2022-2023学年山西省太原市校高二年级上册学期期末阶段测试数学试题含答案.pdf

2022-2023学年山西省太原市校高二上学期期末阶段测试数学试题一、单选题1.抛 物 线 产=2 x的焦点坐标为（）A.1B.I，）C.（-D.（【答案】B【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标.【详解】由抛物线的方程V=2 x可知，抛物线的焦点位于X轴正半轴，由2 P=2,可得：,一2,即焦点坐标为0）.故选：B.2.函数/（x）=4x-l m的单调递减区间为（）A（。,+8）B H）c T D （*）【答案】B【分析】由 （）（结合定义域即可解出.x 0 0）,所 以/一:，由 X解得：、b 0)C-)5.设椭圆 F 离心率为e,双 曲 线-x?y2 2 石 I _/b2 的渐近线的斜率小于5【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出“力的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率e的取值范围.。2：5一 占=1 y=x【详解】根据双曲线方程-/可得，其渐近线方程为 a,正 拽又因为a b 0,且渐近线的斜率小于5 ,即 a 5 .所以，椭圆q 的离心率即离心率e 的取值范围是故选：B6.设定义R 在上的函数，=满足任意x e R,都有/(x +4)=/(x),且x 0,4 时,/（2022）#（x）x）,则/（2021）,“2021）女 及 心A.2 3C罕 等心2）/(2023)二 一 的 大 小 关 系 是()3)/(2021)在也B.2 3Z M/(2 0 2 1)U)【分析】由题意可知 X?有两个实根，构造函数 X2,利用导数研究函数（X）的单调性及极值，作出函数“（X）的图象，利用数形结合思想即可求解.、I n x +1 -mx2 八 I n x+1J(x)=()m =2【详解】由题意 X，得 X2有两个实根，/、I n x +1 .,，/、x-2 x(l n x +l)l-2(l n x +l)-(2 I n x +1)A(x)=(x 0)h(x)=-a-=-3-=-设 x ,则 X，X3 X3令/(x)=0,解得 x =e 下,当0 x 0,/z（x）单调递增；当x e ；时，x）0,人。）单调递减；1-1h（e 2）=故当x =e?时，函数取得极大值，且 2 ,又时，（x）=。；“时，如）0,x 2 0 ,h（x）0作出函数”（x）的大致图象，如图所示：h（x）=,直线V =机与%2的图象的两个交点的横坐标即分别为凡,J -L l n 2 +l l n 2 e由题意知 e ,又=1,4 4 ,因 为 存 在 唯 一 的 整 数 3 与，所以1 6 2,l n x +1h（x）=2-又直线、=加 与 f 的图象有两个交点，由图可知：限）机，即4 一.故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数零点的情况求参数的取值范围，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题9.函数/（X）的定义域为R,它的导函数）=/（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A.在02）上函数/（x）为增函数 B.在*壬）上函数/G）为增函数C.在OR上函数/（、）有极大值 D.=3 是函数/（X）在区间I M 上的极小值点【答案】AC【解析】根据图象判断出/G）的单调区间、极 值（点）.【详解】由图象可知/（X）在区间 2）和（4 5）上/（x）,/（x）递增：在区间（2,4）上/（x）。，/（X）递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间OR上，J*）有极大值为2）,C 选项正确.在区间口 壬 上，x =4 是/（x）的极小值点，D选项错误.故选：AC1 0.给出定义：若函数/G）在。上可导，即L G）存在，且导函数/（X）在。上也可导，则称“X）在。上存在二阶导函数，记/（x）=（/（x），若/（x）在。上恒成立，则称“X）在。上为凸 函 数.以下四个函数在I 2 1 上不是凸函数的是（）A/（x）=s i n x-c o s x B/（）=l n x-4 xc./（x）=-/+2 x-l D x）=x e，【答案】A D【分析】求出每个选项中函数/（X）的二阶导函数r（x）,并验证了（、）（是否对任意的I 2 人恒成立，由此可得出答案.r,(x -s i n x +c o s x =-/2 s i n【详解】对于A,/(x)=c 0 s x +s m x,7tX当兀 兀八时，-4X-4 0,故/G)=s i n x-c o s x不是凸函数;对于B,r(x)=l-4(r(x)=-10(故 X)=l n x-4 x是凸函数;对于C,/(x)=-3/+2,对任意的xe呜r(x)=-6 x 0,故/(x)=x e、不是凸函数.故选：AD.H.直线/：y=(x-2)与双曲线。：/-/=2的左、右两支各有一个交点，则人的可能取值为()_A.0 B.1 C.2 D.2【答案】AD【分析】联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合方程根的情况列出不等式，求解可得”的范围,判断选项即可.y=kx-2)【详解】联立x 2-/=2 ,消去y得，(1 _/口2+4心-4%2-2 =0因为直线/与双曲线C的左、右两支各有一个交点，所以方程(1 _/口2+软、_ 必2-2 =0有一正一负根，1-r#0-Ak2-2-所 以1-1-一-左y 0,解得一 1(人0 h(x)=l；令 X?得：0 x。+时，y ；当 x f+8 时，y o ；l n x+1作出 X 和y =2a的图像如图，y=h（x）y=2a所以T 2a oJ1 6.已知6 1，若对于任意的才十,不等式5x-ln（4x）Vme*_lnm恒成立，则机的最小值为.4【答案】【分析】不等式等价变形5xTn（4x）m e-In w 4x-ln（4x）/nev-ln（we）,利用函数/（x）=x-lnx的 单 调 性 可 得 即 右 一“，令8 0）一 e，,结合函数的单调性与最值即可求得答案.详解5x In（4x）W mQx-nm o 4x-ln（4x）mex-In/n-x 4x-In（4x）1,才 七 收），.4 *叩,用），4x-In（4x）mex-In6?ex）/（4x）/（*）4x mex /we 恒成立,令g（）中，则xe J O,g（x）,L4 J 单调递增；X（Lx），g（x）e,加的最小值为e.4故答案为：e.四、解答题1 7.已知 x)=7 +3 +在 尸 _ 时有极值0(1)求常数八6的值;求函数y=/G)在区间卜4上的值域.【答案】21=9(2)，町(T)=，/（0）=4,可得值域为4 1i s.在平面直角坐标系x y 中，已知双曲线c 的焦点为0 6）,实轴长为2&.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点。0 ）的直线/与曲线C 交于A7,N 两点，且。恰好为线段M N的中点，求直线/的方程及 弦 网 的 长.C-_x2=1【答案】（1）,2；（2）2 x-j-l=0.V30.【解析】（1）根据题意可得“力，进而可得双曲线方程；（2）先根据点差法求直线方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】解：（1）根据题意，焦点在V轴上，且c=6,a=W所以b=l,c X-x2=l双曲线的标准方程为 2；（2）过点。）的直线/与曲线C 交于，N 两点，且。恰好为线段M N的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为x=l,则由双曲线对称性可知线段M N的中点在x 轴上，所以不满足题意；当斜率存在时,设直线方程为，=（x T）+l,设 （对凹），N&y Q,y=攵（工-1）+1一 一 2=1 （k2-2 2（lk2-2 k +k2-2 k-=0则 I 2,化简可得 ）、）,A=（2庐 _2启-4 俏-2 丫/-2l 0因为有两个交点，所以 恒成立，2k2-2k-A,k2-2 k-X,X.=-3-I 1 2 k2-22k2-2k因为。(1,1)恰好为线段M N 的中点，则 M-2化简可得上=2,所以直线方程为V=2 x(x-1)+1,即2 x-y-l =0石 +/=2.|W|=y/+k2-yl(X1+x2)2-4xtx2=亚.瓜=屈【点睛】关于圆锥曲线的中点弦问题：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题.其解法主要是点差法，设而不求，得到结果.f(x=ax-(2a+)n x-a 1 -x (1)当。=-1时，证明：X;(2)讨论/(X)的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析g(x)=/(x)-1l-x-3 =l n x-l +L(x 0)【分析】(1)构造函数 I x j X ，利用函数的最值即可证明不等式；,(x)=(ax T)(x-2)(2).I,一 x2,对。分类讨论即可得出函数 X)的单调性.【详解】(1)当。=-1时，令 V x)xg)U 亍可得x e(O,l)时，g (x)0,函数/(x)单调递增，.=1时，函数8仁)取得极小值即最小值，g)=0,3.g（力0,gp/（x）l-x-（2）函数的定义域为（，+00）,小）“红里+2=3一如 2）X X X,当时,女（0,2）时，/安）0,函数“X）单调递增；段（2,+8）时，/）,函 数/）单调递减；0 a i x e（0,2）U（！,+0 、（0,2）,f-,-w）当 2时，I J时，/V）,函数J。）单调递增区间为 I 人、*七）时，/（x）0,函数/（x）单调递减；当5时，一 2 x2，/）2 0,函数/（x）在（。,3）单调递增.综上，当 时,函 数/（X）在（，2）单调递增，在（2，+8）单调递减；0 a-、（0,2）（，（2,-）当 2时，函数“X）在 1上单调递增，函数，（x）在 a上单调递减；当“-5时，函数/（X）在（，+）上单调递增.2 0.在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品.某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模.已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入 、万/、p（x）=-x2+4.1x +l元的原材料费，全部售完可获得P（x）万元，当月产量不足5万件时，2 ；当月Qp（x）=13-l n x-n O.l x产量不低于5万件时，x ,通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完.（1）求月利润V（万元）关于月产量x （万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；（2）月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）参考数据：I n 2 a 0.6 9.1 0,八 x+4 x,0 x 5.【答案】X ；7.5万元（2）当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元【分析】（1）利润等于销售收入减去固定成本减去原材料费（2）分段函数的最值，先分段求，再比较，较大的是最大值y=-x2+4Ax+-0 A x=-x2+4x【详解】当 0 5 时，2 2O Oy=13-l n x +O.l x-1-O.l x =12-l n x 当时 x x,y=,1 2一 万 工 +4 x,0 x 5,故月利润歹关于月产量工的函数关系式为y =-x 9 +4 x 3 =7.5当x=3 时 2 ,o12 I n x ,x 2 5.x故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5 万元.y=-X2+4 x =-（x-4）2+8 当 0 x 5 时，2 2 ,故当x =4 时，夕取得最大值，最大值为8 万元；1。1 8y=2-nx 当时，工,1 8 8 xy=一+=X X X当5 4 x 0,当x 8 时，夕 8,所以当月产量约为8 万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9 万元.2 1.已知函数/（x）=e （+l）g（x）=f（x）-x2ev-x2-kx（1）若 2 在 R上是增函数，求实数%的取值范围；（2）若三 时，不等式e-e 2|/（%）-/（今1 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（一叫1【分析】（1）由g（x）在 R上是增函数，可得g G）4。在R上恒成立，再由参数分离法即可求得发的取值范围.当 x 0 时，/（x）=e （x 2+2 x +l）0 恒成立，所以/（x）在（0，+）上单调递增，且/（x）/（）T .由X 2 *。，可得/（2）/（须），再构造函数g（x）=e J /（x）,则问题等价于函数g(x)在(，+8)上单调递增，,2 e2 x 2QX)a&-=-即8)=26-(赤0在(0,+0上恒成立，即 参 数 分 离 后/(x)+2 x +l,只需求22x?+2 x +l即可得”的取值范围.【详解】依题 X 一5、一米，故g(x)=e-,；g(x)在R上是增函数，g (x 在R上恒成立.即：左4 e*-x在R上恒成立.设 叭x)=e j,则m)=e*-l当 x e(-8,0)时，M(x)0,即?(x)在(一叫)上单调递减；在 G)在(，+0 0)上单调递增，加(x L,=M 0)=i:.k 0时，(x)=e G2+2x +l)0恒成立，所以/(x)在(，+。)上单调递增，且/()=1 .因为三 芭0,所 以/(%)/(再)，则不等式4/(%)-/(当1可化为2-,“/(当)-/(%),即 e2、2 _ 4&)e z”_d a)令g(x)=e2-/(x),因为马不0,则问题等价于函数g G)在(，+功上单调递增，即 g(x)=2e2t-#(x)0 在(0,+W 上恒成立,2e2x 2ev即/(X)+2x 4-1 XG(0,4-0 0)令 G)=X2+2X+1,X0，+8).2e，（？+2x+l）-2 e，（2x+2）2er（x2-l）2er（x-l）则“（X2+2X+1J（X2+2X+1）2（x+iy令 G）=,解得x=l,所以当x e（O,l）时，p（x）0,函数 x）在（）上单调递减;当x e（l，+8）时，。G）0,函数。在。，+8）上单调递增；e所以当X=1时，函数P（x）取得最小值，且P（x n=P（l）=5,所以当、。，+8）时，PG ）!所以 2.【点睛】本题考查的是函数与导数的综合运用，导数求函数的最值，函数不等式恒成立问题以及参数分离法的灵活运用，属于较难题.2 2.已知点（T）,3（0）,动 点 尸 满 足 网 如 尸 叫 记 点p的轨迹为曲线C.（1）求0的方程；（2）设。为直线夕=一2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E,F .证明：直线E尸过定点.【答案】（1）犬=4九）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得C的方程：设。6-2）,小，%），厂（%，%）,利用导数得出切线。瓦 的 方 程，由。在切线上，从而可得直线E F的方程，由直线方程可得定点坐标.【详解】设 尸GM,则 秒=（一7）,而=（F）,荏=（0,2）&4=（0,-2）所以，周 网 历 历 可 以 化 为ha-化简得所以，C的方程为/=4上 由 题 设 可 设。6-2）,网再,必），尸3，%），由题意知切线。E,。尸的斜率都存在,由X 2=A4 y,得，y =4 ,则y-=2,k=土所 以 脸 2,直线。E 的方程为 2、，即.2 2,x,2 _ 2因为以心必）在 上,所 以 苍 2 =打，即 彳=必,将代入得再x-2%-2y=0,所以直线O E 的方程为中-2%-2y=0同理可得直线D F的方程为ZX-2乃-2y=0.因为“，-2）在直线Q E上，所以4-2 必+4=0,又“，-2）在 直 线 上，所 以 砥-2%+4=0,所以直线E尸的方程为a-2 y +4=0,故直线E尸过定点（，2）.【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由。在切线上，根据直线方程的意义得出直线E F 方程，然后得定点坐标.