河北省邢台市2022届高三上学期期末数学试题(解析版)(一).pdf

邢台市20212022学年高三(上)期末测试.数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A =f x G Z|x|0)AI(6 3)=1,已知R是实数集，集合I 1 1 1 h 则)()A.-1,0 B.-1,0,1 C.0,1,2 D.-1,0,1,2)【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为A =XWZ M 3 =-2,-1,(M,2,33、解不等式2/一了一30,可得5,故=卜因此，A n(B)=-1,0,1).故选：B.2.已知复数z=(a-2 i)(l+3 i)(aeR)的实部与虚部的和为1 2,则|z 5|=()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先把已知2=9-公)(1 +至)(。6 1i)化简，整理出复数Z的实部与虚部，接下来去求|Z-5|即可解决.【详解】z=(a-2 i)(l+3 i)=(+6)+(3 a-2)i,则有，a+6+3 a 2 =1 2,解得a=2,则 z=8+4 i,z-5 =3+4 z,故|z 5|=J*=5.故选：C3 .若x,y,z为非零实数，贝 52”是“工+丁 2 2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】解：因为x z,y z,所以x+y 2 z,故充分；当x =3,y =l,x =2.5时，满足x+y2 z,但不满足x y z.故不必要，故选：A.4 .已知 a=lo g()3 2,0=2 ，。=0.5 2,，则()A.cab B.bac C.abc D.acb【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、。、c三个数的大小关系.【详解】因为a=lo g o.3 2 2=1，0 c=0.52 1 0.5 =1.所以a c nil(3,则加 C.若 tnl la,根 J_ 4，则。_L 尸 D.若 a 工。，tn a,nilP,则m J_”【答案】C【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可；【详解】解：对于选项A,m H a,n/a,m与可以平行、异面或者相交，故A错误;对于选项B,因为。4，mA.a,所以尸.又尸，所以根_L，故B错误;对于选项C,由机 a,则存在直线/uc,使得加/,又mL/3，所以且/ua,所以。L，.故C正确；对于选项D,因为可设a/?=/,则当/,/时，可得到血/a,。，但此时加”.故D错误.故选：C6.已 知 为 抛 物 线 C：x 2=2 y(p 0)上一点，点 到。的焦点的距离为7,到无轴的距离为5,则P=()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义计算可得:【详解】解：抛物线C：f=2 0，(p O)的准线方程为y =g,因为点M到C的焦点的距离为7,到X轴的距离为5,所以=2,所以，=4；2故选：Bco s a-co s a7.已知t an a=2,则7 1co s a+I 2)2A.-53B.-4c-1D-1【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可.【详解】因为t an a=2 ,cos3 a-c o sa所以一coscoscr(cos2 cr-lj cosa(-sin2 a-sin a-sin a=sin a cos a =sin a cos atana _ 2sin3 a +cos2 a 1 +tan2 a 5 a +y故选：A.8.第 24届冬季奥运会将于2022年 2 月 4 日至2022年 2 月 2 0 日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有A；=2 种；若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有 C；=2 种，然后剩下一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C；A；=6 种，则共有2 x 6 =12种，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12+2=14.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9 圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为%，%,%，L,。9,设数列 4 为等差数列，它的前”项和为S“，且%=18,%+4 =90,则（）A.6 =6 B.%的公差为9C.4 =3%D.S9 405【答案】BD【解析】【分析】设 4 的公差为d，依题意得到方程组，求出力、d,即可判断A、B,再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得;a,+d=18+4-5解【详解】解：设 4,的公差为小由4+4=9 0,得%=4 5,又。2=1 8,联立方程组得 4=9八，所以A 错误，B 正确；因为4=9 +5x9=54,3=9+2x9=2 7,所以=2%，故 C 错a=9误；因为 9=（!/?）X 9=9%=4 0 5，所以 D 正确.故选：BD10.某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（）1 1 月：1 0%9 月:1 2%1 0 月:1 2%1 2月：6%1月：5%季度4 月：6%5月：9%8月：1 0%7月：8%第四季度28%三季度 26030()30%第二季度月3 月：6%6月：1 1%A.2020年第四季度的销售额为280万元B.2020年上半年的总销售额为500万元C.2020年 2 月份的销售额为40万元D.2020年 12个月的月销售额的众数为60万元【答案】AD【解析】【分析】结合饼图对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】2020年全年的销售额为=1000万元，故第四季度的销售额为1000 x 28%=280万元，A 正0.3确；2020年上半年的总销售额为160+260=420万元，B 错误;2020年 2 月份的销售额为1000 x5%=50万元，C 错误；3、4、1 2三个月的月销售额均为60万元，D正确.故选：AD1 1.在四边形中（如 图1所示），|/叫=|A|,N AB =4 5,忸。|=忸4=|卬=2,将四边形A B C O沿对角线B D折成四面体A B C D （如图2所示），使得N A BC=9 0。，E,F,G分别为棱BC,AD,A 3的中点，连接E R,C G,则下列结论正确的是（）A.A C YB DB.直线石产与C G所成角的余弦值 为 述1 5C.C,E,F,G四点共面D.四面体A B C。外接球的表面积为8%【答案】AB【解析】【分析】A：取8。的中点。，连接。4 ,OC,证明8。人平面Q 4 C即可；B：设BC=a，B D =b，BA=c 将 与C G表示出来，利用向量法求夹角;C：连接G凡 显然G尸和C E异面，故四点不共面；D：易证A C中点为该四面体外接球的球心，则可求其半径和表面积.【详解】如图，取 的 中 点。，连接O A，O C.对于A,.二ABO为等腰直角三角形，BCO为等边三角形,=及，O AIBD，OC 上 BD,；OAcOC=O,二 平面。AC,AC_L8O,故 A正确：对于 B,设 BC=a BD b，BAf c 则 CG=Q _Q,EF=(b+ca),O.c =0,a b =b c =2 I CG|=I EF|=J；(/?+c-a)2 =,.，.EF-CG=(/+c -a)对于C,连接G f,；.G尸和CE显然是异面直线，.C,E,F,G四点不共面，故C错误.对于D,易证 A C B A C D，,ZADC=ZABC=90.取AC的中点Q 则|QA|=|Q四即Q为四面体A6CD外接球的球心，.该外接球的半径R =,A C =Y5,从而可知该球的表面积S =6，故D错误.2 2故选：AB.2 21 2.已知双曲线C:餐-斗川5。力 0）的左、右焦点分别为G，F2,左、右顶点分别为A,A,P 为a b-双曲线的左支上一点，且直线尸4与P4的斜率之积等于3,则下列说法正确的是（）A.双曲线。的离心率为2B.若 耳，。心，且5寸尸格=3,则”=2C.以线段P，为直径的两个圆外切D.若点P在第二象限，则N P耳&=2/2耳【答案】ACD【解析】【分析】通过女作 时 =3求 得 与，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形2耳鸟的面积以及双曲线的定义求得“，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.2j r【详解】对于A,设P（x,y）,则 产=匕2 -ia-,因为A（。,），所以 kp%,kPA=x+a x-a-F =-BT，由H-6y =3,倚，曰 /2x2-a2 a2 1 +乂=2，故A正确.a2对于B,因为 =2,所以c =2 a,根据双曲线的定义可得|P|-|P|=2 a,又因为尸_LP鸟，所以治 离=尸卜归入|=3,整理得|/7讣|尸国=6.由|P 4+|尸鸟=（2C）2,可得（|尸制|p&|y+2|尸制.|国=4/,即4。2+1 2 =1 6。2,解得。=1，故B错误，对于C,设P E的中点为。一。为原点.因为。为PK 6的中位线，所以O O =PF2 =PFi +2 a）=PFi +a,则 可 知 以 线 段4人 为直径的两个圆外切,故c正确.对 于D,设尸（牙0，儿），则玉）0.因为e=2,所以c =2 a,b=6 a，则渐近线方程为y =J Ix,所以/叫 月（0,2），ZPF,Aefo,y j.又1 2 1 1/6 4,=%,t a n N P 4 6=,/+c /+2。/一。2%土 t nn?ZP4 F-尤。一-，。（/-。）_-2），。5一 ）所以 t a n2 NE%片 （f ）一 （2（/一。）-%（X。-4 一 从 与 _1 0时，x）=l n（a c）.若/（-e 2）=2,则。=.【答案】1【解析】【分析】根据题意，利用奇函数的性质可知/卜2）=2时，代入/（x）=In（侬）中可求出a的值.【详解】解：因为 ）是奇函数，/（-e2）=2,所以/卜2）=_2,因为当x 0时，/（x）=-l n（a r）,所以/卜2）=l n（a e 2）=2,所以ae 2=e 2,解得：a =L故答案为：1.1 4 .已知向量a =（l,J 7）,g|=3,a b=3瓜,则a与6的夹角为.71【答案】一#3 0 6【解析】ra-b【分析】首先求出。，设向量a与b的夹角为。，再根据c o s 6 =计算可得；ab【详解】解：因为a =(l,-J 7),所以同=,+(=2血,设向量a与匕的夹角为。，因为c o s 6 =*d=3a=昱，因为所以，=工.ab 2&3 2 L 6T T故答案为：一61 5 .函数X)=炉+；的图象在点(1,功 处 的 切 线 的 斜 率 为.【答案】-3【解析】【分析】求出函数的导函数，代入计算/(1)即可；【详解】解：因为/(x)=V+L 所以r(x)=-2 x-U 即/(1)=一2*1-4=-3,故函数在点XX1(1,7(1)处的切线的斜率为-3；故答案为：-31 6 .若函数y =t a n(i y x +?)在 一上单调递减，且 在 一?，?上 的 最 大 值 为 石，则。=【答案】一,#-0.2 54【解析】JI JI 3【分析】先 根 据 函 数 在 一 上 单 调 递 减 及 周 期，确定-1400,再根据函数的最大值求解.(7r 乃乃【详解】因为函数、=1 2“3 3+1|在 一 ，上单调递减，7 T 2 3所以 y 0,F-!-T-7,则一二 y 2i+2x22+(-1)2T+九 2”.27；,=lx22+2x23+-+(n-l)-2n+/j-2n-,-，得一4=2+2?+2_ 2 m=2(：1)_ .2用，所以 7；=5-1)2川+2.18.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosC+ccosA=J L a=,记一ABC的面积为S(1)求；(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的一A3C的个数，并说明理由.条件：S=-(a2+c2-b2)，AcosA+乎”。，。sinA=acos(8-看).注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)a=/6(2)选，满足条件的，ABC的个数为2；选，满 足 条 件 的ABC的个数为1；选，不存在满足条件的三角形；理由见解析【解析】【分析】(1)利用余弦定理化简已知条件，由此求得(2)选，利用三角形的面积公式化简已知条件，求得ta n B,进而求得8,利用正弦定理求得A有两个解，从而得出结论.选利用正弦定理化简已知条件，求得8,利用正弦定理求得A有一个解，从而得出结论.选，结合三角恒等变换求得8,利用正弦定理求得sin A l,无解，从而得出结论.【小 问1详解】卬%c ./r 在a2+b2-c2 b2+c2-a2 后因为acosC+ccos A=J3 所以a-i-c-=v3,lab 2bc解得 b-5/3，所以=yf ib=yf b.【小问2详解】选择，因为S/-力之），所以gacsin B =（片+c2 一 j,所以L.csinB=，x2 ccos3,化简得tan8=2 12 3又0 8%,所以4=与 或4=,故满足条件的&ABC的个数为2.4 4选择，65/2因为bcos A+。=。，所以sin Bcos A+sin A=sinC，即 sin8cosA+sinA=sin（A+8），222化简得sin A=sin Acos B，2因为sinAw O,所以cos8=Z，解得8=3.24由 一=一2，得sinA=%0 =l,所以A=工，故满足条件的.A3C的个数为1.sin A sinB b 2选择，因为/?sin A=,所以sinBsin A=sin Acos 8一 看）又sinAwO,所以sinB=cos|8 ,所以sin8=cosB+sinB，化简得tan3=g.227T又0 B k0)0.0250.0100.0050.0015.0246.6357 87910.828【答案】（1）没有（2）分布列见解析，3【解析】【详解】解：（1因K2200 x(80 x40-40 x40)2120 x80 x120 x80=一 5.556 u平面P4C，则 BC_LA。，因为 A C 16C,ZCBA=30所以 AB=2A C.又 AB=2Q4,所以Q4=A C,而。为线段PC的中点，所以 AD_LPC.又 PCcBC=C,所以AD_L平面P3C,而A D u平面4 9 D,故平面平面P8C.【小问2详解】解：以C为原点，分别以C4，CB的方向为x轴、了轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.不妨设 A8=2,则 AX。,。)，fi(0,V3,0),G(2,0，；)，CB=(0,V3,0),CG*，O，|.设平面GBC的法向量为m=(x,y,z),则m-CB=6 y =0,3 1 令X=1,得加=(1,0,-3).m CG=x+z=0,4 4由(1)知平面PBC的一个法向量为DAU1,。,-：),设二面角P-B C-G为e，易知。为锐角，贝Ijcos6=|川。4 _ 275|同)45即二面角P-B C-G的 余 弦 值 为 撞.5AOB的面积为,原 点。到 直 线A B的 距 离 为 亚2 3（1）求 椭 圆C的方程;（2）过C的 左 焦 点 尸 作 弦O E,MN,这两条弦的中点分别为P,Q,若D E M N =a，求尸。面积的最大值.【答 案】(1)2-X-1-V 2=1,2-9【解 析】【分 析】(1)设 出 直 线 的 方 程 为:-+=1,原 点 到 直 线A3的 距 离 为 逅，列出关系式，通过a b 3b2+c2=a2,根据三角形的面积，求 出。，h,即可得到椭圆C的标准方程.（2）依 题 意 可 得DE,即可判断直线DE与MN的斜率均存在，设OE：y=Z（x+l）,。（王，%）,E（X2,为）联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到尸点坐标，同理得到。点坐 标，从而得到|尸尸|、|。耳，S.QFP=：忙 斗|。目再利用基本不等式及对勾函数的性质计算可得;【小 问1详解】解：由题意，5.=包 /i c z D 2 2A(0/),B(a,O),则直线 A 6 的方程为：-+=1,即为b x+a y-a b =0 ,a b.原点到直线A8 的 距 离 为 迈，3ah 屈亚 奇 二 丁:.3 a2h2=2(a2+h2),-k 丫_网/1 7淳2 +k2)2 +k1b2+c2-a2 E：y=k(x+l),则 M/V 的斜率为一；,K由，2-X-F y 2=112)可得:y=&(x+l)(1+2 k2)x2+4k2x+2/-2=0,设。(占，y),E(X2,m i l 4A 2 2 k2-2 K C.|U%+x,2 k2%)，则 x,+x2=-，x.x2=-，所以=-=-1-l +2 k2 J 1 +2/2 1 +2%yP=k(xp+l)=k-2 k1 +2公、+17k-7,即P 一1+2 女 22 k2l+2 k2，1+2 k2)同 理 将 代 入 得。k-2-k 2TF，2TFJ，所以仍可-1+占l+2 k2)2+、2 1+2 k2J1+2女 2以I-22 +k22所以SQQ-QF=-i J i+K w V T+z?X-X-2+2k2 2+k2l ki(i+B5X2/+5 /+21=X2#2 (1+2女2十%)2/+5左2+22 k22k2+5+1=x2 2k2+5+：令t=H+k2+2,则/2,当且仅当r=%2即左=1时取等号，U2%,0 1/11所以3+公=/一2,所以，如 一5、五不T，t因为函数丁=2%+，在2,+8)上单调递增，所以当X=2时=g，所以(s e F P)m x=1,即 RPQ面积的最大值为g；1 222.已知函数/(x)=lnx+2,g(x)=-e2-I n(a 0).(1)设函数 (x)=,f (x+1)-x 2,求/z(x)的最大值；(2)证明：/(x)W g(x).【答案】0；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用导数分析函数(x)在定义域上的单调性，由此可求得函数/T)，所以(x)1x+1 1=(X 1)x+r )当 X G(-1,0)时,/lf(X)0；当 X G(0,+0 O)时,(力 09I H I Jp(x =2 e2 x-=2 x e 2 x-a,令 见x)=2e 2*g,则 加(尤)=4e 2、+二 0,X X x X所以，”(x)在(0,+8)上单调递增.令r(x)=2xe 2 a,则(0)=a 0,所以，存在唯一毛e（O,a）使得%0）=2玉，a =0,即（x。）=Z e?-乌=0 ,当0%玉）时，夕 （）0；当xx（）时，”（x）o此时。（X）在（0,不）上单调递减，在（y,+8）上单调递增，要证9（x o,即要证0（毛）20.2e2 -=0于是原问题转化为证明不等式组,“2(PXQ)=e2 v -a I n X。-2a -Q I n-2 0由 2e，-=0 ,得e 二 ,代入夕(0)=,-a lnX o Z Q-QlnZ.%，入0 u对e8二卷-两边取对数得I n%=ln-2%o,代入夕（玉）=卷-a lnx（）2a a l n,得夕(王)=-1 2C IXQ 2因为(p()二 F 2,CIXQ-2 cl 2 2-2a x0-2a =0,当 且 仅 当 天=,，a =e时，等号成立,2/2所以/(x)W g(x).【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：(1)直接构造函数法：证明不等式 )g(x)(或/(x)0 (或x)g(x)0),进而构造辅助函数/?(%)=%)-g(H；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构 造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.