2022年高考数学（文）模拟卷5（全国卷）（解析版）.pdf

2022年 高 考 数 学（文）模 拟 卷（全 国 卷）二 轮 拔 高 卷 05（本 卷 满 分 150分，考 试 时 间 120分 钟。）一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 6 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 集 合 4=卜 卜 2-3-100,8=y|y=2+2-,则 A B=（）A.2,5）B.（-2,2 C.2,-KK）D.（0,2【答 案】A【解 析】因 为 2、+2r 22户 A=2,当 且 仅 当 2,=2 T 时 取 等 号，即 当 x=0 时 取 等 号，所 以 8=y|y=2+2T=y|y2,因 为 A=卜 卜?一 3“一 10 o=x|-2 x5,所 以 A c B=2,5）.故 选：A2.若 复 数 z满 足 z（l-2i）=3-i（，为 虚 数 单 位），则 复 数 z的 共 物 复 数 为（）A.1 i【答 案】AB.1+z C.-1-j D.-1+z【解 析】Vz(l-2z)=3-z,3-z(3-Z)(l+2Z)5+5z1-2/(I-2/)(1+2z)-5.复 数 z的 共 辆 复 数 为 17.故 选：A.3.已 知 角 二 的 顶 点 为 坐 标 原 点，始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合,（）A J R 8 7A.-g B-9 C.-【答 案】C【解 析】由 三 角 函 数 定 义 可 知 tana=丝 空=更 吧，8 cos a3cos2 a=8sina=3-3sin2 a，解 得 sin a=；或 sin 2=-3（舍 去），7则 cos2a=1-2sin?a=.故 选：C.且 尸（8,3cosa）为 a 终 边 上 一 点，贝 ij cos2a=8-D.94.若 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数，例 如 0.3=0,.则 如 图 中 的 程 序 框 图 运 行 之 后 输 出 的 结 果 为（）A.102 B.684 C.696 D.708【答 案】C【解 析】印 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数，所 以 该 程 序 框 图 运 行 后 输 出 的 结 果 是:从-而 01 到 记 9 共 10项 均 为 0,而 10 至 I 历 19 共 10项 均 为 1，而 201 至 4 而 291 共 10项 均 为 2,，F 而 1101 至）而 119 一 共 10 项 均 为 11,号 到 哥 共 3 项 均 为 所 以：S=10 x（l+2+3+1 l）+12x3=10 x+36=696.故 选：C.5.已 知 变 量 x，y之 间 的 线 性 回 归 方 程 为 y=-o.4x+7.6,且 变 量 之 间 的 一 组 相 关 数 据 如 表 所 示，则 下 列 说 法 错 误 的 是 X 6 8 10 12y6 m 3 2A.变 量 之 间 呈 现 负 相 关 关 系 B.?的 值 等 于 5C.变 量 x,y之 间 的 相 关 系 数=-0.4D.由 表 格 数 据 知，该 回 归 直 线 必 过 点（9,4）【答 案】C【解 析】对 于 A：根 据 b 的 正 负 即 可 判 断 正 负 相 关 关 系.线 性 回 归 方 程 为-0.4X+7.6,b=-0.7 0,负 相 关.对 于 B：根 据 表 中 数 据：x=9.可 得 亍=4.即:（6+m+3+2）=4,解 得：m=5.对 于 C：相 关 系 数 和 斜 率 不 是 一 回 事，只 有 当 样 本 点 都 落 在 直 线 上 是 才 满 足 两 者 相 等，这 个 题 目 显 然 不 满 足,故 不 正 确.对 于 D：由 线 性 回 归 方 程 一 定 过（1 亍），即（9,4）.故 选 C.6.已 知 A A B C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若（28-G g c o s A=&zc o sC,则 角 A 的 大 小 为（）T C r T C 71-57rA.y B.C.D.6 4 3 12【答 案】A【解 析】E tl（2/?-V3c j cos A=yf3a cos C 得 2Z?cos A=J 5（acosC+ccosA）,由 正 弦 定 理 得 2sin Bcos A=6（sin Acos C+sin C cos A）=G sin（A+C）=百 sin 8,又 sin 3 H 0,得 COSA=E,A=g.故 选：A.2 67.过 点 P（2,2）的 直 线 4与 圆（x-l+y 2=i相 切，则 直 线 4 的 方 程 为（）A.3 x-4 y+2=0 B.4 x-3 y-2=0C.3%-4+2=0或=2 D.41一 3y一 2=0或 x=2【答 案】C【解 析】当 过 P（2,2）的 直 线 4斜 率 不 存 在 时，方 程 为 x=2,与 圆（x-1+丁=1相 切，满 足 题 意：当 过 P（2,2）的 直 线 4斜 率 存 在 时，设 方 程 为 y 2=Z（x 2）,即 H-y-2 左+2=0,圆（x-1）2+/=1的 圆 心 到 4 的 距 离 d=卜,二 2%+2|=,解 得:收+ik=243 1./l：-x-y+-=0,即 3 x-4 y+2=0；.直 线 人 的 方 程 为 3 x-4 y+2=0 或 x=2.故 选：C.8.已 知 直 线 y=x+l与 曲 线 y=ln（x-a）相 切，则。的 值 为（）A.2 B.1 C.-1 D.-2【答 案】D【解 析】直 线 产 x+1的 斜 率 为 I,对 曲 线 y=ln（x-a）求 导 得 炉=-=1,x=a+l,将 x=a+l 代 入 直 线 y=x+l中，得=a+2,则 点（a+l,a+2）为 切 点,带 入 曲 线 方 程 得+2=ln(a+l-a)得”=一 2；故 选：D.9.已 知 函 数=优-2 _ 5 0 且 a/1)的 图 象 过 定 点(?,)，则 不 等 式/+松+io的 解 集 为()A.(1,3)B.(-3,-1)C.(oo,-3)J(l,+oo)D.(3,1)【答 案】D【解 析】当 x=2时，/(2)=片-2_5=。-5=15=T,故 机=2,=Y,所 以 不 等 式 为 J+2 x 3 0,解 得-3 x 0,加 0,阚 曰，其 图 象 关 于 点 上?可 对 称 且 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 TT的 距 离 为 个，则 下 列 判 断 正 确 的 是()A.函 数/(x)的 图 象 关 于 直 线 x*%对 称 B.当=卡 时，函 数 f(x)的 值 为 6C.要 得 到 函 数 x)的 图 象，只 需 将 y=2cos2x的 图 象 向 右 平 移 高 个 单 位 D.函 数/(x)在 上 单 调 递 增 O O【答 案】C【解 析】由 函 数 y=X)的 图 象 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 可 得:所 以 7=T,所 以 0 q=2.又 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 点 层，oj对 称，所 以 2乂 卜 高+涔 hrQeZ),且 时 杉,解 得：9=(，所 以/(x)=2sin12x+?对 于 B：不 是 最 低 点，也 不 是 最 高 点，故 A 错 误；当 户 若 时，S=2sin(2x(一 图+切=2si吟=1=6故 B 错 误;对 于 C：将 y=2cos2x的 图 象 向 右 平 移 三 个 单 位,得 至|J y=2cos2(x-jJ=2cosf 2x-J=2sinf 2x+y故 C正 确;对 于 D：当 时，2x+e 0,-，所 以 当 xw 一 嗜 时，W 2 A T+G 0,y=/(x)单 调 递 6 6 J 3|_ 3|_6 12 J 3 2 增；当 时，2x+枭，y=x)单 调 递 减，故 D 错 误.故 选：C.11.在 四 面 体 A8CZ)中，已 知 平 面 A B Z)平 面 ABC,H AB=AD=DB=AC=CB=4,其 外 接 球 表 面 积 为()40 80A.7 t B.7t C.167r D.20%3 3【答 案】B【解 析】四 面 体 ABC。中，取 A 8的 中 点 区 连 CE,D E,如 图：n因 A B=A P=O 8=AC=C8=4,fi DE AB,CE A.A B,有 A5_L 平 面 CDE,所 以 平 面 CDEJL平 面 A 8 C,平 面。陀 _1 _平 面 4 3 Q,令 正 A3。中 心 为。2,正 B C 中 心 为 0 人 在 平 面 C Q E内 分 别 过。，。2作 直 线。的 垂 线，两 线 交 于 点 O,则 有 OQ_L平 面 ABC 平 面。2。，平 面 A8D,由 球 的 截 面 小 圆 性 质 知，四 面 体 4B C O外 接 球 球 心 在 直 线。和 直 线。2。上，即 点。是 球 心，连 0 4,O A0 A 即 为 球。的 半 径，因 平 面 平 面 A 3 C,则 NCE=9 0，而 O|E=O2E=；CE=，。|4=。0=1(7：=警,即 有 四 边 形 OO EO?是 正 方 形，则 0 0=0或=竿，中，ZOO,4=90则 OA=个 0 0；+0加=所 求 外 接 球 的 表 面 积 S=4G OA2=4公 故 选：B12.若 存 在 两 个 不 相 等 的 正 实 数 x,y,使 得 加(y-x)+e，-e=O成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是()A.mC.tn-D.m 0),则 存 在 两 个 不 相 等 的 正 实 数 x,使 得 f(x)=/(y),即 存 在 垂 宜 于)，轴 的 直 线 与 函 数，的 图 象 有 两 个 公 共 点，r0,fXt)=m+e,而 e f l,当 加 2 1时，,函 数/在(0,+A)上 单 调 递 增，则 垂 直 于 y 轴 的 直 线 与 函 数/的 图 象 最 多 只 有 1个 公 共 点，不 符 合 要 求，当?-1 时，由 八 力=0 得 f=ln(-/n),当 0 xln(m)时,/(/)ln(-m)时，/(，)0,即 函 数/在(O，ln(-m)上 单 调 递 减，在(ln(-M,+oo)上 单 调 递 增，/)、；“=/(ln(-m)=m ln(-m)-m,令 g(r)=e-Qi),gXt)=e-2t,令(f)=e2 r,贝 lj/)=e-2 0,即 在(1,内)上 单 调 递 增，/1(/)7i(l)=e-2 0,即 g(f)0,gQ)在(1,物)上 单 调 递 增，则 有 当 rl时，e产,77e+mt t2+mt 而 函 数 产+,”.隹(-,+/+”=-m+1 1，而 0)=1,因 此，存 在 垂 直 于)，轴 的 直 线 y=a(ln(-m)-他 与 函 数/(，)的 图 象 有 两 个 公 共 点，所 以 实 数，的 取 值 范 围 是“-2【答 案】3【解 析】由 题 设，可 行 域 如 下 图 示，而 z的 几 何 意 义 为 直 线 z=2 x+y 与 可 行 域 有 交 点 时，该 直 线 在)，轴 上 的 截 距，由 图 知：当 直 线 z=2 x+y过 点(1,1)时，z取 得 最 大 值 3.故 答 案 为：3.14.已 知 向 量 4=(2,1),6=(1,0),c=(l,2),若 c_L(a+必)，则 机=.【答 案】-4【解 析】依 题 意：c-a+mb=c-a+me-b=2xl+lx2+w(lxl+2x0)=0,解 得?=-4,故 答 案 为：-4.15.抛 物 线/=8 x 焦 点 为 F,尸 为 抛 物 线 线 上 的 动 点，定 点 A(3,2),则 I PA|+|用 的 最 小 值 为【答 案】5【解 析】准 线 为 x=-2,过 户 作 准 线/的 垂 线 P M,垂 足 为 M,则|PM|=|PF|,所 以|PF|+|R4|=|P M|+|M，易 知 当 M,P,A三 点 共 线 时 取 得 最 小 值 为 3-(-2)=5,故 答 案 为：5.16.如 图，在 正 方 体 中，点 尸 在 线 段 B C上 运 动，则 下 列 命 题:直 线 B，_L平 面 AG。三 棱 锥 P-AG。的 体 积 为 定 值 其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.【答 案】【解 析】4A对 于，连 接 4 A，AG _L B R,_L BB,BQ c BB=g,/.AG-L 平 面 BBR,AG-L BD1,同 理，DC.BD,AG c DC=G,直 线 BR _ L平 面 AG。，故 正 确；对 于，D/Btc,A O u 平 面 4G。，BCz 平 面 AG。,BC 平 面 AG。，,点 P在 线 段 BC 上 运 动，点 P到 平 面 AC,D的 距 离 为 定 值，又，AG。的 面 积 为 定 值，=棱 锥 P-A G。的 体 积 为 定 值，故 正 确；三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 60分。17.（12 分）设 数 列 叫 的 前”项 和 为 S，q=2,a+l=2+5n（neN*）.（1）求 数 列 4 的 通 项 公 式；（2）设 d=l+log,（,）2,求 证：数 列 的 前 项 和 北，.【解 析】因 为 4 M=2+S,5eN”），所 以 4,=2+S.T（.2）.所 以 4用 一 所 以 4+i=2,（.2）,又 因 为 4=2+4=4,q=2,所 以 4=2 4，所 以 数 列 4 是 以 2 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列，则 a“=2-2T=2（eN*）.（2）证 明：因 为 么=l+log2（a,）2,则”=2+l.贝 I!（一!-b“b用 212+1 2+3广 1 1 1 1 1 1 1.1 1 1、1所 以（二（-1-1-H-）=-（-）-.2 3 5 5 7 2+1 2+3 2 3 2+3 618.（12分）京 广 高 速 铁 路（又 称 京 广 高 铁）是 中 国 运 营 中 的 高 速 客 运 专 线 之 一，被 誉 为 世 界 上 运 营 里 程 最 长 的 高 速 铁 路,在 出 行 人 群 中 越 来 越 受 欢 迎.现 交 通 部 门 利 用 大 数 据 工 具 随 机 抽 取 了 沿 线 城 市 出 行 人 群 中 的 1003名 旅 客 进 行 调 查 统 计，得 知 在 这 100名 旅 客 中 40岁（含）以 下 采 用 乘 坐 京 广 高 铁 出 行 的 占；.440岁（含）以 下 40岁 上 合 计 乘 京 广 高 跌 10不 乘 京 广 高 跌 合 计 60 100（1）请 完 成 的 2x2列 联 表，并 由 列 联 表 中 所 得 数 据 判 断 有 多 大 把 握 认 为“乘 坐 京 广 高 铁 出 行 与 年 龄 有 关”?（2）为 优 化 服 务 质 量，铁 路 部 门 从 这 100名 旅 客 按 年 龄 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 随 机 抽 取 5人 免 费 到 广 州 参 加 座 谈 会，会 后 再 进 行 抽 奖 活 动，奖 品 共 三 份.由 于 年 龄 差 异，规 定 40岁（含）以 下 的 旅 客 若 中 奖 每 人 得 800元,40岁 以 上 的 旅 客 若 中 奖 每 人 得 1000元，这 两 个 年 龄 段 的 得 奖 人 数 分 别 记 为 M 与 N.设 旅 客 抽 奖 所 得 的 总 金 额 为 X 元，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望 E（X）.nad-bc(a+/)(c+d)(a+c)(6+d)参 考 公 式：K2=n=a+b+c+d.参 考 数 据 如 表 P(K2k0)0.100 0.050 0.010 0.001ko2.706 3.841 6.635 10.8283【解 析】由 已 知 可 得，40岁（含）以 下 采 用 乘 坐 京 广 高 铁 出 行 的 有 如 45人 2x2歹 U联 表 如 表:4。岁（含）以 下 40岁 上 合 计 乘 京 广 高 跌 45 10 55不 乘 京 广 高 跌 15 30 45合 计 60 40 100列 联 衣 中 的 数 据 计 算 可 得 K-的 观 测 值 100 x（45x30-15xl0）2 _K/4./今,60 x40 x55x45由 于 24.24 10.828,故 有 99.9%的 把 握 认 为“采 用 乘 坐 京 广 高 铁 出 行 与 年 龄 有 关”.（2）采 用 分 层 抽 样 的 方 法，从“40岁（含）以 下”的 人 中 抽 取 3人,从“40岁 以 上 的 人 中 抽 取 2 人,X=800M+1000N.M=2,N=或 M=N=2M=3、或 N=0由 X 的 可 能 取 值 为：2400,2600,2800呼=2颂）=等 亮、C2cl 6P（X=2600）=-=Cl 10Cc2 3P（X=2800）=-=故 分 布 列 如 表：数 学 期 望 E（X）=2400 x+2600 x9+2800 xa=264（）.V 10 10 10X 2400 2600 2800p1W6lo3lo19.（12分）如 图，在 等 腰 梯 形 A 8 C D 中，AB CDE,P分 别 为 A 8,8 的 中 点 CO=2A8=2E尸=4,加 为。尸 中 点，现 将 四 边 形 8EFC沿 E F 折 起，使 平 面 B E F C L 平 面 4 E F O,得 到 如 图 所 示 的 多 面 体，在 图 中.（1）证 明：E F 1 M C；（2）求 三 棱 锥 的 体 积.【解 析】（I）由 题 意，可 知 在 等 腰 梯 形 4 8 8 中，AB/CD,：E,F 分 别 为 AB,C O 的 中 点，A EFAB,EF CD.折 叠 后，E F 1 D F,E F L C F.：D F c C F=F,：.EFJ-平 面 DCF.又 M C u 平 面。CF,/.E F 1MC.（II）易 知 AE=3E=1,D F=CF=2.：D M=,；.M F=l=A E.又 A E/M F,四 边 形 AEFM 为 平 行 四 边 形.A A M/EF,故 AA7_LrF.平 面 B E F C L 平 面 A E E D，平 面 B E F C c 平 面 A7Z=E F,且=BE JL 平 面 AEFD=X SMM Z JXBE=x x 1x 2 X 1=.即 三 棱 锥 用-A B D 的 体 积 为;.20.（12分）已 知 椭 圆*+=1（。6 0）的 离 心 率=半，焦 距 是 2正.（1）求 椭 圆 的 方 程；（2）若 直 线 丫=履+2伙 工 0）与 椭 圆 交 于 C、。两 点，仁 必=乎，求 左 的 值.【解 析】（1）2c=2先，C：=2,又=必，所 以：=3,6=1a 3二 椭 圆 方 程 为 工+V=1.32（2）设。（苔，y）、o（w，%），将 J 二&一？带 入 3+_/=i整 理 得（1+3/）/+1 2 h-9=0所 以 有 A=（12A）236（1+3左 2）0 12k；+2=-许，9X.-X.=-71 2 1+3二|CD|=7（*i-x.y+0 i-：）2岛 的=沟 3-喊:所 以 竽=而 不 三 七）a z s.122 Jr2 比 又（X1一 必.（Xj*x,）*-4X K、-r1 j（1.3Jt:）3 1*3 V代 入 上 式，整 理 得 忒-侬，=娜 即（7+9）（附-3）=0解 得.常=一 孑 舍 去）或 好=3.即 人:忑 经 验 证，左=:档 使 成 立，故 为 所 求.21.(12 分)己 知 函 数/二 一 x lnx(aR).(1)讨 论/(x)的 单 调 性;(2)当 xNl,|/(%)B2,求 a 的 取 值 范 围;【解 析】(l)x)定 义 域 为(0,+oo),7)=一 1 1 _(0).记(x)=ax2-x-l.当 aKO时,e(x)0时，令 e(x)=O,得 用=土 叵 且，”上 正 至(舍 去).当 x 0 j)时，e(x)0,即 r(x)0,即 r(x)0,所 以 J(x)单 调 递 增,综 上，当“V0时，f(x)在(0,+oo)上 单 调 递 减；当 a0时，x)在，上 手 迈 上 单 调 递 减，在 1+J1+4“.,44-,-H单 倜 递 增.由(1)知，当“V0时，(力 在 1,+oo)单 调 递 减，所 以/(x)4f=ga-l0时，若 9(1)=。-220,即 心 2,由,设 研 x)=0 的 正 根 为 王，则 必 有 占 41,且 当 xe(l,M),9(x)0,即/(x)0,所 以/(x)在 1,+oo)单 调 递 增.此 时 f(x)W l)=-lWO,|/(x)L=-l.令-12 2,解 得 a 2 6.若 9(1)=。一 20,即 a2,则 当 X G(1,XJ 时，夕(x)0,/(x)单 调 递 增，注 意 至!|尹(不)=以；-玉-1=0,知/(x)mb,=xJ=g 竭 _XLlnX|=ga+l)T|_lnX|=g(l_xJ_ln&0.又 当 Xf+oo时，由 零 点 存 在 定 理 现 W(X1,+CO),使 f($)=0,此 时|/(心=0,不 满 足 题 意.综 上，的 取 值 范 围 是。1,有=即 V 一 x n x.又 x l 时，x2-x 0,ln x 0,所 以.Inx x-x令 x=&(火 2 2)，得 七=1=士 一:所 以，In 2 2 In 3 2 3 In 4 3 4 Inn n nS i n/：I 2)(2 3)U-l n)n l n k n(二)选 考 题：共 10分。请 考 生 在 第 22、2 3题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程(1 0分)在 直 角 坐 标 系 xO y中，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线/的 极 坐 标 方 程 为 0COs(e+?)=#,曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 夕 一 6cos6=0.(1)求 直 线/和 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程；(2)已 知 点”(1,0),若 直 线/与 曲 线 C 交 于 P,Q两 点，求|MP+|MQ 的 值.【解 析】因 为 直 线/:夕 cos(6+?)=等，故 p c o s p s i n l=0.即 直 线/的 直 角 坐 标 方 程 为 x-y-i=o.因 为 曲 线 C:p-6 c o s 8=0,则 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为/+丁-6=0,B|(x-3)2+/=9.(2)设 直 线/的 参 数 方 程 为 x=l+t26(t 为 参 数)将 其 代 入 曲 线 C 的 直 角 坐 标 系 方 程 得/-2 0/-5=0.设 尸,。对 应 的 参 数 分 别 为 4,G，则%=一 5,%+/2=2夜,所 以|网 之+=同 2+同 2=&+力 2 g 1823.选 修 4-5：不 等 式 选 讲(1 0分)己 知 函 数/(x)=|x-3|-2叶 求 不 等 式/(x)4 2 的 解 集；(2)若 f(x)的 最 大 值 为 m,正 数 a,b,c满 足。+匕+。=加,求 证:a2+b2+c2 3.解 析(1)当 xK0时，/(x)=|x-3|-2|x|=(3-x)+2x=x+3,由/(x)22,得 x+322,解 得 此 时 一 IWXWO；当 0cx3时，/(x)=|x-3|-2|x|=(3-x)-2x=3-3x,由 f(x)W2,得 3-3x22,解 得 此 时 0 xg；当 xN3时，/(x)=|x-3|-2|=(x-3)-2x=-x-3-6,此 时 不 等 式“力 士 2无 解,综 上 所 述，不 等 式/(X)22 的 解 集 为-1,1；x+3,x 0(2)由(1)可 知 x)=3-3x,0 x3当 x40 时，/(x)=x+33；当 0 x3时，/(x)=3-3xe(-6,3)；当 xN3时，/(x)=-x-3 3,当 且 仅 当 a=/?=c=l时，等 号 成 立.因 此，a2+b2+c23.