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高中数学新教材必修二全书综合试题及答案1.已知复数z满足（l-i）z=2+i,则z的共枕复数在复平面内对应的点在（）A.第 一 象 限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.水平放置的4A B C的斜二测直观图如图所示，若AiC1=2,AAiB1Ci的面积为2应，则AB的长为（）A.V2 B.2V17C.2D.83.设D为 ABC所在平面内一点，尻=3而,则（）A.AD=-AB+1ACB.AD=AB-AC3 3 3 3-A.-1-4-1-C.力。一 力 力C D.力。一/B力C3 3 3 34.我国古代数学名著 九章算术中有如下问题：“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六,凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人?在上述问题中，需从西乡征集的人数是（）A.102 B.112C.130 D.1365.奥林匹克会旗中央有5 个互相套连的圆环,颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上，老师将这5 个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.无法判断6.已知向量 a=(8,gx),b=(x,l),其中 x0,若(a-2b)(2a+b),则 x 的值为)A.4B.8C.0D.27.在四面体 A-BCD 中，若 AB=CD=b,AC=BD=2,AD=BC=V则直线AB与 CD所成角的余弦值为（）A.B14-1-48.已知4A B C 的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,且 sin A+sin C=l,则 AABC 的形状为（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为部勺等腰三角形D.顶角为零的等腰三角形二 多项选择题（本大题共4 小题,每小题5 分 共 20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得3 分，有选错的得0 分）9.给出下列四个命题，其中正确的命题是（）A.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是急B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次，得点数是1 的结果有18次,则出现1点的频率是4D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.已知m,n是两条不重合的直线,a,B,y是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的是（）A.若 m_La,m_LB仪!jaPB.若 mUa,nU（3,m n,则a 0C.若 m,n 是异面直线,mUa,mp,nup,na,则a0口.若（1_1丫,|3_1_丫,则 a p11.已知向量a,b是同一平面a 内的两个向量，则下列结论正确的是（）A.若存在实数兀使得b=Xa,则 a 与b 共线B.若a 与b 共线，则存在实数兀使得b=XaC.若 a 与b 不共线，则对平面a 内的任一向量c,均存在实数入,也使得c=Xa+|ibD.若对平面a内的任一向量c,均存在实数%出使得c=)ca+|ib,则a与b不共线12.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，甲的成绩分别是8,6,8,6,9,8;乙的成绩分别是4,6,8,7,10,10,则以下说法正确的是()A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲打靶环数的中位数比乙打靶环数的中位数大C.甲打靶环数的众数比乙打靶环数的众数大D.甲打靶的成绩比乙打靶的成绩稳定三 填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)13.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是20,40),40,60),60,80),80,100,则可估计这次数学测试成绩的第4 0百 分 位 数 是.14.如图，在4 A B C中,D是B C的中点,E,F是A D上的两个三等分点，豆1 M=4,B F#=-1 ,则 屁 而的值是 深 度 解 析15.已知圆锥的高是底面半径的百倍，侧面积为7T,P为圆锥顶点,若正方形ABCD内接于底面圆O,则四棱锥P-ABCD的 侧 面 积 为.16.在一次数学考试中，第 22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设四名考生选做这两题的可能性均为2 则甲、乙 两 名 学 生 选 做 同 一 道 题 的 概 率 为;甲、乙两名学生都选做第 22题的概率为.(本题第一空2 分,第二空3 分)四 解答题(本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为|.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)设甲同学上学期间的三天中,7:30之前到校的天数为X,求X=0,X=l,X=2,X=3 时的概率 P(X=0),P(X=l),P(X=2),P(X=3);设M为事件”上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.18.(本小题满分12分)如图，在AOAB中，已知P 为线段AB上一点,。P=x。4+yOB.(1)若前=再，求实数x,y的值；若前=3而赤|=2,且U7与画的夹角为60。,求 加 屈的直B19.(本小题满分12分)在锐角4A BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bsin A=ya.(1)求 B 的大小；(2)若 AB=2,BC=|,点 D 在边AC上,，求 BD的长.请在AD=DC;NDBC=NDBA;BD_LAC这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上，并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.20.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中,PBEC,PB=2CE=2,PB，平面 ABCD,在平行四边形 ABCD中,AB=l,AD=2,ZBAD=60.(1)求证:AC平面PDE;（2）求 CD与平面PDE所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）2020年 4 月 2 3 日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了 100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位:小时）的数据，整理得到下表.组号分组频数频率10,5)50.0525,10)a0.35310,15)30b415,20)200.20520,25100.10合计1001（1）求a,b的值，并在下图中作出这些数据的频率分布直方图;（用阴影涂里八、）+频率组距0.07-1-*-；-：-*0.06-;-:-j-;-:0.05.-4-：.-0.040.030.02 宁一十一 Y0.010 5 10 15 20 25 时间卜时（2）根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）;（3）现从第4、5 组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6 人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第 4 组得分的平均数元=7,方差s2=2,第 5 组得分的平均数歹=7,方差t2=l,则这6 人得分的平均数五和方差人分别为多少（方差精确到0.01）?22.（本小题满分12分）如图甲，在矩形ABCD中,E是CD的中点,AB=2,BC=V 以AE、BE为折痕将4A D E与4BCE折起，使D,C重合（仍记为D）,如图乙（以4A BD所在平面为底面）.（1）探索折叠形成的几何体中直线DE的几何性质并证明（写出一条即可，不含 DEDA,DEDB）;（2）求翻折后几何体E-ABD外接球的体积.答案全解全析一单项选择题1.DV(l-i)z=2+i,z_2+i_(2+i)(l+i)_l+3.1-i(l-i)(l+i)2，即Z的共枕复数在复平面内对应的点在第四象限.故选D.2.B 因为AiBCi的面积为2鱼，所以 2&=；ACxBQxsin 45*x2xBiCix今解得 BiCi=4,所以 BC=8,易知 AC_LBC,由勾股定理得 AB=V/1C2+BC2=V22 4-82=2V17.i B.3.A AD=AB+BD=AB+BC+CD=AB BC=AB-4(ACAB)=-AB-4 AC.故选 A.4.B 因为北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人,所以需从西乡征集的人数是378x-112.O/D O T-/Z o O-r O 5.C 结合互斥事件和对立事件的概念可知C 正确.6.A 因为 a=x),b=(x,l),所以 a-2b=(8 2久,x-2),2a+b=(16+x,x+l).因为(a-2b)/(2a+b),所以(8-2x)(x+1)=(16+x)Q x-2),即q x2+40=0,解得 x=4,又 x0,所以x=4,故选A.7.D 因为四面体的对边分别相等，所以该四面体的顶点为长方体的不相邻的四个顶点，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,(a2+b2=5,(a=V3,则(a2+c2=4,解得,b=y/2,+c2=3,(c=1.连接DC,交AB于点O,则 D，C DC,所以NAOD是异面直线AB与 CD所成的角(或其补角).所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为今故选D.8.D cos2A-cos2B+cos2C=1 +sin Asin C,B|J 1 -sin2A-(1 -sin2B)+1 -sin2C=1 +sin Asin C,即 sidA+sin2csin2B=-sin Asin C,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,由余弦定理得cos B串著W，因为BG(0,兀)，所以B号，故 sin A+sin偿-A)=l,整理得 sin(A+)=l,故 A=,所以 C*故AABC为顶角为坐的等腰三角形.故选D.二、多项选择题9.CD 对于A,B,混淆了频率与概率的区别，故 A,B错误；对于C,抛掷骰子100次，得点数是1 的结果有18次,则出现1点的频率是总，符合频率的定义，故C 正确；对于D,频率是概率的估计值，故D 正确.故选CD.10.AC 显然A 正确；两条在不同平面的直线平行不能说明这两个平面平行，故B 错误；由两条分别在不同平面的异面直线分别平行于这两个平面，可得这两个平面平行,故 C 正确；垂直于同一平面的两平面不一定平行，故D 错误.故选AC.H.A C D 根据平面向量共线的知识可知A 选项正确；当a=0,b为非零向量时,a 与b 共线，但不存在实数入，使得b=Xa,所以B 选项错误；根据平面向量基本定理可知C、D 选项正确.故选ACD.12.ABD 甲的平均环数为卜(8+6+8+6+9+8)考，乙的平均环数为9(4+6+8+7+10+10)4，两人的平均环数相等,A 正确;甲的中位数是8,乙的中位数o Z是蔡，甲的中位数比乙的中位数大,B 正确;甲的众数是8,乙的众数是10,甲的众数比乙的众数小,C 错误;甲的数据比乙的数据集中，更稳定,D 正确.三、填空题13.答 案 65解析由题图得成绩在 20,60)的频率是(0.005+0.010)x20=03成绩在 20,80)的频率为0.3+0.020 x20=0.7,故第40百分位数一定位于 60,80)内，则这次数学测试成绩的第40百分位数为60+X20=65.0.414.答 案7O解 析BA CA=(BC-AD)(彳 前 一 而)旦 产*簪=4,BF-CF=(BC-AD)(前 而)砂一工前 2”0产2 3 7 2 3 9 4 4所以前2=|,箫 岑o Z所 以 近 C E=B C-E D)信 前 迎P咒 谈 6咒律.方法总结研究向量的数量积时，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积;二是利用一个基底表示所有向量.两种思路实质相同.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解.1 5.答 案V 7解析 设圆锥的底面半径为r,则高为H r,母线长为2 r.圆锥的侧面积为兀，.*.7 1 r ,2 r=7 i,B P r2.设正方形的边长为a,则2 a2=4已整理得a=V 2 r,易知四棱锥P-A B C D为正四棱锥，其斜高为J(遮r)2 +仔，=&正四棱锥的侧面积为4 x*&r x J j r=2 V 7 r2=V 7.1 6.答 案 若解析 设事件A表 示“甲选做第2 2题”，事 件B表 示“乙选做第2 2题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“ABUZ月”，.事件A,B相互独立,P(A B U A B)=P(A)P(B)+P(Z)P(B)=i x 2+(l 1)=1.二甲、乙两名学生选做同一道题的概率为今P(A)P(B)弓x鼻,甲、乙两名学生都选做第2 2题的概率为四 解答题1 7.解 析(1)由独立事件的概率乘法公式可得P(X=O)=(1P(X=1)=3X|X(1-|)2=|,P(X=2)=3xg)2x(l-1)4P(X=3)=(3崂(4 分)(2)设乙同学上学期间的三天中,7:30之前到校的天数为Y,则A-I o 2?nP(M)=P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=l)=P(X=2)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)=-x-L+x1=.(iX L t/4/V 乙 一J0分)8.解 析 .丽 列：.BO+OP=PO+dA,i 2OP=OB+OAX2 分).-.OP=|O7 4OB,BJ x=|,y=1.(4 分)(2),/BP=3PA,：.BO+OP=3PO+3OA,4赤=赤+3%(6 分)：.OPOA-OB,分)：.OP-AB=OA+OB)(OB-O1)=OB2-OA2-；OA OB4 4 219.解 析（1）在4A B C中，由正弦定理号 及bsin*a,7 snA snB 2得 sin Bsin A=ysin A.（2 分）因为AABC为锐角三角形，所 以A d（0,5所 以sin A0,（3分）所 以sin B=*（4分）又因为B （0,3,所 以B=、5分）若选，在aA B C中，由余弦定理，得2AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSZABC=22+（|）-2X2X|XCOS.，所 以ACp（负值舍去），所 以AD=DC呼.（7分）在4ABD 中，由余弦定理，得 AB2=BD2+DA2-2BD-DAcosZADB,即 4=82虎 孝8 cosZADB.（9 分）16 2在aDBC 中，由余弦定理，得 BC2=BD2+DC2-2BD-DC cosZCDB,gp2=BD2+y|-pBD-cosZCDB.因为 NADB+NCDB=7t,所以 cosZADB+cosZCDB=0.所以4=2BD2琛，所 以B D=（负值舍去）.（12分）若选，在4ABC 中,SAABC=SAABD+SBD,（7 分）即 BA BC sin 舁BA BD sin*BD BC sin 7,（9 分）2 3 2 6 2 6即;x2x永泽4x2xBDx14xBDx沁 解 得BD萼.（12分）若选，在4A B C中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-COSZABC=22+（|）2-2X2X|XCOS所 以AC萼（负值舍去）,（8分）因为 SAABC=|BA BC sin NABC等，Z4又 SAABC=BD AC押BD,所以9BD考，解 得BD笞.（12分）20.解析 证明:如图，连 接BD,交AC于O,取PD的中点F,连 接OF、EF,.0、F分别为BD、PD的中点,，OFPB,且 OF=|PB.又PBaCE,且 CEgPB,.OFCE,且 0F=CE,（2 分）二四边形OCEF为平行四边形,，OCEF,即ACEF,又ACQ平 面PDE,EFU平面 PDE,；.AC平面 PDE.（4 分）（2）连接 PC,BE.在4ABD 中,AB=l,AD=2,NBAD=60。，由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD ABcosZBAD=4+1 -2=3,（5 分）AB2+BD2=AD2,AB BD.（6 分）VABCD,/.CDBD.平面 ABCD,.PB1BD,/.PD=A/P S2+B）2=V7.PB/CE,/.CE，平面 ABCD,/.CEBD,CECD,/.DE=VC2+CF2=V2.（8 分）又 CDACE=C,，BD_L平面DCE,又易得PB 平面DCE,A P到平面DCE的距离为BD,PE=jBC2+（PB（E）2=m,：.PD2=DE2+PE2,.,.PEDE,/.SAPDE=ipE DE岑，1 1SADCE4 C D-CE苦.（10 分）设点C 到平面PDE的距离为h,则由 VP-DCE=VC-PDE,VP-DCE=VB-DCE,得 VB-DCE=VC-PDE,*BD x SADCE=xhx SAPDE,B P V3 x1=hx-,/h=,ACD与平面PDE所成角的正弦值为然得.（12分）21.解析（l）V5+a+30+20+10=100,/.a=35.（l 分）V0.05+0.35+b+0.20+0.10=l,/.b=0.30.（2 分）频率分布直方图如下.（4 分）（2）该组数据众数的估计值为7.50.（5 分）易知中位数应在 10,15）内，设中位数为x,则 0.05+0.35+（x-10）x0.06=0.5,解得11.67,故中位数的估计值为11.67.（7 分）（3）因为第4 组和第5 组的频数之比为2：1,所以从第4 组抽取4 人 悌 5 组抽取2人.（8 分）所以这6 人得分的平均数_4xx+2xy_4x7+2x7,7 X 1 0 分）6 6方在o2 4【s2+B a）2+2t2+&2 L 4（2+0）+2（l+0）%6 6即这6 人得分的平均数为7,方差为1.67.（12分）22.解析 性质1:D E,平面ABD.（1分）证明如下：翻折前,DE，DA,CE_LBC,翻折后垂直关系不变，则 DEDA,DEDB,XDAADB=D，所以 D E,平面 ABD.（4 分）性质 2:DE_LAB.（1 分）证明如下：与性质1证明方法相同，得到DE_L平面ABD,又ABU平面ABD,所以DE_LAB.（4分）性质3:DE与平面ABD内任一直线都垂直.（1分）证明如下：与性质1证明方法相同，得到DE_L平面ABD,从而DE与平面ABD内任一直线都垂直.（4 分）性质4:直线DE与平面ABE所成的角等于*（1分）证明如下：如图，取 AB的中点F,连接DF、EF,E由 DA=DB,得 DF1AB,与性质2 证明方法相同，得 DEAB,DEDF,因为DEC DF=D，所以A B,平面DEF,因为ABU平面ABE,所以平面DEF_L平面ABE.作 DH1EF于H,则DH_L平面ABE,所以NDEF即为直线DE与平面ABE所成的角，易知 DE=1,EF=&，所以 cosNDEF=m=,所以 NDEF=J.（4 分）Dr V Z Z 4写出其中一条即可.(2)解法一:AD=BD=&,AB=2,则 AB2=AD2+BD2,f WAABD 是等腰直角三角形,如图，取 AB的中点P,E连接DP,则P是4 A B D的外心,（6分）设几何体E-ABD外接球的球心是0,则0P_L平面ABD.（8分）作0M L D E于M,则M是D E的中点，易得四边形0PD M是矩形,OP=DM=|,DP=1AB=I,几何体E-ABD的外接球半径R=0P2+P/）2=分）则外接球的体积V$tR 3=7t.（12分）解法二:易知DA、DB、D E两两垂直,外接球就是以DA、DB、D E为相邻的棱的长方体的外接球,（7分）设外接球的半径为R,则（2R）2=DA2+DB2+DE2=2+2+l=5,解得R=y,（10分）故外接球的体积V片13竿.（12分）J O