直线的倾斜角与斜率、直线的方程.pdf

解析几何第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲考情考向预测1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.从近三年高考情况来看，本节为高考中的热点，但一般不独立命题.预测2 02 0年高考主要考查直线倾斜角与斜率的关系，求直线方程与圆锥曲线等知识进行综合命题.有在客观题中出现的机率，试题难度不大.星 课堂探究考点突破酉考点一直线的倾斜角与斜率(1)直线/：xysi n 8+l=0的倾斜角的取值范围是(A )A俘为 B.0,句U序”)。刃 喑 乡 出 用解析：设a为直线/的倾斜角，当si n 0=O时，直线/的斜率不存在，直线的倾斜角a=会当si n O W O时，直线的斜率A=ta n a=焉 (-8,+8),所以直线的倾斜角的取值范围是俘,U 母.综上所述，a e f.y,故选A.(2)直线/过点P(1,0),且与以A(2,l),8(0.巾)为端点的线段有公共点，则直线/斜率的取值范围为(一8,一 出】川|,+8).解析：法一 设以与的倾斜角分别为a,或，直线 出 的 斜率是心夕=1，直 线 的 斜 率 是 履=一小，当直线/由附变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由a增至9 0。，斜率的取值范围为 1,+=).当直线/由PC变化到P8的位置时，它的倾斜角由9 0。增至,斜率的变化范围是(-8,-V 3 J.故斜率的取值范围是(-8,-V 3 )U H +8).法二 设直线/的斜率为七则直线/的方程为尸=武工一1),即h)，T=0.A,4两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，:.Qk 1 k)(一小一%)W O,即仅一1)伏+小)20,解得上21或即直线/的斜率力的取值范围是(一8,一5 U”,+8).【条件探究I】若将典例1(2)中 尸(1,0)改为P(1,0),其他条件不变，求直线/斜率的取值范围.解：设直线/的斜率为鼠则直线，的方程为厂 总+1),即依一y+Q O.Y A,8两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，1+A)(5+A)W O,即(3&-1)优一小)W0,解得;WAW5.即 宣 线/的斜率的取值范围是V 5【条件探究2】若将典例1(2)中8点坐标改为8(2,-1),其他条件不变，求直线/倾斜角的范围.解：由典例1(2)知直线/的方程任一)，一2=0,A,8 两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上,：.(2 k-I T)(2&+1 T)W 0,即(A1)(A+1)WO,解得一 iWkWL即直线/倾斜角的范用是m a卷。o,j Y即由。增大到寺1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数攵=tana的单调性，当a 取值在时，4 由0 增大到+8,当a 取值在 停。时，即 由 与 衿)增大到兀(a#/时，系由一 8 增大到0.2.斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角a 或 a 的某种三角函数值，一般根据太=tana求斜率.(2)公式法：若已知直线上两点A S,yi),B(M,竺)，一般根据斜率公式=言才(由羊 2)求斜率直线 2xcosy3=0|(a 假句)的倾斜角的取值范围是(B)A.B.。俘g解析：宜 线ZvcosaV3=0 的斜率A=2cosa,D.因为居f l ,所 以 产 cosa因此 2=2 co sa l,小.设直线的倾斜角为仇则有tan，E l,yj3.又W 0,兀)，所 以 柒 代，句.即倾斜角的取值范围是(2)已知线段尸。两端点的坐标分别为？(一 1,1)和 0(2,2),若直线/：认，+)，+1=0 与线段尸。有交点，则实数6的取值范围俘卧是(-8,同5 2,+8).I(一)解析：/：心+丁+1=0 可写成y=一的一1,即/过定点R(0,-1),宜线PR的斜率曾=_；_=_ 2,直线QR的斜率女2_ 2-(_ 1)_3 2-0 -2,因为直线/与线段尸。有交点,所以斜率42,或&W-2.3又因为=一/，所以 iW 5或，22.考点二直线的方程根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为平：(2)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为 a,则 sina=-*-(0a 0,b 0,因为直线/过点M 2.1),所以/，则 1=力 上 2故 他 38,1|o I I r v故 So8的 最 小值跖X =,X 8=4,当且仅当片5=5时取等号，此时a=4,b=2,故直线/：1,即工+2厂 4=0.法二 设直线/的方程为)，-l=A(x2)(2V0),4(2-0),8(0/一2A),50 8=/1 2。(2?=聂 4+(一 软)+,(一。卜/4+4)=4,当 且 仅 当 一 止=一 即 2=/时，等号成立，故直线/的方程为 y 1 =(A-2)即 x+2y4=0.角 度 2由直线方程求参数问题一 已知直线h:ax 2 y=2 a-4,/2：2丫+/.尸2标+4,当 02时，直 线 6，6与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数。=；.解析：由已知画出简图，如图所示.因为h ax 2 y=2 a4,所以当x=0 时，y=2-a,即直线A 与y 轴交于点A(0,2-).因为右：2x+fl2y=2a24-4,所以当了=0 时，工=屋+2,即直线6与x 轴交于点。(。2+2,0).易知/i与，2均过定点Q 2),即两直线相交于点8(2,2).则四边形 A O C B(“V)2+?泻的面积为 S=S“OB+SABOC=*2 a)X 2+如+2)X 2=所以S m in=*此时a=/.W 方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用在本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解./跟 踪训练3已知直线/：心一），+1+2 攵=0 也 阳.（1）证明：直线/过定点；（2）若直线不经过第四象限，求人的取值范围：（3）若直线/交 x 轴负半轴于A,交），轴正半轴于8,AAOA的面积为S（O为坐标原点），求 5 的最小值并求此时直线/的方程.解：（1）证明:直线/的方程可化为&。+2）+（1 训=0,fx+2=O,（x=2,令 解得1 1 y=0,y=1.无论&取何值，直线总经过定点（-2,1）.1 4-2 1（2）由方程知，当W0时直线在x轴上的截距为一丁，在 y轴上的截距为I+2&,要使直线不经过第四象限，则必须有f,l2*0；1 1+2 ，当2=0 时，直线为y=l,符合题意，故女的取值范围是0,+8）.（3）由题意可知上W0,再由/的方程，得 4（一0 1,%0,1+2&）.（1+2 I-0.1 1+2 Q0,1 1 1 1 +2 A|5=。川|。8|=5 /1 +2 M年中q（3+4）1 x（2 X 2+4）=4,“=”成立的条件是Q 0且软=即 仁 去 5=4，此时直线/的方程为x 2,v+4=0.真题模拟 演 练。=1.（2 0 1 9 湖北四地七校联考）已知函数代r）=asi n x-/c o sA（a W O.斤 0）,若/于一人）=.（；+），则直线以一分+c=0 的倾斜角为（D ）nA-4C.yB.J_ 3几DT解析：由/0r）=/G+x）知函数段）的图象关于尸割 称，所以的）=/（9，所以。=一 江 由 直 线 狈一分+c=0 知其斜率仁科=一匕所以直线的倾斜角为尊 故选D.2.（2 0 1 9 豫南豫北精英对抗赛）过点（一2,3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y l=O 或 3x+2 v，=0 .解析：当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距均为0,符合题意，此时直线方程为3x+2 y=0.当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y+c=O,将点（一2,3）代入得c=-I,此时直线的方程为x+y-1=0.综上，符合题意的直线方程为X+、-1=0 或 3x+2.y=0.第2节 两直线的位置关系考纲考情考向预测1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2 .能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.从近三年高考情况来看，本节一般不独立命题，预测2 0 2 0 年高考以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主,有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.目 课 堂探究考点突破呼B.-2D.8考点一两条直线的位置关系（1）已知过点4一2,M和点8。,4）的直线为小 直线2 x+）-l=0为 直线x+n），+l=O为&.若/2，的 则实数优+的值为（A ）A.-1 0C.04 tn解析：，方 7一2（机 2）,解 得 加=-8（经检验，人与&不重合）,V/2/3,2 X 1 +1 X“=O,解得=-2,.】+/?=-1 0.（2）已知直线人：a x+2 y+6=0 和直线，2：x+（。-l）y+/i =0.若八G 则=-1解析：方法一当。=1 时，/i：x+2 y+6=0,%x=0,1不平行于6；当 a=0 时，/）：y=-3,A：Ay 1=0 /不平行于 5；当。#1 且a W O 时，两直线可化为,a 八/1：y=x r-3 h：尸 占 L（a+I），2 -a 解得 q=T,1-3（a+1）,综上可知，当。=-I 时，/：方法二 由一4田=0,得 a（a l）l X 2=0,由 AICZAZG/。，得。（。2 1）-1 乂6#0,Md-1）-I X 2=0,l（6 T I）1 X 6 W 0fa*22=0,可得 a=-1,故当 a=-l 时，h/l2.【结论探究】本典例（2）中条件不变，求当/1 _L/2 时。的取值.解：方法一 当 a=l 时，/1：x+2 y+6=0,4：x=0,/1与，2不垂直，故a=l 不成立；当a=0 时，/）：y=-3,/2：X 1=0,人 不垂直于心，故a=0 不成立：当且aWO时，/|：尸 一齐-3,i2：y=7 r-（a+l）,由（甘）,士=f得片率2方法二 由人 自 2+41%=0,得a+2（a1）=0,可得。=予“方法技巧已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示直线方程4：Ai+B iy+G =0(A：+段/0)l2：A2J;+B23Z+C 2=0(A 1+B|#0)h与 乙 垂直的充要条件AI A2+Bj B2=0h与12平行的充分条件A】B,C,工=而 力 (A?B2。2 W0)h与4相交的充分条件A.B.优*B；（A2为 力。）乙 与4重合的充分条件Ai B.a=)=)(A252 c2 六0)提醒：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意X,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.跟踪训练1（1）已知三条直线2 x-3 y+l=0 4 r+3 y+5=0,m 一丫-1 =0 不能构成三角形，则实数机的取值集合为（D）4-32-3U2-34-3,B.解析：因为三条直线2x3y+l=0,4x+3y+5=0,吠 一），一1=0不能构成一:角形，所以直线 tv）-I=0 与直线2x3y+1 =0 或直线4x+3y+5=0平行，或直线m x-y 1 =0 过直线2x3y+1 =0 与4%+3y+5=0的交点，所以或用=一方或m2=一宗 所以实数机的取值集合为r -?4，-y2 231）*故选D（2）已知经过点4 2,0）和点8（1,3。）的直线/|与经过点P（0,1）和点Q（m 2。）的直线“互相垂宜，则实数a 的 值 为 1或0解析：1的斜率21=-.(_)当时，2的斜率府=2a-(1)1勿a-0.a 因为1所以女次2=1，即；”=1,解得a=.当。=0时，尸(0,1),6(0.0),这时直线，2为y轴，4(-20),3(1,0),直线&为x轴，显然综上可知，实数。的值为1或0.考点二两直线的交点与距离问题(1)经 过 两 直 线 小x-2 y+4=0和6：%+)，-2=0的交点P,且与直线八：3x-4 y+5=0垂直的直线/的 方 程 为4 x+3v6=0f x-2y+4=0,4解析：由方程组 直线K：2x+y4=0关于直线/：ly+2=0对称的直线/、的 方 程 为x+2y6=0.f2x+v4=0,解析：方法一：解方程组),5+2=0,即 C(-2,4).又直线h过A(|，号)和。(一2,4)两点，故由两点式得宜线的方程发v一4=5r-4-2，即x+2 y-6=0.L针2方法二：设M”)，加)是直线/上任意一点，它关于直线/的对称点为M x，y)，则线段M N的中点坐标为I直线M N的斜率为三/x-X。由题意,得 Z,称，则由中点坐标公式得 进而y=2by1,求解直线关于点对称 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求 出 一 个 对 称 点，再 利 用 两 对 称 直 线 平行，由点斜式得到所求直线方程2.轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P （X i，M）与尸2（切，龙）关于直线/：A x+B y+C=o 对称，由方程组卜（空）+B（空）+C=0,昌（用可得到点P关于1对称的点P2的坐标（历，刃）（其中8#0，由#%2）直线关于直线对称若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解.若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解a跟踪训练3（1）（2019 湖北孝感五校联考）已知直线,，=2 1 是 A B C 中NC的平分线所在的直线，若点A,3的坐标分别是（一4,2）,（3,1）,则点C的坐标为（C ）A.（-2,4）B.2,-4）C.（2,4）D.-4）解析：设44,2）关于直线y=2x 的对称点为（.y）,则 轴建立如图所示的坐标系,由题意可知仅4,0),C(0,4),A(0,0),则直线8C的方程为x+y4=0,设尸(M)(0 V/V 4),由对称知识可得点P关于8 c所在直线的对称点P1的坐标为(4,4一。，点P关于)，轴的对称点P2的坐标为(一 匕0),根据反射定律可知PiP?所在直线就是光线R Q所在宜线.由P 2两点坐标可得修 产2所在直线的方程为尸旨G+。，设 村7的重心为G,易知G 3.因为重心G(*t)4 4-t/4 4 4 4在光线R。上，所以有即35一4/=0,所以f=0或/=,因为0 W4,所以/=,即|A P|=,故选D.真题模拟演练(2019 湖北十堰模拟)菱形A3CO的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,一5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:(1)4。边所在直线的方程；(2)对角线3短所在直线的方程.5(1)解：(1)AR C=6-8 =2：A D/B C,.以o=2.AO边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即 2、一丁+15=0.&6-(-4)=6-5 菱形的对角线互相垂直，：,B D A C,工总产亲.AC的中点(1,1),也是3。的中点,对角线BD所在直线的方程为厂1 =於-1),即5工 一6)，+1=0.第3节圆的方程考纲考情考向预测掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.从近三年高考情况来看，本节为高考的热点，但很少独立命题.预测2020年高考将考查求圆的方程及与圆有关的轨迹问题：或考查与圆有关的最值问题.题型为客观题，试题难度一般不大，属中档题.回 课 堂探究考点突破d考点一求圆的方程(1)(2019,海南海口模拟)已知圆M与直线3 x-4 y=0及版一4)，+1 0=0都相切，圆心在直线y=-x-4 ,则圆M的方程为(C)A.(1+3)2+。，-1)2=1B.(l3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(工 一3)2+。，-1)2=1f3x-4y+5=0,解析：到两直线3x-4y=0,3x-4)，+1 0=0的距离都相等的直线方程为版一4)，+5=0,联立得方程组 解ly=X-4(x=3,得 又两平行线间的距离为2,所以圆M的半径为1,从而圆”的方程为(x+3)2+(y+l)2=l,故选C.ly=-1.(2)(2019广 东七校联考)一个圆与 轴相切，圆心在直线x-3 y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为25,则该圆的方程为F+v2-6x-2 y+1 =0 或+2+6；1+2、+1 =0一.解析：解法一：所求圆的圆心在直线x3)=0上，设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与)，轴相切，半径r=3|,又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2干，圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=居，4+(6)2=3，即加2+7=%落 、a=l.故所求圆的方程为。-3)2+。-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9.即/+炉一出:-2+1 =0 或 j+yi+6 x+2 y+1 =0.解法二：设所求圆的方程为(X。)2 +()，)2 =凡 则圆心3,与到直线)，=%的距离为比U，72/=啜+7,即 2 3=3 6)2+14血由于所求圆与.v轴相切，户=岸，又 所求圆的圆心在直线 一3.尸0上,：a3 b=0,=3,a=-3.联立，解得，b=l,或b=-l.M=9/=9.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9.即/+)2 _ 6_ 2)，+=0 或 必+尸+&+2y+1 =0.解法三：设所求圆的方程为(+9+以-+/+=0,则圆心坐标为(一专,一 分半径r=1化+产一土在圆的方程中，令x=0,得)，2+E+尸=0.由于所求圆与y轴相切，/.J=0,则 炉=4尸.圆心(一 ，一亨)到直线产x的距离为 事IV2由已知得/+(币 户=户，又圆心(一冬一号)在直线x-3 y=0上，0 3=0.D=-6,联立，解得 5,圆心为(一3,0),A B C 外接圆的方程为(X+3)2+)，2=5,故选D.(2)(2 0 1 9.山西运城模拟)已知圆C截)，轴所得的弦长为2,圆心C到直线/：x-2，=0的距离为坐 且圆。被x 轴分成的两段弧长之比为3：1,则圆。的方程为(x+l)2+(y+l)2=2 或(1-1)2+3 1)2=2 .解析：设圆C的方程为(x)2+，一份2=/，则点C到x 轴，y 轴的距离分别为族|,|仇/=步，/=层+1,由题意可知 a-2 b V 5 力-5，a=-1,a=l,:b=,或 b=l,、产=2 U=2.故所求圆。的方程为a+l)2 +(y+l)2=2 或(4-1)2 +。-1)2 =2.考点二与圆有关的轨迹问题整物12(1)自圆C：。-3)2+6+4)2=4 外一点P(K y)引该圆的一条切线，切点为。，切线的长度等于点P到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为(D )A.8 x-6 y-2 1=0 B.8 x+6 j-2 1=0C.6 x+8 y-2 1=0 D.6 x-8,y-2 1=0解析：由题意得U|P C 2 2 2 =|P O|,所以(x 3)2+G，+4)2 4=/+y 2,即 6 氏 一 8)，-2 1 =0,故选 D.(2)(2 0 1 9郑州模拟)已知线段4 8 的端点5 在圆G：/+。，-4)2=1 6 上运动，端点A的坐标为(4.0),线段A B 的中点为M.则点M的轨迹C2的方程为(L2)2+(V-2)2=4 .解析：设 M(x,y),B(x y ),点3在圆G：片+作一4)2=1 6 上，.,.(2 t-4)2+(2 _ y-4)2=1 6,即/2)2+。一2)2=4.点的轨迹Q的方程为(-2)2+()，-2)2=4.【结论探究】在本典例(2)中，若圆G 与曲线Q交于C,。两点，试求线段CD的长.解：由方程组。-2)2+&-2 产=4,4)2=1 6,得直线CD的方程为x-y =0,圆 G 的圆心G(0,4)到直线CD的距离d=Lg 忆平,又圆G 的半径为4,线段CO的长为2 4 2(=旧W 方法技巧I.求与圆有关的迹问题的四种方法直接法定义法当 题 目 条 件 中 含 有 与 该 点 有 关 的 等 式时，可 设 出 该 点 的 坐 标，用 坐 标 表 示 等式，直 接 求 解 轨 迹 方 程首 藏 百 藤 祥 存 各 f f l逐 莞 义 一 时二可 直 夏 新用 定 义 确 定 其 圆 心 和 半 径，写 出 圆 的 方程几 何 法 一;利 用 圆 的 几 何 性 质，得 出 方 程 的 方 法代入法当 题 目 条 件 中 已 知 某 动 点 的 轨 迹 方 程，而 要 求 的 点 与 该 动 点 有 关 时，常 找 出 要求 的 点 与 已 知 点 的 关 系，代 入 已 知 点 满足 的 关 系 式 求 轨 迹 方 程2.求与圆有关的轨迹问题的相关步骤建 系,建 立 适 当 的 坐 标 系，设 曲 线 上 任 一 点 坐设点，标A4(z,y)写集合写 出 满 足 符 合 条 件P的 点M的 集 合M|P(M)列 式 一;用 坐 标 表 示P(M),列 出 方 程/(1,=0:化 简 化 方 程/(z )=0为最简形式-石 明 以 花 褚 片 面 痛%勺廨务至标话点:瓢证 明 ：-:是曲线上的点H跟踪训练2已知 R IZSA4 C 的斜边为 A 3,且 A(一|,0),8(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边B C的中点M的轨迹方程.解：(1)方法一：设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以yKO.因为A C L 8 C,所以3 c任。=一1，又=#?即 产 官 化简得/-2 r 3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为.炉十炉一2 1：-3=0(3，工0).方法二：设A 8的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知|。)|=暴3|=2.由圆的定义知，动点。的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(*-1)2+_/=4(y#0).(2)设 M(x,y),C(x0,yo)，因为8(3,0),M是线段8 C的中点，由中点坐标公式得x=/3,尸 所以 KO=2L3,y0=2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x-l)2+y2=4()K0),将即=2丫-3,yo=2y 代入得(2 x4)2+(2 y=4,即(x-2)2+f=l.因此动点M的轨迹方程为(x2)2+)2=l()，W0).考点三与圆有关的最值问题角度1借助几何性质求最值的问题典例图已知实数x,y满足方程F+尸-4 x+l=0,则的最大值为5 ;y x的最大值和最小值分别为-2+小，2 76F+产的最大值和最小值分别为7+4切，7-45 .解析：原方程可化为(x-2)2+9=3,表示以(2.0)为圆心，小 为半径的圆.代的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以避=&,即y=心.当直线=h与圆相切时(如图)，斜率*取最大值或最小值，此时笔用=$解得k=V5.lk2+1所以:的最大值为5.y-x可看作是直线y=x+b在)，轴上的截距.如图所示，当直线y=x+/与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时 签 ”=5，解得b=-2 y,所以y-x的最大值为一2+小，最小值为一2一班.方 法-：/+尸 表 示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2.所以9+炉的最大值是(2+5户=7+4 5，/+产的最小值是(2一5)2=7W 1方法二：由 f+)。-4 1+1 =0,得(x2)2+)3=3.|=2+J 5COS6,叫(。为参数卜l.y=5 si n G则/+)?=(2+小 :(阴2+(小5抽 砂2=7+W5c os0.所以当 COS6=1 时，当 COSg=l 时，(/+)2)m a x=7+4巾.角度2建立函数关系求最值的问题-A 2 0 1 9厦门模拟)设点P(x,y)是圆：/+U-3)2=1上的动点，定点4 2,0),8(-2,0),则用而的最大值为1 2一.解析：由题意，知扇=(2一 筋-y),而=(一2一1，-y),所以孩 而4,由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程/+什-3)2=1,故炉=一。-3)2+1,所以后而=一 ，-3)2+1 +2 4=6)，-1 2.易知2 W y W 4,所以，当)=4时，R前的值最大，最大值为6X4-1 2=1 2./方 法技巧求解与圆有关的最值问题的方法(I)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助教形结合思想求解.V-/)形 如 与 形 式 的 最 值 问 题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题；再如f=a t+力彩式的最值问题，可转化为动直线疲距的最值问题或转化为线性规划问题；形如(1一/2 +。一。)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.W跟踪训练3(1)已知圆G：。-2)2+。，-3)2=1,圆 C2：。-3)2+。-4)2=9,M,N 分别是圆G，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则IPM+IPM的最小值为(A)A.524 B.y l 1 C.6 22 D.y l解析：圆 G：析-2)2+3 3)2=1的圆心为G(2,3),半径n=1；圆 C2：析-3)2+84)2=9的圆心为C2(3,4),半径也=3.设圆心C i关于x 轴的对称点为A(2,3),连接AC?与 x 轴交于点P,则IPGl+GCzIT网+|P Q I=d(3 2)2+(4+3)2=M，此时x 轴上的动点P 到两圆心的距离之和最小，.|PM|+|HV|的最小值为|E4|+|PGI一门一/2=5，54.(2)设点P(x,y)是圆：(x-3)2+V=4 上的动点，定点A(0,2),8(0,-2),则|R+花|的最大值为及解析：由题意，知抄1=(一芭2-)，)，P B=(-x,-2-y),所以信+法=(2x,-2y),由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x-3+炉=4,故/=一(x3/+4,易 知 1WXW 5,所以，当x=5 时，|出+P目的值最大，最大值为246 X55=10.真题模拟演练1.(2016.全国卷II)圆人 2+32-2工 一 8厂H 3=0 的圆心到直线以+厂 1=0 的距离为1,则 a=(A)43A.-JB.一 工C.小D.2la+4 11解析：圆的方程可化为a l)2+G-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线a i+y-l=o 的距离为1-1三十=1,解得a=中 +14-J,故选A.2.(2015全国卷I)一个圆经过椭圆微+亨=1 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为。一 分+产25T 解析：由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点4(4,0)、8(0,2)、C(0,-2).易知线段AS的垂直平分线的方程为法一,，-3=0,令尸 0,得 尸 点 所以圆心坐标为(|，0),则半径r=4 一|=去 所以该圆的标准方程为(L分+产 竽.3.(2 0 1 8 全国卷I I)设抛物线C 9=4 尤的焦点为凡 过户且斜率为&伙 0)的直线，与。交于A,8两点，A B =S.求，的方程；(2)求过点A,8且与C的准线相切的圆的方程.解：由题意得尸(1,0),/的方程为产的一 l)(Q 0).设4不，x),3(x 2，竺)，力=&。-1),由1 ,l/=4 x得炉好QR+4)X+产=0.2 K+4/=1 6 攵 2 +1 6 0 故 X|+电=-p-.4 F+4所以|A 5|=|A/n +|8/n=(X i+l)+(X 2+l)=H.4 公+4由题设知=8,解得2=1(舍去)，&=1.因此/的方程为)，=%1.(2)由(1)得A 3 的中点坐标为(3,2),所以A 8 的垂直平分线方程为厂-2=一(十 一 3),即)，=r+5.设所求圆的圆心坐标为(沏，比)，则)。=_ 沏+5,/,1 a (M L X o+l)：(沏+1)2 +1 6.解得f 即=3,或(x0=1 1,l y o=2 l,y0=-6.因此所求圆的方程为 8-3)2+()，-2)2=1 6 或(*-1 1)2+()，+6)2=1 44.第4 节 直线与圆、圆与圆的位置关系考纲考情考向预测1 .能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.4.初步了解用代数方法处理儿何问题的思想.从近三年高考情况来看，本节为高考的热点.预测2 0 2 0 年高考将考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断：根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.课堂探究考点突破d考点一直线与圆的位置关系幽切11(1)直线/：z n x y+1 1=0 与圆C：jr+(y )2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析：法一：由，mx-y-1 m=0,f+C y 1)2=5,消去 y,整理得(1 +产 2 m2x+r r r5=0,因为 d=1 6 而+2 0 0,所以直线/与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到宜线/的距离4=p l viv#.故直线/与圆相交.山 产+1法三：直线,:点一)，+1 一机=0 过定点(1,1),因为点(1,1)在圆炉+()，-1)2=5的内部，所以直线/与圆相交.(H(2)过定点P(2.0)的直线/与曲线C：(L2)2+)2=4(0 )交于不同的两点，则直线/的斜率的取值范围是U盖 李)解析：易知曲线C(门 户+产 地 力 冏 表 示 的 是 以 C(2,0)为圆心，以 2为半径的圆的多 其中两个端点为4 3,5),8(3,-/5).当直线与曲线C相切时，设直线方程为y=M x+2),即h一y+2 2=0,得 谓/=2,解得女=尊.又左用=乎,即8=一坐，所以直线/的斜率的取值范围是(一 点，乎 U 乎，田).w方法技巧1.判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与/的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用/判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.提醒：上述方法中最常用的是几何法.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.(1)(2 0 1 9 湖北七市联考)己知圆C：(犬 一 1)2+2=产(/0),设条件p：0 r ，+3=0的距离d=/3=2,至多有2 点到直线的距离为1 时，0 r 3；反之也成立，故选C.(2)(2 0 1 9福建漳州八校联考)已知点P(a,与(HH0)是圆/+9=八内的一点，直线m是以P 为中点的弦所在的直线，直线/的方程为好+刀=户，那么(C)A.m/L且/与圆相交B.m L l,且/与圆相切C.m/L且/与圆相离D.m i l,且/与圆相离解析：点P 3,6)(而#0)在圆内，岸+=r,y(r+tr r且/与圆相离，故选C.考 点 二 圆与圆的位置关系(1)已知圆 CI：(At z)2+(v-|-2)2=4 与圆。2：(刀+%)2+(_ 丫+2)2=1 外切，则 a b 的最大值为(C普3B.2D.2 5解析：由圆G 与圆。2 外切,可 (。+8)2+(2+2 尸=2+1 =3,即(a+b)2=9,根据基本不等式可知的W(粤 )2 号，当 且 仅 当 时 等 号 成 立,9ab的最大值为*(2)已知M,N 是圆A：+产 一 女=。与 圆&/+2x-4y=0的公共点，则 BMN的面积为*(r+炉一2 x=0,1-1 2 1解析：由题意可知，联立，可得直线M N 的方程为X)，=0,所以3(1,2)到直线M N 的距离为l?4-/+2 -4 y=0,2=手，线段M N 的长度为H(的 (平)2=小，所以 BMN的面积为:乂 义小=?.【条件探究1】将本典例(1)中的“外切”变 为“内切”，试求时的最大值.解：由G 与。2 内切得我(“+32 +(2 +2)2=1.即(a+b)2=l,又(皇)2=?当 且 仅 当 时 等 号 成 立，故 的最大值为【条件探究2)将本典例(1)中的条件“外切”变 为“若两圆有四条公切线”，判断直线*+)，-1=0与圆(工一4 2+。一加2=1的位置关系.解：由两圆存在四条公切线，知两圆外离，、(a+b)2+(2+2 产 3,所以 5+。)2 9.即 a+3 或。+一3.又圆心(。，)到直线x+厂 1 =0的距离d=1,所以直线x+y1=0 与圆(xa)2+(j。)2=1 相离.【条件探究3】若将本典例(1)中的条件“外切”变 为“相交”，求公共弦所在的直线方程.解：由题意把圆G，圆 C2 的方程都化为一般方程，得圆 G：/+y2-2 a t+4 y+a 2=0,圆Q：炉+产+2 纵+4 y+3=0,由一得(为+2 垃1+3+/一“2=0,即(2+2加+3+护一2=0为所求公共弦所在的直线方程.J方法技巧1.判断两圆位置.关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.2.两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题.拓展：圆系方程过圆 G：f+)2+D|x+E i y+F=0 和圆 G：/+)。+2 1+&，+尸2=。交点的圆系方程为力。2+2+)刀+1_丫+尸1)+(/+，+。K+尸2)=0(九 不 同时为零).当2=0时，方程表示圆Q；当=0时，方程表示圆G.M跟踪训练2(1)(2 0 1 6 山东卷)已知圆M：1+)2 2 a y=0(a 0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 6，则圆M与圆N：(.l l)2+(y=1的位置关系是(B )A.内切B.相交C.外切D.相离f +y2-2 y=0,解析：法一：由L v+y=0,得两交点为(0,0),(a,a).圆M截直线所得线段长度为26，：.y la2-(-a)2=2 y 2.又。0,，a=2.圆 M 的方程为 A +y2-4?=0,即 r+(y 2 =4,圆心M(0 2)，半径为=2.又圆 M(工-1)2+。，-1)2=1,圆心 MM)，半径 A=l，；MN =y l(0 1)2+(2-y=y 2.一 厂2=1，I+2=3,1 V|M N V 3,两圆相交.法二：由题知圆M：+(y-a)2=a2(aQ),圆心(0,0到直线x+y=0的距离所 以 公 卜 一 生=2巾,解得a=2,圆M,圆N的圆心 距 两 圆 半 径 之 差 为1,故两圆相交.(2)(2 0 1 9 重庆调研)如果圆C：炉+尸一2 a L 2 y+2 a 2 4=0与 圆O：x2+y2=4总相交，那么实数a的取值范围是(一2、回，0)U (0,2 7 2).解析：圆C的标准方程为(x 4)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2.依题意得0 1标+居 2+2,：.0 a/5解析：记 圆。与 y 轴的两个交点分别是A,B,由圆心。到，轴的距离为1,|CA|=|CB|=S可知，圆心。(1,2)到直线2x-y+b=0 的距离也等于1才符合题意，于是 吆 呆 土 a=1,解得b=V l角 度 2 切线问题*-二-已知点 P(小+1,2 6)，点 M(3,l),圆 C：(x-l)2+(y-2)2=4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求 过 点 的 圆。的切线方程，并求出切线长.解：由题意得圆心C(l,2),半径r=2.(1)V(V5+1-I)2 4-(2-7