2020年数学中考最值问题试题总汇含答案.pdf

初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从-3,-2,-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为。，最小值为6,求；的值？b.4答案：？2、若。,b,c都是大于1的自然数，且个 =252b,求的最小值？答案：42.解析：252b可以分成某数基的形式。252b=6X6X7 b,b=7,即a=6X7=42.X 即3、下面是按一定规律排列的一组数：第一个数：1-11+二f l2)2V /)3 r(_1产n_-|l+_ U+_ II1+.H+I T/4 J(7 2 J那么在第10个数，第11个数，第12个数中，最大数是？答案：第10个。解析:第个数是1-n2(+1)把=10,=11,=12,=13分别代入得出答案。4、已知:说是整数，求满足条件的最小整正数 的值?答案：5解 析.2 0 n=4 X 5 X n,因为.20月是整数,20n是一个完全平方数，n的最小值为54、当（m+n）z+1取最小值时，求 -+相 的值?答案：0解析：（m+n）?+1取最小值，m+n=0时最小。再用特值法求出答案。5、设a=35。,6=440,c=53。,求a,6,c中最大和最小的是？答案：最大是6,最小时。解 析：350=35,O,440=44,O,53 0=53，v 44 3 5 5 3,a c二.b最大,c最小.6 已知正整数。,方,。(其 中 满 足ac=M+30,求a+b+c的最大值和最小值。？答案：最大值是3 3,最小值是13.舟惭：v abc-ah=30,/.a/,(c-l)=5x61x30又为正整数，且a工b?.当a=5且c-l=6时有最小值。，a=5,b=l,c=7Q+b+c=3当 (。_1)=以30时有最大值，ab=30,c-=1a=30,b=1,c=2,.,.a+b+c=3 2 6x2+12x+107、求分式-的值的最小值？x2+2x+2统4解析：把分子与分母看成是两个二次函数，分别求出最小值在比商得出答案。8、已知三角形的三边a、b、c都是正整数，且a,b,c=60,(a.b)=4,(b.c)=3.求a+b+c的最小值？答案：31解析：由a,b,c=6O可知，A,B,C的最小公倍数是6 0,6 0=2 X 2 X 3 X 5,由(a,b)=4可知，a,b的最大公约数是4,；.a=4,b=12,由(b,c)=3可知，b,c的最大公约数是3,c=15,且 a=4 b=12,c=15 能组成三角形。.,.a+b+c=319、2020年2月20 S,全 国19省市对口支援湖北的16个市，为援鄂的白衣天使骄傲。将176名医护逆行者分成甲乙两组，因感染人的不断增加，将从甲组抽出16名医护到乙组，这时乙组人数比甲组人数的m倍 还 多3 1人，求乙组原来至少有多少人？答案：131解析：这是带参数的二元一次方程组。设甲原来有x人，乙原来有y人，卜+y=176lv-i6=a(v+16)+31整理得 用+1 Vx,y,m都是整数，.当m=5或29或144时此方程为整数。,.当m=5时，y值最小。最小值为131.9、有两个整数的和，差，积，商的和为1 4 4,求这两个数对有几种可能？这两数和的最小值是多少？这两数积的最大值是多少？答案：有7对(11,1 1)(一13,-1 3),(3,27),(-5,-4 5),(2,32),(4,-6 4)(-2,-2 8 8)。和最大值是3 4,积最大值是576.解析：设两数分别是x,y,由题意可知：(x +1)+(x-)+孙+L=1 4 4y整理得;3+1)2=1 X 3 2 x 4 2y分类讨论=1,3+1)2=1 4 4；y当t=9时3+1)2 =1 6y当士=1 6 时(y +l)2=9y当=1 4 4时3+1)2=1,解出四种情况得出答案。Y1 0 如果两个数x,歹满足x +y+3 =1 0-7-工 一 歹,求x +y的最小值。答案：一3解析：设、+=加，任根据缉对值地几何意R可得出答案。1 1 已知非负数x,yf z满足与=2 3 1=设卬=3 x +4 y+5 z,求卬的最大值和最小值？答案：最小值：1 9；最大值：3 5，3解析：题目中w含三个未知数，但这三个未知数满足一个等式，因此用换元法得出一个新的方程,将题目简化。1 2、已知实数x,yf求 7 =5/一4切+/4工+6的最小值和当它取最小值时工与的值？答案：x =2,y=4f最小值：2解析：把右边进行配方成完全平方，利用非负数的性质来求最小值。1 3、已知a,b,c是三个非负数，并满足3Q+26+C=5,2Q+6-3c =1,设机=3a+b-7 c,记x为根的最大值，y为?的最小值。求中的值。a=7c-3解析：由条件组成方程组，解得a,6的值,代入m =3a+b-7 c,/=7-l l c3 7z n=3c-2.又a,b,c为非负数，故一一7 11当c =Z时，x-当c =2时，y=-：11 11 7 7平面几何中的最值问题：几何模型(代数几何化；两点之间线段最短；三角形三边关系)；函数模型。几何模型：【几 何 数化求最值】代1、如图，是 由9个等边三角形组成的装饰图，已知中间最小的三角形的边长为1 c m,现在要此图的外围镶一条彩带，问彩带最少要多长？答 案:30解析：AG=x转化成方程来解。【两点之间线段最短】1、如图，在一条船笔直的公路M N的同旁有两个新开发区A,B,已 知AB=10千米，直线AB与 公 路M N的夹角/A O N=3 0,新开发区B到 公 路M N的 距 离BC=3千米。求新开发区A到 公 路M N的距离。现从M N上某一点P处向新开发区A,B修两条公PA,PBo使 点P到新开发区A,B的距离和最短，请用尺规作图找出P的位置（保留作图痕迹，不写画法），并求出此时的最小值？答案：8千米将军饮马模型求p点。PA+PB的最小值是14千米。解析：作AD_LMN与D点，利 用Rt 中30所对的直角边等于斜边的一半求出答案过B作HB _LM N,连 接A B 交M N与 点P,P点即为所求。PA+PB的最小值 就 是AB过A作A H _ L H B,垂 足 为H,根 据 三 角 函 数 可 知HB=5,HB =11,AH=5 KAB,=dAH 2+HB，=+11?=4=PA+PB【三角形三边关系】：1、如图、在A B C 中，A C=B C=2,/A C B=9 0,P 为B C 边上一定点，(不与点B,C 重 合)，Q 为A B 边上一动点，设B P=a,(0 a/CB2+BP,2=V 4+a2/.C Q +P Q =V 4+a22、在A A B C 中，Z A=15,A B 是定长，点D,E 分别在A B,A C 上运动，连接B E,E D,若B E+E D 的值最小值是2,求A B 的长。图1答案：A B=4解析：作B 关于A C 的对称点B,过B 作B D A B,交A C 于E。连接A B 由对称性可知A B=A B ,D B =D E+B E 性,/B A B =30 AB=AB=-=4s i n 30 3、如图，平行四边形A B C D 中，N B A D=60,A B=6,B C=2,P 为C D 边上的一动点,则*争。的最小值?答案；：3右解析：过作B H _ L A D 的延长线与H 点。.,A B D C；./H D C=N A=60,.,.B H=s i n 60 X 6=3HP=sin 60 xDP=x DP,2BH=HP+BP=OP+PS=3V324、B M=6.P 西】如图，在正方形A B C D 中，A B=8,A C 与B D 交于0 点，N 是0 A 的中点，点M 在B C 上，且B I=6.P 为对角线上一点，贝 U P M-P N 的最大值是_ _ _ _.图1答案：2解析：找N 关于B D 的对称点N,连接M N 交B D 于P 点。根据题意易得;A N=O N=O N =N C=2V 2CNCM 2V2B C 8尤=-,Z N C M8=NACB.“N CM iA C B,NM I AB,PM _LBCPM=tan 45 x MB=6NN CM=CNM=ZPN N=Z PNC=45NP=PN=4P M-P N =6-4=2【几何中面积最值】：本质是各种图形的面积公式，方法：转化成1、总面积等于部分面积和;2、转化成函数问题。1、如图，R t Z ABC 中，ZB=9 0 ,AB=4,BC=3,动点P从A以2 个单位每秒的速度向B运动，动点Q以1 个单位速度每秒从B向C 运动，当时间为多少时，四边形APQC 的面积最小？答案：1解析：此题所求面积是总面积（不变）-ap e Q的面积。要使此面积最小，只有三角形的面积最大。设时间为，&BPQ=S PxBQ=-r2+2 z当仁一22 x(-1)=1 时，面积最大，此时四边形4 PQC 的面积最小。2,如图，平行四边形ABC D 中，AB=4,BC=3,ZBAD=1 2 0 ,E 为BC 上一动点，（不与B重合），作E F _ LAB与点F,设BE=x,AD E F 的面积为S,当E 运动到何处时，$有最大面积，最大值为多少？答案：E 与C 重 合 时（x=3）,最大值为34解析：由题可知，s 与x是函数关系，故延长F E,D C 交于点G.F G 1 D G V ZBAD-1 2 O0,由三角函数可求得E F,D G 的长。S=-E FXDG=-X2+-X2 8 8其中0 =OB-O r=-=-3 3 3【解析几何中的最值问题】：1、二次函数图像的最值；解题方法：在区间取两端；2、函数图像与几何图形中的最问题：值解题的核心：用解剖法各个击破（题中告诉啥就干啥）1、已知二次函数y=x?2 x+2 在t W xW t+1 时有最小值是t,求t 的值？答案：1 或2解析1：有题意可知：对称轴x=l,开口向上，当*丸+1 时，函数有最小值t.可得方程：t=(t+l)2 2 (t+1)+2此方程无解当对称轴x=l在t 与t+1 之间时，最小值t=l;当x在对称轴的右边时，y随x 的增大而增大，止 匕 时 x=t有最小值t,即t=t?-2t+2解得：t=l 或2综合上述：t的值为1 或2.解析2：在区间取两端。当x=t是函数值最小为t,代入得t=t2 2t+2,解得t=l 或2,当乂丸+1 时代入得，方程无解。故答案是1 或2.4、已知二次函数Y=x?(m+1)x 5 m (m 为 常 数)，在一1WXW3的范围内至少有一个x 的值使y 2 2,求m 的取值范围？答案：mW，2解析：把x=T或3代入方程得出答案。5、已知二次函数y=x?2h x+h,当自变量x 的取值范围在一l W x W l 时，函数有最小值n,求n的最大值。4公 案.4解析：此函数的对称轴是X=h.当h-l 时，X=-1 时最小。，n=l+3h W-2n=h2-2h2+h 0）上一动点，且满足NPBO=/POA,求AP的最小值？图1答案：25/5-2解析：由已知易知NBP0=90（定角），且0B=4（定线段），P点为动点，必作圆。，以0B为直径作圆O c连接AC交圆与P点即为所求的动点，Ac=IOC2+OA2=722+42=2后OP=OC=2,：.AP=CA-CP=2A/5-2