江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含解析.pdf

江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷学校:姓名：班级：考号：A.2x+y=0 B.C.2 x-y =0 D.2.在等差数列 q 中，已知前21项 和%=63,A.7 B.9 C.2 2 2 23.椭 圆 工+上=1与=1（0 右9）的一、单选题1.直线/经过原点，且经过另两条直线2 x+3 y-l=0,x-4 y-6 =0 的交点，则直线/的方 程 为()x+2y=0 x-2 y=0贝 -的 值 为()21D.42()A.长轴的长相等B.短轴的长相等C.离心率相等D.焦距相等4.若两条直线(m+2)x+(，-3 m)y+4 =0和x+2(m-3)y+l=0 互相平行，则加的值为()A.3 B.T 或 4 C.3 或7 D.3 或 45.设直线/与x 轴、y 轴分别交于点4 B,与圆C：f +V=l相切于点P,且尸位于第一象限，。为坐标原点，则 的 面 积 的 最 小 值 为()A.1 B C.72 D.222 26.已知双曲线1r-为=1(。0力0)的一条渐近线过点(2,6),且双曲线的一个焦点在抛物线尸=4疗 x 的准线上，则双曲线的方程为2 1 2 82 8 2 17.若直线/：y=x+。与曲线y=有两个交点，则实数分的取值范围是（）b-2j2b2y2B.b2b2y2C.b2,b b 0)的右a b顶点和右焦点，过坐标原点0的直线交椭圆C于 P,Q两点，线段AP的中点为M,若Q,F,M 三点共线，则椭圆C的 离 心 率 为.1 4 .己知数列“满足a+2=一W+),且/=1,0 2=2,则数列 的前2 0 1 7项的和为_ _ _ _ _ _ _1 5 .已知向量1=(,且)，方OB=a+b，若AO A B是以O为直角顶点的等腰直2 2角三角形，则山的面积为.四、双空题1 6.已知抛物线丁=2 力(0 0)的焦点为*1,0),过点F的直线交抛物线于A,B 两点，且2 而=-3 而，则 抛 物 线 的 准 线 方 程 为；怛日的值为.五、解答题1 7.已知。是公差不为零的等差数列，牛=1 7,a a2,w成等比数列.(1)求数列 的通项公式；将数列仞 与 3 的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为 6 ,求数列 加 的前n项和Sn.1 8 .求满足下列条件的圆的标准方程.圆心在x 轴上，半径为5,且过点4（2,-3）；经过点A（Y,-5）、B（6,-l）,且以线段45为直径：（3）圆心在直线产-2%上，且与直线尸1-x相切于点（2,-1）；（4）圆心在直线 x-2 y-3=0 上，且过点 A（2,-3）,B（-2,-5）.1 9.若两条相交直线4 ,/2的倾斜角分别为4 ,%,斜率均存在，分别为占，与，且K/h 0，若4,4 满足（从口4+2=1;口4,4 两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：匕,。满足的关系式;若 4，4 交点坐标为尸（U），同时4过 A（。，2）,4 过 3（2,。），在（1）的条件下，求出“，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线4 上的一点向右平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，仍在该直线上，求实数。，匕的值.20 .已知一直线经过点（1,2）,并且与点（2,3）和（0,-5）的距离相等，求此直线的方程.21.已知抛物线C的顶点在坐标原点。，对称轴为x 轴，焦点为尸，抛物线上一点A的横坐标为2,KFA.OA=16.（1）求抛物线的方程；过点”（8,0）作直线/交抛物线于8,C两点，设 8（西方）,以孙必），判 断 丽.觉 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.2 22 2 .己知椭圆C：二+4 =1 （a60）的焦点坐标为（6,0）,长轴长是短轴长的2a b倍.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线/不过点（）/）且与椭圆C交于AB两点，从下面口口中选取一个作为条件，证明另一个成立.直线2 4、P 8的 斜 率 分 别 为&2,则92=1；口直线/过定点（0,告参考答案:1.B【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.f2x+3y-l=0 x=2【详解】联立方程)N 八，解得：fx-4 y-6 =0 y=-l所以两直线的交点为(2,-1),所以直线的斜率为三W=-，则直线/的方程为：y=x,即x+2y=0.故选：B2.C【解析】利用等差数列的前项和公式可得4+%=6,即可得知=3,再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列 为 的公差为，则S21=63,所以q+/i=6,即2%=6,所以4 =3,所以 a2+a5+/H-=(%+。20)+(。5 +47)+(4 +44)+。“=2q +2q +2q +q =7%=7x3=21,故选：c【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出4+%=6,进而得出为=3,%+%+48+。20=(%+%0)+(。5 +。1 7 )+(%+=7。”即可求解.3.D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的d,由此确定正确选项.【详解】椭圆上+丫 =1与一+=1 (0VM9)的焦点分别在x 轴和y 轴上，25 9 9-k 2 5-k前者。2=25,b2=9,则。2=1 6,后者/=2 5 左，b2=9-kf 则/=1 6.显然只有D 正确.故选：D4.C【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程(不等式)组，解得即可；【详解】解：因为直线(加+2口+(机2-3,)，+4=0和x+2(?-3)y +l =0互相平行，2(Z-3)(M J+2)=1X(?2-3?)所以 八 I ,解得山=3或切=Y；1 x+2)W 1 x 4故选：C5.A【分析】根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标4。,0),B(0力)，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出MN2,代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值.【详解】依题意，设A(a,0),8(0,力，直线/与圆(7:/+丫2=1相切于点2 P位于第一象限则直线过一、二、四象限，即a 0,b 0,则直线方程为二+；=1,化简得法+砂出,a b直线与圆相切,故圆心到直线的距离d=abyja2+b2Ja2+b2=ab d 2ab，Q a b 2,当且仅当“=b=0时等号成立.SN O B=g必2 1即三角形面积最小值为1故选：A.【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型.6.D【详解】试题分析：双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 是 尸 则 向 争，抛 物 线 岳 的 准a=2线是i因此c=,即/+6=0 2=7 口，由口联立 解 得 b G，所以双曲线方程为 反-片=1.故选D.4 3考点：双曲线的标准方程.7.C【分析】求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得到答案；(详解】化简方程y=5/4 7 可得x2+/=4()，0),方程W+y2=4(),2 0)对应的曲线为以(0,0)为圆心，以2 为半径的圆在X轴上方的部分(含点(2,0),(-2,0)；当直线y=x+与半圆相切时，2=号，b0,所以6=2及，当直线过点(-2,0)时，b=2,所以实数6 的取值范围为 2,2血卜故选：C.8.B【分析】设 P(x,y),轨 迹 而 _L而 可 得点尸的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点P(x,y),则r +V=4,且 衣=(x+3,y),B 户=(x,y-4),由 得AP-BP=x(x+3)+y(y 4)=x2+y2+3x-4y=0,即(x+|+(y-2)2 咛，故点P 的轨迹为一个圆心为(-：3,2)、半径为5g 的圆，2 2则两圆的圆心距为1，半径和为。+2=3,半径差为。-2 =:，2 2 2 2 21 S 9有所以两圆相交，满足这样的点P 有 2 个.故选：B.9.CD【分析】由直线的两点式方程可判断A,利用直线的截距式方程可判断B,由二元二次方程表示圆的条件可判断C,利用直线和圆的位置关系可判断D.【详解】对于A,由当为=或)，|=当 时，过(,%),(%,方)两点的直线方程不能表示为y r y=7 T 7 故A错误;对于B,经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程还有y=2x,故 B 错误;对于C,若方程V+y 2-2 x+2 y-，”=0 表示圆，贝 I(-2)?+2?4(-5)0 即切 一2,故 C 正确;对于D,圆/+V=4 的圆心为原点(0,0),半径为2,圆心到到直线/:x-y +&=0 的距离为1=则圆f+丁=4 上 有 且 只 有 三 点 到 直 线-y+&=0 的距离都等于1,故 D正确.故选：CD.10.BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A,联立直线与抛物线方程，消元，由 =()判断B,设点尸(x,y),表示出|P M/，根据二次函数的性质判断C,根 据 抛 物 线 的 定 义 转 化 求 出 的 周 长 的 最 小 值，即可判断D.【详解】解：抛物线C：y=即-=4 y,所以焦点坐标为尸(0/)，准线方程为y =-l,故A错误；V=LX2由1 K ,BPX2-4X+4=0,解得 A=(T)2-4X4=0,所以直线 y =x-l 与 C 相切，故 By =x-l正确；设点 P(x ),所以|P M=f+(y-4)2 =y 2-4 y+1 6 =(y-2)2+1 2 2 1 2,如图过点尸作P N入准线，交于点N,|N =|P耳，目3+(5 _炉=5,所以=|尸|+1 网 +1 尸石=|历 尸|+1网+1 尸|2|防1+|M?V|=5 +6 =1 1 ,当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：B C D1 1.A C D【分析】根据椭圆的方程求得。，d C的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆c q +.l,可得a=g,b =g,c =1，根据椭圆的定义，可得归用+归图=2 =2 6，所以A 正确；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为e=3,所以B 不正确；a 3由椭圆的几何性质，可得邑,*法最大值为S 段 x6=；x 2 x&=V ,所以C 正确;因为以耳心为直径的圆的方程为一+丁=1,x2+y2=i联 立 方 程 组 12 y2-F -=13 2整理得好=_ 3,即方程组无解,所以以点尸为直角顶点的P 6 E 不存在;过 K 作x 的垂线，交椭圆C 于 2 两点，此时可得直角AIF B和 4巴耳行；过 K 作x 的垂线，交椭圆C 于4 巴两点，此时可得直角G E E和A巴 耳 在 2,综上可得，椭圆上有且仅有4 个点使得 耳鸟为直角三角形，所以D 正确.故选：ACD.12.ABD【分析】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A：点A在圆C 上，口/+。2 =/，/、|0 xa+0 x/-r2|lr2|圆心C（0,0）到直线/的距离为d=J/-=-7 1，-=r,y/a2+b2 la2+b2口直线与圆C 相切，故 A 选项正确；对于选项B：点A在圆C 内，,用+匕2-/-2|r2|口圆心C（0,0）到直线/的距离为d=一,=.1 1 r,la2+b2 yja2+b2口直线与圆C 相离，故 B 选项正确;对于选项C：点A在圆C 外，/+从/，圆心C(0,0)到直线/的距离为4=叱 十 06=曰 -,-2|lr2|圆心C(0,0)到直线/的距离为=J 一/.一.I=r,y/a2+b2 y/a2+b2 直线与圆C 相切，故 D 选项正确.故选：ABD.13.-3AM AF【分析】设点B 为椭圆的左顶点，由题得大=百 二，化简即得解.BQ B卜【详解】设点B 为椭圆的左顶点，由题意知AM B Q,且 A M=BQ,A M AF 1 a-c=,贝 ij-=-BQ BF“2 Q+C求得a=3 c,即 e=g.故答案为g【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.1【分析】推导出数列的周期为4,再求和即可W1 an+2=an,an+A=-an+2=an,则数列周期为 4,又%=-1,4=a2=-2,。|+%+%+/=0则 2017 项的和为504x（4+%+4+）+4=1故答案为1【点睛】本题考查数列求值，准确推得周期是关键，是基础题1 5.1【分析】根据向量的垂直推出同=|同=1,继而求得|砺|=|丽|=四，再根据三角形面积公式求得答案.【详解】由题意，得同=1,又是以。为直角顶点的等腰直角三角形，所 以 为，砺，OA=OB,由 得(a 囱.(a+B)=a b=0 所以同=|同=1,OAOBa-b1=a+b,故忖-5/=|+方/，所以&石=0 ,所以K+W=W+IW=2,所以|西|=|而|=应，所以Sm8=X0 x&=l,故答案为：131 6.x =1 2【分析】根据焦点坐标可得与=1，求得。的值即可求解；由已知条件可得|而=2|丽取 的中点为C,分别过点A,C,F,8作准线的垂线，设|a V|=r,则|4 W|=2 r,根据抛物线的定义以及梯形中位线的性质即可求解.【详解】抛物线/=2乎(。0)的焦点为尸(1,0),则曰=1,P =2,所以抛物线方程为V=4x,准线为x =-l.如图取A F 的中点为C,分别过点A ,C,F,8 作准线的垂线，垂足分别为V,Q，P,N .由2 而=-3 包可知|而|=2|而由抛物线的定义可得:M=|A F|,|B2V|=|B F|,所以|A M|=2 忸N|.设忸N|=r,则 1 4 M =2 f,又 附=2,2 PF=BN+CQ,所以|C =4T,又|产|+|A M|=2|C Q|,即 2+2/=2（4T）,a3解得f=;,所以忸同=.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据|通|=2|而|以及|尸目=2 结合抛物线的定义、梯形中位线的性质列方程.1 7.(1)。=4 39 S“、(9 fO【分析】(1)由%=1 7 及4,%，生成等差数列建立等式求解即可;(2)根据条件求出数列 =3 2 =9 ,再求和即可.(1)设等差数列的公差为4,存0,q+4 1 =1 7,由条件得/(.(q+d)=q(q+6 d),所以数列。的通项公式为an=4 n3.(2)设 4-3=3 加，则 ra-3，+3-(4 7)+3 =4”-44”-1.(-1 厂七丁4 +(-1)”：+3 ,4 4 4当羽=2 鼠 W N*时，(一 1 ：+3=4,所以WN*,当加=2 左 一 1,6 E1N*时，(-1)机C,：+3=2,所以6N*,所以=3 2 =9,所以S.=3 (9 J).1-9 81 8.(x+2)?+y 2=2 5或(x-6)?+y 2 =2 5(x-疗+(y+3)2 =2 9 g y+(y+2)2=2(4)(X+1)2+(3；+2)2=10【分析】利用待定系数法分别求出(1)、(2)、(3)、(4)的圆的标准方程.(1)设圆的标准方程为(x-a)2 +y 2 =2 5.因为点A(2,-3)在圆上，所以(2-4+(-3)2=2 5,解得=-2或 方 6,所以所求圆的标准方程为(x+2 y +V=25 或(x-6)2 +V=2 5.(2)设圆的标准方程为(x a)2+(y-b)2 =/(r 0),由题意得=三2=1,=翠=-3；又因为点(6,-1)在圆上，所以户=(6 i y+(-l+3)2=2 9.所以所求圆的标准方程为(x-i y+(y +3)2=2 9.(3)设圆心为(a,-2a).因为圆与直线产1-x相切于点(2,-1),所以pz 2 cl-1|#+产y/(a-2)2+(-2 a+lf,解得“=1.所以所求圆的圆心为(卜2),半径厂=(1_2)2+(_2+1)2=虚.所以所求圆的方程为(XT)?+(尹2丫 =2.(4)设点C 为圆心，因为点C 在直线x-2y-3=0 上，故可设点C 的坐标为(2a+3,a).又该圆经过4、8 两点，所以|C4|=|C5.所以 J(2a+3-2)2+(“+3)2=J(2a+3+2)2+(a+5)2,解得 a=-2,所 以 圆 心 坐 标 为 2),半径r=故所求圆的标准方程为(X+1)?+(+2)2=10.19.(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】(1)依题意K=tan仇，&=t a n%,若选n 利用诱导公式计算可得；若选 根据两直线垂直的充要条件得解；(2)首先表示出直线J 4,再将点代入方程，再 结 合(1)的结论计算可得；(3)按照函数的平移变换规则将直线乙 进行平移变换,即可求出k,从而求出直线4 的方程,即可求出。，再 根 据(1)求出直线4 的方程，即可求出b 的值；(1)解：依题意K=t a n q,%2 =t a n&,且4，%均不为。或若选，1+名=乃，则4=乃-J 2,贝 ij t a n q=t a n(乃-a)=-t a n a ,即 勺+&=0；若选口，|山2，则K?&-1(2)解：依题意直线4：y-l=(x l),直线3 y-l=(x-l),又4 过 A(a,2),所以2-1 =4(。-1)且awl,即l =4(a-l)且a,又4 过 趴 2 力)，所以6-1 =&(2-1)且 b w l,即 b-l=自且 b x l；若选口,则占+用=0,所 以:=-玲=1-6,即1 =(1 _ 6)(。-1)且a w l、狂 1；若选口，贝屿？&-1,所以(b-l)x l=&x (a-l),即b+a =2 且a H l、1；解：直线4：y-l=K(x-l),将直线4 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得至l =K(x-4)-l +2,即-1=&/-5仁+2,所以-5勺+2 =仁，解得K=g,此 时 直 线 心 y-l=l(x-l),所以l=g(a-l),解得a =3；若选口，则自=-；，此时直线4：y-l=-l(x-l),所以67=-；,解得6 =；若选：，则&=-2,此 时 直 线 上 y-l=-2(x-l),所以b-l=-2,解得6=-1；2 0.4 x-y-2 =0 或x =l【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为y-2 =%(x-l),即日-y-Z +2 =0.由题设有：号口二娱装yjl+k2 yj+k2即k-q =|k-7|,解得&=4,则直线方程4 x-y-2=0又所求直线的斜率不存在时，方程为X=l,适合题意.所求直线的方程为4 x-y-2 =0 或X=1 .21.(1)/=8x(2)是，0【分析】根 据 题 意，设抛物线的方程为：/=2 p x(p 0),则 喑,0),A(2,2，进而根据苏西=16得 P=4,进而得答案；(2)直线/的方程为x=6，+8,进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.(1)解：由题意，设抛物线的方程为：y2=2 px(p0),所以点尸的坐标为(与，0),点A 的坐标为(2,2 4),因 为 丽 丽=16，所以(2-多 2万)(2,2 0)=16,即4-p +4P=1 6,解得夕=4.所以抛物线的方程为：V=8x(2)解：设直线/的方程为x=+8,y2=8则 联 立 方 程 。得 V-8 3-64=0,x=ky+S所 以 乂+必=以，*必=-64,因 为 丽=(X，y),反=(%2，%)，所 以 丽 反=司电+x 必=(地 +8)(|+8)+%必=(3+1)X%+8(%+必)+64=-64(公+1)+8h8%+64=().所 以 赤.无 为定值0.2 2.jy2=4 (2)证明见解析 c=8【分析】（1）由条件可得 2 a=4 b，解出即可；a2=b2+c2（2）选口证口，当直线/的斜率存在时，设/:y=kx+m,4芭,y）,8（,必），然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得、+%=-碧 彳，巧=结 筌，然后由占&=1 可4 H+1 -止+1算出机=-g,即可证明，选口证口，设/：=丘-|，4（4 弘）,例,力），然后联立直线与4 0 k 64椭圆的方程消元，然后韦达定理可得多+七=3（4,+1），砧=9（4/+），然后可算出勺4 2 =1 .(1)c=6 a=2由条件可得 2 a =4 6,解 得b=a2=b2+c2 c=6所以椭圆方程为三+丁=14(2)选口证:当直线/的斜率存在时，设/：y=kx+m,A(X“M),B(X 2，M)f 2 _ j由 4+)得(4 攵 2+1)/+8攵 祖 氏+4(加2 1)=0,则用+=一,工也=之二D4K+1 4F +1y=kx-my.1%一 1 .由 匕 人=1 得岂2=1X x2即(,_ 1)(2 _ 1)-为 4 2 =0，E P kxx+m-kx2+m-)-xxx2=0所以(&2 1)%/+&0%-)(%+/)+(m 2 -1)=0代入(公-1)4叫 一 D+k W-)(一 一-)+(/M2-l)=04 k2+1 八 4 k2+1所以 4（，-l）（k2-l）-8 k2m（m-l）+（4k2+l）（m-l）2=0所以 4 /_ 4 _（机_1）2=0解得：m=（舍去），?=-1所以直线过定点当直线斜率不存在时，设/：x =s，A（s ）,B（s,-f）所 以 二+r=1,由仁.幺=1得L_L_L =i4 s s所以S 2+r=1,即$2=工，解得S=04所以直线x =0 （不符合题意，舍去）综上：直线过定点选证口:由题意直线/的斜率存在，设/：y =f c r-|4E，%）,8（，必）由，+y2=1 /4 得（4 r+1）*2-岑 京+=0-！、4 0 攵 64则X 而包，二 而 国所以小必7 =（物 管 例 T）心 泾-）（%+）+竽X.X。x.x2 X X,64 九 4 0 1 +64可新2 +厂3 3（4 it2+l）+T649（4/:2+1）