2022-2023学年广东省汕尾市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf

汕尾市2022-2023学年度第一学期高中二年级教学质量监测数学本试题共4 页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄波，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知空间向量”=（2，一 1，2），2 =（1，2,1）,则（）A（4,-2,4）B.（2,-1,2）C.（3,0,3）D.（L-2,1）【答案】C【解析】【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.【详解】2 a-6 =（4,-2,4）-（l,-2,l）=（3,0,3）.故选：C2 .直线/：x y +l =0的倾斜角为（）A.3 0 B.4 5 C.6 0 D.1 3 5【答案】B【解析】【分析】根据直线斜率Z =t a n a计算即可.【详解】由题知I,直线/：y =x+l,斜率为1,设倾斜角为a，G 0,TU）所以t a n a =1,解得。=4 5,所以直线/：x y +l =O的倾斜角为45，故选：B3.数 列2、0、2、0、L的通项公式可以为（）A.q“=（T）+l B.a“=2 2 x（l）”*【答案】D【解析】【分析】利用逐项检验法可得出原数列的一个通项公式.【详解】对于A选项，若a“=（则数列 q为：0、2、0、2、L ,A不满足；对于B选项，若q=2-2（-1户，则数列 叫 为：0、4、0、4、L ,B不满足；对于C选项，若%=2 c o s（1）兀，则数列 4为：2、2、2、一2、L ,c不满足;对于D选项，若4,=2 c o s 2，则数列%为：2、0、2、0、L ,D满足.故选：D.4 .已知直线/经过点M（2,4）,且与直线x 2 y +4 =0垂直，则直线/的方程为（）A.%-2 y +l=0 B.x-2 y-l =0C.2x y +2 =0 D.2 x 4-y 8 0【答案】D【解析】【分析】根据垂直关系设出直线/的方程，代入“（2,4）,求出答案.【详解】设直线/的方程为2 x+y +C =0,将M（2,4）代入2 x+y +C =0中，4+4+C =（）,故C =8,故直线/的方程为2 x+y -8 =0.故选：D5.已知矩形ABCD,P为平面4 3 C。外一点，且P A，平面A B C D,M,N分别为PC,P D上的点，P M =2MC,P N =ND,N M =x A B +y A D +z A P,贝 i j x+y +z=（）pB C2 2 5A.-B.-C.1 D.一3 3 6【答案】B【解析】2 1 1【分析】根据空间向量基本定理求出x =4，y =w，z =-w，求出答案.3 6 6【详解】因为P M =2 M C,P N =ND,12 1 1 2 2所以 NM =NP+P M =-DP +-P C =-A P AD+-AC -A P2 3 2 2 3 31 7 1 17 2 12 1 1=一一AD+-AC一一A P =一一AD+-AB +-AD一一A P =-AB +-AD一一A P ,2 3 6 2 3 3 6 3 6 62 1 2故工=彳,y =w，z =-w，故x+y +z =w.3 6 6 3故选：B6.已知空间直角坐标系中的点P(L U),4(1,0,1),5(0,1,0),则点P到直线A3 的距离为()A.巫 B.3 C.在 D.逅6 6 3 3【答案】D【解析】【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】4(1,0,1),8(0,1,0),P(l,l,l),”=(0,1,0),|A P|=1,x.A P,A B 1 5/3AP在 AB上 的 投 影 为 而 p=耳。，则点尸到直线AB的距离为-(令 器 =R=毛.故选：D.7.如图，在梭长为1的正方体A B C D A 4 G A 中，E,G 分别为。的中点,则 石产与 C G 所成的角的余弦值为(),Vio R 石 屈 n Vio-D.-L-).-10 5 15 15【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】以。作坐标原点，分别以A,DC,。所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则 E(O,O,g),吗所 以=(学4/J词,设石产与C G 所成的角的大小为0,故选：cx2 x28.已知椭圆C i：-+y2=l (m l)与双曲线C 2：-y2=l (n 0)的焦点重合，e i,e 2m n分别为C i,C 2的离心率，则A.m n 且 e i e 2l B.m n 且 e i e 2V l C.m V n 且 e e 2l D.m V n 且e i e 2V l【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意知m2-1 =+1,即Z 2=1+2，由于m l,n 0,可得mn,m2-1 n2+12 9m n又（0a）21 .1、,1 .1 .+2 +1=(1 -r)(l +)=(1 _ -7)(1 +)=-4-2,-m n n+2 n n+2n1 ,故2色 1.故选A.【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质.【易错点睛】计算椭圆G的焦点时，要注意。2=。2 一8 2；计 算 双 曲 线 的 焦 点 时，要注意 否 则 很 容 易 出 现 错 误.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知公差为d的等差数列 4 中，其前项和为S“，且 生=。,邑=g+1 2,则（）A.d=1B.an=n-2C.a4+aw-al2 D.Sn=n2-3n【答案】A B C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否正确.【详解】公差为d的等差数列%中，其前项和为s“，且4=0,则S 7=%+1 2 =7/，解得包=2=4+2。，所以d =l,A选项正确；an=Oy+(n2)_LCE.因为三棱柱ABC-A q G是各条棱长均等于1的正三棱柱，TT TT所以C E =C D,所以NC0E=一，即异面直线G F与A 4所成角为一，故C错误；4 4以A为原点，AC为y轴，A 4为z轴，过A作平面A C G 4的垂线为X轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(R .(1所以 A8=-,1,AjC=(0,1,1),D E =k 2 2)(44 2)设平面 B C的一个法向量为n=(x,y,z),则n A,B =x HJ y z=_ 0n 2 2n-A j C =y z=0令y=3,可得x=g,z =3,故=（石,3,3）.设直线OE与平面ARC所成角为则 s i n 6=co s （n,DE）=n DEn D E3 3 3_ _ _ _ _ 丁1 2_V 3 +9+9x J+1V 1 6 1 6 47 4 2,故D正确.1 4故选:A B D.21 2.已知双曲线C:工 ：/=i的左、右顶点分别为A，4，左、右焦点分别为耳，居，直线3y=与双曲线C相交于P,Q两点，则下列说法正确的是()6A.双曲线。的 离 心 率 为 毡3B.双曲线。的渐近线为y=6r1 3C.直线PAt,PA2的斜率之积为-D.c o s P F?=|【答案】A C D【解析】【分析】求出“、b、。的值，可判断A B选项；根据斜率公式及点在双曲线上即可判断C选项；根据双曲线的定义及余弦定理判断D选项2【详解】在双曲线=1中，a=6,b=,=，/+/=2.对于A选项，双曲线C的离心率为e与=空，A正确;7 3 3对 于B选项，双曲线C的渐近线方程为 =2=且 ，B错误;-a 3对于 C 选项，设 P（x,y）,A（-V 3,O）,A（V 3,0）,X2 则 ,k-_ y _PA 也 一 x+Gx-6 一/_3-尤2 _ 3-3即直线尸4，尸&的斜率之积为;，c正确;对于D选项:不妨点尸在第一象限，联立X2 2 1 I1丁，消y得元2=6，解得x=J，所以 P（瓜 1），则归周=7（V 6+2）2+l2=711+4A/6，PF27（V 6-2）2+l2=Jl l-46，所以|p 6Hp q=5,在fJP 1中,由余弦定理得co s ZFPF2=|用2+|尸周2-忻 图（/用 一 代 段）2+2|尸周忖周一/玛|22陷口P用 2电卜|产用1 2+2归耳上尸鸟|-1 6=1 2 j _ 2=32俨 卜伊尼二 一 阀 卜忸6广-5 5故D正确;故选：A C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .已知向量”=（一2,1,5）,。=（1,一3,加），且。_（_8，则恸=.【答案】J T T【解析】【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出2=1,进而求出模长.【详解】因 为 所 以 一2x l-3x l+5/n =0,解得：加=1,故W=11+9+1 =而.故答案为：J T T14.已知_ A Q B的三个顶点分别为A（4,0）,0（0,0）,3（0,4）,则.A 0 3外接圆的标准方程为.【答案】（x-2）2+（y-2）2=8【解析】【分析】设出圆的标准方程，待定系数法求解即可.【详解】设AQ5的外接圆标准方程为（x-a）2+（y-b）2=/,（4-a）2+（0-b）2=r2将4（4,0）,。（0,0）,6（0,4）代入得：（0-.）2+（0 ）2 =户，（0一 疗+（4一 2 =a=2解得：,力=2,故圆的标准方程为（x 2 +（y 2=8.r=2母故答案为：（x 2+（y 2=815.已知倾斜角为g的直线/过抛物线C:V=2pM p 0）的焦点产，且与C交于p、Q两点（点P在第一象限），若|P尸|=4,则尸|=.4 1【答案】一#1一3 3【解析】【分析】设点尸（3,另）、。（法,力），则%/，将直线/的方程与抛物线的方程联立，求出为、人 利用抛物线的定义可求得。的值，再利用抛物线的定义可求得|Q耳 的值.【详解】易知点尸（，0）,设点2 a，%）、。（七,%），因 为 直 线/的 倾 斜 角 为 且 点P在第一象限，则内 ，联立 E =2,N 8 A C =6 0，4），平面A B C,DE AB，三棱锥E-3 8的体积为立.3（1）求AD的长度；（2）已知F是线段BC上的动点，问是否存在点尸，使得平面BED与平面EOF夹角的余 弦 值 为 生 叵？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.19【答案】（1）2（2）存在，点F为BC的中点【解析】【分析】（1）取A3的中点0,连接O E,O C,根据己知得出O C L A 8,AD1 O C,得出OC,平面ABED,则AD,即，即可根据等体积法列式得出答案；（2）根据已知得出O E _ L平面A8 C，即可以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系。D Z,得出各点坐标，设8/=X6C（0W/lWl）,得出ED=（-1,0,0）,EF=（1 -2,-2）,设平面后。尸的一个法向量为“=（x,y,z）,根据QQ平面的法向量的求法列式求得;=（）,2,岛），根据垂直得出2 =冈=（0，1，0）是平面BED的一个法向量，即可根据二面角的向量求法列式解出答案.【小 问1详解】取AB的中点0,连接OE,OC,：.OCAB.又一ADJL平面ABC,：.ADOC.又 ADrAB=A,AD,A 5 u平面ABO,.OC J平面 ABED.又-A)_L 平面 ABC,OE/A8,:.AD ED，于是 Vg B C D=K-已 以-OC=x x EDx ADxOC=x x l x A )x /3=，CJDU 3 n r.iJ 3 2 3 2 3AD=2.【小问2详解】DE/OA,DEOA,四边形DEOA为平行四边形：.DA/EO.又-ZMJ_平面ABC,.OE J平面 ABC,，以OB,OC,OE为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系O 孙z.E（0,0,2）,D（-l,0,2）,B（l,0,0）,C（0,V3,0）.由题意设8E=；18C（OW/IW1）,故尸（1 4 6 4 0）,因此 ED=（1,（）,（）,所=（1一九百九一 2）.设平面EOF的一个法向量为勺=（x,y,z）,E D n.=0-x=Q则由 得 人八 F c 八，E F-=0 X）x+2z=0令y=2,则勺=（0,2,血）是平面E D F的一个法向量.OC_L 平面 A B E D,2 4 Ml-/3A2+4 19 ”=冈=（）是平面B E D的一个法向量.设平面B E D与平面E D F的夹角为。，则 cos8=cos（勺，&,1 1?C,又 0W 2W 1,于是九=一,4 2因此点尸为BC的中点时，平面B E D与平面E D F夹角的余弦值为 生 叵.192 222.已知椭圆C:多+方=l（aA0）的左、右焦点分别为片，工，且 巧 用=4.过右焦点B的直线/与。交于A B两点，A6K的周长为8 8.（1）求椭圆。的标准方程：AB（2）过原点。作一条垂直于/的直线4/交。于P,Q两点，求 耐 的 取 值 范 围.2 2【答案】（1）二+匕=18 4（2）,2.2,【解析】【分析】（1）根据题意求得a =2 0/=2,c =2即可解决；（2）分直线A3斜率不存在，斜率存在两种情况，斜率存在时设（刍,必）,0（%4，%），直线A B:x =）+2,直线P Q:y =Tx,联立椭圆方程求得|AB|=4洋，得幽=Jd+2。,令-*+2（四2）,则=一2,不1 VT 7方 PQ r+2 V 7妨设/（）=耐=上-L,即可解决，【小 问1详解】由 忻 闾=2。=4，得c =2,又,ABE的周长为8 V L即4a =8&，a=2V2,c=2,b=a2 c2=8 4=4,2 2 椭圆。的标 准 方 程 为 二+=1.8 4【小问2详解】设 g，M ），3（%2,%），P（%3,%），。（%4,%）,当直线A 3的斜率不为。时，设直线AB:x=+2,直线PQ:y=Tx,联立直线AB和椭圆。门方程，并消去x整理得（r+2）/+4）_4=0,=16 r+4 4（户+2）=32产+320.4r4由根与系数的关系得必+%=-再 工，乂 上=-百5，所以|AB|=J（1+产）+分 比=4 f I/-联立直线PQ和椭圆C的方程，并消去 整理得（1 +2/8=0,由根与系数的关系得毛+%=0，毛%=一 工5，IPQ|=J（l+）（*3 +x j -4犬3 1=4 f，所 以 幽L匹叵LPQ r+2令 =/+2（之2）,则*=4 2,/、AB J（W-1）（2W-3）不妨设仆）二 局5 2=J4-+2=Jsf-1-.Vtc u 丫（4 6）12u2,i r I 2，.彳 /（）3，乙/小 比2 PQ综上可得yAB 的取值范围为1,V2