x-y)2C.x2y-xy2=xy(x-y)D.x3-x=x(x2-1)4.已知直线a、b、c 相互平行，直线a 与 b 的距离是4 cm,直线b与 c 的距离是6cm,那么直线a 与c 的距离是()A.2cm B.5cm C.2cm 或 5cm D.2cm 或 10cm5.一组数据3,2,2,1,2 的中位数，众数及方差分别是()A.2,1,0.4B.2,2,0.4C.3,1,2 D.2,1,0.26.多项式X2+25添加一个单项式后可变为一个完全平方式，则添加的单项式是（）A.5x B.-5x C.IOXD.25x7.若 二 元 一 次 方 程 组 尸a+的解x,y的和为0,则a的值为（）I2x+3y=aA.1 B.2 C.3 D.-18.如图所示，已知 CDAB,OE 平分NDOB,OEOF,ZAOF=25,A.50B.45.35 D.659.如图已知N i=N 2,ZB AD=ZBC D,则下列结论：ABC D,ADB C,N B=N D,N D=N A C B,正 确 的 有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图，ACOD A A O B绕 点0顺时针方向旋转38。后所得的图形,点C恰好在AB上，ZAO D=90,那么NBOC的度数为（）11.如果一组数据al，a?,.an的平均数和方差分别是5和3,那么一组新数据ai+2,a2+2,a3+2.,an+2平均数和方差是（）A.5,3 B.5,4 C.7,3 D.7,51 2.哥哥与弟弟的年龄和是1 8岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”.如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（）A.-18 B.e H 1 8ly-x=18y I xy=y+18C fx+y=18 口 jy=18-x*1y-x=18+y 118-y=y-x二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.计 算（a2）4*（-a）3=.14.写出一个二元一次方程组，使它的解为产等.15.某校规定学生的数学期评成绩满分为1 0 0分，其中段考成绩占4 0%,期考成绩占6 0%,小明的段考成绩是8 0分，数学期评成绩是8 6分，则小明的数学期末考试成绩是 分.16.已知 a+-=4,则（a-）2=a a17.如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，其中一个角是3 0 ,则 另 外 一 个 角 的 度 数 是.18.如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到一条折痕（图中虚线），对折二次得到的三条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2017次后可以得到 条折痕.第一次对折 第二;欠对标 第三次对折三、解答题(本大题共10小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.因式分解：x3-2x2+x.20.计算：20172-2016X2018.21.解方程组(4y-l)(x+2)=4xy22.计算：-2a(3a2-a+3)+6a(a-2)2.23.顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9X9的正方形网格中有一个格点4ABC设网格中小正方形的边长为1个单位长度.(1)在网格中画出4A B C向上平移4 个单位后得到的A iB iJ；(2)在网格中画出4ABC绕点A 逆时针旋转90。后得到的AAB2c2；.24.某校九年级进行立定跳远训练，以下是刘明和张晓同学六次的训练成绩(单位：m)刘明：2.54,2.48,2.50,2.48,2.54,2.52张晓：2.50,2.42,2.52,2.56,2.48,2.58(1)填空：李明的平均成绩是.张晓的平均成绩是(2)分别计算两人的六次成绩的方差，哪个人的成绩更稳定？(3)若预知参加年级的比赛能跳过2.55米就可能得冠军，应选哪个同学参加？请说明理由.25.在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解:例如 x4-y4=(x2+y2)(x+y)(x-y),当 x=8,y=9 时,x2+y2=145,x+y=17,x-y=4则可以得到密码是145174,1741454.,等等，根据上述方法当x=32,y=12时，对于多项式x2y-y3分解因式后可以形成哪些数字密码？26.如图，在aA B C中，C D 1A B,垂足为D,点E在BC上，EF_LAB,垂足为F.(1)CD与EF平行吗？请说明理由.(2)如果N 1=N 2,且NACB=110,求N3 的度数.27.某班将举行“防溺水安全知识竞赛活动，班主任安排班长购买奖品，下面是班长买回奖品时与班主任的对话情况：班长：买了两种不同的奖品共5 0件，单价分别为3元 和5元，我领了 200元，现在找回35元班主任：你肯定搞错了！班长：哦！我把自己口袋里的1 5元一起当作找回的钱款了.班主任：这就对了！请根据上面的信息，解决下列问题：(1)计算两种奖品各买了多少件？(2)请你解释：班长为什么不可能找回3 5元？2 8.如图1,E是直线A B,CD内部一点，A B C D,连接E A,E D.(1)探究猜想：若N A=3 5。，Z D=3 0,则N A E D等于多少度？若N A=4 8,Z D=3 2,则N A E D等于多少度？猜想图1中N A E D,Z E A B,N E D C的关系并证明你的结论.(2)拓展应用：如图2,射线E F与长方形A B C D的边A B交于点E,与边C D交于点F,分别是被射线F E隔开的4个区域(不含边界，其中区域、位于直线A B上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：Z P E B,Z P F C,N E P F的关系(不要求写出证明过程)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3 分，共 36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的1.下列 慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A.B.C.D.领【考点】P3：轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案.【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误.故选：B.2.下列计算结果正确的是()A.(a3)2=a6 B.(-3a2)2=6a4C.(-a2)3=a6 D.(-y ab2)3=|a3b6【考点】47：塞的乘方与积的乘方.【分析】利用塞的乘方，积的乘方运算法则运算即可.【解答】解:A.(a3)2=a6,所以此选项正确；B.(-3 a2)2=9a4,所以此选项错误；C.(-a2)3=-a6,所以此选项错误；D.(-1 ab2)3=-1 a3b6,所以此选项错误；故选A.3.一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一题是()A.x2-y2=(x-y)(x+y)B.x2-2xy+y2=(x-y)2C.x2y-xy2=xy(x-y)D.x3-x=x(x2-1)【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【分析】根据分解后式子的特点判断是否还可以继续分解.【解答】解：A、是平方差公式，已经彻底，正确；B、是完全平方公式，已经彻底，正确；C、是提公因式法，已经彻底，正确；D、提公因式法后还可以运用平方差公式继续分解，应为：原式=x(x+l)(x-1),错误.故选D.4.已知直线a、b、c相互平行，直线a与b的距离是4 c m,直线b与c的距离是6 c m,那么直线a与c的距离是()A.2cm B.5cm C.2cm 或 5cm D.2cm 或 10cm【考点】JC：平行线之间的距离.【分析】分类讨论：当直线c 在 a、b 之间或直线c 不在a、b 之间,然后利用平行线间的距离的意义分别求解.【解答】解：当直线c 在 a、b 之间时，a、b、c 是三条平行直线，而 a 与 b 的距离为4cm,b 与 c 的距离为6cm,.a 与 c 的距离=6cm-4cm=2cm；当直线c 不在a、b 之间时，a、b、c 是三条平行直线，而 a 与 b 的距离为4cm,b 与 c 的距离为6cm,.a 与 c 的距离=6cm+4cm=10cm,综上所述，a 与 c 的距离为2cm或 10cm.故选D.5.一组数据3,2,2,1,2 的中位数，众数及方差分别是()A.2,1,0.4B.2,2,0.4C.3,1,2 D.2,1,0.2【考点】W7：方差；W4：中位数；W5：众数.【分析】根据众数、中位数的概念、方差的计算公式计算即可.【解答】解：一组数据3,2,2,1,2 的中位数是2,众数是2,彳 1 ,、=y(3+2+2+1+2)=2,方差(3-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(1-2)2+(2-2)2=0.4,故选：B.6.多项式x2+2 5添加一个单项式后可变为一个完全平方式，则添加的单项式是（）A.5x B.-5x C.10 xD.25x【考点】4E：完全平方式.【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.【解答】解：多项式X2+25添加一个单项式后可变为一个完全平方式,则添加的单项式是10 x,故选C7.若二元一次方程组:尸a*?的解x,y的和为0,则a的值为（）I2x+3y=aA.1 B.2 C.3 D.-1【考点】97：二元一次方程组的解.【分析】由x与y的和为0得到x+y=O,即y=-x,代入方程组求出a的值即可.【解答】解：把x+y=O,即丫=-乂代入方程组得：解得：a=l,故选A8.如图所示,已知 CDAB,0E 平分NDOB,OEOF,ZAOF=25,求NCDO的度数（）A.50B.45.35 D.65【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线.【分析】先根据OE_LOF,ZAO F=25,可得N B O E的度数，再根据O E平分N D O B,即可得到N BO D的度数，最后根据平行线的性质，即可得到NCDO的度数.【解答】解：V 0E 10F,ZAOF=25,A ZBOE=90-25=65,XVO E 平分NDOB,A ZBOD=2X65=130,又：CDAB,ZCDO=180-NBOD=50,故选:A.9.如图已知N1=N2,ZBAD=ZBC D,则下列结论：ABC D,ADB C,N B=N D,N D=/A C B,正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点】JB：平行线的判定与性质.【分析】根据内错角相等，判定两直线平行；根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；N D与N A C B不能构成三线八角，无法判断.【解答】解：N 1=N 2.,.ABCD（内错角相等，两直线平行）所以正确VAB/7CD（已证）A ZBAD+ZADC=180（两直线平行，同旁内角互补）X V Z B A D=Z B C D.ZBCD+ZADC=180.ADBC（同旁内角互补，两直线平行）故也正确.ABCD,ADBC（已证）.ZB+ZBCD=180ZD+ZBCD=180.Z B=Z D （同角的补角相等）所以也正确.正确的有3个，故选C.10.如图，A C O D是A A O B绕点0顺时针方向旋转38。后所得的图形,点C恰好在A B上，Z A O D=9 0,那么N B O C的度数为（）【考点】R2：旋转的性质.【分析】直接利用旋转的性质得出NAOC=NBOD=38。,进而得出NBOC的度数.【解答】解：:COD是A A O B绕点0顺时针方向旋转38。后所得的图形，ZAOC=ZBOD=38,ZAOD=90,ZBOC=90-38-38=14.故选：B.11.如果一组数据a1，a2,.an的平均数和方差分别是5和3,那么一组新数据ai+2,a2+2,23+2.,an+2平均数和方差是（）A.5,3 B.5,4 C.7,3 D.7,5【考点】W 7：方差；W 1：算术平均数.【分析】根据平均数的性质、方程的性质解答即可.【解答】解:a n a 2,.科的平均数是5,则数据 a i+2,a z+2,a3+2.,a n+2 平均数是 7,a i,a?,.a n,方差是 3,则数据 a i+2,a2+2,a3+2.,a n+2 的方差是 3,故选：C.1 2.哥哥与弟弟的年龄和是1 8岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是1 8岁.如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（）A.仁B.*18l y-x=1 8-y I x y=y+1 8C 廿;：D-fc1 8-X y-x=1 8+y 1 8-y=y-x【考点】9 9：由实际问题抽象出二元一次方程组.【分析】由弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据 哥哥与弟弟的年龄和是1 8岁，哥哥与弟弟的年龄差不变得出1 8-y=y-x,列出方程组即可.【解答】解：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得fy=18-x11 8 y=y-x 故选：D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1 8分）1 3.计算 3)%(-a)3=-a11.【考点】47：塞的乘方与积的乘方；46：同底数幕的乘法.【分析】根据幕的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数塞的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加进行计算即可.【解答】解:原 式=a8(-a3)=-a11,故答案为：-a%14.写出一个二元一次方程组，使它的解为 1 一.尸等.ly=-2-lx-y=3 一【考点】97：二元一次方程组的解.【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程.在求 解 时 应 先 围 绕 列 一 组 算 式，然后用x,y 代换即可.【解答】解：先 围 绕 列 一 组 算 式，ly=-2如 1-2=-1,1+2=3,然后用X,y 代换，得 产；等.lx-y=3答案不唯一，符合题意即可.15.某校规定学生的数学期评成绩满分为1 0 0 分，其中段考成绩占4 0%,期考成绩占6 0%,小明的段考成绩是8 0 分，数学期评成绩是86分，则小明的数学期末考试成绩是9 0 分.【考点】W2：加权平均数.【分析】设小明的数学期末考试成绩是x 分，根据加权平均数的定义列出方程求解可得.【解答】解：设小明的数学期末考试成绩是X 分，则 8 0 X 4 0%+x X 60%=8 6,解得：x=9 0,故答案为：9 0.1 6.已知 a+：=4,贝 lj(a -7)2=1 2 .【考点】6D：分式的化简求值.【分析】根据完全平方公式即可求出答案.【解答】解：(a+g)2=4 2,a,1.a2+-7+2=1 6a.1A a2+-2=1 4 -2,a二(a -7c L)2=1 2,故答案为：1 21 7.如果一个角的两边和另外一个角的两边分别平行，其中一个角是3 0,则另外一个角的度数是3 0。或 1 5 0。.【考点】J A：平行线的性质.【分析】根据平行线的性质结合两个角的两边分别平行，即可得出两角相等或互补，结合其中一个角为3 0。，由此即可得出结论.【解答】解：两个角的两边分别平行，两角相等或互补，又.其中一个角是30。，,另一个角是3。或150。.故答案为：30或150.18.如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到一条折痕（图中虚线），对折二次得到的三条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2017次后可以得 到22。1 7-1条折痕.第一次对折 第二;欠对折 第三次对折【考点】1E：有理数的乘方.【分析】根据题意得出一般性规律，确定出所求折痕即可.【解答】解：根据题意得：对折2017次后可以得到22。1 7 一 1条折痕.故答案为：22。-1三、解答题（本大题共10小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.因式分解:x3-2x2+x.【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式X,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2.【解答】解：x3-2x2+x,=x(x2-2x+l),=x(x-1)2.20.计算：20 172-20 16 X 20 18.【考点】4F：平方差公式.【分析】根据平方差公式，可得答案.【解答】解:原 式=202 _=20172-=1.21.解方程组I(4y-l)(x+2)=4xy【考点】98：解二元一次方程组.【分析】根据二元一次方程组即可求出答案.【解答】解：原方程组化为：=由+得：lly=ll解得：y=l把y=l代入得：x+3=9解得：x=6所以原方程组的解I y=l2 2.计算：-2a(3a2-a+3)+6a(a-2)2.【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式.【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可.【解答】解:原式=-6a3+2a2-6a+6a3-24a2+24a=-22a2+18a.2 3.顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9X9的正方形网格中有一个格点ABC设网格中小正方形的边长为1个单位长度.(1)在网格中画出4A B C向上平移4个单位后得到的AiBiCi；(2)在网格中画出A B C绕点A逆时针旋转90。后得到的AAB2c2；.【考点】R8：作图-旋转变换；Q4：作图-平移变换.【分析】(1)根据图形平移的性质，画出平移后的AiBiCi即可；(2)根据图形旋转的性质，画出AABC绕点A逆时针旋转90。后得到的 4AB2c2；【解答】解：(1)如图所示，AiBiCi即为所求；(2)如图所示，AB2c2即为所求.2 4.某校九年级进行立定跳远训练，以下是刘明和张晓同学六次的训练成绩(单位：m)刘明：2.54,2.48,2.50,2.48,2.54,2.52张晓：2.50,2.42,2.52,2.56,2.48,2.58(1)填 空：李 明 的 平 均 成 绩 是2.51m.张晓的平均成绩是2.51m.(2)分别计算两人的六次成绩的方差，哪个人的成绩更稳定？(3)若预知参加年级的比赛能跳过2.55米就可能得冠军，应选哪个同学参加？请说明理由.【考点】W7：方差；W1：算术平均数.【分析】(1)分别用两人的总成绩除以6,求出李明的平均成绩、张晓的平均成绩各是多少即可.(2)首先根据方差的含义和求法，分别计算两人的六次成绩的方差;然后根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之,则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出哪个人的成绩更稳定即可.(3)判断出在6次成绩中，两人各有几次跳过2.55m,即可判断出应选哪个同学参加.【解 答】解：(1)刘 明 的 平 均 成 绩 为：1 X(2.54+2.48+2.50+2.48+2.54+2.52)=2.51(m)张晓的平均成绩为：f x (2.50+2.42+2.52+2.56+2.48+2.58)=2.51(m)(2)S2 X (2.54-2.51)2+(2.48-2.51)2+(2.50-2.51)2+(2.48-2.51)2+(2.54-2.51)2+(2.52-2.51)2 0.000 63S2 张 晓=*X (2.50-2.51)2+(2.42-2.51)2+(2.52-2.51)2+(2.56-2.51)2+(2.48-2.51)2+(2.58-2.51)2 0.002 77*S2刘 明 S?张 晓,.刘明的成绩更为稳定.(3)若跳过2.55m就很可能获得冠军，则 在6次成绩中，张 晓2次都跳过了 2.55 m,而刘明一次也没有，所以应选张晓参加.故答案为：2.51m；2.51m.2 5.在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解:例如 x4-y4=(x2+y2)(x+y)(x-y),当 x=8,y=9,x2+y2=145,x+y=17,x-y=4则可以得到密码是145174,1741454.,等等，根据上述方法当x=32,y=12时，对于多项式x2y-y3分解因式后可以形成哪些数字密码？【考点】59：因式分解的应用.【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可.【解答】解：原式=y(x2-y2)=y(x+y)(x-y),当 x=32,y=12 时，y=12,x+y=44,x-y=20,可以得到的数字密码是：124420,122044,441220,442012,201244,204412.2 6.如图，在aA B C中，C D A B,垂足为D,点E在BC上，EF_LAB,垂足为F.(1)CD与EF平行吗？请说明理由.(2)如果N 1=N 2,且NACB=110。，求N3 的度数.【考点】K7：三角形内角和定理；JB：平行线的判定与性质.【分析】(1)只要证明NBFE=/BDC=90。即可解决问题；(2)只要证明DGB C,即可推出N3=NACB=110。；【解答】解：(1)结论：CD与EF平行.理由如下：VCD1AB,EF1AB,A ZBFE=ZBDC=90,.CDEF(同位角相等，两直线平行).(2)由(1)结论可知CDEF,.*.Z2=ZBCD(两直线平行，同位角相等),V Z 1=Z 2,.Z B C D=Z 1,.,.D G B C （内错角相等，两直线平行），.N 3=N A C B=1 1 0。（两直线平行，同位角相等）.2 7.某班将举行“防溺水安全知识竞赛”活动，班主任安排班长购买奖品，下面是班长买回奖品时与班主任的对话情况：班长：买了两种不同的奖品共5 0 件，单价分别为3元和5元，我领了 2 0 0 元，现在找回3 5 元班主任：你肯定搞错了！班长：哦！我把自己口袋里的1 5 元一起当作找回的钱款了.班主任：这就对了！请根据上面的信息，解决下列问题：（1）计算两种奖品各买了多少件？（2）请你解释：班长为什么不可能找回3 5 元？【考点】9 A：二元一次方程组的应用.【分析】（1）设购买其中一种奖品为x 件，另一种奖品为y 件，依据购买奖品的件数为5 0 件，总费用为2 0 0 -3 5+1 5 （元），列方程组求解即可；（2）计算出奖品的总价，然后再求得找出的钱数即可.【解答】解：（1）设购买其中一种奖品为x 件，另一种奖品为y 件.根据题意得：I3x+5y=20u-35+15解方程组得，答:其中一种奖品为3 5件，另一种奖品为1 5件(2)应找回钱款为：2 0 0 -3 X 3 5 -5 X 1 5=2 0元W 3 5元,所以不能找回3 5元.2 8.如图1,E是直线A B,CD内部一点，A B C D,连接E A,E D.(1)探究猜想：若N A=3 5。，Z D=3 0,则N A E D等于多少度？若N A=4 8,Z D=3 2,则N A E D等于多少度？猜想图1中N A E D,Z E A B,N E D C的关系并证明你的结论.(2)拓展应用：如图2,射线E F与长方形A B C D的边A B交于点E,与边C D交于点F,分别是被射线F E隔开的4个区域(不含边界，其中区域、位于直线A B上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：Z P E B,Z P F C,N E P F的关系(不要求写出证明过程)【考点】L O：四边形综合题.【分析】(1)过点E作E F A B,再由平行线的性质即可得出结论;，根据中的方法可得出结论；(2)点P分别位于、四个区域分别根据平行线的性质进行求解即可得到结论.【解答】解：（1）如图，过点E作EFAB,图VAB/7CD,，ABCDEF,V ZA=35,ZD=30,N1=NA=35,Z2=ZD=30,ZAED=Z1+Z2=65；过点E作EFAB,VAB/7CD,；.ABCDEF,V ZA=48,ZD=32,.Z1=ZA=48,N2=ND=32,ZAED=Z1+Z2=8O；猜想：ZAED=ZEAB+ZEDC.理由：过点E作EF/7CD,ABDC，EFAB（平行于同一条直线的两直线平行）,.-.Z1=ZEAB,N2=NEDC（两直线平行，内错角相等）,A ZAED=Z1+Z2=ZEAB+ZEDC（等量代换）.（2）根据题意得：点 P 在区域时，ZEPF=360-（ZPEB+ZPFC）；点P在区域时，ZE P F=ZP E B -Z P F C；点P在区域时，ZE PF=ZPFC -ZPEB.、向 fD图4