2022-2023学年北京市东城区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

2022-2023学 年 北 京 市 东 城 区 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合=-3，-2,-1,0,1卜 8=小=1-3,回，贝 y n 8=（）A.-3,-1 B.一 21 C.T T 1 D.【答 案】B【分 析】先 利 用 整 数 集 Z 的 概 念 与 列 举 法 得 到 集 合 8,再 利 用 集 合 的 交 集 运 算 即 可 得 解.详 解 因 为/=T-2,-1,0,1,8=x|x=l-3,eZ=,-5,-2,1,4,所 以 c B=-2,l故 选：B.2.设 复 数 z满 足 z i=l,则 z在 复 平 面 内 对 应 的 点 J）的 轨 迹 为（）A.直 线 B.圆 C.椭 圆 D.双 曲 线【答 案】B【分 析】根 据 复 数 的 儿 何 意 义 结 合 共 朝 复 数 的 概 念 即 可 得 解.【详 解】设 2=+炉，则 5=x-y i,由 z i=l得/+/=1,即 z在 复 平 面 内 对 应 的 点（x/）的 轨 迹 为 圆.故 选：B.3.抛 物 线 V=2/的 准 线 方 程 是（）1 1 1 1X=X=V=V=A.2 B.2 C.8 D.8【答 案】D【分 析】先 将 抛 物 线 方 程 化 为 标 准 形 式，再 根 据 抛 物 线 的 性 质 求 出 其 准 线 方 程.【详 解】抛 物 线 的 方 程 可 化 为/=1故 万 一 6其 准 线 方 程 为 了 一 一 故 选：D4.已 知 包 是 等 比 数 列，S为 其 前 项 和，那 么“%”是“数 列 3 为 递 增 数 列”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】分 别 从 充 分 性 和 必 要 性 入 手 进 行 分 析 即 可 得 解.【详 解】设 等 比 数 列/的 公 比 为 九 充 分 性：当 为,40,可 得 0,必 要 性 成 立.故“0”是“数 列 代 为 递 增 数 列”的 必 要 而 不 充 分 条 件.故 选：B.【点 睛】方 法 点 睛：证 明 或 判 断 充 分 性 和 必 要 性 的 常 用 方 法：定 义 法，等 价 法，集 合 包 含 关 系 法.5.过 直 线 4x+3y+10=上 一 点 尸 作 圆 C:X2+/-2 X=的 切 线，切 点 为 4 8 则 四 边 形 的 面 积 的 最 小 值 为（）3屈 3晒 A.瓜 B.5 C.5 D.2也【答 案】C【分 析】由 切 线 性 质 可 得“正？”？。，由 勾 股 定 理 表 示 出 归 进 而 得 解.【详 解】如 图，由 切 线 性 质 可 知，PBC,所 以:丁 明 罔，圆 的 标 准 方 程 为（I）+y 一 圆 心 为。（，半 径 为 厂=i,点 c 到 直 线 距 离=丁=二,|即 加 2力 阿 干 要 使 为 白 阿”何 最 小，需 使 附 舄=,故6.已 知 双 曲 线 C：C 的 方 程 为（）占-仁=i 片+2=i茄 一 3 一 的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 为 百，且 与 椭 圆 行+一 有 相 等 的 焦 距，则 f-/=lA.3B.y 二 1一 人 1C.9 3X2D.3【答 案】B2厂 2 1+y=1【分 析】根 据 椭 圆 5 的 焦 距 可 得 双 曲 线 C：=1/H 的 焦 距 2c,根 据 双 曲 线 C：t _=-=y/3/一 的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 为 6,可 得。一,结 合=/+求 得，即 可 得 出 答 案.X【详 解】解：因 为 双 曲 线 C：L=y/j所 以。一,即 人 二 百 明 X2 2-F y=1椭 圆 5 的 焦 距 为 4,2 J/b2 的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 为 百,所 以 双 曲 线 C：2 7-x-y-=1/b2 的 焦 距 2c=4,即。=2,又 因。2=/+=。2+3/=4,解 得。2=1,所 以=3,所 以 c 的 方 程 为 人 骨 1故 选：B.7.已 知 等 比 数 列“中，其 前 项 和 为 S,，前 项 积 为 1,且 S2=48,邑=60,则 使 得成 立 的 正 整 数 的 最 小 值 为（）A.10 B.1 1 C.12 D.13【答 案】C【分 析】根 据 等 比 数 列 前 项 和 公 式 得 到 首 项 和 公 比，进 而 得 到 前 项 积 为“，再 解 一 元 二 次 不 等 式 即 可.【详 解】等 比 数 列 中，其 前 项 和 为 且$2=4 8,S 6 0,贝|悭 片 1,（7）=48.1-q 例=32q。-）_6o 2 5 1 1 i o u，有+,q-4,Iq=一 2,2（iT.=a/4q 哈=a；m q?q-）=25n-=2?前”项 积,Wn ni1 cT,-1 1,.正 整 数 N 的 最 小 值 为 12.故 选：C.8.在 棱 长 为 2 的 正 方 体 B e。-4 G A 中，乂,N 两 点 在 线 段 4 G 上 运 动，且 龙 加=1,给 出 下 列 结 论：在 M,N 两 点 的 运 动 过 程 中，BDJ_ 平 面 B M N；在 平 面 C D D 上 存 在 一 点 P,使 得 PC/平 面 BMN.V2 三 棱 锥 A-M N 8的 体 积 为 定 值 3.以 点。为 球 心 作 半 径 为 2后 的 球 面，则 球 面 被 正 方 体 表 面 所 截 得 的 所 有 弧 长 和 为 比.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是（）A.B.C.D.【答 案】D【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，写 出 点 的 坐 标，当 点 N 移 动 到 点 时，由 于 Q 8/G=-4*故 8。与 8 N 不 垂 直，所 以 错 误；证 明 出 线 面 平 行，从 而 平 面 上 存 在 一 点 尸，使 得 尸 C”平 面 8M M；作 出 辅 助 线，利 用%-MNB=/叫 求 出 体 积 为 定 值；得 到 球 面 被 正 方 体 表 面 所 截 得 的 弧 为 3个 半 径 为 2 的 Z 圆 弧，求 出 弧 长 和.【详 解】以。为 坐 标 原 点，所 在 直 线 为 x 轴，Q C所 在 直 线 为 y 轴，所 在 直 线 为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 1,对 于，当 点 移 动 到 点 G 时，此 时 8(2,2,0),。(0,0,0)6(0,2,2),则 方=(2,2,0),南=(0,2,2)-(2,2,0)=(-2,0,2),因 为 丽 南=(2,2,0)(-2,0,2)=-4 片 0,所 以 8。与 8 N 不 垂 直，所 以 错 误；对 于，平 面 与 平 面 8 4 G 为 同 一 个 平 面，而 C R/8 4,所 以 当 点 P 在 C 上 时，总 有 P C/平 面 8 4 G,从 而 有 P C/平 面 8/M V,所 以 正 确;图 2如 图 3,连 接 BD、,BM,BN,交 4 G 于 点 o,则 8 al4 G,故 为 三 角 形 B幽 N 的 高,且 B Q=；BQ=/2所 以 1 1S.B、M N=&M N B。=Q X lx 4 i=%又 3用 1平 面,V _v _ 1 R R _ 1 O，-垃 故-、，-i Ml X 所 以 正 确；图 3。4=D B=DC=2V2以 点。为 球 心 作 半 径 为 2 0 的 球 面，球 面 被 正 方 体 表 面 所 截 得 的 弧 为 以 4 c 为 圆 心，3个 半 径 为 2 的 彳 圆 弧,3一 x 2兀 x 2=3兀 弧 长 和 为 4,所 以 正 确，故 选：D.9.已 知 函 数/G）=X-3X,下 列 说 法 中 错 误 的 是（）A.函 数/G）在 原 点&）处 的 切 线 方 程 是 3+=B.T 是 函 数/（X）的 极 大 值 点 C.函 数=cosx+/（x）在 R 上 有 2个 极 值 点 D.函 数 在 R 上 有 2 个 零 点【答 案】D【分 析】通 过 导 数 的 几 何 意 义 判 断 选 项 A,通 过 导 数 确 定/（、）的 单 调 性 和 极 值，判 断 选 项 B,进 一 步 通 过 y=/（x）的 图 象 与 片 COSX图 象 的 交 点 个 数，判 断 选 项 D,构 造 函 数，=csx+/（x）,通 过 多 次 求 导，判 断 了=cosX+/（X）的 单 调 区 间 和 极 值 判 断 选 项 C.【详 解】J（x）=xJ3x,J（x）定 义 域 为 R,f x）=3x2-3对 于 A,由 导 数 的 几 何 意 义，函 数/G）在 原 点（）处 的 切 线 的 斜 率=/（）=一 3,二 函 数/（X）在 原 点 他）处 的 切 线 方 程 为 y-=-3（x-0）,即 3x+=0,故 选 项 A 说 法 正 确；对 于 B,令/（X）=3X2-3=0,解 得 X=_ I 或=1,当 x e（-8,-l）u（l,+oo）时，/（X）在 区 间（一=o,T）和（1,+8）单 调 递 增；当 x e（-U）时，/）0,.J(x)=g(x)=_cosx+6x 在 R 上 单 调 递 增,且 M0)=g，(O)=7 o,产+,石 使/g G A o,当 xc(-8,x。)时，g(x),y=g(x)在 区 间&，+8)单 调 递 增，=g(x)在 R 上 的 最 小 值 为 媒=g(%)=-sinx0+3*-3=-sinx0+3(x；-1),.sinx。)。，-10 一.蒋=8&)=叫+3(片-1)0,.叫 W(-7t,Xo),使 ME,=g(X|)=0,切(与,兀)，使 W f=g(z)=o,.当 X e(-8，再 卜+8)时,y=g(x)0,y=COSX+/(X)在 区 间(-8,再)和(芍,+8)上 单 调 递 增 当(士 2)时，V=g(x)0,y=cosx+/(x)在 区 间(占 外)上 单 调 递 减，函 数 y=cosx+/(x)的 极 大 值 点 为 X,极 小 值 点 为&,.函 数 y=cosx+/(x)在 R 上 有 2个 极 值 点，故 选 项 c 说 法 正 确；对 于 D,由 选 项 B 的 判 断 知，/G)的 极 大 值 为 7)=2,极 小 值 为/(尸-2,又./()=/(一)=/(6)=.kcosx与 V=/。)在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 内 的 图 象 如 下 图：如 图 可 知，V=cosx与 V=/(x)在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 下 有 3个 交 点,即 方 程 cosx=/(x)有 三 个 实 数 解,即 函 数，=cosx-/(x)有 3个 零 点，故 选 项 D 说 法 错 误.综 上 所 述，说 法 错 误 的 选 项 为 D.故 选：D.10.数 列 J 的 前 项 和 为 工，若-2,j=S+l,则()A.数 列%是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ac.S”既 无 最 大 值 也 无 最 小 值 B.$6=481 1+D.la2 an1【答 案】Dan【分 析】根 据 血 下”间 的 关 系 求 出“”S，进 而 判 断 A,B；然 后 求 出 根 据 数 列 的 增 减 性 判 断 1 1 1-F-+H-C；最 后 通 过 等 比 数 列 求 和 公 式 求 出 4%,进 而 判 断 D.=_=3详 解 由 题 意，“句 时，%=+=6+1,又 可+“2=2,解 得：a-2，C，-2,a=3“22 时，a”=S“T+l,则=S=q,=a“+i=2a“，又 q,所 以 数 列 见 从 第 2 项 起 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列.A 错 误；易 得，3 x 2 1-2,贝/=%-1=3X2 T=47,R 错 误;a“=3 X 2-3=,7 i=3x2-2-l 2,._ 1 2 1=1时，S,Z2时，3x2、而 3X 2 T J是 递 减 数 列，所 以 a“13x2T=3“22 时，n+i-1 3-1 4综 上：S,ci.Cl.C错 误；1、10 1 1 1-=2-=-X-=1时，4 3,满 足 题 意；心 2 时，a 3 2”一，于 是,2.D正 确.故 选：D.二、填 空 题 11.已 知 向 量 8=（1，2）,4C=（3,m）,若 刘,正，则+一.5【答 案】2#2.5【分 析】利 用 平 面 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 求 得 切，再 利 用 平 面 向 量 线 性 运 算 和 模 的 坐 标 表 示 求 得 结 果.一 3 力/_ 3、【详 解】向 量”=（1，2）,羔=（3,，叫=（1,2）+*3,一|）=（2,|/而+次=卜+图-5故 答 案 为：212.设 等 差 数 列 J 的 前”项 和 为$【答 案】272【分 析】根 据 等 差 数 列 的 性 质 结 合 即 可.【详 解】因 为 数 列 是 等 差 数 列,Sq=9a5=27故 答 案 为：27f（x）=sin|2x+|13.将 函 数 1 3J的 图 1g（x）是 奇 函 数，则 夕 的 可 能 取 值 有）,若 刀 _ L k,有 1x3+2机=0,m 2,（，2）t12%+%二,，若 d,则 邑=_.%+。9 _始 可 得 牝=3,再 根 据 等 差 数 列 前 奇 数 项 和 的 性 质 求 解 2a3+旬 _/+。5+。9 _ 3%_ 3 _ 所 以 婚%,所 以 的=3,像 向 右 平 移。（。（。无）个 单 位 长 度，得 到 函 数 8（“）的 图 像，若 个.【答 案】2【分 析】根 据 函 数 图 像 平 移 得 到 g(x)解 析 式，由 8(“)是 奇 函 数 解 出 夕 的 取 值，再 由 e 兀，确 定 取 值 的 个 数./(x)=sin|2x+|【详 解】函 数 I 3J的 图 像 向 右 平 移 8(0 9 兀)个 单 位 长 度，得 到 函 数 g(町 的 图 像，g(x)=sin 2(x-)+1 sin!+y若 是/v奇 函 数，则 有-2(p+3=kit(k eZ)，解(p得=-6-2(k e Z)。n 2兀 由 0 夕 兀，则 上=0 时，6.氏=-1时，3,。的 可 能 取 值 有 2 个.故 答 案 为：214.设 常 数 R,函 数 A+铲，若 函 数 V=/G)+2 在 x e-l,O 时 有 零 点，则 实 数。的 取 值 范 围 是._9 _ r【答 案】L 7 3.t2+2t=-【分 析】令，=3)方 程 转 化 为 于 I t:,1在 L 3 时 有 解，结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 求.y=f(x)+2a=a-3x+2a=0【详 解】依 题 意 有 3、在 x e T，时 有 实 数 根,当。=时 显 然 不 成 立，故 设”3、，由 x e T，。得 气 丁,1 r1t+2/=t w方 程 等 价 于。在 L 3 时 有 解,结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 知 y=/+2/在 1 3 上 单 调 递 增，值 域 为 1 9 所 以 9 a W 4 4，解 得 7 一 一 3_9则 实 数。的 取 值 范 围 是 L 7 工 9 故 答 案 为：1 7 3_1+lnx15.给 出 如 下 关 于 函 数,x 的 结 论:/(，卜/日；对 七(0,1),都 电(1,+8),使 得/&)=/(阳)；却 0,使 得/&)/；对 V x 0,都 有/(x)+e e，其 中 正 确 的 有.(填 上 所 有 你 认 为 正 确 结 论 的 序 号)【答 案】【分 析】通 过 导 数 求 原 函 数 的 单 调 区 间，对 于 作 差 法 比 较 大 小；由 单 调 性 判 断 值 域，来 判 断 是 否 正 确；对 于 化 筒/G A 构 造 函 数 来 解 决 是 否 存 在 的 问 题；作 差，构 造 函 数 求 最 值 判 断 是 否 成 立.【详 解】函 数 八)一 X,定 义 域 为(，+8),吗 卜/(l)=2(lTn2)_|1l+ln|)=|(2-31n2 7 n|)=?2-l n(8 x|J=|(2-lnl2)0,“X)单 调 递 增，xe(l,+8),/(x)0,找 不 到 收)，使 得/(乙)=/(再),故 错 误;、1+lnx 1+lnx-x1 21 l-2 x2/(x)=2x=-,x0则 x,故 I 2 1(x)。，力(%)单 调 递 增,I 2 Y 1 1=-in 22 2x)_x=丁 7=-,令 3)=l+lnx-2,(工)单 调 递 减,2=1+比 正 交-ln202 2./约 历 1 1 1 c-In 2=7-0V 2T2 2即 土。使 得/G)x。，故 正 确;设 g(x)=l+l n x+e x,函 数 定 义 域 为(，+e),，/、1.2-2 e2x2+ex+l-(2ex+l)(e x-l)g/(x)=-+e-2e2x=-=-LX X X,x e(q g(x)0,8()单 调 递 增，(5+8 g G)0,都 有/(x)+e e 2 x,正 确；故 答 案 为：三、解 答 题 1 6.某 校 在 2021年 的 综 合 素 质 冬 令 营 初 试 成 绩 中 随 机 抽 取 4 0名 学 生 的 笔 试 成 绩，并 将 成 绩 共 分 成 五 组:第 1组 U5,8 0),第 2 组 1 8 0,8 5),第 3 组 昭，第 4 组 四，9 5),第 5 组 阴,1 0 0,得 到 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示.且 同 时 规 定 成 绩 小 于 85分 的 学 生 为“良 好”，成 绩 在 85分 及 以 上 的 学 生 为“优 秀”，且 只 有 成 绩 为“优 秀”的 学 生 才 能 获 得 面 试 资 格,面 试 通 过 者 将 进 入 复 试.(1)根 据 样 本 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 的 众 数：(2)如 果 用 分 层 抽 样 的 方 法 从“良 好”和“优 秀”的 学 生 中 共 选 出 5 人，再 从 这 5 人 中 选 2 人 发 言，那 么 这 两 人 中 至 少 有 一 人 是“优 秀，的 概 率 是 多 少？如 果 第 三、四、五 组 的 人 数 成 等 差 数 列，规 定 初 试 时 笔 试 成 绩 得 分 从 高 到 低 排 名 在 前 18%的 学 生 可 直 接 进 入 复 试，根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 初 试 时 笔 试 成 绩 至 少 得 到 多 少 分 才 能 直 接 进 入 复 试？【答 案】8269(2)10；初 试 时 笔 试 成 绩 至 少 得 到 93分 才 能 直 接 进 入 复 试【分 析】(1)根 据 最 高 小 长 方 形 底 边 中 点 对 应 的 横 坐 标 为 众 数，即 可 得 到 答 案;(2)先 计 算 出 5人 中“良 好，的 学 生 和“优 秀，的 学 生 的 人 数，再 古 典 概 型 的 公 式 即 可 求 解；由 第 三、四、五 组 的 人 数 成 等 差 数 列 和“优 秀”学 生 的 频 率 为 0 5,列 方 程 组 求 出”?，接 着 判 断 出 初 试 时 笔 试 成 绩 得 分 从 高 到 低 排 名 在 18%的 学 生 分 数 在 第 四 组，设 为 至 少 x 分 能 进 入 面 试，由 此 可 得(95-x)x 0.04+0.02x5=0.18,即 可 求 解.-(8 0+85)=82.5【详 解】(1)根 据 样 本 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 的 众 数 为 2；(2)“良 好”的 学 生 频 率 为(O-0 1+07)x 5=0.4,“优 秀”学 生 频 率 为 1 _ 0.4=0.6.由 分 层 抽 样 可 得“良 好”的 学 生 有 5x 0.4=2人,“优 秀，的 学 生 有 3 人，将 三 名 优 秀 学 生 分 别 记 为 Z,B,C,两 名 良 好 的 学 生 分 别 记 为 a,b,则 这 5 人 中 选 2 人 的 基 本 事 件 有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab I 0种，其 中 至 少 有 一 人 是“优 秀”的 基 本 事 件 有：4B,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共 9 种,所 以 至 少 有 一 人 是“优 秀”的 概 率 是 1。由 第 三、四、五 组 的 人 数 成 等 差 数 列 得(0.024-72)x5x40=2m x 5 x 40=0.02+=2m,又 三，四，五 组 的 频 率 和 为(+02+?)x5=0.6,m=0.04,w=0.06第 五 组 人 数 频 率 为 S 02x5=0.1=10%,第 四、五 组 人 数 的 频 率 为(。2+0,04)x5=03=30%,故 初 试 时 笔 试 成 绩 得 分 从 高 到 低 排 名 在 18%的 学 生 分 数 在 第 四 组，设 至 少 得 x 分 能 进 入 面 试，则(9 5-x)x 0.0 4+0.02x5=0.18=x=9 3)即 根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 初 试 时 笔 试 成 绩 至 少 得 到 93分 才 能 直 接 进 入 复 试.1 7.如 图，在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 夕 一/8 8 中，ZABC=60,PA=PC=t PB=PD,AB=6,E 为 线 段 上 一 点，且 PE=2ED.(1)若 尸 为 尸 E 的 中 点，证 明：8尸 平 面/C E；（2）求 二 面 角 尸 一/C-E 的 余 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 叵(2)13【分 析】（1）连 接 8。交 C 于,连 接 因 为 四 边 形/8 8 是 菱 形，所 以。为 8。的 中 点.可 证 E 为。尸 的 中 点，即 可 求 证。8尸，由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 明.（2）连 接 产,可 证 明 2 工 平 面 即 可 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 对 应 点 坐 标 和 对 应 平 面 的 法 向 量 即 可 求 解 二 面 角 尸 一 C-E 的 余 弦 值.【详 解】（I）证 明：连 接 8。交 力 C 于 0,连 接 因 为 四 边 形/8 S 是 菱 形，所 以。为 8。的 中 点.又 因 为 PE=2ED,F 为 尸 的 中 点，所 以 E 为。尸 的 中 点，所 以 OE/BF,又 因 为 8尸 0 平 面/C,O E u平 面 Z C E,所 以 8 F 平 面 ZCE.（2）连 接 尸,因 为 P/=P C,所 以 尸/C,因 为 PB=P D,所 以 P O,B O,而/c n 8=。，AC,BD u 平 面 Z8CD,所 以 P。上 平 面/8 C D.因 为 在 菱 形/B C D中，N/5 C=60。，所 以 A/。是 等 边 三 角 形，即 O O 1/C,分 别 以 直 线 为 x 轴、了 轴、z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 标 系，四,o,o c f,0,01 p fo,o,o fo,0由 题 意 得 I?J,I 2）,I 2）,2 J o 在 目 由 方=2月 5,得 I 3 6 J7 7,OC=0设 平 面/C E 的 一 个 法 向 量 为 4=（x，y，z）,由 l/OE=0 得 令 y=l,得 产-2”），取 平 面 P/C 的 一 个 法 向 量 为 2=（0，1，0）,OZ=O也 6=+与 23由 图 知，二 面 角 尸 一 N C-E 的 大 小 为 锐 二 面 角,叵 所 以 二 面 角 P-Z C-E 的 余 弦 值 为 13.=0/C 边 上 的 中 线 为 8。求 也（2）从 以 下 三 个 条 件 中 选 择 两 个，使“8 C 存 在 且 唯 一 确 定，并 求 C 和 8。的 长 度.条 件：a2-62+c2-3c=0；条 件 a=6；条 件 邑 盘=156.B=【答 案】3（2）选 择 条 件 和 条 件；/C=14,80=J历【分 析】（1）利 用 三 角 恒 等 变 换 对 已 知 等 式 进 行 化 简，即 可 求 解;（2）根 据（1）的 结 果，利 用 余 弦 定 理 可 判 断 条 件 错 误；根 据 条 件 和 条 件，利 用 三 角 形 面 sinA=积 公 式 可 得 c=l,利 用 余 弦 定 理 可 得 6=14,在“8 C 中，利 用 正 弦 定 理 可 得 一 寸，进 而 得,1 3cos A=r 到 14,在/瓦）中 利 用 余 弦 定 理 可 得=6【详 解】（1）解：因 为 cos 工-8+C0S 三 71+8=o6则 ncos-3V3f-cos5+2 2又 Q B 兀 3,故 3-sinsin)=06 J解 得：3=百 cos 8+sin 8=2 sin 8+。J=0（2）解：由（1）得 ZABC=cos/.ABC=又 余 弦 定 理 得：3,lac 2,所 以/+/一/=-4而 条 件 中/-从+。2-3。=0,所 以。=-3,显 然 不 符 合 题 意，即 条 件 错 误,S.Kr=ac sin Z.ABC=1 5A/3由 条 件 0=6,条 件 2,解 得 c=10,由 余 弦 定 理 可 得 从=a2+c2-2accosZJBC=36+100+60=196,所 以 6=14.b sin A在“8 C 中，由 正 弦 定 理 可 得 sin sin ZABC,解 得 0 A 4=1(b 0)119.已 知 椭 圆 旷 h-的 离 心 率 为 2,右 焦 点 为 尸，点/(a,0),且 4g=l.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)过 点 尸 的 直 线/(不 与 x 轴 重 合)交 椭 圆 C 于 点 M,N,直 线 四 1,M 4 分 别 与 直 线 x=4 交 于 点 P,Q,求 乙 P F 0 的 大 小.x 2-1【答 案】(1)4 3(2)4尸 产 0=90。c 1=一，a 2【分 析】(1)由 题 意 得 3-c=l求 出 a,c,然 后 求 解 6,即 可 得 到 椭 圆 方 程.(2)当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，验 证 尸 产/=,即 4Pp0=90。.当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设 y=k(x-yh y=k(xDl),其 中 原 0.联 立 l3厂+4/=12,得(4+3)xR8d x+4/口 12=0.由 题 意，知 A 0 恒 成 立，设 M G”为)，N(X2,把)，利 用 韦 达 定 理，结 合 直 线 的 方 程 为=气(2)小 鼻 鼻 占 一 2,求 出 I*一 2人 I x 2).利 用 向 量 的 数 量 积，转 化 求 解 即 可.c 1 Q _ 2，【详 解】（1）由 题 意 得=解 得 0 恒 成 立，设“（X”力），N（冷，小），则 QFP F Q=9+必=9+4/(演-1)。2 T)=9+4K g-G+x?)+l因 为(X,-2)(X2-2)(X(-2)(X,-2)取 2-2(演+超)+4”,2(4 公-12 8kl 八 产 不 丁 距 V 一 2 _ 2 A 弘 2+(*3)+_ 4/_ 1 2 16k2 4-*(4-2-1 2)-1 6-2+4(4-2+3)一 4 r+3 4k2+3 0,所 以 4PF0=9O.综 上，4尸 产 0=9 0./（）=2 0.已 知 函 数 ln x-l-axx（1）当=2时，求 曲 线，=/（X）在 点 Q j（x）处 的 切 线 方 程;若 1 2,求 证：/G M T.【答 案】（i）y+3=0；（2）证 明 见 解 析.【分 析】（1）利 用 导 数 的 几 何 意 义 求=/（x）在 a/。）处 的 切 线 方 程 即 可./、ln x-1 1 八，/、2-ln x-a x2g（x）=-ax+l 0、g（x）=-（2）将 问 题 转 化 为 证 明 x 在（，收）上 恒 成 立，求 导 得 x构 造 中 间 函 数 求 判 定 g（x）的 单 调 性 和 零 点 看 的 区 间，进 而 得 到 8（外-g（x。）,再 利 用 导 数 研 究 g（%）在 与 所 在 区 间 的 符 号，即 可 证 结 论.、lnx-1/（x）=-2x j W 5-2【详 解】（1）由 题 设，X，则 X2所 以 外）=,而/=一 3,所 以 曲 线 y=/（x）在 点 O J O）处 的 切 线 方 程 为 y+3=.ln x-1.八-ox+1 0,2-ln x所 以 g(x)=-一 2-a=X2-ln x-a r2x2/、In x-1,g（x）=-QX+1 ZA、（2）由/a）T,即,令 x 且 定 义 域 为（，田）,7/、。I 2 h x)=-2ax 0 h(x)=2-n x-a x,可 得 x,又 1 Q 0,g(e2)=-a 0,则 存 在 与 e(1,/)使 g(x0)=0,所 以（0，%）上 g（x）0,（%,+8）上 g，（x）0,即 g（x）在（0%）上 递 增，在（X。，+8）上 递 减 1 1+x0-2ax所 以 g(x)g(x0)=-x2-+1,g(/)=-2-o,又 mxo=z _ Q X o,故 x0令 9（x）=l+x_2ox2,则 d（x）=_ 4 0 r且%（1工 2）,故 0（工）0,所 以 火 X）在（1，）上 递 减，则 e（x）4。=2（1-a）0,即 g（x0）0在（1,5）上 恒 成 立,综 上，g(x)4 g(x)0,即 得 证 g(x)=-*n X-1-ax+1 0,所 以 4+为”关 于 k e M 单 调 递 增.所 以 c”=m in%+%也+的,也+an=bt+=1+2，从 而 得 证；(3)首 先 求 上 的 通 项 公 式，分 4，4=M 三 种 情 况 讨 论 证 明.详 解(1),“=一 也=，%=-1,/=_ 2,%=_ 3,4=1也=2也=3,q=min-1 x 11=0,c2=min 1-1 x 2,2-2 x 2=-2,c3=min-l x 3,2 2 x 3,3-3 x 3=-6(2)bk+akn=k+2n(k 0,所 以“+/.关 于 左 w N*单 调 递 增，所 以=m in4+q，a+a2n,-,b+ann=bt+=+2n所 以 对 任 意 2 Lc,=1+2,因 此-c,=2,所 以 是 等 差 数 列；(3)设 数 列”和 也 J 的 公 差 分 别 为 4，出，则 bk+fiak=瓦+(%-1)&+q+(4-1)4=4+a1n+(d2+必)(攵-1)bi+an+(一 l)(W+),4+叫 d-2-当 4 时，取 正 整 数 4,则 当 加 时，4+4,因 此 c“=4+w此 时，+1，%+2/一 是 等 差 数 列.当 4=0 时,对 任 意 21,cn=b+an+(ii-)mind2,0=b+a+(/?-l)(min(/,0+a,),此 时，。，。、，是 等 差 数 列 当 4-当 小 时，有 a?+4 0c 4+%+(-1)(42+4)b-d)所 以 n maxy+4一 I 恪 对 任 意 正 数，取 正 整 数&4J,M故 当 N 机 时，【点 睛】易 错 点 睛：本 题 主 要 考 查 函 数 与 数 列 的 综 合 问 题，属 于 难 题.解 决 该 问 题 应 该 注 意 的 事 项：(1)数 列 是 一 类 特 殊 的 函 数，它 的 图 像 是 一 群 孤 立 的 点；(2)转 化 以 函 数 为 背 景 的 条 件 时，应 该 注 意 题 中 的 限 制 条 件，如 函 数 的 定 义 域，这 往 往 是 很 容 易 被 忽 视 的 问 题；(3)利 用 函 数 的 方 法 研 究 数 列 中 的 相 关 问 题 时，应 准 确 构 造 相 应 的 函 数，注 意 数 列 中 相 关 限 制 条 件 的 转 化.