2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：奇偶性1.pdf

2021北 京 重 点 校 高 一（上）期 中 数 学 汇 编 奇 偶 性 1一、单 选 题 1.（2021.北 京 市 H一 学 校 高 一 期 中）设 奇 函 数 X）的 定 义 域 为 R,当 x e（0,+oo）时，/（X）是 增 函 数，且/=0,则 不 等 式 对 1（X）2。的 解 集 是（）A.-l,01ul,+a)B.(,-lU0,lc.(Y,Tun,+()D.以 上 结 果 都 不 对 2.（2021北 京 市 十 一 学 校 高 一 期 中）已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 x）=幻+小，其 中 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数,m e R,给 出 下 列 四 种 说 法:m m e R,使 得 f（x）是 一 个 增 函 数:使 得/（x）是 一 个 奇 函 数;引“e R,使 得/*）在 区 间 上 有 唯 一 零 点.其 中，正 确 的 说 法 个 数 是（）A.0 B.1 C.2 D.33.（2021北 京 北 师 大 二 附 中 高 一 期 中）已 知 函 数 段）=加 1,若 对 任 意 的 烂 1有 犬 x+M x）0恒 成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是（）A.(-00,-1)B.(-00,-1 C.(-00,-2)D.(-00,-24.（2021北 京 八 十 中 高 一 期 中）奇 函 数/（x）在 区 间 3,6 上 是 增 函 数，在 区 间 3,6 上 的 最 大 值 为 8,最 小 值 为 一 1,则/（6）+/（-3）的 值 为（A.10 B.-10 C.9 D.155.（2021北 京 八 十 中 高 一 期 中）A.在 定 义 内 是 增 函 数 B.奇 函 数 C.偶 函 数 D.非 奇 非 偶 函 数 6.（2021北 京 八 十 中 高 一 期 中）已 知 函 数，（x）在 区 间（0,2）上 是 减 函 数，又 函 数 y=/（x+2）是 偶 函 数，那 A.在 区 间（2,4）内 是 减 函 数 B.在 区 间（2,4）内 是 增 函 数 C.在 区 间（-2,0）内 是 减 函 数 D.在 区 间（-2,0）内 是 增 函 数 7.（2021北 京 清 华 附 中 高 一 期 中）下 列 函 数 中，值 域 为 R 且 为 奇 函 数 的 是（）A.B.y=2x-D.y=-X8.（2021.北 京 北 师 大 二 附 中 高 一 期 中）已 知 函 数 g（x）=/（x）+2,若 人 力 是 奇 函 数,且 g（l）=3,则 g（-l）=（）A.-1 B.-3 C.1 D.3么 于 3（）)函 数 y=-是()C.y=9.（2021北 京 八 十 中 高 一 期 中）下 列 函 数 中 是 偶 函 数 的 是（）y=xx 0 时，f(x)=x2+2,则 12.(2021.北 京 市 H一 学 校 高 一 期 中)下 列 函 数 中，值 域 为 R 且 为 奇 函 数 的 有.y=|x|y=V y=x-y=2x y=x|x|13.(2021北 京 市 十 一 学 校 高 一 期 中)函 数 Ax)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，/(-D=0,且 对 于*W(。，+)(与 X W)都 有(4-)/(占)-/()0，则 不 等 式(X-D/(x)0；Vx,yeR 都 有/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).(1)判 断 并 证 明 函 数/(x)的 奇 偶 性；(2)判 断 并 证 明 函 数/*)在(0,”)上 的 单 调 性；(3)若 对 于 任 意 次。+8),不 等 式 幻 0 恒 成 立，求 实 数 人 的 取 值 范 围.17.(2021 北 京 101中 学 高 一 期 中)已 知 函 数/()=等 1 是 定 义 在-1,1上 的 奇 函 数，且/=?(1)求 函 数/*)的 解 析 式；(2)用 定 义 证 明 f(x)在 上 是 增 函 数；(3)若 实 数 f满 足 不 等 式/(f-D+f 0,求 f的 取 值 范 围 18.(2021 北 京 清 华 附 中 高 一 期 中)已 知/(x)是 定 义 在(ro,0)U(0,”)上 的 函 数，满 足 下 列 两 个 条 件:当 x 0 时，x)0恒 成 立;对 任 意 的 x,ye(y，0)U(。,”)，都 有/(x)/(y)=/(xy)+/(5).(1)求/和-1)的 值；(2)证 明：f(x)为 奇 函 数,并 且 f(x)=f(3)若“X)在 区 间(0,11上 单 调 递 减，直 接 写 出 关 于 X 的 不 等 式/(丁+1)+/卜；卜 0 的 解 集 19.(2021北 京 市 十 一 学 校 高 一 期 中)己 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x)=(a+l)2+(a-l)2T.(1)求 a 的 值；(2)用 单 调 性 的 定 义 证 明 Ax)的 单 调 性；(3)若 对 于 V S R,不 等 式/(产-2f)+/(2/T)0 恒 成 立，求&的 取 值 范 围.20.(2021北 京 市 十 一 学 校 高 一 期 中)若 函 数 f(x)的 定 义 域 为),集 合 M a。，若 存 在 非 零 实 数/使 得 V x e M,都 有 x-f e D,且/(x-r)0 时，/(x)=2x+l.(1)求/(x)的 解 析 式；(2)若 x 0 时，方 程/(力=*+比+2f仅 有 一 实 根 或 有 两 个 相 等 的 实 根，求 实 数 f的 取 值 范 围.223.(2021.北 京 市 十 一 学 校 高 一 期 中)已 知 函 数/。)=-乩 xyX(1)用 单 调 性 定 义 证 明：函 数 f(x)在(0,+8)上 递 减；(2)直 接 写 出 函 数 f(x)的 定 义 域 和 奇 偶 性，并 画 出 函 数 Ax)的 大 致 图 象；(3)设 g(x)=or-2,若 对 于 V e 2,4,总 支 2 K I,使/(七)=g&)恒 成 立，求 实 数 的 取 值 范 围.24.(2021北 京 八 中 高 一 期 中)已 知 函 数/(x)=log2(l+x),g(x)=log2(l-x).(1)求 函 数 f(x)-g(x)的 定 义 域;(2)判 断 函 数/(x)-g(x)的 奇 偶 性，并 予 以 证 明;(3)求 使/(x)-g(x)l成 立 的 x 的 取 值 范 围.25.(2021北 京 师 大 附 中 高 一 期 中)已 知 函 数 x)在 上 有 意 义，且 对 任 意 了 尸-1,1)满 足 小)+加/(潟).(1)求/(o)的 值，判 断 了(X)的 奇 偶 性 并 证 明 你 的 结 论；(2)若 x-l,0)时，/(x)0,判 断 f(x)在(一 1,1)的 单 调 性，并 说 明 理 由.(3)在(2)的 条 件 下，请 在 以 下 两 个 问 题 中 住 造：个 作 答：(如 果 两 问 都 做，按 得 分 计 入 总 分)若-|=1,请 问 是 否 存 在 实 数。，使 得 f(x)+/(a)+l*O恒 成 立，若 存 在，给 出 实 数。的 一 个 取 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.记 max a,6表 示“力 两 数 中 的 较 大 值，若 对 于 任 意 x e(-1,1),max|-|/(x)|,x2+m|x|+-10,求 实 数，”的 取 值 范 围？26.(2021北 京 市 陈 经 纶 中 学 高 一 期 中)己 知 函 数 Ax)的 定 义 域 为 R,且 满 足 对 于 任 意 都 有“x+y)=/(x)+/(y),且 当 x 0 时，/(x)o,且 川)=-3.(1)求/(0)与 3)的 值:(2)判 断/(x)的 奇 偶 性;(3)判 断/)的 单 调 性，并 证 明；(4)解 不 等 式 父+1)+/(劝=-9.27.(2021.北 京 八 十 中 高 一 期 中)已 知 函 数 f(x)=t T 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且/(1)求 函 数,X)的 解 析 式，以 及 零 点.(2)判 断 函 数，(x)在 区 间(0,1)上 的 单 调 性，并 用 函 数 单 调 性 的 定 义 证 明.(3)判 断 函 数 Ax)在 区 间(1,七)上 的 单 调 性.(只 需 写 出 结 论)(4)在 所 给 出 的 平 面 直 角 坐 标 系 上，作 出 JU)在 定 义 域 R 上 的 示 意 图.28.(2021北 京 清 华 附 中 高 一 期 中)已 知 函 数 f(x)=2x|x-a|+x.(1)若/(x)为 奇 函 数，求。的 值；(2)当”=1时，求 函 数 Ax)在 区 间 0,4 上 的 最 大 值；(3)若 Txe 1,1,函 数 f(x)的 图 像 恒 在 g(x)=2x图 像 下 方，求 实 数。的 取 值 范 围.29.(2021北 京 师 大 附 中 高 一 期 中)已 知 函 数 X)=三.(1)判 断 函 数/(x)是 否 具 有 奇 偶 性？并 说 明 理 由；(2)试 用 函 数 单 调 性 的 定 义 证 明：f(x)在(-1,+oo)上 是 增 函 数；(3)求 函 数 x)在 区 间 1,4 上 的 值 域.参 考 答 案 1.C【分 析】当*=0,-1,1时，不 等 式 加 幻 2 0 显 然 成 立，再 讨 论 当 xwO,xw-l,xwl时 不 等 式 的 解 集，综 合 即 得 解.【详 解】解:奇 函 数 f(x)在(0,+8)上 为 增 函 数，f(I)=0,函 数 f(x)在(YO,0)上 为 增 函 数，且/(-l)=-f(1)=0,当 x=0,-l,l时，不 等 式 4(x)2。显 然 成 立，当 X H 0,X H 1,X H 1 时,则 不 等 式 等 价 为 x 0 时，/(x)0,此 时 x l；当 x 0 时，/(x)0,此 时 x c l,综 上 不 等 式 的 解 为 X4-1或 xWl,故 不 等 式 的 解 集 为：(Y O,TUL田).故 选：C2.B【分 析】举 反 例/(0)=/Q 5)和/(0.5)=0,/(-0.5)=-1,得 到 错 误，计 算?=T 满 足 有 唯 一 零 点，得 到 答 案.【详 解】f(0)=0+m=优，/(0.5)=().5+m=%，故 错 误；若 m/n e R,使 得 x)是 一 个 奇 函 数，则/(0)=0+加=机=0,f(x)=W,/(0.5)=0,/(-0.5)=-1,故 假 设 不 成 立，错 误；当 xe0,l)时，f(x)=x+m=m,当 x=l 时，f(x)=lx+tn=+m,当 机=-1时，满 足/(x)在 区 间 0,1上 有 唯 一 零 点，正 确.故 选：B.3.C【分 析】首 先 结 合 已 知 条 件 可 知/(X)为 奇 函 数，利 用 奇 偶 性 的 对 称 性 和 函 数 解 析 式 求 出 单 调 性，然 后 将 不 等 式 转 化 为 f(x+m)f(-x),结 合 函 数 单 调 性 和 恒 成 立 含 义 即 可 求 解.【详 解】因 为/(x)=x|x|，所 以/(-x)=-x|-x|=-x|xb-/(x),故 为 X)为 奇 函 数,因 为 当 x N O 时,，/。)=X2单 调 递 增，故 f(x)在(-8,0上 单 调 递 增，因 为 对 任 意 的 立 1有 Ax+/n)+/(x)0恒 成 立，所 以 当 x M 1时，/(X+-/(x)=/(-X)恒 成 立，从 而 x+?-x,即 m-2x对 任 意 的 烂 1恒 成 立，从 而，-2,即 实 数，的 取 值 范 围 是 故 选：C.4.C【分 析】根 据 函 数 在 区 间 3,6 上 是 增 函 数，可 求 得 3)J(6),再 根 据 函 数 的 奇 偶 性 可 得 了(-3),从 而 可 得 出 答 案.【详 解】解：因 为/(x)在 区 间 3,6 上 是 增 函 数，所 以 在 区 间 3,6 上=6)=8,/(n=/(3)=-l,又 因 为 函 数/(X)为 奇 函 数，所 以-3)=-3)=1,所 以/(6)+/(-3)的 值 为 9.故 选：C.5.B【分 析】根 据 基 函 数 的 性 质 判 断 可 得；【详 解】解：函 数)=/。)=一 炉 定 义 域 为 R，且/(T)=(X)3=X 3=/(X),故 y=为 奇 函 数，因 为 y=V 在 定 义 域 上 单 调 递 增，所 以 y=-V 在 定 义 域 上 单 调 递 减；故 选：B6.B【分 析】根 据 函 数 V=/(x+2)是 偶 函 数，得 到 函 数 y=/(x)关 于 2对 称，结 合 函 数 对 称 性 和 单 调 性 的 关 系 进 行 转 化 判 断 即 可.【详 解】解：.函 数 y=/(x+2)是 偶 函 数，.函 数 y=/(X+2)关 于 y 轴 对 称，即 函 数 y=/(x)关 于 x=2对 称，函 数 f(x)在(0,2)上 是 减 函 数，函 数 f(x)在(2,4)上 是 增 函 数，故 选：B.7.C【分 析】利 用 基 本 初 等 函 数 的 奇 偶 性 与 值 域 可 判 断 各 选 项.【详 解】对 于 A,函 数 y=f 为 偶 函 数，值 域 为 不 满 足 条 件；对 于 B,函 数 y=2 x 7 为 非 奇 非 偶 函 数，值 域 为 R,不 满 足 条 件；对 于 C,令/(x)=x|x|,该 函 数 的 定 义 域 为 R,/(-V)=-x|-=-xx=-f(x),函 数/(x)=x|目 为 奇 函 数，当 x40时，fx)-x2 0时，./(x)=x2 0,所 以，函 数 x)=M 乂 的 值 域 为 R,满 足 条 件；对 于 D,函 数 y=g 为 奇 函 数，值 域 为 y|y*0,不 满 足 条 件.故 选：C.8.C【分 析】结 合 已 知 条 件 首 先 求 出/，然 后 利 用 奇 函 数 的 性 质 求 出-1),进 而 即 可 求 出 g(-D.【详 解】由 题 意 可 知，g(D=/(l)+2=3,则/=1,因 为 X)是 奇 函 数,所 以 f(T)=-F(D=-l,故 g(_l)(T)+2=-l+2=l.故 选：C.9.B【分 析】根 据 奇 偶 性 的 定 义 对 各 个 选 项 逐 一 判 断 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：对 于 A,因 为 函 数 y=f(x0)的 定 义 域 不 关 于 原 点 对 称，所 函 数 不 具 有 奇 偶 性，故 A 不 符 题 意;2对 于 B,函 数 y=x)=F、的 定 义 域 为 R,-力=号=犬)，所 以 函 数 为 偶 函 数，故 B 符 合 题 意；对 于 C,函 数=力=3工-1的 定 义 域 为/?,-x)=-3x-lxx),所 以 函 数 不 是 偶 函 数，故 C 不 符 题 意；对 于 D,函 数 y=/(x)=|x+l|的 定 义 域 为 R,因 为/(-1)=0*/(1)=2,所 以 函 数 不 是 偶 函 数，故 D 不 符 题 意.故 选：B.10.AB【分 析】根 据 函 数 解 析 式 直 接 判 断 各 选 项 中 函 数 的 奇 偶 性 及 其 在 区 间(0,+8)上 的 单 调 性，即 可 得 出 合 适 的 选 项.【详 解】一 1 1 1对 于 A 选 项，因 为=不、的 定 义 域 为 x|xw土 1,其 定 义 域 关 于 原 点 对 称，且(_才 _=，所 以 函 数 y=为 偶 函 数，又 该 函 数 在 区 间(0,+8)上 单 调 递 减，故 A 正 确；1 1 1 1对 于 B选 项，因 为 3-士 的 定 义 域 为 R,其 定 义 域 关 于 原 点 对 称，且/工 厂 目，所 以 函 数 丫=士 偶 函 数，又 该 函 数 在 区 间(0,+8)上 单 调 递 减，故 B 正 确；对 于 C选 项，因 为 y 的 定 义 域 为 x|x#i,其 定 义 域 不 关 于 原 点 对 称，函 数=白 是 非 奇 非 偶 函 数，故 C不 正 确；对 于 D选 项，因 为 y=匕 的 定 义 域 为 RXH-I,其 定 义 域 不 关 于 原 点 对 称，函 数 y=9 是 非 奇 非 偶 函 数，故 D不 正 确.故 选：AB.%2+2,(X0)11.-0,(x=0)x _ 2,(x 0)【分 析】根 据 奇 函 数 的 定 义 求 得 当 0 时，f(x)=x2+2,所 以 当 x 0 时，W/(%)=-/(-x)=-(-%)2+2=-x2-2,X2+2,(X0)所 以 0，(x=。)，x2-2,(x 0)故 答 案 为：0，(x=0)-X2-2,(JC0)1 2.【分 析】根 据 奇 偶 函 数 的 定 义 及 常 见 函 数 的 性 质 即 得.【详 解】对 于，y=1划 为 偶 函 数，故 错 误；对 于，y=x?为 奇 函 数 且 值 域 为 R,故 正 确;对 于 y=为 奇 函 数 且 值 域 为 R,故 正 确;对 于，y=2 为 非 奇 非 偶 函 数，故 错 误:对 于,y=x|x|x2,x 0-x2,x 0为 奇 函 数 且 值 域 为 R,故 正 确.故 答 案 为：.13.(1,0)【分 析】由 题 可 得 函 数/(X)在(0,+8)上 为 增 函 数，函 数“X)在(YO,0)上 为 增 函 数，不 等 式(X-l)/(x)00 或 x-1 0【详 解】函 数/(X)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，.f(T)=0,/(1)=0,又%,天(0,+0)(与 片 马)都 有(玉-&)/(芭)-/(入 2)0,.函 数 f M 在(0,+8)上 为 增 函 数，函 数 f(x)在(-C O,0)上 为 增 函 数，由/(X)0 得 X e(-1,0)U(1,),由/(x)0 f x-l 0由(x-l)/(x)0 得，或，./W 0.-.x e(-l,0).故 答 案 为：(T,0)14.-3【分 析】由+=可 得/(1)+2/(-1)=3,再 根 据 奇 函 数 的 定 义，即 可 求 解.【详 解】.x)+2/1)=3x,.-./(1)+2/(-1)=3,；f(x)为 定 义 在 非 零 实 数 上 的 奇 函 数,-/(1)=./(-I).B P/(l)-2/(l)=3,./(!)=-3.故 答 案 为：-3.15,-1-X2+6 x-8【分 析】(1)由 题 可 得/.(4+x)=f(x),再 结 合 条 件 可 求；(2)由 题 可 求 当 x e-1,0时，/(彳)=-炉-2,再 结 合 函 数 的 周 期 性 即 求.【详 解】:定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f M 满 足 f(2-x)=f(x),/(-x)=-f(x),/(2+x)=f(-x)=-f(x),A/(4+x)=/(x),即 函 数 f M 是 以 4 为 周 期 的 周 期 函 数,又 xw0,l时 f(x)=x2-lx,”(2021)=/(4 x 505+1)=/(I)=1-2=-1,.当 xe|-l,0J 时，-xe0,l,/(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,.当 xe3,4时，x-4e-l,0,f(x)=/(x-4)=-(x-4)2-2(x-4)=-x2+6x-8.故 答 案 为：(1)1；(2)-X2+6X-816.(1)偶 函 数，理 由 见 解 析(2)函 数，(x)在(),+)上 的 单 调 递 增，理 由 见 解 析(3)k占 0,则 空 0,上 五。，而 当 xe(。，”)，g(x)0,于 是 有 g(4 L)g(三)0,2.2.因 此，/(x)-/(x2)0,g|J/(x,)/(x2),所 以 函 数/(X)在(0,e)上 的 单 调 递 增.(3)由(1)知，函 数 f(x)是 R 上 的 偶 函 数，贝 if(f-l)-/(2r-%)0=/(|r-l|)0,g(：)0,f W=f(鸿)=呜-3)+28(刎 令/(O)=1,又 f M 在(0,一)上 的 单 调 递 增，则 有 f(x)在 0,+8)上 的 单 调 递 增，从 而 有(2/-A:)2(r-l)2 o 3t2-2(2k-V)t+k2-lQ,因 Vre0,+8),f(l)-/(2-幻 0,令 M，)=3尸 一 2(2&-1k+42-1,即 Vre0,+8),/?0 成 立，7-1而 二 次 函 数=(3f%Z+1)有 零 点，且 对 称 轴 为 f=，2 1 0因 此，I 3,解 得 无 一 1,所 以 实 数 左 的 取 值 范 围 0,xx2-20,而“f(r 1-玉%_ X+2x,-xx2-2X2 _(X2-X,)(X,X2-2)所 以 小 一 区)-0-(2+k)(2+石)(2+嫡(2+石)即 f(xt)f(x2),所 以/U)是 增 函 数；(3)不 等 式 化 为 是 奇 函 数，所 以 D/(T),又/(X)是 增 函 数 且 x e-1,1,所 以 解 得-41 2所 以 f的 取 值 范 围 是 10，；).18.(1)/=2,/(-1)=-2.(2)证 明 见 解 析(3)1,2【分 析】(1)令 x=l,y=-l,可 得 求 得/=2,再 令 x=y=-l,可 得 求 得 f(_1)=_2.(2)分 别 令 y=-i和 y=i,求 得/(x)/(-D=/(-x)/(l),进 而 得 到/(-x)=-f(x),得 出 函 数/(x)为 定 义 域 上 的 奇 函 数,再 令 y=i,结 合/1(1)=2,即 可 得 到 令 x)=fd).X(3)根 据 函 数 f(x)为 奇 函 数，得 到 转 化 为/(f+x+l)4”；),由 函 数 x)在 区 间(0 上 单 调 递 减，且/*)=/4)，证 得 函 数 f(x)在 区 间(1，e)上 单 调 递 增，结 合/(3)=f g),列 出 不 等 式 组，即 可 求 解.(I)解：因 为 函 数“X)满 足 x)/(y)=/(xy)+/(,且 当 x 0 时，/(x)0恒 成 立,令 x=1,y=T,可 得/(1)/(-1)=/(-1)+/(-I)=2/(-1),因 为 所 以 f(D=2,令 x=y=-1,可 得/(l)f(T)=f(l)+f(l),EP 72(-1)=2/(1),因 为/。)=2,且 当 x 0 时，x)0恒 成 立，所 以/(-1)=-2.(2)解：由 题 意，函 数 的 定 义 域(e,0)U(0,+8)关 于 原 点 对 称，令 y=T,可 得/(X)/(T)=T)+/(-3,X令 y=i,可 得 f(x)/=/(x)+3,X用-X 代 换 X,可 得/(-x)/(l)=f(-x)+/(-),X所 以/(x)/(-l)=/(-x)/(l),因 为/=2,/(-1)=-2,所 以 F(-x)=-F(x),所 以 函 数 X)为 定 义 域 上 的 奇 函 数.令 y=i,可 得/(无=/(x)+fd),X因 为/=2,可 得 2f(x)=f(x)+f d),即 f(x)=f(3.X X(3)解：因 为 函 数”X)为 奇 函 数，可 得/(-9=-/(5,则 不 等 式/(*+x+l)+/-g|/(x2+x+l)-/(-l)=/(l),因 为/(幻=/(3,所 以/(3)=/()，x 3由 函 数“X)在 区 间(0J上 单 调 递 减，且/(X)=/)，设,占(1，+)且/，可 得。一 一/(一)x2 X,X1%2所 以/(3)-/(%)=/()-f()V 0,即/(%)V/(w),X X2所 以 函 数/(x)在 区 间(Lxo)上 单 调 递 增，J 1 1y I y I 1 _所 以 不 等 式 转 化 为-3,解 得 X2+X+1_2/+K对 任 意 VeR恒 成 立，利 用 分 离 参 数 法 求 出 上 的 范 围.(1)解：；/(%)=(。+1)2,+(a-1)2T为 定 义 域 为 R 的 奇 函 数，/(0)=(a+1)2+(a-1)2=2a=0,所 以 a=0.经 检 验 成 立(2)解：由(1)知：/。)=2-，则”X)在 R 上 单 增，下 面 进 行 证 明:任 取 占,心 且 玉 2X,2X 0,2&0,卜 合)0恒 成 立 可 化 为：/(2/)y(-2/+Q 对 任 意 V/e M 亘 成 立，又 f(x)在 R 上 单 增，不 等 式 等 价 于-2f-2/+4对 任 意 VteR恒 成 立，即 A3产 一 2亘 成 立.记 g=3/一 2/,V t e R,只 需 g(，)ming(。=312 2，=3(，一；1 g 之,所 以 女 一,所 以 的 取 值 范 围 是,8,-(【点 睛】方 法 点 睛：(1)函 数 奇 偶 性 的 应 用：一 般 用/(x)=-/(x)或 x)=/(-x)；有 时 为 了 计 算 简 便，我 们 可 以 对 x 取 特 殊 值：A D=-/(1)/(1)=/(-1);(2)证 明 函 数 的 单 调 性 一 般 用：定 义 法；导 数 法；(3)分 离 参 数 法 是 解 决 恒(能)成 立 问 题 的 常 用 方 法.20.(1)函 数 g(x)是 区 间 邑 6上 的 3 函 数，力 W 不 是，理 由 见 解 析；(2)1；(3)存 在，-0,【分 析】(1)利 用 M 上 的/函 数 的 定 义 检 验 函 数 g(x)=x和(x)=-即 得 解；X(2)化 简 x-+得 X,对 于 xe 2,-1恒 成 立，求 函 数 的 最 值 即 得 解；x-n x x(3)利 用/(0)=0得 到“M O,再 作 出 函 数 f(x)的 图 象 分 析 即 得 解.(I)解：对 于 函 数 g(x)=x,D=R,Vxe4,6,x 3w),g(x-3)-g(x)=x-3-x=-30,，g(x-3)/Z(X),所 以 函 数 力(x)是 区 间 4,6上 的 3 函 数.x-3 x x(x-3)(2)解：因 为 函 数，(x)=x+1,。=次 二 0,M=-2,-l,x-，且 f(x)是 区 间-2,T上 的 函 数,X所 以 x-+v x+4,.一+!x-工 对 于 xg-2,-1恒 成 立，X因 为 y=x-2 是 增 函 数(增 函 数+增 函 数=增 函 数)，X所 以-1+1=0,所 以 正 整 数”的 最 小 值 为 I.(3)解：由 题 得/(。)=0,所 以 f(0)=|a|+a=0,.”4 0._ x+2a,x-a当 x 2 0 时，f(x)=|x+4+”=,-x,x-a由 于 函 数 f(x)是 奇 函 数，所 以 函 数 的 图 象 如 图 所 示，/(a)=/(-3a)=-,因 为/(x)为 R 上 的 2 函 数，所 以/(x-2)/(x)对 于 R 恒 成 立，21.(1)/(x)是 奇 函 数，证 明 过 程 见 解 析;(2)证 明 过 程 见 解 析.【分 析】(1)先 求 出 函 数 的 表 达 式，再 利 用 奇 偶 性 的 定 义 即 可 判 断;(2)根 据 单 调 性 的 定 义 进 行 证 明 即 可.(1)函 数/(x)在 其 定 义 域 上 是 奇 函 数，证 明 过 程 如 下.证 明：函 数/(切=三 且 且 1)=2.4+1=2,即。=1/(x)=-=x+-X X 力 的 定 义 域 为 为 k 声 0,关 于 原 点 对 称 又；f(-x)=-x-=-f(x)函 数 f(x)在 其 定 义 域 上 是 奇 函 数(2)证 明：设 T匕,Xj e(l,+oo),且 为 三，则 1 1=Xj-%2-%X2=xx2-x1l-x2+-L2 2=()VW.,xl x2x-x2 1,即 W-1 0/(x,)-/(x2)0二 函 数/(x)在(1，+)上 是 增 函 数.22.(1)(2)2 x-l,x 0)U12【分 析】(1)当 x 0,所 以”x)=-2 x+l,结 合 函 数 的 奇 偶 性，即 可 求 解.(2)根 据 题 意，转 化 为 1+(一 2+2，+1=0仅 有 一 个 负 根 或 有 两 个 相 等 的 实 根，结 合 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质，分 类 讨 论，即 可 求 解.(1)解：当 x 0,所 以/(-x)=-2x+l,又 因 为 x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，所 以-x)=-“X),所 以“x)=2x-l,2x-l,x0又 由/=0,所 以 函 数 的 解 析 式 为 r(x)=0(2)当 x 0 时，方 程/(x)=+fx+2/仅 有 一 实 根 或 有 两 个 相 等 的 实 根，即 2x-l=/+戊+2/仅 有 一 个 负 根 或 有 两 个 相 等 的 实 根，即/+-2 口+2/+1=0仅 有 一 个 负 根 或 有 两 个 相 等 的 实 根，当 2/+10时，即 时，方 程 的 两 个 根 同 号，由=Q-2)2-4(2/+l)=0,解 得 t=12或 f=0,若 f=0,方 程 为-2 x+l=(x-l)2=0,解 得 x=l,不 符 合 题 意；若=1 2,方 程 为 丁+10+25=。+5)2=0,解 得=5,符 合 题 意，综 上 所 述，f=12或 f-，即 实 数 f 的 取 值 范 围(v,-；)U12.23.(1)证 明 见 解 析；(2)函 数 Ax)的 定 义 域 为(F,0)U(0,+0,函 数 x)为 奇 函 数，图 象 见 解 析；1 3 9 p【分 析】(1)利 用 单 调 性 的 定 义 即 证；(2)利 用 函 数 解 析 式 及 函 数 单 调 性 即 得；(3)由 题 可 得 当 xe2,-l 时，/(x)e-l,l,再 通 过 分 类 讨 论 可 求 函 数 g(x)在 2,4 上 的 值 域，(1)VX|,x2 e(0,+8),且 A;x?,2 2 2 f(彳 2)=(-*2)(-H D(x2 一%)，Vx,x2 e(0,+8),X x?,2-F1 0,X,X 0,玉 X?.f a-0 即 f(x,)f(x2),：.函 数 f M 在(),一)上 单 调 递 减.(2)函 数/(*)的 定 义 域 为(T,0)U(0,+8),函 数/)为 奇 函 数，函 数/W 的 大 致 图 象 为:函 数 Ax)为 奇 函 数，函 数/(x)在(0,田)上 单 调 递 减，函 数/*)在-2,-1上 为 减 函 数，.,.当 x 2,1时,/(X)6 1,1,又 g(x)=ar-2,.当 a=0时，g(x)=-2,显 然 不 合 题 意，当 a0 时，xe2,4时，g(x)e2a-2,4a-2,若 对 于 口 2,4,总 叫 0-2,T,使&)=8(5)恒 成 立,2a-2-1 3则 4“一 241,解 得“日 夕 家，a0当 a-1J j l i J 2a-2 1,解 得 ae0,a01 3综 上 所 述，实 数 a 的 取 值 范 围 为 24.(1)(T1)(2)奇 函 数，证 明 见 解 析；【分 析】(1)根 据 对 数 函 数 的 真 数 大 于 0 建 立 关 系 式 可 求 出 函 数 的 定 义 域;(2)结 合 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义，即 可 求 解；(3)由 f(x)g(x)l,得 至 l o g 2 M 1=噫 2,进 而 根 据 对 数 函 数 单 调 性 解 不 等 式 即 可 得 答 案.(1)解：由 题 意，函 数/(尤)=log2(l+x),g(x)=log2(l-x),使 函 数 x)-g(x)有 意 义，必 须 有 1 7 0,解 得 所 以 函 数 x)-g(x)的 定 义 域 是(-1,1),(2)解：函 数/(x)-g(x)的 定 义 域 是(T1),所 以 定 义 域 关 于 原 点 对 称，所 以/(一 力 一 g(-X)=log2(l-x)-log2(l+x)=-log2(l+x)-log2(l-x)=-/(%)-g(x)所 以 函 数/(x)-g(x)是 奇 函 数.(3)解：使 f(x)-g(x)l,即 Iog2(l+x)-log2(l-x)l,1 4-Y所 以 log?匚 1=log,2,所 以 1 7 0,解 得 X 的 取 值 范 围 是 XWl+x 0所 以 不 等 式/(x)-g(x)1成 立 的 X 的 取 值 范 围 是 25.(1)/(0)=0,x)奇 函 数；证 明 见 解 析(2)f(x)在(-1)上 是 单 调 递 减 函 数；理 由 见 解 析(3)不 存 在；理 由 见 解 析；【分 析】令 x=y=0,得 到/(0)=0,再 令=T,可 得 司+/(_可=0,劲 儿 可 得 出 结 论；(2)设 任 意 办,修 e(T,l),不 当，令 8=内,丫=-，进 而 可 得 f(芭)一/(电)=，判 联 V-X1X2 J调 性 的 概 念 即 可 得 出 结 论.选 结 合 函 数 单 调 性 可 得 产 之：，进 而 可 得 二，八。1、八，解 不 等 式 即 可 得 出 结 论;选 令 国，re0,l),所 以 产+；之 0,进 而 分 1=0和 工 0两 种 情 况 讨 论 即 可 求 出 结 果.(1)令 x=y=o,则/(o)+/(o)=/(o),解 得 o)=o,令 则 力+-)=/三=0)=0,贝 V(-司=-/(力，又 因 为“X)定 义 域 为(-1,1),关 于 原 点 对 称，所 以“X)为 奇 函 数.f(x)在(-1,1)上 是 单 调 递 减 函 数.理 由：设 任 意 办,工 2 X,X2,x=x y=-x2,则/(芭)+/(-)=/：-/，即：1-XX2)因 为 大,X2 e(-1,1),Xj 0,l-x,x2 0,所 以。一 七 9)(马 一 玉)=(1+%)(1 9)。,所 以 一 因 为 x l,0)时,/(x)0,所 以/在 也 11-中 20,故/(4)7()，所 以/&)/(毛)，所 以/(x)在(-1,1)上 为 单 调 递 减 函 数.(3)选 由(2)知，x)在 上 是 单 调 递 减 函 数，且/卜；所 以=e(-l,l),因 为 x)+a)+1 2 所 以/(需)”(J，所 以 x+a+ax-2 gp 2x+a)+ax,(2-a)x+2 a-l 0,V x e(-l,l),所 以(2-a)-l+2 a-l 0(2-a)-(-l)+2-l 0,即 a N l,又 因 为 a e(-l,l),所 以 不 存 在 实 数。使 得/(x)+/(a)-1 NO恒 成 立.选 m a x|-|/(x)|,x2+w|x|+-ij0,V x e(-l j)由(2)知，力 在(-1,1)上 是 单 调 递 减 函 数,且 0)=0.所 以/面,=，所 以 H x)L=，所 以 f+加 国+；2。，VXG(-IJ)令，=国，reO,l),所 以/+,4若 1=0,m w R；若 ZW O,2之 一(+5),因 为/+工=1,当 且 仅 当 f 时 等 号 成 立，4/V 4/2所 以+/卜，所 以，“2-1.综 上，实 数 机 的 取 值 范 围 为 T,田).【点 睛】含 参 数 的 不 等 式 存 在 性 问 题，只 要 求 存 在 满 足 条 件 的 x 即 可；不 等 式 的 解 集 为 R是 指 不 等 式 的 恒 成 立 问 题，而 不 等 式 的 解 集 0 的 对 立 面(如./U)机 的 解 集 是 空 集，则 恒 成 立)也 是 不 等 式 的 恒 成 立 问 题，此 两 类 问 题 都 可 转 化 为 最 值 问 题，即/(x)a 恒 成 立 0