北京市2021-2022八下期末试题汇编第一章-三角形的证明解答题（中档题）.pdf

第一章-三角形的证明解答题（中档题）-2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练【北京市2021-2022八下期末试题汇编】一、解答题1.（2 0 2 2 秋北京西城八年级统考期末）己知：如 图 1,线段a,b（a b）.a b-图1（1）求作：等腰AA 8 C,使得它的底边长 为 从 底边上的高的长为a.作法：作 线 段=作线段AB 的垂直平分线MN,与 A B 相交于点D在仞V 上取一点C,使。C =a.连接A C,B C,则A A 8 C 就是所求作的等腰三角形.用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；b图2（2）求作：等腰A P E 凡 使得它的腰长为线段a,6 中一条线段的长，底边上的高的长为线段m匕中另一条线段的长.作法：作直线/,在直线/上取一点G.过点G作直线/的垂线G H.在 G上取一点P,使 PG=.以 P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线/分别相交于点E,F.连接尸乙P F,则APEF就是所求作的等腰三角形.请补全作法，并用直尺和圆规在图3 中补全图形（要求：保留作图痕迹）.G图32.（2 0 2 2 秋 北京海淀八年级统考期末）如 图 1,在平面直角坐标系X。），中，点A（Y,0）,8(4,0),C(0,4),给出如下定义：若 P为 1 8 C 内(不含边界)一点，且 4P与A5CP的一条边相等，则称P为“RC的友爱点.(1)在 4(0,3),(1,1),6(2,1)中，“I BC 的友爱点是；(2)如图2,若 P为 RC内一点，且 NP 4 B=/P C 8 =1 5。，求证：P为 W3 C的友爱点；(3)直线/为过点M(0,?)，且与x 轴平行的直线，若 直 线/上 存 在 的三个友爱点，直接写出，的取值范围.3.(2 0 2 2 秋北京石景山九年级统考期末)如图，AO是的高，点 B 关于直线A C的对称点为E,连接C E,尸为线段C E 上一点(不与点E重合)，A F =AB.(1)比较N A FE与/AB C的大小；(2)用等式表示线段BQ,E F 的数量关系，并证明.(3)连接B F,取 B F 的中点M,连接DM.判断DM与 AC的位置关系，并证明.4.(2 0 2 2 秋北京西城八年级北京八中期末)如图，已知A 4 3C,Z B =30,作图及步骤如下：(1)以点C为圆心，C 4 为半径画弧；(2)以点8为圆心，8 4 为半径画弧，两弧交于点)；(3)连接A。，交 8 c 延长线于点H.试卷第2页，共 1 3页(4)过点C 作Q/_L四 于 点 M,CN J.BD于息N.请根据以下推理过程，填写依据：.BA=BD,CA=CD 点3、点C 在 AO的垂直平分线上()，直线BC是 AD的垂直平分线().BA=BD,BH 1 AD:.ZABC=ADBC(等腰三角形、相互重合)又.CM_L45,CN1BD：.CM=CN()在 RtABCM 中，ZABC=305.(2022秋北京八年级统考期末)如图，在等边 ABC中，点 P 是 BC边上一点，ZBAP=a(30 中，V A D C D,：.ZDCA=ZA,（）（填推理的依据），同理，在8 8 中，N D C B =N B .在AABC中Z D C A+ZA+Z D C B+ZB=180._=90。，.,.在 AABC 中，Z4CB=90,”W C为直角三角形.11.（2022春.北京西城.七年级统考期末）已知NXOy=2 c（0 c=B,求证：A B AC.以下是甲、乙两位同学的作法.甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证4 人。丝/XAB。，所以这个三角形为等腰三角形；乙：延长AZ）到 E,使。E=A。，连接B E,可证 AC。出E B D,依据已知条件可推出A B=A C,所以这个三角形为等腰三角形（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）；A.两人都正确 A 甲正确，乙错误 C 甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，并证明.13.（2022春北京七年级统考期末）如图，点 4,B分别为/M O N 的边OM,ON上的定点，点 C为射线ON上的动点（不与点O,8 重合）.连 接 A C,过 点 C作 CO_LAC,过点 8 作 8E0 A,交直线CZ）于点尸.(1)如 图 1,若 点 C在线段08的延长线上，依题意补全图1;用等式表示N0AC与N8FC的数量关系，并说明理由；(2)如图2,若 点 C在线段0B上，直接用等式表示出/0AC与NBFC的数量关系.1 4.(2 0 2 2 春 北京门头沟七年级统考期末)动手操作题：如图，三角形A8C,按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：(2)过点。作 BC的平行线，交 AB于点E；(3)写 出 一 对 相 等 的 角(角 平 分 线 平 分 的 两 个 角 相 等 除 外)；(4)写出一对相等的线段.1 5.(2 0 2 2 秋 北京密云八年级统考期末)对于平面内三个点P,A,B,给出如下定义:将线段P 4 与线段依长度的和叫做线段A3关于点P的折线距离，记为d(只4 B).例如下图中，A,B,C三点共线，钻=2,B C=1,则线段AC关于点B的折线距离d(B,A C)=B A +8 C =2 +1 =3 ,线段A 8 关于点C的折线距离d(C,AB)=C A+C B =3+=4.I 1 1A B C(1)如图，中，AB=A C =2 6,Z B A C =9 0,。是 AB中点.试卷第8页，共 1 3 页尸是线段BC上动点，确定点P的位置使得4 R A 0的值最小，并求出“(P,A)的最小值.(2)18c中，AB=A C =2,过点C作A C的垂线/,点Q在直线/上，直接写出d(Q,AB)的最小值的取值范围.16.(2022秋.北京朝阳.八年级统考期末)在小B C中，A C =BC,00 Z ACB ,连接3。；(2)连接8。并延长，使得8 =80；(3)连接A C,A B C 就是所求的直角三角形.I1A BCA B请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于6 0。的直角三角形”的尺规作图过程(保留作图痕迹)，并写出作法.I IA B图323.(20 22秋北京平谷八年级统考期末)如图，“3C中，A B A C,A B A C a(0 0 a N C B P；在射线B P 上取一点。（不与点B重合），连接A ）,CD.（2）根据画出的图形，判断AD 与CD 的 长 短（直接写出答案）.参考答案:1.（1）见解析；（2）b,a,见解析【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可;（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可.【详解】解：（1）如图，AABC就是所求作的等腰三角形；图2（2）作法：作直线/,在直线/上取一点G.过点G 作直线/的垂线GH.在 G H 上取一点P,使 PG=b.以 P 为圆心，以的长为半径画弧，与直线/分别相交于点E,F.连接PE,P F,则 PE尸就是所求作的等腰三角形.如图，APEF就是所求作的等腰三角形.故答案为：b,a.答案第1 页，共 31页【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键.2.(1)Pi、P 2;(2)见解析；(3)0w 2【分析】(1 )根据4(.xi,y/)、和 B(X2,”)之间的距离公式4B=小(-+(%-乂尸以及友爱点定义解答即可；(2)由题意易知NOAB=NOCA=NOCB=45。，进而可求得N1C=/OCP=30。，则可得出NACP=NAPC=75。,根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；(3)由题意，ABC在友爱点P 满足AP=BP或 4P=PC或 AP=BC=AC三种情况，分别讨论求解即可.【详解】解：(1).点4(：.AP2 C P 2,故 尸/是 的 友 爱 点；：4 丹=J(-4 +2J+(0-1)2=6 ,CP3=J(0+2+(4-1)?=V13，BP3=7(4+2)2+(0-1)2=A/37,BC=7(4-0)2+(0-4)2=4&,，故 6 不是ABC的友爱点，综上，的友爱点是P/、P2,故答案为:Pi、P2;(2)*(),8(4,0),C(0,4),：.OA=OB=OC,AC=BC,ZBOC=90,：.Z OAB=ZOCA=Z OCB=45,：NPAB=NPCB=15,：.ZPAC=ZOCP=30,：.NACP=450+30=75,，ZAPC=180-Z B 4 C-ZACP=1803075=75,二 ZACP=ZAPC,：.AP=AC=BC,.P为 的 友 爱 点;答案第2 页，共 31页（3）由题意，ABC的友爱点P 满足AP=BP或 4P=PC或 AP=BC三种情况，若 A P=B P,则点尸在线段A 8的垂直平分线上，即点P 在 y 轴线段0 C 上，若 A P=P C,则点尸在线段4 c 的垂直平分线上；若 AP=BC,则点P 在以点A 为圆心，BC即 AC长为半径的圆上，如图，设 AC的中点为G,则 G 的坐标为（-2,2）,由图可知，当直线/为过点G 和过点加（0,加）且与x 轴平行的直线在x 轴之间时，直线/上存在AABC的三个友爱点，【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键.3.（1）ZAFE=Z A B C,理由见详解；（2）EF=2BD,理由见详解；（3）DHAC.【分析】（1）过点4 作 AG J_CE,然后利用HL证明ROABOW心A A F G,即可得到结论成立；（2）连接A E,则则AG垂直平分E E 则8 0 =FG=E G,即可得到答案；（3）连接B F,取 B F的中点M,连接AM,DM 并延长交A C于 H,由等腰三角形的性质知/BAM+/ABM=90。，再利用四边形内角和定理说明/ACB+/BAM=90。，则NACD=NABM,由 NAMB=NADB=90。，由四点 A、B、D、M 共圆解决问题.【详解】解：（1）ZAFE=ZABC；理由如下：过点A 作 A G L C E,如图：答案第3 页，共 31页E根据题意，点3关于直线AC的对称点为E,.AC 平分 N8CE,VADlC,AG-LCE,：.AD=AGfU：AF=AB,:.RtXABD学RtAAFG(HL),：.ZAFE=ZABC；(2)EF=2BD；理由如下：连接A E,如图：ERm ABDq RtA A尸G,:.BD=FG,点B关于直线AC的对称点为E,：.AB=AE,：.AE=AFfA G垂直平分ER:.FG=EG,：.BD=FG=EG,答案第4页，共31页:.EF=2BDx(3)D M 1 A C,理由如下：连接B F,取 B F的中点M,连接AM,DM 并延长交A C于 H,AB=A F,点 M 为 B F的中点，AAM1BF,.ZBAM+ZABM=90,点 B 关于直线A C的对称点为E,ZACB=ZACF,:ZABC=ZAFE,.,.ZABC+ZAFC=180,.,.ZBAF+ZBCF=180,AZACB+ZBAM=90,/.ZACD=ZABM,VZAMB=ZADB=90,四点A、B、D、M 共圆，AZABM=ZADM,/.ZADM+ZHDC=90,.ZACD+ZHDC=90,ADHAC.【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.4.到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线；底边上的高；底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半答案第5 页，共 31页【分析】据题中的几何语言画出对应的几何图形，然后利用线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质和含3 0 度的直角三角形三边的关系填写依据.【详解】解：如图，.BA=BD,CA=C D 点8、点C在AO的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），直线B C 是 AD 的垂直平分线（两点确定一直线），;BA=BD,BHJ.AD,;.ZABC=N D B C（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合），又C N 1 B D:.CM=C N（角平分线上的点到角的两边的距离相等），在 R t A B C M 中，Z A B C =3 0 CM=；B C （在直角三角形中，3 0。所对的直角边等于斜边的一半）.故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，3 0。所对的直角边等于斜边的一半.【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键.也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质.5.（1）图见解析，Z A B=6 0 ；（2）A E=B E+C E,证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接A。，先求出N C 4 尸=6 0。-a,然后根据轴对称的性质得到 Z P A D=Z B A P=a ,AD=AB=AC,N A E C=N A E B,求出 Z C A D=2 a-6 0,即可求出 Z A C D=Z A D C=1（180-ZC4D）=120-6Z,再由答案第6页，共 3 1 页ZEAC+ZAEC=ZACD=l 20。一 口进行求解即可；(2)如图，在AE上截取EG=BE,连接B G.先证明 BGE是等边三角形，得至lj BG=BE=EG,ZGB=6 0 .再证明NA8G=NCBE,即可证明 A8G名ZXCBE得到 4G=C E,则AE=EG+AG=BE+CE.【详解】解：(1)依题意补全图形，如图所示：连接AD,ABC是等边三角形，A ZBAC=60,AB=AC,ZBAP=a,：.ZCAP=f0-a,。关于4P对称，:.NPAD=/BAP=a,AD=AB=AC,ZAECZAEB,：.ZCAD ZPAD-ZCAPa-(60-a)2a-60,ZAC D=Z/l D C=1(1 8 0o-ZC 4 D)=1 2 0o-a ,ZEAC+ZAEC=ZACD=20-,ZAEC=60：.ZAEB=6Q.(2)AE=BE+CE.证明：如图，在AE上截取E G=8E,连接BG.,?NAEB=60,.BGE是等边三角形，:.BG=BE=EG,NGBE=60.：ABC是等边三角形,答案第7页，共31页：.AB=BC9 NABC=60。，ZABG+ZGBC=ZGBC+NCBE=60。,ZABG=ZCBE.在4 8 6 和4 C8E中，AB=CB,NABG=/CBE,BG=BE,：./A B G/C B E(SAS),：.AG=CEf：.AE=EG+AG=BE+CE.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键76.（1）I c 7；行 或 5；2 或彳或5；图见解析.【分析】（1）根据三角形的三边关系定理即可得；分斜边长为6 和斜边长为c 两种情况，分别利用勾股定理即可得；（2）先根据已知等式得出a+c=,再 分 c 中有一个为3,b=4；凡。中有一个为4,b=3；。，c中有一个为3,另一个为4 三种情况，分别代入a+c=求解即可得；先画出射线A,再在射线AM 上作线段45=a,然后在射线BM上作线段3C=c,最后作线段AC的垂直平分线，交AC于点。即可得.【详解】解：（1）由三角形的三边关系定理得：4-3c3+4,即l c 7,故答案为：l c 7；答案第8 页，共 31页当斜边长为匕时，,=，炉 _/=2 _ 3 2=近，当斜边长为C时，c W+/=6+4 2 =5,综上，c的值为b或5,故答案为：近 或5；（2）由、+；+：=匕得:a+c=2 h,因此，分以下三种情况：当a,c中有一个为3,8=4时，不妨设“=3,则1 C 7,将=3,/?=4代入+,=2/?得：3 +c =2 x 4 解得c =5,符合题设，当a,c中有一个为%0 =3时，不妨设 =4,则l v c v 7,将。=4,=3代入a +c =2 Z?得：4+c =2 x 3,解得c =2,符合题设，当名。中有一个为3,另一个为4时，不妨设 =3,c =4,则l v b ,则 OE=QE,得到NEO=/EOM=NOEF=45。，由角平分线的定义，得/A 0 C=N 2 0 C,再由三角形的外角性质，即可得到结论成立；(3)在射线E 4上，截取EH=EG,连接G H,则 E)+W=O”，然后有0Z)=2EM,再证明 O D G /X O H G CAAS 得到 O ZO H,即可得证.(1)解：根据题意，如图：o M解：EF=EG；理由如下：如图,.点M 为线段0。的中点，E M L 0 D,线 段 是 0。的高，也是中线,垂直平分 0D,N O ME=90。,：.0E=DE,：.N ED0=/A 0 B=N OEF=45,/O C Z A O B的角平分线，Z A 0 C=Z B 0 C,：.N A 0 C+N 0EF=N B0C+N E D O,答案第11页，共 31页Z.NEFG=NEGF,：.EF=EG；（3）解：在射线E 4上，截取E，=E G,连接G H,如图:贝 lj EH=EF,OE=DE,：.ED+EF=OE+EH=OH,：ZEDO=ZEOM=Z OEF=45。,点 M 是。的中点，OM=EM=DM,NOE4=45+45=90,：.0D=2EM；ZEHG=45,：ZAOC=ZBOC,OG=OG,.ODG丝OHG（A45）,OD=OH,：.ED+EF=2EM.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明.9.（1）图见解析；图见解析；（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，等边对等角，110,80,40.【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；先连接A O,再根据角平分线的尺规作图即可得；（2）先根据线段垂直平分线的性质可得=再根据等腰三角形的性质可得ZZMB=ZB=3 0 ,然后根据三角形的内角和定理可得/84C=110。，从而可得NC4O=80。，最后根据角平分线的定义即可得.【详解】解：（1）作A 8边的垂直平分线交BC于点。，交A 8于点P 如图所示：答案第12页，共 31页连接AZ）,作NC4O的平分线交8 c于点E如图所示:，DB=D A,（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）Z.DAB=9（等边对等角）V ZB=30,:.ZDAB=30,;ZC=40,ZB A C=180-ZB-ZC=110,:.ZCAD=ABAC-ZDAB=80,A石平分/Z M C,ZDAE=-ZDAC=40.2【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握尺规作图和线段垂直平分线的性质是解题关键.10.（1）见详解；（2）在“BC中，8 是的中线，且CD=；A B；（3）等边对等角；NDC4+=90。或 ZA+ZB=90。.【分析】（1）根据作出A 8的垂直平分线，交A 8于。，连接C D,问题得解；（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；（3）根据题意得到NDC4=N 4,ZDCB=N B,根据三角形内角和定理得到ZDCA+ZA+ZDCB+ZB=1 8 0,即可得到/4 C 8 =90。，问题得证.【详解】（1）解：如图，CD即为所求作的线段，答案第13页，共31页证明：；点 E、尸分别到A、B 的距离相等，.点E、F 分别在AB的垂直平分线上，.点。为 4 8 中点，.C。即为所求作的线段；(2)已知：在“U5C中，C。是 小8C 的中线，且C=1A 8.求证：为直角三角形.故答案为：在 UWC中，CO是AABC的中线，且 CZ)=；4 8；(3)证明：.点。是线段AB的中点，AD=BD,又:CD=AB：.AD=BD=CD,在 AACD 中，V AD=CD，ZDC4=N A,(等边对等角)(填推理的依据)同理，在B Q)中，ZDCB=4B.在AABC中,/NDCA+ZA+NDCB+NB=180.二 ZDCA+NCDB=90。或 ZA+N8=90,.在LBC 中，ZACB=90,为直角三角形.故答案为：等边对等角；/。6+/。汨=90或 44+=90。；ZA+Zfi=90.【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，儿何文字语言、符号语言的转化，等腰答案第14页，共 31页三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键11.(1)补全图形见解析，ON/PM(2)证明见解析；a=30。，图见解析【分析】(1)根据角平分线的定义补全图形，且NYO N=NXO N=a,再根据三角形的外角性质可得NPM N=a=NXO N,进而利用平行线的判定即可作出结论；(2)根据平行线的判定和角平分线的定义进行判断即可作出结论；根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余求解即可.(1)直线ON与直线PM的位置关系为ONP M,理由：平分NXOY,ZXOY=2a,NYON=NXON=a,JPA/OY,二 ZXAN=ZXOY=2a,:NP+4PMA=NXAN,NP=a,：.Z P M A a,即 NPMA=NXON,J.ON/PM-,(2)如图2,：以。匕Nfl4O=NXOy=2a,NOBP=NP=a,N P A C O B C,.布平分/OAC,：.ZPAC=ZPAO=2a,则/O BC=2a,/PBC=N OBC-N OBP=2a-a=a,答案第15页，共3 1页，ZOBP=ZPBC,:.BP 平分N O B C；符合题意的图形如图3,.PA/OY,:.NOBP=NP=a,：PM OA,：.ZXOY+ZOBP=9 Q,：.2 a+a=9 0,则 a=30.图3【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.12.(1)C；(2)见解析【分析】(1)甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；(2)按照乙的分析方法进行即可.【详解】(1)甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，故选C；(2)依据题意，延长A O 至 E,使。E=A。，连接B E,如图.,。为中点.B D =CD.在4。4。和4 B E D 中D E =A D-Z A D C =N E D BBD=CD答案第16页，共 31页，。性 BED(SAS)./.Z D A C =ZE,BE=A C平分 N8AC,A B A D =A C A D/.Z D A B =Z E，BE=AB：.AB=AC.ABC为等腰三角形【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是构造辅助线得到全等三角形.13.(1)见解析，Z B F C+Z O A C =90,理由见解析(2)ZBFC-ZOAC=90【分析】(1)根据题意作出图形；设A C 8 E交于点G,根据平行线的性质可得Z O A C-Z B G C,根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得N B F C=90-Z F G C=9 0-N B G C,即可得出 Z B F C+Z O A C =90；(2)设C。交A。于点”，根据平行线的性质可得NAHF+N”阳=180。，根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得NOAC=90。-N A H F,等量代换即可得出结论.答案第17页，共31页(1)M解：如图所示,如图，设AC,BE交于点G,MZOAC=ZBGC,CD LAC,ZBFC=900-ZFGC=90-ZBGC,:.ZBFC+ZOAC=90,(2)解：如图，设8 交AO于点”，答案第18页，共31页;.ZAHF+NHFB=180。,ZAHF=180-ZHFB=180-NCFB,CD A.AC,:.ZOAC=9Q-ZAHF,NOAC=90。一(180。NCFB)=NM C_90。,即 ZBFC-NOAC=90.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键.14.(1)见解析(2)见解析O)ZABD=NEDB(答案不唯一)(4)EB=ED【分析】(1)根据角平分线的作法，即可作出角平分线;(2)根据平行线的作法，即可作出平行线；(3)根据题目条件即可判断；(4)关键题目条件即可判断.(1)解：如图所示，解：如图所示,解：由题意知，ZABD=NEDB(答案不唯一)；答案第19页，共 31页(4)解：由题意知，EB=ED.【点睛】本题主要考查作图，熟练掌握基本知识是解题的关键.1 5.3亚;(P，AQ)的最小值是加；(2)2d(Q,A8)JDM2+MK2=V10：(2)如图，延长A C 至 F,使 AC=FC=2,连 接 所 交/于。，证明/是4尸的垂直平分线,可得d(Q,43)=QA+Q8=Q8+。尸=8 下，此时d(Q,A8)最小，再利用三角形的三边关系可得答案.【详解】(1)解：如图，连接以，AD=-AB=42 ,2：.d(A,DC)=AO+AC=&+2拒=3及；如图，作A 关于8 C 的对称点K,连接4 K 交 8 C 于T,连接D K 交B C 于P,过。作于 M,答案第20页，共 31页A则 AT=KT,AK 工 BC,AP=KP,：.DM/B C,d(P,AD)=AP+DP=DP+KP=D K,此时值最小,V AB=AC=2y/2,/BAC=90。，二 ZB=Z C =45,由 E)例 BC 可得 ZADM=NB=45,ADM,AABT都为等腰直角三角形，,:AD=五,AB=2y/2,二 AM2+DM2=2DM2=2,AT2+BT2=2AT2=(2何=8,AM=DM=,AT=BT=2,则7X=2,二 MK=3,DK=lDM2+MK2=7I2+32=Vio，.(P,AD)的最小值是后.(2)如图，延长AC至 F,使 AC=FC=2,连接尸B 交/于。，而/L A C,则/是 的 垂 直 平 分 线，/.AQ=FQ,:.d(Q,AB)=QA+QB=QB+QF=BF,此时 dQ,AB)最小,：AB=AC=2,答案第21页，共 31页AF=4,A A F-A B B F A F+A B,即2 8尸6,：.2d(Q,AB)=C4+B.【详解】(1)等腰三角形.证明：AC=BC,8 是AB边的中线，:.CD L A B .：.Z A D C =N C D B =90。.：.Z C F E =Z A F D =90-ZEAB.：N E A B=L/B C D,2.ZB=9 0-N B C D=9 0-2 N E A B.：.Z C E F =Z B+ZEAB=900-Z E A B.：.N C E F =N C F E.：.CE=C F.ACFE是等腰三角形.(2)补全图形.答案第22页，共31页CA,CD,C尸之间的数量关系是2CE=C4+CF.证明：过点E作EH JL AB于点H.V AC=BC,CD是 AB边的中线，Z4CB=90,ZCAB=ZB=45。，ZACD=/BCD=45.，CD=AD=BD.,：NEAB=L/BCD,2Z.ZEAB=-ZCAB.2：./CAEZHAE.：.CA=HA,CE=HE.在 RAEHB 中,4=45,，HE=HB.：.AB=HA+HB=CA+CE.,:AB=2CD,CE=CF,：.2CD=CA+CF.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键.17.(1)见解析(2)答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【分析】(1)先根据sss证明q c M 9 q c N,得到ZMOC=ZNOC,即可证明o c是NAOB的平分线；(2)在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可.【详解】(1)证明：*/OM=ON,CM=CN,OC=OC,：.Q C M/qC N .：.ZMOC=ZNOC.OC是NAO8的平分线.答案第23页，共31页(2)解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键.18.见解析【分析】由“SAS”可证AADC丝可得3=AC,N C A D =N H ,由等腰三角形的性质可得 8E=8H=AC.【详解】证明：延 长 到 点“，使/汨=4)/7 H ,D 为 B C 中点：.B D=D C在AOC和4 0 8 中B D =CD Z B D H =N A D CD H =A D：.ADCG AHDB(SAS):A C =B H,A H =A D A C,:A F =EF：.ZAEF=Z D A C：A H =ZAEF ；Z B E H =Z A E F：-Z B E H =Z H BE =B H：.BE =A C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，添加恰当辅助线答案第24页，共 31页构造全等三角形是解题的关键.19.（1）C,P（0,-3）-3 0 4 6【分析】根据定义可以知道“公正点 在线段的垂直平分线上，即可解题；（2）根据题意可得APMN是等边三角形，由根据等边三角形的性质即可求出产的坐标；点Q（a,6）是线段M N的“近公正点”，即形成的三角形是等边三角形，计算求出取值范围即可.【详解】（1）由于垂直平分线上的点到线段两端距离相等，A（l,0）,8（3,0）,所以AB垂直平分线为x=2,即点C（2,0）和 醺2,-2.3）为线段AB的“公正点”.故答案为：C,E（2）如图，连接P N,则 点 尸 在 的 垂 直 平 分 线 上，:.PN=PM,NO暇N=60。，.PMN是等边三角形，:.PM=MN=2OM=6,:.OP=3,即 P（0,-3）.故答案为尸（0,一 3）如图，由可知。点在尸点时的纵坐标人最小，当点。在尸 时，。点的纵坐标方最大，这时/PMW=60。,又 NMN0=30,.NPM9=90,答案第25页，共31页:.P N =NM=6,：.-3 b 6,故答案为：-3 b C D【分析】(1)根据画图步骤画图即可；(2)根据等腰三角形的性质即可解答.【详解】(D解：如图：(2)解：如图：当=尸时，A D =C D:.当 时，A D C D.【点睛】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质是解答本题的关键.答案第31页，共31页