2022年高考全国甲卷数学（文）真题试卷(含详解).pdf

绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号、座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 认 真 核 准 条 形 码 上 的 准 考 证 号、姓 名、考 场 号、座 位 号 及 科 目，在 规 定 的 位 置 贴 好 条 形 码.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上、写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.A=-2,-l,0,l,2,B=x|0 x-l1.设 集 合 1 2 J,则 A D B=（）A.0,1,2 B.-2,-1,0 C.0,1 D.1,22.某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 10位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 10位 社 区 居 民 在 讲 座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 下 图：95%90%流 85%南 80%田 75%70%65%.球.*.*.*.*讲 座 前.*.讲 座 后 则（.*-.*.;.*.冰.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10居 民 编 号 A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差3.若 z=l+i.贝 U|iz+35|=()A.4V5B.4A/2C.2V5D.2V24.如 图，网 格 纸 上 绘 制 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 多 面 体 的 体 积 为 B.12 C.16 D.205.将 函 数/（x）=sin 公 t 1 J（啰 0）的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C,若 C 关 于 y轴 对 称，则 口 的 最 小 值 是（）1 1 1 1A.-B.C.-D.6 4 3 26.从 分 别 写 有 1,2,3,4,5,6 的 6张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2张，则 抽 到 的 2张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4的 倍 数 的 概 率 为（）A.B1-57.函 数 y=（3*3r）cosx在 区 间 一 5，的 图 象 大 致 为（）A.7 12C.x8.当 x=lH寸，函 数/(x)=alnx+2 取 得 最 大 值-2,则/(2)=()x9.在 长 方 体 ABC。-A B，C Q 中，已 知 g。与 平 面 A B C D 和 平 面 441d B 所 成 的 角 均 为 30。，则（）A.A B 2 A DC.AC=MB.A B 与 平 面 A B D 所 成 的 角 为 30D.g。与 平 面 B B Q C 所 成 角 为 45。10.甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2兀，侧 面 积 分 别 为 S甲 和 S乙，体 积 分 别 为%和 勿.若-T-=2,则/=()3乙 V乙 A.旧 B.272 C.V10江+T11.已 知 椭 圆 C:=1（。/?0）的 离 心 率 为:，4,A2分 别 为 C 的 左、右 顶 点，8 为 C 的 上 顶 点.若 反 瓦 耳=一 1,则 C 的 方 程 为（）2 7Ax2 v-.A.-1-118 162?B.+-=19 8C.2 2工+上=13 2D.+y2=1212.已 知 9=1(),。=1()一 11,人=89,则(A.a 0 b B.a h Q)C.b a 0 D.b 0 a二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.13.已 知 向 量 M=(m,3),b=(1,m+1).若 _L，则 加=14.设 点 在 直 线 2 x+y-1=0 上，点（3,0）和（0,1）均 在 0 M 上，则。M 的 方 程 为.2 215.记 双 曲 线 C:5-与=1（。0/0）的 离 心 率 为 e,写 出 满 足 条 件“直 线 y=2x与 C 无 公 共 点”的 e 的 一 a b个 值.16.已 知 ABC中，点。在 边 8 C 上，4 0 3=120。,4）=2,8=2 8 0.当-取 得 最 小 值 时，B D-.AB三、解 答 题：共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.(一)必 考 题：共 6 0分.17.甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 均 由 A 和 B 两 家 公 司 运 营，为 了 解 这 两 家 公 司 长 途 客 车 的 运 行 情 况，随 机 调 查 了 甲、乙 两 城 之 间 的 500个 班 次，得 到 下 面 列 联 表:准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数 A 240 20B 210 30(1)根 据 上 表，分 别 估 计 这 两 家 公 司 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 准 点 的 概 率；(2)能 否 有 9 0%把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关？“n(ad-bc)-付：K=-,(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)P(K：2.k)0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63518.记 S“为 数 列 aa 的 前”项 和.已 知 一-+n=2an+1.n(1)证 明：%是 等 差 数 列；(2)若 包，的，。9成 等 比 数 列，求 S.的 最 小 值.19.小 明 同 学 参 加 综 合 实 践 活 动，设 计 了 一 个 封 闭 的 包 装 盒，包 装 盒 如 图 所 示：底 面 A 8 8 是 边 长 为 8(单 位：c m)的 正 方 形，均 为 正 三 角 形，且 它 们 所 在 的 平 面 都 与 平 面(1)证 明：/平 面 A B C。；(2)求 该 包 装 盒 容 积(不 计 包 装 盒 材 料 的 厚 度).20.已 知 函 数/(%)=丁-x,g(x)=x2+,曲 线 y=/(x)在 点 伍 J(xj)处 的 切 线 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.(1)若=-1,求 a；(2)求 a 的 取 值 范 围.21.设 抛 物 线。：丁=2 叱 0)的 焦 点 为 点。(,()，过 尸 的 直 线 交 C 于 M,N 两 点.当 直 线 垂 直 于 x 轴 时，|M/|=3.(1)求 C 的 方 程；(2)设 直 线 M R N O 与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为 4,B,记 直 线 M V,A 8 的 倾 斜 角 分 别 为 生，.当，一 取 得 最 大 值 时，求 直 线 A B 的 方 程.(二)选 考 题：共 10分.请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程-2+tX 22.在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 G 的 参 数 方 程 为 J 6 G 为 参 数)，曲 线 G 的 参 数 方 程 为 2+sx-6(s为 参 数).y=-V?(1)写 出 G 的 普 通 方 程；(2)以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C3的 极 坐 标 方 程 为 2cos6sin6=0,求。3与 G 交 点 的 直 角 坐 标，及 与 G 交 点 的 直 角 坐 标.选 修 4 5：不 等 式 选 讲 23.已 知 m b,c均 正 数，且 4+尸+4/=3，证 明:(1)。+8+2。3；(2)若 匕=2c,则，+223.a c绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号、座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 认 真 核 准 条 形 码 上 的 准 考 证 号、姓 名、考 场 号、座 位 号 及 科 目，在 规 定 的 位 置 贴 好 条 形 码.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上、写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.A=-2,-1,0,1,2,B=L|0 X-11,设 集 合 1 2 J,则 A D 3=（）A.0,1,2 B.-2,-1,0 C.0,1 D.1,2【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 集 合 的 交 集 运 算 即 可 解 出.【详 解】因 为 A=2,1,0,1,2,8=x 0 x|,所 以 4 口 8=0,1,2.故 选：A.2.某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 10位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 10位 社 区 居 民 在 讲 座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正._ 100 7 0 95%_ _,_ _ _*90%_ _,_ _A,_本 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A.-_ _ _._ _ _蚪 o5/o.-平-,-逐 0%.3.*ii北 j/|U库-前 I J U确 率 如 下 图：田 75%*讲 座 后 70%_OJ/060%_ q _&_八 W _ 1 _ 1 _ _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _U1 2 3 4 5 6 7 8 9 10居 民 编 号 则()A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差【答 案】B【解 析】【分 析】由 图 表 信 息，结 合 中 位 数、平 均 数、标 准 差、极 差 的 概 念，逐 项 判 断 即 可 得 解._ 1 _ 75%【详 解】讲 座 前 中 位 数 为 70%,所 以 A 错;2讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 只 有 一 个 是 80%,4个 85%,剩 下 全 部 大 于 等 于 90%,所 以 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%,所 以 B对；讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 更 加 分 散，所 以 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 大 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差，所 以 C错；讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为 100%80%=20%,讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为 95%-60%=35%20%,所 以 D 错.故 选:B.3 若 z=l+i.贝 U|iz+3 彳|=()A.4A/5 B.472 C.2亚 D.2加【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 复 数 代 数 形 式 的 运 算 法 则，共 就 复 数 的 概 念 以 及 复 数 模 的 计 算 公 式 即 可 求 出.【详 解】因 为 z=l+i，所 以 iz+32=i(l+i)+3(li)=22i,所 以 向+3司=n=2也.故 选：D.4.如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 多 面 体 的 体 积 为 B.12 C.16 D.20【答 案】B【解 析】【分 析】由 三 视 图 还 原 几 何 体，再 由 棱 柱 的 体 积 公 式 即 可 得 解.【详 解】由 三 视 图 还 原 几 何 体，如 图，则 该 直 四 棱 柱 的 体 积 丫=x2x2=12.2故 选：B.5.将 函 数/(x)=sin W J(。0)的 图 像 向 左 平 移 y 个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C,若 C 关 于 y轴 对 称,则。的 最 小 值 是(【答 案】C【解 析】【分 析】先 由 平 移 求 出 曲 线 C 的 解 析 式，再 结 合 对 称 性 得 掾+。=1+人 2,即 可 求 出。的 最 小 值.【详 解】由 题 意 知：曲 线 0 为 丫=疝 小+3+?=sin(sr+等+勺，又 C 关 于 丁 轴 对 称，则C O TT 71+2 3=+k兀,k e Z2解 得。=：+2人 次 e Z,又。(),故 当 我=()时，的 最 小 值 为 3 3故 选：C.6.从 分 别 写 有 1,2,3,4,5,6 的 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2张，则 抽 到 的 2张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4的 倍 数 的 概 率 为()1 1 2 2A.B.C.D.5 3 5 3【答 案】C【解 析】【分 析】方 法 一：先 列 举 出 所 有 情 况，再 从 中 挑 出 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 情 况，由 古 典 概 型 求 概 率 即 可.【详 解】方 法 一:【最 优 解】无 序 从 6张 卡 片 中 无 放 回 抽 取 2 张，共 有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15 种 情 况，其 中 数 字 之 积 为 4 的 倍 数 的 有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种 情 况，故 概 率 为 白=1.方 法 二:有 序 从 6张 卡 片 中 无 放 回 抽 取 2 张，共 有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30 种 情 况，其 中 数 字 之 积 为 4 的 倍 数 有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12 种 情 况,故 概 率、，12 2为=.30 5故 选：C.【整 体 点 评】方 法 一：将 抽 出 的 卡 片 看 成 一 个 组 合，再 利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 解 出，是 该 题 的 最 优 解；方 法 二：将 抽 出 的 卡 片 看 成 一 个 排 列，再 利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 解 出；7.函 数 丁=(3*3-。8 5 在 区 间 一 的 图 象 大 致 为()【解 析】【分 析】由 函 数 的 奇 偶 性 结 合 指 数 函 数、三 角 函 数 的 性 质 逐 项 排 除 即 可 得 解.【详 解】令/(x)=(3，-3fcosx”,则 f(-x)=(3-3*)cos(-x)=-(3*-3T)cos x=-/(x),所 以/(x)为 奇 函 数，排 除 BD；又 当 时，3v-3-v0,cosx0,所 以/(x)0,排 除 C.故 选：A.b8.当 尤=1时，函 数/(x)=alnx+取 得 最 大 值 一 2,则/(2)=()x1 1A.1 B.C.-D.12 2【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 知/(I)=-2,/=0 即 可 解 得。力，再 根 据 广(x)即 可 解 出.【详 解】因 为 函 数/(力 定 义 域 为(0,+e)，所 以 依 题 可 知，/(1)=-2,/(1)=0,而 1。/*(%)=7,所 以/?=一 2,。一/?=0,Bp a=-2,b=-2,所 以 0(%)=+,因 此 函 数/(x)在 X X X X（0）上 递 增，在。,内）上 递 减，=1时 取 最 大 值，满 足 题 意，即 有 r（2）=i+g=g.故 选：B.9.在 长 方 体 A B C Q-A B C Q中，已 知 耳。与 平 面 A 3C D和 平 面 所 成 的 角 均 为 30。，则（）A.A 6=2AD B.AB与 平 面 A B C。所 成 的 角 为 30C.AC=CBt D,用。与 平 面 BBC。所 成 的 角 为 45【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 线 面 角 的 定 义 以 及 长 方 体 的 结 构 特 征 即 可 求 出.【详 解】如 图 所 示：依 题 以 及 长 方 体 的 结 构 特 征 可 知,与 平 面 A 8C O所 成 角 为/g D 8,瓦。与 平 面 A4g 8 所 成 角 为 N O a A,所 以 c b I _sin3,即=c,B,D=2c=a2+/?2 4-c2，解 得 Q=&C-!Z J DU 1对 于 A,AB=a,AD=b,AB=g A D A错 误；对 于 B,过 8 作 B E*_ L AB于 1,易 知 BE_L平 面 A B D,所 以 4 3 与 平 面 ABCi。所 成 角 为 4 4 E，因 为 tan/B A E=巫，所 以 N B 4 E o 3 0，a 2B错 误；对 于 c，A C 7 a 2+及=病，C 4=扬+。2=缶,A C H C 4,C错 误；对 于 D,8 Q 与 平 面 B 8 C C 所 成 角 为 N O g C,sin NDB=篇=4=,而 0/。与。9 0 所 以/。4。=4 5.D 正 确.故 选：D.10.甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2兀，侧 面 积 分 别 为 3 和 S乙，体 积 分 别 为 喝 和 吃.若 U=2，则 广=()，乙 V乙 A.6 B.272 C.V10 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】设 母 线 长 为/,甲 圆 锥 底 面 半 径 为 乙 圆 锥 底 面 圆 半 径 为 弓，根 据 圆 锥 的 侧 面 积 公 式 可 得 4=2弓，再 结 合 圆 心 角 之 和 可 将 不 与 分 别 用/表 示，再 利 用 勾 股 定 理 分 别 求 出 两 圆 锥 的 高，再 根 据 圆 锥 的 体 积 公 式 即 可 得 解.【详 解】解：设 母 线 长 为/,甲 圆 锥 底 面 半 径 为 乙 圆 锥 底 面 圆 半 径 为 巴，S印 Tirl r.则 s乙 兀 修 r2所 以 彳=2弓，包+包=2万，1 1则 牛=1,所 以 4=/,弓=；/,所 以 甲 圆 锥 的 高=J/一：/2=今,乙 圆 锥 的 高 质=/2一.=22/,1/1 孙%z2 X/所 以=产=阿 岭 仃 也 3 9 3故 选：C.11.已 知 椭 圆 C：rf+v2=l(ab0)的 离 心 率 为 1二，4,4 分 别 为 c 的 左、a-b-3右 顶 点，8 为 C 的 上 顶)2 2c,工+匕=1点.若 丽 砥=一 1，则 C 的 方 程 为(A.兰+$=1 B.片+片=118 16 9 8【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 离 心 率 及 1，解 得 关 于 的 等 量 关 系 式，即 可 得 解.【详 解】解：因 为 离 心 率 e=工,解 得 2=2，b2=-a2,a a2 3 a2 9 9A，4 分 别 为 C 的 左 右 顶 点，则 A,(。,0),4(a,0),B 为 上 顶 点，所 以 8(0,。).所 以 瓦 41=(z,Z?),BA,(0 b B.a b 0 C.h a 0 D.b 0 a【答 案】A【解 析】2D.+j2=1【分 析】法 一：根 据 指 对 互 化 以 及 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 知 加=k)g910l，再 利 用 基 本 不 等 式，换 底 公 式 可 得 加 log89 2,然 后 由 指 数 函 数 的 单 调 性 即 可 解 出.【详 解】方 法 一:(指 对 数 函 数 性 质)由 9=10可 得 加=log91=l，而 lg91glilgll，所 以 a=l(T1110*一 11=0.1g 9 1g 10又 lg81gl0 得 劈 耳=(噌、(lg9)2,所 以 号 需，即 山 加 乙),乙)E E所 以 6=8 9 0 b.方 法 二:【最 优 解】(构 造 函 数)由 9=10，可 得 加=log9 10 G(1,1.5).根 据。力 的 形 式 构 造 函 数/(x)=xx 1(尤 1),则:=令/(x)=0,解 得 玉=机,由 m=log9 10e(l,1.5)知/(0,1)./(x)在(1,母)上 单 调 递 增，所 以 f(10)/(8),即 a b,又 因 为/=9蚓-10=0,所 以。0 力.故 选：A.【整 体 点 评】法 一：通 过 基 本 不 等 式 和 换 底 公 式 以 及 对 数 函 数 的 单 调 性 比 较，方 法 直 接 常 用，属 于 通 性 通 法；法 二：利 用 形 式 构 造 函 数/(x)=xxl(x l),根 据 函 数 的 单 调 性 得 出 大 小 关 系，简 单 明 了，是 该 题 的 最 优 解.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.已 知 向 量&=(m,3),5=(1,m+1).若 _1_B，则 加=.3【答 案】-#-0.75【解 析】4【分 析】直 接 由 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 求 解 即 可.-3【详 解】由 题 意 知：a-b=m+3(m+)=0,解 得 加=-.43故 答 案 为：-414.设 点 M 在 直 线 2x+y l=0 上，点(3,0)和(0,1)均 在 0 上，则。的 方 程 为.答 案 d)2+(y+l=5【解 析】【分 析】设 出 点 M 的 坐 标，利 用(3,0)和(0,1)均 在 上，求 得 圆 心 及 半 径，即 可 得 圆 的 方 程.【详 解】方 法 一：(三 点 共 圆)点 M 在 直 线 2x+y-l=0 上，设 点 M 为(a,1-勿)，又 因 为 点(3,0)和(0,1)均 在 O M 上，点 M 到 两 点 的 距 离 相 等 且 为 半 径 R，7(-3)2+(1-2)2=72+(-2)2=R，。2-6。+9+4。2-4。+1=5。2，解 得。=1,A R=6Q M 的 方 程 为（x I）?+（y+1尸=5.故 答 案 为：。一 1）2+（y+l=5方 法 二：（圆 的 几 何 性 质）由 题 可 知，M 是 以（3,0）和（0,1）为 端 点 的 线 段 垂 直 平 分 线），=3片 4 与 直 线 2 x+y-1=0 的 交 点（小 1）.R=5（D M 的 方 程 为（x l）2+（y+l）2=5.故 答 案 为：（x-l）2+（y+l）2=52 215.记 双 曲 线 C:=-4=l（a0,60）的 离 心 率 为 e,写 出 满 足 条 件“直 线 y=2 x 与 C 无 公 共 点”的 e 的 一 a-b-个 值 _.【答 案】2（满 足 l e 6 皆 可）【解 析】b b【分 析】根 据 题 干 信 息，只 需 双 曲 线 渐 近 线 y=x 中 0 0力 0）,所 以 C 的 渐 近 线 方 程 为 y=jX,结 合 渐 近 线 的 特 点，只 需 0 一 b 4 2,即 h二 44,a cr可 满 足 条 件“直 线 y=2%与。无 公 共 点”所 以 e=Jl+与 l,所 以 1 君，故 答 案 为：2（满 足 l e 石 皆 可）&r16.已 知“I BC中，点。在 边 B C 上，Z A D B=20,AD=2,C D=2 B D.当，取 得 最 小 值 时，ABB D=.【答 案】V3-l#-l+V3【解 析】人 0 2【分 析】设 C D=2BO=2 20,利 用 余 弦 定 理 表 示 出 勺 三 后，结 合 基 本 不 等 式 即 可 得 解.AB-【详 解】方 法 1：（余 弦 定 理）设 C D=2BD=2 m。,则 在 中，AB2=BD2+A D2-2 B D-ADcosZADB=zn2+4+2 m.在 A A C D 中，A C2=C D2+A D2-2CD-AD cos Z A D C=W+4-4m-A C2 _ 4m2+4-4/7?所 以 益 7-/荷+4+2+4+2，)一 12(1+/%)12m2+4+2m(,3(J+1)+-m+4=4 2 62.(m+1)-V m+13当 且 仅 当 加+1=即 机=6-1时，等 号 成 立,m+1Ar所 以 当 一 取 最 小 值 时,ABm=/3-1.故 答 案 为：V3-1.方 法 二 2：令 BD=t,以 D 为 原 点，0 C 为 x轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系.（建 系 法）则 C(2t,0),A(1,G),B(-t,0):空=(2一 厂 3=-4f+4=4_ _ 12A B+1)+3 厂+2/+4(/+1)+A.方 法 三 3：(余 弦 定 理)7 t+1当 且 仅 当，+1=百，即 30=6-1时 等 号 成 立。设 BD=x,CD=2x.由 余 弦 定 理 得 c2=x2+4+2xb=4+4x2-4xc2=x2+4+2xb1=4+4-4%.-.2c2+/22=12+6x2.2c2+b2=1 2+6/，令 罚=则 2 c 2+U 1 2+6 F、212+6x 12+6JT,t+2=-=-.=6c x2+2x+42X+1)+3 6-2,x+l)r2 4-2 7 3，3当 且 仅 当 x+l=二 一，即=6+1时 等 号 成 立.尤+1解 法 4：判 别 式 法 设=则 C)=2x在 A B 中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x AC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4 x)所 以 AC24x2+4-4 x 5 4x2+4-4 x：-，idr=-x+4+2x x+4+2尢 则（4 T）f（4+2，）x+（4_4r）=0由 方 程 有 解 得：=（4+2。2-4（4一。（4一 包 NO即 产 一 8+4 4 0,解 得：4 2百 Y 4+2百 所 以 t=4 2 6,此 时=出=石 一 14/所 以 当 而 取 最 小 值 时，x=V 3-l.即 8 0=6 1.三、解 答 题：共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.（一）必 考 题：共 6 0分.17.甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 均 由 A和 8 两 家 公 司 运 营，为 了 解 这 两 家 公 司 长 途 客 车 的 运 行 情 况，随 机 调 查 了 甲、乙 两 城 之 间 的 500个 班 次，得 到 下 面 列 联 表:准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数 A 240 20B 210 30(1)根 据 上 表，分 别 估 计 这 两 家 公 司 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 准 点 的 概 率；(2)能 否 有 90%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关？附:“2 n(ad-bc=-,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2.k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63512 7【答 案】(1)A,B 两 家 公 司 长 途 客 车 准 点 的 概 率 分 别 为 一，-13 8(2)有【解 析】【分 析】(1)根 据 表 格 中 数 据 以 及 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 结 果;(2)根 据 表 格 中 数 据 及 公 式 计 算 K?，再 利 用 临 界 值 表 比 较 即 可 得 结 论.【小 问 1详 解】根 据 表 中 数 据，A 共 有 班 次 260次，准 点 班 次 有 240次,设 4 家 公 司 长 途 客 车 准 点 事 件 为 M,则 尸(2)40=,1*2；260 13B 共 有 班 次 240次，准 点 班 次 有 210次,设 B 家 公 司 长 途 客 车 准 点 事 件 为 N,则 嘿 1A 家 公 司 长 途 客 车 准 点 的 概 率 为 乜;1378 家 公 司 长 途 客 车 准 点 的 概 率 为 O【小 问 2 详 解】列 联 表 准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数 合 计 A 240 20 260B 210 30 240合 计 450 50 500nad-bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)500 x(240 x30-210 x20)2 3.205 2.706,260 x240 x450 x50根 据 临 界 值 表 可 知，有 9 0%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关.18.记 S“为 数 列 可 的 前 项 和.已 知 一+=2 4+1.（1）证 明：,是 等 差 数 列；（2）若&，%，/成 等 比 数 列，求 S”的 最 小 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）-78.【解 析】5,n=1【分 析 1）依 题 意 可 得 25“+2=2%+，根 据 4=2从 而 得 证；（2）法 一：由（1）及 等 比 中 项 的 性 质 求 出 为，即 可 得 到 4 的 通 项 公 式 与 前 项 和，再 根 据 二 次 函 数 的 性 质 计 算 可 得.【小 问 1详 解】2s因 为+=2%+1,即 2s+-=+，n当 2 2 时，2S _+（/t-l）2=2（一 1）%_，一 得，2szi+n2-2Sn_1-（/t-1）2=2nafl+n-2（n-l）an_,即 2a+2-1=2?+1,即 2（-1）。一 2（-1）4_=2（/?1）,所 以。“一 且 T?N*,所 以 是 以 1为 公 差 的 等 差 数 列.【小 问 2 详 解】方 法 一:二 次 函 数 的 性 质 由（1）可 得 知=4+3,%=q+6，。9=4+8,又 2,%，%成 等 比 数 列，所 以 生?二%，为，即（q+6）2=（q+3（4+8）,解 得 4=-12,r r r._ 17 一（T）1 2 25 1（25丫 625所 以 4=一 13,所 以 S,=-2“H-n-n-n-，“2 2 2 21 2 J 8所 以，当=12或=13时，（Sn“/）mi.n=-78.方 法 二:【最 优 解】邻 项 变 号 法 由（1）可 得%=6+3,7=1+6,佝=4+8，又 4，%，旬 成 等 比 数 列，所 以=。4，困，即（q+6）2=（q+3（4+8）,解 得 q=-12,所 以%=-1 3,即 有 q V 4 2 V，3=。.则 当=12或=13时，（S）.=-78.【整 体 点 评】（2）法 一：根 据 二 次 函 数 的 性 质 求 出 S”的 最 小 值，适 用 于 可 以 求 出 S,的 表 达 式;法 二：根 据 邻 项 变 号 法 求 最 值，计 算 量 小，是 该 题 的 最 优 解.19.小 明 同 学 参 加 综 合 实 践 活 动，（单 位：cm）的 正 方 形，AEABABC。垂 直.G5A B包 装 盒 材 料 的 厚 度）.【答 案】（1）证 明 见 解 析；设 计 了 一 个 封 闭 的 包 装 盒，包 装 盒 如 图 所 示：底 面 A6C。是 边 长 为 8A FB C AGCDQ HDA均 为 正 三 角 形，且 它 们 所 在 的 平 面 都 与 平 面640 I-(2)J 3.3【解 析】【分 析】（1）分 别 取 A B,8 c的 中 点 M,N,连 接 M N,由 平 面 知 识 可 知 _ L A8,FN_LBC,E M=F N,依 题 从 而 可 证 M_L平 面 ABC。，F N,平 面 ABC。，根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知 E M/F N,即 可 知 四 边 形 EMNF为 平 行 四 边 形，子 是 E F/1M N,最 后 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 出;（2）再 分 别 取 A 2 D C 中 点 K,L,由（1）知，该 几 何 体 的 体 积 等 于 长 方 体 KWNL EEGH的 体 积 加 上 四 棱 锥 B M/VFE体 积 的 4倍，即 可 解 出.【小 问 1详 解】如 图 所 示:分 别 取 的 中 点 M,N,连 接 M N,因 为 AEABR EBC为 全 等 的 正 三 角 形，所 以 E M A.AB,FN BC,E M=F N,又 平 面 E4B_L平 面 ABCQ，平 面 E W c平 面 ABCD=AB，A/u平 面 E M，所 以 A/_L平 面 A 8 C Q,同 理 可 得 R V,平 面 ABC。，根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知 E M/F N,而 E M=F N,所 以 四 边 形 EM N/为 平 行 四 边 形，所 以 E F/M N,又 产 平 面 ABCD,M N u平 面 A 8 C D,所 以 跖/平 面 ABCD.【小 问 2 详 解】方 法 一：（分 割 法 一）如 图 所 示:分 别 取 A O,0 C 中 点 K,L,由（1）知，E F/M N 良 E F=M N,同 理 有，H E/K M,H E=K M,H G/K L