2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型(原卷版).pdf

2020中 考 常 见 最 值 问 题 总 结 归 纳 微 专 题 一：单 线 段 最 值+单 动 点 _lXll二 次 函 数 最 值 公 式 法 夹 逼 法 函 数 最 值 一 元 二 次 方 程 判 别 式 法 一 元 二 次 方 程 配 方 法 设 X,构 造 函 数 法 利 用 一 次 函 数 增 减 性，确 定 最 值 轨 迹 直 线 型 单 动 点 型 轨 迹 圆 或 圆 弧 型 轨 迹 不 确 定 型 单 线 段 最 值 利 用 等 量 代 换 转 化 利 用 和 差 关 系 转 化 双 动 点 型-2-利 用 勾 股 定 理 转 化 利 用 三 角 形 边 角 关 系 转 化 几 何 最 值 两 定 一 动 PA+PB型 两 定 一 定 两 动 双 线 段 最 值 胡 不 归 模 型 PA+K*PB 型 阿 氏 圆 模 型 同 侧 差 值 最 大 PA-PA 型-异 侧 差 值 最 大 三 线 段 最 值 费 马 点 模 型微 专 题 一：单 线 段 最 值+单 动 点 型 类 型 一：动 点 轨 迹 一 直 线 型 考 法 指 导 动 点 轨 迹 为 一 条 直 线 时，利 用“垂 线 段 最 短”求 最 值。(1)当 动 点 轨 迹 确 定 时 可 直 接 运 用 垂 线 段 最 短 求 最 值(2)当 动 点 轨 迹 不 易 确 定 是 直 线 时，可 通 过 以 下 三 种 方 法 进 行 确 定 观 察 动 点 运 动 到 特 殊 位 置 时，如 中 点，端 点 等 位 置 时 是 否 存 在 动 点 与 定 直 线 的 端 点 连 接 后 的 角 度 不 变，若 存 在 该 动 点 的 轨 迹 为 直 线。当 某 动 点 到 某 条 直 线 的 距 离 不 变 时，该 动 点 的 轨 迹 为 直 线。当 一 个 点 的 坐 标 以 某 个 字 母 的 代 数 式 表 示 时，若 可 化 为 一 次 函 数，则 点 的 轨 迹 为 直 线。【典 例 精 析】例 题 1.(全 国 初 三 单 元 测 试)如 图，矩 形 中，AB=4,BC=6,点?是 矩 形 B C D 内 一 动 点，且 SPAB$立 CD,则 尸 c+尸。的 最 小 值 为.2万【详 解】A B C D为 矩 形,A B=D C q _ c又,3 PAB 一 APCD点 P 到 4 B 的 距 离 与 到 C D 的 距 离 相 等，即 点 P 线 段 A D 垂 直 平 分 线 N 上,连 接 N C,交 M N与 点 尸，此 时 P C+P。的 值 最 小，且 P C+P。=4 C=IA B2+BC2=A/42+62=4 5 2=2713故 2万【针 对 训 练】1.（湖 北 中 考 真 题 试 卷）如 图，等 腰 R 3 A B C中，斜 边 A B的 长 为 2,O 为 A B的 中 点，P为 A C边 上 的 动 点，O Q L O P交 B C于 点 Q,M 为 P Q的 中 点，当 点 P 从 点 A 运 动 到 点 C时，点 M 所 经 过 的 路 线 长 为（）D.22.(2017江 苏 中 考 真 题 试 卷)如 图，在 平 面 内，线 段 45=6,P 为 线 段 N 8 上 的 动 点，三 角 形 纸 片 C 0 E 的 边 C。所 在 的 直 线 与 线 段 Z 8 垂 直 相 交 于 点 尸，且 满 足 P C=P N.若 点 尸 沿 N 5方 向 从 点 N 运 动 到 点 5,则 点 E 运 动 的 路 径 长 为.3.如 图，等 边 三 角 形 ABC的 边 长 为 4,点 D 是 直 线 AB上 一 点.将 线 段 CD绕 点 D顺 时 针 旋 转 60。得 到 线 段 D E,连 结 BE.(1)若 点 D在 AB边 上(不 与 A,B重 合)请 依 题 意 补 全 图 并 证 明 AD=BE；(2)连 接 A E,当 A E的 长 最 小 时，求 C D的 长.类 型 二：动 点 轨 迹 一 圆 或 圆 弧 型 考 法 指 导 动 点 的 轨 迹 为 定 圆 时，可 利 用：“一 定 点 与 圆 上 的 动 点 距 离 最 大 值 为 定 点 到 圆 心 的 距 离 与 半 径 之 和，最 小 值 为 定 点 到 圆 心 的 距 离 与 半 径 之 差”的 性 质 求 解。确 定 动 点 轨 迹 为 圆 或 者 圆 弧 型 的 方 法：(1)动 点 到 定 点 的 距 离 不 变，则 点 的 轨 迹 是 圆 或 者 圆 弧。(2)当 某 条 边 与 该 边 所 对 的 角 是 定 值 时，该 角 的 顶 点 的 轨 迹 是 圆，具 体 运 用 如 下；见 直 角，找 斜 边，想 直 径，定 外 心，现 圆 形 见 定 角，找 对 边，想 周 角，转 心 角，现 圆 形【典 例 精 析】例 题 1.如 图，点。在 半 圆。上，半 径 8=5,3 4,点 在 弧 8。上 移 动，连 接 A C,作 垂 足 为 H,连 接 8,点 在 移 动 的 过 程 中，8 的 最 小 值 是 2夜-2【详 解】EA=ED=-A D=-x 4=2如 图，设 A D的 中 点 为 点 E,则由 题 意 得，点 H的 运 动 轨 迹 在 以 点 E为 圆 心，EA为 半 径 的 圆 上 由 点 与 圆 的 位 置 关 系 得：连 接 B E,与 圆 E交 于 点 H,则 此 时 8 取 得 最 小 值，EH=2连 接 BDAB为 半 圆 0 的 直 径 ZADB=90BD=yjAB2-A D2=7（5+5）2-42=2721BE=J BD2+ED2=7（2 V n）2+22=2V22BH=B E-E H=1 4 2 2-2【针 对 训 练】1.（江 阴 市）如 图，长 方 形 A B CD中，AB=6,B C=4,在 长 方 形 的 内 部 以 C D边 为 斜 边 任 意 作 R tA C D E,连 接 A E,则 线 段 A E长 的 最 小 值 是.2.（陕 西 省 中 考 模 拟）如 图，在 矩 形 45C D中，4B=4,AD=6,E 是 4 5边 的 中 点，尸 是 线 段 8 c上 的 动 点，将 AE8尸 沿 尸 所 在 直 线 折 叠 得 到 AE外 尸，连 接。，则 方。的 最 小 值 是.3.（湖 南 省）如 图，中，A B L B Cf A B=6,B C=4,p 是 N 8C内 部 的 一 个 动 点，且 满 足 NP/8+/P历 1=9 0,则 线 段。尸 长 的 最 小 值 为.4.（河 南 省）如 图，在 RtAJ8c中，Z C=90 NC=4,B C=3,点。是 A B的 三 等 分 点，半 圆。与 AC相 切，M,N分 别 是 BC与 半 圆 弧 上 的 动 点，则 M N的 最 小 值 和 最 大 值 之 和 是（）A.B.6 C.7 D.85.（2017 贵 州 中 考 真 题 试 卷）如 图，在 矩 形 纸 片 A8CD中，A B=2,A D=3,点 E 是 A B的 中 点，点 F是 A。边 上 的 一 个 动 点，将 白 力 针 沿 EF所 在 直 线 翻 折，得 到 E E,则 N C 的 长 的 最 小 值 是（）B.3V13-1 口.而-16.（山 东 省 中 考 模 拟）如 图，在 RtAABC 中，ZABC=90,4 4cB=3 0。，BC=2X,4ADC与 44B C关 于 AC对 称，点 E、F分 别 是 边 DC、BC上 的 任 意 一 点，且 DE=CF,BE、DF相 交 于 点 P,则 CP的 最 小 值 为（）3A.1 B.V3 C.2D.27.（2017四 川 中 考 真 题 试 卷）如 图，在 0 0 中，直 径 CD垂 直 于 不 过 圆 心。的 弦 A B,垂 足 为 点 N,连 接 A C,点 E在 AB上，且 AE=CE.（1）求 证：AC2=AE*AB；（2）过 点 B作。的 切 线 交 EC的 延 长 线 于 点 P,试 判 断 PB与 PE是 否 相 等，并 说 明 理 由;(3)设。0 半 径 为 4,点 N为。C中 点，点 Q在。上，求 线 段 PQ的 最 小 值.y=J x2 2x8.(2017浙 江 中 考 真 题 试 卷)如 图，过 抛 物 线“4 上 一 点 人 作 X 轴 的 平 行 线,交 抛 物 线 于 另 一 点 B,交 V 轴 于 点 C,已 知 点 A 的 横 坐 标 为-2.(1)求 抛 物 线 的 对 称 轴 和 点 B的 坐 标；(2)在 AB上 任 取 一 点 P,连 结 0 P,作 点 C关 于 直 线 0 P的 对 称 点 D；连 结 B D,求 BD的 最 小 值;当 点 D落 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上，且 在 X 轴 上 方 时,求 直 线 PD的 函 数 表 达 式.类 型 三：动 点 轨 迹 一 不 确 定 型 考 法 指 导 动 点 轨 迹 非 圆 或 直 线 时，基 本 上 将 此 线 段 转 化 为 一 个 三 角 形 中，(1)利 用 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边，两 边 之 差 小 于 第 三 边 求 最 值。(2)在 转 化 较 难 进 行 时，可 借 助 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 及 中 位 线 或 构 建 全 等 图 形 进 一 步 转 化 求 最 值。【典 例 精 析】例 题 1.(如 皋 市)如 图.已 知。的 半 径 为 3,0A=8,点 P为 0。上 一 动 点.以 PA为 边 作 等 边 A P A M,则 线 段 0 M的 长 的 最 大 值 为()A.9B【详 解】解：如 图，以 O P为 边 向 下 作 等 边 A P O H,连 接 AH,.-POH,A P A M都 是 等 边 三 角 形，.PH=PO,PA=PM,NPHO=NAPM=60,.ZHPA=ZOPM,HPA=AOPM(SAS),.,AH=OM,.AHOH+AO,即 AH11,AH的 最 大 值 为 11.则 O M 的 最 大 值 为 11.故 选 B.【针 对 训 练】技 法 1:借 助 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 1.（2014全 国 课 时 练 习）如 图，在 AABC中,4c=90。,AC=4,B C=2,点 A、C分 别 在 X轴、y 轴 上，当 点 A 在 x 轴 上 运 动 时，点 C随 之 在 丫 轴 上 运 动，在 运 动 过 程 中，点 B到 原 点 的 最 大 距 离 是（）A.6B.2 A/6 c.2泥 D.2 A/2+2技 法 2：借 助 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边，两 边 之 差 小 于 第 三 边 2.（山 东 省 初 二 期 末）如 图，已 知 等 边 三 角 形 A 8C边 长 为 2百，两 顶 点 A、8 分 别 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 x 轴 负 半 轴、轴 的 正 半 轴 上 滑 动，点 C在 第 四 象 限，连 接 则 线 段。长 的 最 小 值 是（）D.百 3.（三 明 初 三 期 中）如 图，Z M O N=9 0,矩 形 ABCD的 顶 点 A、B分 别 在 边。M、O N上,当 B在 边 O N上 运 动 时，A 随 之 在 0 M 上 运 动，矩 形 ABCD的 形 状 保 持 不 变，其 中 AB=4,BC=2.运 动 过 程 中 点 D 到 点 0 的 最 大 距 离 是.D4.(南 昌 初 二 期 末)如 图，在 NBC中，乙 4c8=90,NCAB=30。,A B=6,以 线 段 4 6 为 边 向 外 作 等 边 4 8 0,点 E 是 线 段 Z 6 的 中 点，连 结 C E并 延 长 交 线 段 工。于 点 F.求 证：四 边 形 B e 为 平 行 四 边 形；(2)求 平 行 四 边 形 B C F D 的 面 积；如 图，分 别 作 射 线 CM,C N,如 图 中 N 80的 两 个 顶 点 Z,8 分 别 在 射 线 CN,C M 上 滑 动，在 这 个 变 化 的 过 程 中，求 出 线 段 8 的 最 大 长 度.图 25.（河 北 省 初 三 期 末）如 图，在 放 中，N Z C 8=90。，将 绕 顶 点 C 逆 时 针 旋 转 得 到 是 8 C 的 中 点，N 是 4 8 的 中 点，连 接 M N,若 BC=4,4 B C=6 0,则 线 段 M N 的 最 大 值 为（）4 B.8 C.4百 D.6技 法 3：借 助 构 建 全 等 图 形 6.（广 东 中 考 模 拟）如 图，在 AABC中，ZACB=90,ZA=30,A B=5,点 P是 AC上 的 动 点，连 接 B P,以 BP为 边 作 等 边 A B P Q,连 接 C Q,则 点 P在 运 动 过 程 中，线 段 CQ长 度 的 最 小 值 是.57.（福 建 省 初 二 期 中）如 图，边 长 为 1 2的 等 边 三 角 形 ABC中，M 是 高 所 在 直 线 上 的 一 个 动 点，连 结/W B,将 线 段 B/W绕 点 8 逆 时 针 旋 转 60。得 到 B N,连 结 H N.则 在 点 M 运 动 过 程 中，线 段 H N长 度 的 最 小 值 是（）A.6 B.3 C.2 D.1.5技 法 4：借 助 中 位 线 8.（湖 北 省 初 三）如 图，在 等 腰 直 角 A/1 5 C中，斜 边 A B 的 长 度 为 8,以 A C 为 直 径 作 圆，点 尸 为 半 圆 上 的 动 点，连 接 5尸，取 B P 的 中 点 M，则 C M 的 最 小 值 为（)A9.（北 京 初 三）如 图，抛 物 线 一、1与*轴 交 于 4 8 两 点，。是 以 点（04）为 圆 心，1为 半 径 的 圆 上 的 动 点，是 线 段 的 中 点，连 接 瓦 8,则 线 段 的 最 小 值 是（）yA.23V2B.52D.3