2023年江西省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线（含答案解析）.pdf

2023年江西省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线1 .已知椭圆C：4 +4=1（。6 0）的上顶点为E,左焦点为尸，离心率为座，直线E Fa2 b2 2与圆久2 +y 2 =；相切.（1）求椭圆C的标准方程；（I I）设过点尸且斜率存在的直线/与椭圆C相交于A,B两 点,线段A,8 的垂直平分线交x 轴于点P，试判断号PF是否为定值？并说明理由.AB2 .已知椭圆C：-r+7 7 =1 （a /?0）的离心率6=冬 且椭圆过点（”，坐）为椭圆Ca 2 b2 2 3 3的下顶点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点。在 以 OA 为直径的圆B上，P为椭圆C上的任意一点，求|P Q的最大值；（3）设。，E为椭圆C上与A 不重合的两点，若直线A。与直线A E的斜率之和为“2,试判断是否存在定点G,使得直线OE恒过点G,若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.第1页 共7 5页3 .已知动点P到直线y =的距离比到定点(0,3的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)若 M 为直线y=x-2 上一动点，过点M 作曲线C的两条切线MA,M B,切点为A,B,N为 A B的中点.求证：例N J _ x 轴；直线A B是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.x v4.已知椭圆C：+=1(a ft 0)的上顶点A 与左、右焦点F,&构成一个面积a2 b2为 1 的直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/与椭圆C相切，求证：点尸1,2 2 到直线/的距离之积为定值.第2页 共7 5页v”5.已知椭圆C：+=1 （a b 0）的一个焦点为F（VL 0）,点P（企,1）在 C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过 点（1,0）且斜率不为0的直线/与椭圆C相交于M,N两点，椭圆长轴的两个端点分别为4,42,与 4 2 N 相交于点。求证：点。在某条定直线上.6 .已知椭圆C的中心在坐标原点O,其短半轴长为1,一个焦点坐标为（1,0）,点 A 在椭圆 C上，点 B在直线y =鱼 上，且 O A，。艮（1）证明：直线A B与圆f+y 2=i 相切；（2）设 A B与椭圆C的另一个交点为。，当 AO B 的面积最小时，求 0。的长.第3页 共7 5页x y7 .已知椭圆C i：+=1 (a 0)的右焦点厂与抛物线C 2 的焦点重合，。的中心与 C 2 的顶点重合，过 F且与x轴垂直的直线交。于 A,8 两点，交 C2于 C,。两点，且|C*孤用.(1)求。的离心率；(2)设 M 是 C i 与 C 2 的公共点.若|M Q=5,求。与 C 2 的标准方程.8.已知椭圆E：w +y 2 =l,动直线/与椭圆E交于不同的两点A(x i,)i),8(x 2,”),且 AO B 的面积为1,其中。为坐标原点.好+好光+兔)为定值;(I I)设线段A B的中点为M,求 的 最 大 值.第 4 页 共 7 5 页x2 y29.已知椭圆装+记=l(a b 0)的两个焦点分别为F(-c,0),Fi(c,0),(c 0),2过点0)的直线与椭圆相交于点A,B两点(两点均在x轴的上方)，且F 1 A2 2 8,|F 1 A|=7|F 2 B|.(1)若6=1,求椭圆的方程；(2)直线4 B的斜率；(3)求N F 1 AF 2的大小.y21 0.己知椭圆C：-7+7 7=心0)的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为&(-6，0).(1)求C的方程；(2)设C的右顶点为4不过C左、右顶点的直线/：y=fcr+z与C相交于M,N两点,且请问：直线/是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点,请说明理由.第5页 共7 5页%2 y2A/1 1 .已知椭圆G：+-=1 (a b0 上顶点为8(0,1),离心率为7 7,直线/：y=a2 b2 2息-2 交 y 轴于C点，交椭圆于P,。两点，直线8P,8 Q 分别交x轴于点M,N.(I )求椭圆G的方程;(I I )求证：SABOATSABCN 为定值.1 2 .己知P(l,1)是抛物线C：/=以 上 的 一 点，过 p 作互相垂直的直线以，P B,与抛物线 C的另一交点分别是A,B.(1)若直线A B的斜率为一会 求 A B方程；(2)设 Q(2,-1),当”=4时，求胆B的面积.第 6 页 共 7 5 页1 3 .已知过定点P (0,1)的直线/交曲线/-4=1于 A,8 两点.(1)若直线/的倾斜角为45 ,求HB|；(2)若线段A B的 中 点 为 求 点 的 轨 迹 方 程.1 4.已知平面内的两点A(0,2 V 2),B(0,-2 V 2),过点A 的直线/1 与过点B的直线/2相交于点C,若直线4 与直线/2 的斜率乘积为-去 设点C的轨迹为E.(1)求 E的方程.(2)设 P是 E与 x 轴正半轴的交点，过尸点作两条直线分别与E交于点M,N,若直线PM,P N 斜率之积为-4,求证：直线M N恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.第 7 页 共 7 5 页X Vv31 5.己知椭圆民 瓦+擀=l(a b 0)的左右焦点分别为尸1,2 2,离心率是三，P为椭圆上的动点.当N F 1 P F 2取最大值时，P FIF 2 的面积是遮.(1)求椭圆的方程；(2)若动直线/与椭圆E交于A,B两点，且 恒 有&而=0,是否存在一个以原点O为圆心的定圆C,使得动直线/始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由.1 6 .在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆：y+y2=1的上、下顶点，若动直线/过点P(0,b)且与椭圆相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且C、。两点在y轴右侧，C在。的上方)，直线A O与8 c相交于点。.(1)设 的两焦点为尸1、F 2,求/Q A F 2的值；t q t(2)若6=3,且P O=*P C,求点。的横坐标；(3)是否存在这样的点P,使得点。的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.第8页 共7 5页_x2 y21 7 .己知椭圆 C：+=1 (a b 0),点 A(2,0)、P(x o,y o)、Q(-x o,-y o)(y oa，b，W O)在椭圆上，直 线 与 直 线A Q的斜率之积MP/Q=-/(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线/：虫楙+N 擀=1点B (-1,0)关于直线/的对称点是),求证：过点a2 b2P,。的直线恒过定点.x2 y2 y/21 8 .已知椭圆r：+77=1 (a b 0)的离心率为一，O为坐标原点，F为 的右焦点,a2 b2 2经过点F的直线/交椭圆r于A,B两点、,当L x轴时，SAOAB=2V2.(1)求椭圆的方程；(2)若/与y轴不垂直，设4 B的中点为C,延长O C至M,满足M尸J _ 4 B,3 AB=4MF,求/的方程.第 9 页 共 7 5 页yz、11 9.设楠圆C：+=1 C a b 0）的左、右焦点分别为尸 1、尸 2,离心率为二，过点F1a2 b2 2的直线/交椭圆C于点A、8 （不与左右顶点重合），连结产乂、F 1 B,已知 A 8 0 周长为 8.（I ）求椭圆C的方程；（I I）若直线/的斜率为1,求 A 0 8 的面积；T T 1 1 9（I I I）设尸 2 尸 1 二入 +*2 氏 且丁 +一=；,求直线/的方程.A/I 22 0.已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P（l,瞪），直线/与椭圆交于A,B两点（A,8两点不是左右顶点），若直线/的斜率为之时，弦 4B的中点。在直线）=-%上.（1）求椭圆C的方程；（2）若在椭圆上有相异的两点A,B（4,O,B三点不共线），O为坐标原点，且直线A B,直线O A,直线O B的斜率满足MB2=AQA.%O B（AAB 0）,求证：Q AJ+IOBF是定值.第1 0页 共7 5页v,V32 1.已知椭圆-7+77=1 (a 匕 0)经 过 点(0,1),离心率为一，A、B、C为椭圆上不a2 b2 2同的三点，且满足&+&+左=G,0为坐标原点.(I )若直线A 3、O C的斜率都存在，求证：AABVOC为定值；(I I )求|A用的取值范围.2 2.己知椭圆C：务 伊4=1，(a b 0)的短轴长为2,且离心率为争(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x 2+y 2=各目切的直线/交椭圆c于A,B两 点(。为坐标原点)，求 AOB面积的最大值.第1 1页 共7 5页2 3 .顺次连接椭圆C：m +=l(a b 0)的四个顶点得到边长为近的菱形，该菱形对角a b线长度之比为2：V3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的右焦点为F,定点M(4,0),过点F 的直线/与椭圆C交于两点A,B,设直线A M,BM的斜率分别为1,la,求证+七为定值.2 4 .已知椭圆的焦点为F1 (-1,0),尸 2 (1,0),2为椭圆上一点,且|尸1 五 2|是|P Fi|和|P 尸 2|的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点尸在第三象限，且/P FIF2=120,求P F1 F2 的面积.第1 2页 共7 5页25.已知椭圆C：务*l(a b 0)的一个焦点与抛物线必=4 岳 的 焦 点 重 合，且椭圆V3C的离心率为一.2(I)求椭圆C 的标准方程；(I I)直线/交椭圆C 于 A、B 两 点,线段A 8 的中点为M(1,t),直线机是线段A8的垂直平分线，求证：直线，过定点，并求出该定点的坐标.x v26.已知椭圆E：+=1,过右焦点尸的直线/与椭圆E 交于4,B 两 点(A,B 两点4 3不在x 轴上)，椭圆E 在 A,B 两点处的切线交于P,点 P 在定直线x=4 上.(1)记点G(0,2),求过点G(0,2)与椭圆E 相切的直线方程；(2)以雨为直径的圆过点尸，求以8 面积的最小值.第1 3页 共7 5页27.已知椭圆C：l(a b 0)的左，右焦点分别是为，F i,离心率为手，直线y=x 被椭圆C 截得的线段长为 学.(1)求椭圆C 的方程；(2)过 点(0,-2)且斜率为4 的直线/交椭圆C 于 A,8 两点，交 x 轴于尸点，点 A关于x 轴的对称点为M,直线BM交 x 轴 于。点.求 证：|OP|OQ(O 为坐标原点)为常数.28.已知椭圆C：各苓=l(a b 0)的左顶点为M(-2,0),离心率为去(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F,斜率为1 的直线/与C 交于不同的两点A,B,设 kMA,kMB表示直线MA,M 3的斜率，求证：kMA+kMB=-1.第1 4页 共7 5页x y2 9.已知椭圆C：+=1 (a /;0)的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一az b2个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于遍TT，直线/与椭圆C交于4(X 1,yi),B(X 2,y2)两点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点。作直线/的垂线，垂足为D 若0 A J _ 0 8,求动点。的轨迹方程.X2 V2 13 0 .已知椭圆C 7+=1 (6 0)的右顶点为M(2,0),且离心率6=亍 点A,Ba2 b2 N是椭圆。上异于点M的不同的两点.(I )求椭圆。的方程；(I I )设直线M4与直线M8的斜率分别为心，ki,若八 七=上,证明：直线A 8一定过定点.第1 5页 共7 5页31.已知椭圆C：务Q l(a b 0)的左、右焦点为尸i,尸 2,离心率为之，且点P(l,|)在椭圆上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线/：x-y-1=0椭 圆 C 相交于A,B两 点,求aOAB(。为坐标原点)的面积 S.32.己知椭圆C：各l(a b 0)的 离 心 率 为 直 线 x+y-B =0过 椭 圆 C 的右焦点.(1)求椭圆。的方程；(2)若不过椭圆C 上顶点M 的直线/：)=依+机与椭圆。交于A,B两 点,且kMA+kMB=-1.求证：直线/恒过定点，并求出该定点.第1 6页 共7 5页3 3 .已知椭圆C：各=l(a b 0)的左、右顶点分别为A,B,焦距为2,点P为椭圆上异于A,B的点，且 直 线 以 和P B的斜率之积为-点4(I )求C的方程;(n )设直线A P与y轴的交点为Q,过坐标原点。作OM A P交椭圆于点M,试证明制詈为定值,并求出该定值3 4 .已知E：/+4)?=巾2 (,(),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与E有两个交点A,B,线段4 8的中点为M.(1)若 根=2,点K在椭圆E上，F1、尸2分别为椭圆的两个焦点，求 匹 的 范 围；(2)若/过点(m,写)，射 线0M与椭圆交于点P,四边形0 4 P B能否为平行四边形？若能，求此时直线/斜率；若不能，说明理由.第1 7页 共7 5页%2 3 13 5.如图，已知椭圆C：+=l(a b 0)过 点(1,-),离心率为y,A,8 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为1 0)的直线/与椭圆相交于M,N 两点.(7)求椭圆C 的标准方程；(2)记AFM,BFN的面积分别为Si,S 2,若f1=/求的值；(3)记直线AM、BN的斜率分别为%,k 2,求J的值.X ax/33 6.已知椭圆 C：+=(a h 0)的离心率为，点 M(a,0),N(0,h),O(0,a2 b2 20),且OMN的面积为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设 A,8 是 x 轴上不同的两点，点 A(异于坐标原点)在椭圆C 内，点 B 在椭圆C外.若过点B作斜率不为0 的直线与C相交于P,Q 两点,且满足NB48+NQAB=180.证明：点 A,8 的横坐标之积为定值.第1 8页 共7 5页3 7.已知椭圆C：3=l(a b O)过点(1,g),且离心率。=(1)求椭圆C 的方程；(2)已知斜率为工的直线/与椭圆C 交于两个不同点A,B,点 P 的坐标为(2,1),设2直线 与 P B 的倾斜角分别为a,0,证明：a+6=n.3 8.已知离心率为 的椭圆C；务苴=l(a 80)过点(一1,-|),直 线/：y=f cv+m 与椭圆 C 交于 M (x i，y i)N(%2,”)两点，其中 x i,X 2#a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若 A(-a,0),且 A M,4 M 探究：直线/是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由.第1 9页 共7 5页x y v239.已知椭圆C：+7=l（a b 0）的离心率为,上顶点为A,右顶点为B.点、P2（一，0）在椭圆C 内，且直线A P与 直 线 3y=0垂直.3（1）求。的方程；（2）设过点P 的直线交。于 M,N 两点，求证：以MN为直径的圆过点用y 2640.已知椭圆一+77=l（a b 0）离心率e=亍，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆a2 b2 z于点P,且|PQ=2.（1）求椭圆的方程；（2）点。（x,y）在椭圆上，求久+&y 的最大值.第2 0页 共7 5页r2 v2 b 0),右顶点是4(或,0),离心率为三.(1)求椭圆C 的方程；(2)设 C 与y 轴的正半轴交于点。，直线/：y=fcv+,”与 C 交于M,N 两点(/不经过。点)，且 MC_LN),证明：直线/经过定点，并写出该定点的坐标.42.已知椭圆C；各，=l(a b 0),经过点(1,|),且离心率为今(I)求椭圆C 的方程；(I I)若直线/过椭圆C 的左焦点a 交 C 于 A,8 两点，线段A 8 的中点为G,AB的中垂线与x 轴、y 轴分别交于。、E 两点，试问：是否存在直线A B,使得|GD|=同|。叫(其中 O 是坐标原点)？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.第2 1页 共7 5页x2 y2 y f24 3.已知点A(0,-2),椭圆氏 +77=1 C a b 0)的离心率为一，尸是椭圆E 的a2 b2 2右焦点，直线A F 的斜率为2,。为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点P(0,V 3),且斜率为k的直线/与椭圆E 交于不同的两M、N,且肥 川=竽，求人的值.4 4.已知双曲线C：X-1v 7=1(67O,b0)与双曲线X一 一v二=1 有相同的渐近线，且a2 b2 1 6 4双曲线C 过 点(4,V 3).(1)若双曲线C 的左、右焦点分别为尸1,尸 2,双曲线C 上有一点P,使得N FIPF2=60,求F1 PF2 的面积；(2)过双曲线C 的右焦点尸2 作直线/与双曲线右支交于A,B 两 点,若 Q A 8 的周长40是三，求直线/的方程.第2 2页 共7 5页了 乙45.已知椭圆E：+=1 (Z 0).下面表格所确定的点(x,y)中，恰有三个点在椭圆E 上.XV2-2 1-V2y四20 12_42(1)求椭圆E 的方程；(2)已知。为坐标原点，点 A,8 分别为E 的上、下顶点，直线/经过E 的右顶点Q,且与E 的另一个公共点为C,直线AC,8。相交于点M若/与 y轴的交点“异于A,8,证明。为定值.46.已知椭圆C：+=1 (a Q O)的右焦点为尸(1,0),左右顶点分别为4、B,|即=1,过点F 的直线/(不与x轴重合)交椭圆C 于 M、N点，直线x=4 与 x轴的交点为D,与直线M 8 的交点为P.(1)求椭圆C 的方程；(2)若 A P Q M,求出点P 的坐标；(3)求证：A、N、P 三点共线.第2 3页 共7 5页x y4 7.已知椭圆C：+=1 (a f t 0)的长轴长为4,左、右顶点分别为M、N,点 Ga2 b2是椭圆上异于左、右顶点的动点，直线G M、G N的斜率分别为kGM和kGN,且kGM kGN=-云(1)求椭圆C 的方程；(2)直 线 1：y=k(x-V 2)与椭圆相交于A,B 两点，点 P(m,0),若 x轴是/A P 8的角平分线，求尸点坐标.X V4 8.已知M 是椭圆C：4-=1 C a b 0)上一点，为、F2 分别为椭圆C 的左、右焦点，且旧1 尺|=2,Z FMF2=F1 MF2 的面积为旧.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线/过椭圆C 右焦点尸2,交该椭圆于A、B 两 点,A B 中点为Q,射 线 OQ 交椭圆于尸，记4 4。的面积为S i,BP。的面积为S 2,若 S2=3SI,求直线/的方程.第2 4页 共7 5页xz yz、14 9.已知椭圆C：+77=1 (a/?0)的离心率为,，其左，右焦点分别是四，F1,过a2 b2 2Fl 的直线4 3与椭圆相交于4,8 两点，且 ABF2 的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线/：y=x+f 与椭圆相交于M,N 两 点,当坐标原点0 位于以M N为直径的圆外时，求 f 的取值范围.久 2 y 250.已知椭圆E：+T7=1(a b 0)的左焦点为F(四，0),过尸的直线交E 于 A、a2 b2C 两点，A C 的中点坐标为(竽，y).(1)求椭圆E 的方程；(2)过原点O的直线8。和 A C 相交且交E 于 B、。两点，求四边形ABC。面积的最大值.第2 5页 共7 5页2023年江西省高考数学解答题专项复习：圆锥曲线参考答案与试题解析1.已知椭圆C：4 +4=1的上顶点为E，左焦点为凡 离心率为巡，直线EFaL/2与圆/+y2=/相切.（I）求椭圆C 的标准方程；（II）设过点尸且斜率存在的直线/与椭圆。相交于A,B两 点,线段A,B 的垂直平分线交x 轴于点P,试判断瑞是否为定值？并说明理由.【解答】解：（I）如图，=芋，=&c,b=c,直线EF的方程为X-），+C=0,直线斯 与圆产+y2=*相切，9c V2.,正=,Ac=1,a=V2/b=lfx2.椭 圆 C 的标准方程为一+y2=1：2（II）设 A（xi,yi）,B（必 ”），P（xo,0）,y k(x+1)设直线/：y k (x+1),联 立 力,消去y 得(2必+1)/+4 3+2 严-2=0,br+y-.,_ _4fc2 _ 2fc2-2 X-i+Xo 5，=9，2必+1 2必+1AB=V T T F -V(Xi+X2)2-4x2=V 1 T F -4.|1 =2阳 必+1)2k2+1 法一：在线段AB 的垂直平分线上，.laiLiPBi，.01-&)2+丫 12=(型一出)2+yz.VA,B 在椭圆C 上，5 1 2 =1 一争2 1 xj72=1-2 代 入 得 一 xo)2+1-=(x2-X0)2+1-今，化简得Xo=+%2)-1 1-4/c2 k2+l=|x0+11=货/+不)+11=|1+%悬 I =Z/C I J.LtK X法二:线段AB的中点为（一 挛 一，T-）,.线段AB的垂直平分线为）=2k+1 2k+1 2k+1第 2 6 页 共 75页X+2fc22fc2+l令 y=0,得与=-7，2 k+l吁I/舟k2+,lH+l.|PF|赤2k2+I i V2 如|PF|2一 两=还三=7 故 函 为 定 值 丁 2k2+12.已知椭圆C -+-=1(/,0)的离心率e=,且 椭 圆 过 点 守y)为椭圆C的下顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点。在以0 A为直径的圆8上，P为椭圆。上的任意一点，求|PQ的最大值;(3)设。，E为椭圆C上与A不重合的两点，若直线A D与直线A E的斜率之和为次,试判断是否存在定点G,使得直线QE恒过点G,若存在，求出点G的坐标；若不存在,请说明理由.,/2 yJa2 b2 y2【解答】解：,椭 圆C的离心率e=，-=三2 a 2即2=2必，丁点(萼，络在 椭 圆c上,2 2:+=1,3a2 3b2由a2=2b2白+京=解得:(a2=2U2=rx2椭 圆C的标准方程为+y2=l.(2)如图所示：第2 7页 共7 5页vk1尸在0 B 上运动，故 BP=*,又 B 到椭圆最长距离为B M 或 BN,BM=70M 2+OB2=2 1故 PQmax=BM+BP=/，=2.(3)由(1)知 A(0,-1),当 直 线 D E 的斜率存在时,设 直 线 D E 的方程为y=kx+t(/1),x2代 入 +y2=1 得，(1+2S)/+4hx+2-2=0,2.=16必-4 (1+2必)3-2)0,即。-2 9 V I,设 D(xi,yi),E(X2,*),贝！J x1+x2=-4kt1+2必X1X2_ 2t2-2-1+2必直 线 A D 与直线A E 的斜率之和为a2,当+1+、2+1=kxi+t+1+kw+t+l=2+1)。1+%2)=2k%1 X2 _%2-xlx2(t+l4kt _ 2_?n-C L-乙，2t2-2整 理 得 t=-k,：.直线 DE 的方程为 y=kx+t=kx+-k=k(x-1)+1,显然直线y=k(x-1)+1 经 过 定 点(1,1),当 直 线D E 的斜率不存在时，设 直 线 D E 的方程为x=m,直 线 A D 与直线A E 的斜率之和为a2,设 D(/H,)，则 E(m,-ri)第2 8页 共7 5页kAAUD +kAAbE =吐H 史坦=a2=2,解得 tn 1m m m此时直线D E的方程为x=l,显然直线x=l经 过 定 点（1,1）.综上，存在定点G（1,1）,使得直线D E恒 过 点G.3 .已知动点P到直线y =一年的距离比到定点（0,3的距离大1.（1）求动点P的轨迹C的方程.（2）若M为直线）=x-2上一动点，过点M作曲线C的两条切线A M,M B,切点为A,B,N为A B的中点.求证：M N _ L x轴；直线4 8是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【解答】解：（1）由动点P到直线y =-，的距离比到定点（0,3的距离大1得，动 点P到直线y =的距离等于到定点（0,3的距离，所以点P的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中p =*,轨迹方程为/=y.（2）设切点A（x i，好），B&2,君），y =2 x，所以切线舷4的斜率为2 x i,切线M A：y *=2%i（x X ）.设 M（f,f-2）,则有t-2 赌=2/），化简得好-2 tX i +t-2 =0.同理可得以一2 t必+，-2 =0.所以x i,X 2为方程7 -2 f x+L 2=0的两根.则有 x i+x 2=2 f,x i x 2f-2,所以0=且=t=因此M N _ L x轴.因为1 （%1 +%2）=1（X i +X2y%1%2=2 t2-t+2,所以 N（f,2?-Z+2）.又因为+%2 =2 3所以直线 A B：y -（2及-f+2）=2t（x -f）,即y 2=2 t（x 即直线过定点g，2）.%2 y 24 .已知椭圆C：+7 7=1 C a b 0）的上顶点A与左、右焦点F i,F 2构成一个面积az 匕2为1的直角三角形.第2 9页 共7 5页(I)求椭圆C的标准方程;(2)若直线/与椭圆C相切，求证：点 为，放到直线/的距离之积为定值.【解答】解：(1)由椭圆的上顶点4与左、右焦点尸1,2 2 构成一个面积为1 的直角三角形可得已.2-6 =1 所以=c=l，所以。2=庐+2=2,x2所以椭圆的方程：万+)2=1；(2)证明：当直线/的斜率不存在时，直 线/的方程为x=士企，点F1,放 到直线/的距离之积(鱼一1)鱼+1)=1,当直线/的斜率存在时，设其方程为：y=f c v+m1y =f c x 4-mx2 ,整理可得：(1+2 )x2+4kmx+2m2-2=0,T+y=1=(4km)2-4(1+2 必)(2 m2-2)=0,可 得:m2l+2k2,点Fi到直线l的距离d=l-f e+n i 1,点 尸 2 到直线l的距离d2=华四，所以dld2=窄 坦 1 .用=应#=|2/+1 必|=,J w J w 1+/1+k综上所述：直线/与椭圆C相切时，点尸I,尺到直线/的距离之积为定值为1.%2 y25.已知椭圆C：+=1(a b 0)的 一 个 焦 点 为 0),点P(V L 1)在 C上.Q/b 1(1)求椭圆C的方程；(2)过 点(1,0)且斜率不为。的直线/与椭圆C相交于M,N两点，椭圆长轴的两个端点分别为4,A 2,4 1 M 与 A 2 N 相交于点Q,求证：点。在某条定直线上.(c =y/2【解答】解：依 题 意 得：|刍+斗=1，解得：/=4,？=2.Q2/=b2 4-C2x2 y 2二 椭 圆C的方程为 4-=L4 2(2)证明：设/：l=6+1,任=ky+1卜2+丫 2_,=(d+2)丁+2 6-3=0,设 M C xi,y),N(%2 ”),则2k3，,第3 0页 共7 5页A M：y=j(x +2)，1AlN：y=(久 一 2),珈罟 y，2 33 y+3 y 2=2ky y.联立得：y i(x+2)=y2 c(x-2),+2%2-2x+2 y2 fcyi+3 ky1y2+3 y2x-2 ky 2-1 y i_ 如 心+2 幻/2 _3 旷 1 _ akyxy2-y i-ky i y2-y i x=4.故点。在定直线x 4上.6.已知椭圆C的中心在坐标原点0,其短半轴长为1,一个焦点坐标为（1,0）,点 A在椭圆 C上，点 B在直线上，且 0 A L 0 8.（1）证明：直线A8与 圆/+尸=1 相切;（2）设 AB与椭圆C的另一个交点为。，当 A O B 的面积最小时，求 0。的长.X2 V2【解答】解 证明：可设椭圆的方程为群+记“心 心。），由题意可得E,c 1,a=y Jb2+c2=V 2,%2则椭圆方程为点 8在直线y=V 上，O A LO B,可得直线0A的斜率必定存在,当直线0A的斜率为0时，可得|0 A|=V 2,0B=V 2,则|A B|=2,0到A B的距离为1,即直线4B与 圆/+尸=1 相切;当直线0A的斜率不为0时，设直线04 与椭圆?+2/=2 联立，可 得（1+2 必）7 7?c T n*/且 2 2 2 2 k 万 人 2 2+2k丁=2,可得孙=-7，yA=-0 A =-1+2 l+2 d l+2/cz而 0 4,0 8,故0 8 的方程设为x=-6,B 在直线y=或 上，可得x=-|。砰=2+2 汽可得11 l+2/c2 10A2+0B2-2+2k2+2+2k2=1,即|。川|。8|=，。川2 +|。8|2 =|4 B|,可得0到 AB的距离为d=吗般=1,即 有 直 线 与 圆/+y2=1 相切.综上可得，直线A B与圆/+/=1 相切；第 3 1 页 共 7 5 页(2)由(1)可得 A O B 的面积为 5=9。4 卜|0 用=12 2*.7 2 +2/c2=-2,-2 fc-=52 2 1 1+2/2 房/2(V 1 +2 k 2 +1)1.2 V l+2 fc2-,1=1,2 J J i T I?上式当且仅当l+2 k2=l,即 k=0时取得等号，则AAOB的面积的最小值为1,此 时 A为椭圆的长轴的端点，B(0,V 2),不妨设A为左端点，A B：yx+V 2 代入椭圆方程/+2 y2=2,可得 3 x+4/2A-+2 0,由/2 4-xo=则3 孝,加=挈则 1 0 9=J|+|=粤.x2 y27.已知椭圆C i：+7 7 =1 的右焦点厂与抛物线C 2 的焦点重合，。的中心a2 匕 2与 C 2 的顶点重合，过 户且与x 轴垂直的直线交C i于 A,8两点，交 C 2 于 C,。两点，且|C D|=如 8|.(1)求 C 1 的离心率；(2)设 M 是 C 1 与 C 2 的公共点.若|M Q=5,求 C i与 C 2 的标准方程.【解答】解：(1)因为F 为 C 1 的焦点且A B L x 轴，2 b2可得F(c,0),|A B|=笠-,设C2的标准方程为V=2 p x (p0),V因为尸为C 2 的焦点且C D Lv轴，所以尸(0),CD=2p,因为|C Q|=$A 8|,C i,C 2 的焦点重合，所以P2消去P，可得4 c=差，所以3 a c=2 层,所以 3 ac=2a2-2 c2,设 C i的离心率为e,由e=。则 2 e 2+3 e-2=0,1 1解得e=(-2舍去)，故 C i的离心率为5；(2)由(1)可得=2 c,b=V 3 c,p=2 c,所以 C i：-4-=1,C 2：y2=4 u,A4 c2 3。c八22 J第3 2页 共7 5页联立两曲线方程，消去y,可得3/+1 6 u-1 2 2=0,所 以（3 x-2 c）（x+6 c）=0,解得 x=,c 或 1=-6 c（舍去）,从而|M F=x+=w 0+c=c=5,解得c=3,x2 v2所 以 C l和 C 2 的标准方程分别为工+三=1,?=1 2 x.8.己知椭圆E：彳+丫 2 =1,动直线/与椭圆E交于不同的两点A (xi,yi),B(%2,”),且 A O 8 的面积为1,其中O为坐标原点.-V-2 1 y 2(I)+V 为定值；yi+yi(I I)设线段AB的中点为M,求的最大值.【解答】解：(1 )当直线/的斜率不存在，设/：x=w,代入椭圆方程可得产=1-*,由aAOB的面积为1,可 得 二 依|2,一m=1，解得2=&,则一 1 1 =-2 =4；2 y 4 y2+y2 2_m2当直线/的斜率存在，设)，=丘+:,联立椭圆方程可得(1+4 必)/+8 m+4 -4=0,Qkr 4/4设 A (xi,yi),B(%2,”)，可得xi+x2=-%xx2=-工、1+4/l+4 fcz|A 8|=V l+k2 7(X1+X2)2-4X1X2=V lT fc1.(-_ 假 如=4+1+4/c2 由 A O B 的面积为1,可得工2 V 1+/C2化简可得1+4 必=2 户，J l+4k 1+4/c4 V l+4/c2-t2第 3 3 页 共 7 5 页QL f则%/+x22=(%i+x2)2 2xrx2=(-4k2)2-2,4 t2-4 4(1+8/C2+16/C4)1+4/c2(l+4k2)2=4,in j-7=i-=4,光+*2-(%I2+X22)y2 I y 2综上可得，f 为定值4；y l+y l(I I)设 M(xo,y o),当直线的斜率不存在时，|OM|=VL AB=y/2,则Q M%3|=2；当直线的斜率存在时，由(I)可得xo=也至，y okx o+t=n,2 1+4/1+4F则 10M=7xo2+y o216/2,6k2J(l+4/产 (l+4/c2)2-l+4fc2-r河 c|t|Jl+16fc2,7 4jl+4/c2-t2 1 I 9,18,“可得I W I 4 用I：必 荷?-i+4/=2 .卜 产+代+164卜 9 9-1)2 +25.:F 2k2+2 2 2,*,0 T-2 b 0)的两个焦点分别为Fi(-c,0),Fi(c,0),(c 0),过点E(1,0)的直线与椭圆相交于点A,B 两点(两点均在x 轴的上方)，且FIAF28,FIA=7F2B.(1)若 b=l,求椭圆的方程；(2)直线A 3的斜率；(3)求/F iA E 的大小.【解答】解：(1)由 AF1/F2B,|FIA|=7|F2B|,从 而 得 3a2=4CV 又 b=l,所以 3(c2+l)=4(?2,解得 J=3,/=4,第3 4页 共7 5页所以椭圆的方程为：一+y2 =1.4(2)由(1)知，b2=a2 c2=c2,所以椭圆的方程可以写为37+1 2 y2=公2,由已知设 A (xi,yi),B(A 2,”)，且 yi 0,y2 0,直 线A B的方程为x =m y 4-即=m y+等(m V O),一 ,i则它们的坐标满足方程组X-my+T，3 x2+1 2 y2 =4 c 24r2消去 x 整理，得(3 m2+1 2)y2+8mc y+=0,根据题意，0,仅V一 竽，且 为 +2 =一 五 存 运，=贡访+而町由题设知，AE =7BE,所 以 y i=7 ,联立三式，计算得出yj =一一加J，y2=四J，7 1 1 2+3m2 7 2 1 2+3m2将结果代入韦达定理中计算得出加=-竽满足题意，所以直线A B的斜率为k=一%(3)由(2)得，丫 1 =一 冠 篝 1=坐 以%!=0,所以 4(0,堂 c),所以 tan/.FrAO=-i-=V 3 3Tc所 以 N&A。=*所 以 4 0 4 F 2 =咨.%2 y21 0.已知椭圆c：+=l(a/0)的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为F l(-百，0).(1)求 C的方程；(2)设 C的右顶点为A,不过C左、右顶点的直线/：y=fc t+,与 C相交于M,N两点,且AM1.AN.请问：直线I是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点,第 3 5 页 共 7 5 页请说明理由.a=2b【解答】解：(1)由题意，c=V3，解得：=2,b=l,a2=b2+c2所以椭圆的方程为：一+b=l;4y=kx+m(2)设 M(xi,yi),N(X2,”)，联立直线与椭圆的方程：x2 7 整理可得：(l+4/r)(彳+y-j+Skrwc+4(/?-1)=0=64ZB 1 6 (1+4&2)(层-i)o,化简得1+4标 加 2，.,-8m k 4(m2-1)X-i+%7=7,=791+4/1+4必a=2b又 AM_L4M A(2,0),卜=遮 ，a2=h2 4-c2:kAM，kAN=-1,%-2 _ 1 一 1,%2%22yy2+xixi-2(xi+x2)+4=0,/.(Axi+nz)(kx2+m)+xx2-2(xi+2)+4=0,即(I +l)x1%2+(km-2)(jq+%2)+Hi?+4=0,(e+1)4(瓶2-1)1+4/c2+(km 2)8 吗+7n2+4=0,1+4/化简为5m2+16%机+129=0,解得力1=一|匕 加 2-2 攵且满足，当 2=-2R 时，/：y=kx-2k=k(x-2),直线/过点 A(2,0),舍去；当m=-/c 时，/：y=/ex-1 k=k(x-1),直 线/过 点 0).综上可知，直线/过定点，定 点 坐 标 为 0).x2 y2 _ V21 1.已知椭圆G：H-=1(a /?0),上顶点为8(0,1),离心率为一,直线/：y=a2 b2 2日-2 交 y 轴 于 C 点，交椭圆于