直线与方程-2018年高考数学（理）之高频考点（解析版）.pdf

解密17 直线与方程承解雷高考高考考点命题分析三年高考探源考查频率直线方程从近三年高考情况来看，对于直线的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程，平行、垂直的判定；三是以两直线的交点坐标为背景，与其他知识相结合，求直线方程、面积、距离公式以及中心对称与轴对称的求解，需熟练掌握基础知识和公式的变形，本节知识很少单独考查，常与其他知识相结合，解题时充分利用分类讨论、数形结合的思想，掌握概念，熟记公式，对于两条直线平行、垂直的判定以及对称问题是训练的重点.2017新课标全国I 14,202017新课标全国n 52017新课标全国III 13,202016新课标全国I 162016新课标全国H 202016新课标全国III 132015新课标全国I 20 直线的位置关系2017新课标全国I 102017新课标全国II 202016新课标全国I 202016新课标全国in 16,202015新课标全国II 20 态 对 点解噂考点1直线方程题组一直线的倾斜角与斜率调 研1若点P是函数兀0=炉-e*3x的图象上任意一点，设在点P处切线的倾斜角为a,则 的取值范围是.【答案】0,心,火)【解析】由导数的几何意义可知，函数y=/(x)=e e-*3 x的图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值，而了=6+b 一3之 23=-1,当且仅当x=0 时等号成立，即tanaN-l.因为a d O,兀），所以倾斜角a 的范围为（0,心,K）.题组二直线的方程调研2若点（加，）在直线4x+3y10=0上，则 J+/的最小值是A.2B.2吸C.4D.2小【答案】C【解析】解法一：.,点（加，）在直线4x+3y10=0上，.4?+3”-10=0.欲 求m2+n2的 最 小 值 可 先 求+（一0）2 的最小值,而J（.-0）2+（“-0）2 表 示 4?+3-1 0 =0上的点（加，）到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4刃+3-10=0垂直时，原点到点（加，）的距离的最小值为2.,.m2+n2的最小值为4.解法二：由题意知点（加，）为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于/R，0）,8（0,芋）,直角三角形0/8 中,=5-2?二，斜边/8=25斜边上的高h即为所求步+“2的算术平方根.5 10-x.1 1 OA OB 2 3、SAOAB=A O B=5 4 B h，=25-=2,6：.m2+n2的最小值为力 2=4.运 产 富 二运:小，。霜.，.*:嗨。运一篇运 ，瑞.S ，丁技巧点拨1.解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.2.求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况.运+产 母 二 运.，。看.y 运 :嗨。运*。冬.。曙.敲考点2直线的位置关系题组一垂直与平行的判定调 研 1设“C R,则=1”是“直 线 依+了-1=0 与直线元+取+5=0 平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】Aa2-1=0【解析】直线办+y1=0 与直线x+即+5=0 平行的充要条件为,八 即=1,故。=一 1 是两直线平行的充分不必要条件.故选A.调a 研 2如果直线Q+5)x+(a2 +4=0 与直线(2a)x+(a+3)y1 =0 互相垂直，则 a=A.2B.-2C.2,-2 D.2,0,-2【答案】C 解析】由题.意可知(2Q+5)(24)+(42m+3)=(2Q(2a+5)(a+3)=(42)(a+2)=0.解得a=2,故选C.运.:缰晨 运.富.运 J。.盘二 :飕运。.。.运 一。.冬技巧点拨由两直线平行或垂直求参数的值在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.笈*二运。.意。.运 J。*.二运 :腱%运。运 J。.题组二距离问题调研3若 动 点 8 分别在直线6x+y7=0 和 b：x+y5=0 上移动，则Z 8 的中点A/到原点的距离的最小值为A.3啦 B.2啦C.3小 D.4啦【答案】A【解析】依题意知1 8 的中点M 的集合是与直线八：x+y7=0 和x+y-5=0 的距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点A/所在直线的方程为/：x+y+?=0,根据平行线间的距离公式得也覆=上普 U|w +7尸 制+5|=机=一6,即/：x+厂 6=0,根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为寻=3 4 1运 1%*。醒 J。*.假*.鬻 冬:嗨。运一 霜 冬。霜.,技巧点拨在运用两平行直线间的距离公式：I c-C2 Il 时,一定要注意将两方程中x,y 的系数化为相同的形式.运 产 篇 晨 运.*ag.-：.事 产 寒。运*。运.。霜.题组三对称问题调研4已知点P(3,2)与点。(1,4)关于直线/对称，则直线/的方程为A.x y+l=0 B.x y=QC.x+y+l=0 D.x+y=0【答案】A【解析】由题意知直线/与直线尸0 垂直，直线尸。的斜率而0=1,所以直线/的斜率左=一上=1.又直线/经过尸。的中点(2,3),所以直线/的方程为y3=x2,即xy+l=0.运、运富。.运.。培.W S 尸 章%.*.技巧点拨对于对称问题，要分清是轴对称还是中心对称，解决的根本办法是转化为点与点之间的对称，利用坐标转移法.运 产富运 运:嗨：:嗨。运一篇运 ，母.-*.0,直线仅2 +1卜+少+2 =0与直线 1 =0互相垂直，则a b的最小值为A.1B.2C.2 7 2 D.2G【答案】B【解析】由题知，b 0,且两条直线的斜率存在，因为直线仅2+I)X+2=0与直线x-y-l =O互相垂直，互相垂直，所以(N+D a/=0,ab=b+-2,当且仅当b=l 时取等号.b故选B.7.(安徽省皖南八校2 0 1 8 届高三第二次(1 2 月)联考)已知直线/平分圆。：x 2+歹 2-6*+6 歹+2 =0的周长，且直线/不经过第三象限，则直线/的倾斜角6的取值范围为A.90。,1 3 5。B.90 0,1 2 0 C.6 0,1 3 5 D.90,1 5 0【答案】A【解析】圆。:/+7 2-6+6 _)；+2 =0的标准方程为(x 3)2+(少+3)2 =16,故直线/过圆C的圆心(3,-3),因为直线/不经过第三象限，结合图象可知，t a n GW-l,G90135,故选A.8.(贵州省遵义市2 0 1 8 届高三上学期第二次联考)数学家欧拉在1 7 6 5 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知 Z 8 C 的顶点4(2,0),5(0,4),A C =B C,则 Z 8 C 的欧拉线方程为A.2 x+y 3 =0 B.2 x y +3 =0C.x-2 y-3 =0 D.x-2 y +3 =0【答案】D【解析】线段A B的中点为A/(l,2),3-2,二.线段A B的垂直平分线为：y -2T U-1)，即 x-2 尸3=0 .AC=BC,的外心、重心、垂心 都 位 于 线 段 的 垂 直 平 分 线 上，因此 的欧拉线的方程为：x-2 1-3=0.故 选 D.【名师点睛】本题考查了欧拉线方程的概念，等腰三角形的性质，三角形的外心、重心、垂心的性质，考查了推理能力与计算能力，本题解题的关键是利用好欧拉线的几何性质实现几何问题的代数化.9.（2018届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试）设点Z（1,O）,3（2,1）,若直线ax+力-1 =0与线段Z 8有一个公共点，则/+b2的最小值为,【答案】-51解析】因为直线a x+E =l与线段4 3有一个公共点，所以点J（l 0）=5（2,l）在直线ax+by=1的两侧，a 1K 0所以(1)3+1)4 0,即 2 _后0a-l 0at v2 a+b-l 点N（x,刃的坐标满足 y-xWl,则|而 冈的最小值为.2x+y 2【答案】也4 s 5x +”1【解析】画 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域 如 下 图 中 阴 影 部 分 所 示.2x+y 2由题意得|MN|=J(x-2)2+(y-l)2表示定点M(2,1)与可行域内的点N(x,y)之间的距离.由图形得，点”(2,1)到直线2 x +y 2 =0的距离即为所求.由点到直线的距离公式可得所求最小值为d=%2 +1-2|=述.急真题再现x+2y 1,1.(2 0 1 7新课标全国卷I理 科)设x,y满足约束条件 2 x +yZ 1,则z =3x 2 y的 最 小 值 为.x-yb0)四点P (1,1),尸 2(0，7,P3(1,a-bP 4(1，)中恰有三点在椭圆c上.2 2(1)求 C的方程；(2)设直线/不经过尸2 点且与C相交于4,8 两点.若直线尸2 4 与直线尸2 的斜率的和为-1,证明：/过定点.【答案】(1)3r2+/=；见解析.4【解析】(1)由于月，月两点关于 轴对称，故由题设知C经过月，月两点.又由知，C不经过点巧，所以点2在。上.cr b a*4d*因此 解得,la*+_ L=i,k=1-收故。的方程为1+炉=1.4(2)设直线尸2/与 直 线 的 斜 率 分 别 为 左，用，J d-t2如果/与X轴垂直，设/：X=z,II 题设知且|Z|v 2,可得4 5 的坐标分别为（,二1 L），（/，1 4-2则占+4,=亚 三 工 一 亚 三 E =1 ,得，=2,不符合题设.2t 2t2从而可设/：y=kx+m（?=1 ）.将y=丘+加代入?+/=1得（4人 2 +I）X2+8kmx+4/772 4=0 由题设可知=16（4*-加2 +1）0设 力（X ,V）,B（工2，丁2），5i y X i+x2=-;-，XXr=-A-4k+1 4%+1而占 +&=+2 T*%kx2+m-lX1 X22kx%+（加-1）（演 +x2）玉 工 2由题设尢+左 2 =-1，故（21+1）石2 +（加 一 1）（%+工2）=0.即（2k+1）4m2-4 /、-8km.w 十 （加 1）-w-=0.4标+1 /45+1？+1解得左二-2当且仅当?一1 时 A 0,于是/：y=1 x+,即 y+1 =-%-2）,所以/过定点（2,-1）.3.（2015新课标全国卷I 理科）已知椭圆心9+/=，（心 0）,直线/不过原点o 且不平行于坐标轴，/与 C有两个交点4 5 线 段 的 中 点 为M.（1）证明：直 线 的 斜 率 与/的 斜 率 的 乘 积 为 定 值；（2）若/过点（,/）,延长线段OM与 C 交于点P 四边形O/P 8能否为平行四边形？若能，求此时/的3斜率；若不能，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当/的斜率为4-J 7 或 4+J 7 时，四 边 形 为 平 行 四 边 形.解析（1）设直线5区+网寻0,岸0）,Z （冷 乂）,3（冷 弘）,M（4）.将）=kx-b代入得体-9R-2行x-核一加=0,故A_ 甬 +W _ kb2-F+9,1 9b%=k+b=户于是直线O M的斜率koxt=2,即kos/k=-9.XM k所以直线OM的斜率与1的斜率的乘积为定值.（2）四边形0 4Ps能为平行四边形.因为直线/过点（,?”），3所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是40 3.由（D得。M的方程为尸一2工k设点尸的横坐标为X/由y =k工 得=勺2，即xp9X2+y2=m2 9k+81Jon3乖+9将点（二,洲）的坐标代入/的方程得A*无），因此X.”7,四边形0.4PB为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 与 线 段0 P互相平分即=2x”ikfn k（k 3）m于是砺而可解得因为辰 0,标3尸1,2,所以当/的斜率为4-五 或4-时,四边形O A P B为平行四边形一【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查考生的计算能力和逻辑推理能力.解析几何是高考的重点、难点和热点，尤其是解析几何中的计算较难，现在的高考特别提出“多考想，少考算：可见，高考更突出考查考生分析、推理、转化的数学逻辑思维能力，而避免繁杂、冗长的运算，简化计算也就成了处理这类问题的难点与关键.常见的技巧有：数形结合，设而不求，点差法等.所 谓 梦 想大 瞰 就 呈G论 如 何 我 四 个 字