广东省深圳市龙华区2021-2022学年高一上学期期末数学试题解析.pdf

龙华区中小学202L2022学年第一学期期末学业质量监测试卷高一数学说明：1.本试卷共4 页，22小题，满分150分.测试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的条形码贴写在答题卡上.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮榛干净后，再选涂其他答案.4.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=-9-2 比 则 4 n 5=（）A.尤2 B.1 x|l x 2 jC.x2x3 D.x|24x 3”是“一元二次方程*2+依+1=0 有实数根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列函数中与函数y=尤是同一个函数的是（）A-y=B.“=机 2C.m=D.s=2喧n5.如图，四边形ABCD是直角梯形，ZD AB=90,A D/7 B C,AD=a,BC=b.若M,N 分别在A B,C O 上，MN/B C,且M N 把直角梯形ABC。分成面积相等的两部分，则（）A6.当x e(O,多 时，函数f(x)J cos2”的最大值是()3s i n 2xA.3B,13C.7 3D,2TT TT如图为某质点简谐运动的部分图像，它符合函数y =A s i n（0 x +e）（A0,0 0,-bcB.achC.c abD.cba二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.在同一坐标系中，对于函数与g(x)=2 的图象，下列说法正确的是()A./与g(x)有两个交点B.3 x0 0 ,当X/时，/*)恒在g(x)的上方C.，(x)与g(x)有三个交点D.Bxn 0,当x x()时，g(x)恒在/(x)的上方1 0.将函数y =c o s(2 x +F j的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把它向右平移g个单位，得到函数/(X)的图像，则下列是y =f(x)对称轴的是()5兀7 1A.x=-B.x 6 6 7兀 n 7兀C.x=-D.x 2 4 611.已 知 定 义 域 是R,既是奇函数又是减函数.若，bwR,且a +Z;v O,则()A.f(a+b)0 B./()+/(/?)0C.f(a+h)012.提 鞋(斜)公 式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：a sin x+Z?c o sx=!a2+b2 sin(x+y ),其中一兀0,b o时，(p=(p。B.当。o时，0,Z?0时，w =-%D.当a 0,。（）,计算：层/+,=.14 .已知a为第二象限的角，且c o sa =-g,贝 ijsin（a +n）=.15 .已 知 函 数=F +1，A-0 是增函数，则实数加的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2x+m,x 016 .煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物.某种煤油中污染物的含量为P。，测得这种煤油通过x m的圆形黏土管道后污染物的含量如下表：x/m0123PPo0.8p0.64 Po().512 po若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要 m 的圆形黏土管道.（参考数据：l g 2 a o.3）四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台一一支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究.随机调查了 1000名市民，结果显示：使用支付宝的有4 5 6 人，使用微信支付的有783 人，两种都使用的有29 8人.（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）1 8.已知函数/（x）=log“x（a0，aHl）,且/（a）+/（4a）=4.（1）求实数。的值；（2）解关于x 不等式：f 2（x）_ 4/（x）-5 0.1 9 .如图，以。为圆心，半径为2 的圆与x 轴正半轴相交于点A ,质点P在圆周上逆时针运动，其初始位置为（追,-1）,角速度为2r a d/s.(1)求点p的纵坐标y关于时间，(单位：s)的函数解析式;(2)求在6 0s内(EP/e 0,6 0),质点P经过点A的次数.2X-2T20.已知函数/(x)=(1)判断/(x)的奇偶性，并说明理由；(2)判断f(x)的单调性，并用定义法给予证明.21 .已知函数/(x)=si nxc osg+x)+/5si nxc osx.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若不等式|/(X)-词 l,用 M(x)表示/(x),g(x)中的较大者，记为 M(x)=ma x/(x),g(x),当方程 M(x)=a 有三个不同的实数根时，求实数。的取值范围.龙华区中小学2021-2022学年第一学期期末学业质量监测试卷高一数学一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A =x9-2爪 则4 n B=（）A.x|lx 2 B.1 x|l%21C.x 2 x 3 D.x|24x 9-2x=x|x 2,因为 A =x|l W x 3,所以 A c 8 =目2 x 3”是“一 元 二 次 方 程/+6+1 =0有实数根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A根据一元二次方程根个数结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】一 元 二 次 方 程 方+i =o有实数根，则A=a 2 _4 N 0,解得。4一2或即“。3”是“一元二次方程V+分+1 =o有实数根”的充分不必要条件.故选：A4.下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()A.y=B.1,=朽7“2C.m=D.s=2即n【答案】B分别从函数的定义域，对应法则和值域进行判断即可求解.【详解】函数y=x定义域为R,值域也为R.对于A，函数丁 =行=国 的 定 义 域 为R，值域为 0,+8),对应法则也不相同，故选项A不满足题意；对于B，函 数 =*=丫 的 定 义 域 为R，值域也为R,对应法则相同，故选项B满足题意；2对于C,函数m=L =(/0)定义域(,O)U(O,+8),值域为(-8,0)U(0,+8),故选项C不满n足题意；对于D，函数5=2蜒2，=/0)定义域为(0,+8),值域为(0,+8),故选项D不满足题意，故选：B.5.如图，四边形A8C。是直角梯形，NZMB=90,A D B C,A D =a,B C =b.若M,N分别在A B，CO上，M N B C,且MN把直角梯形A8C分成面积相等的两部分，则MN=()【答案】D过A点作A/。交于E，交于E，由相似三角形和面积相等建立等量关系求解即可.【详解】如图所示，过A点作A/。交于E，交于尸，设 M N =c,A M =m,A B =n，M E A M a nc-a m因为AAA/E-AAB/7,所以即二，解得加=B F A B b-a n(c-a)nb-a因为SADNM(+c)m(a +c)(c-a)n(c2-a2)n-=-x-=-22b-a 2 s a)(+)_-，旦 ABCD 八 ADNM，所以(a+b)n(c2-a2)n-=2 x-22(h-a)，解得故选：D6 .当x e （0,3 时，函数f（x）Jcs2 的最大值是（3 s i n 2xB.1c.GD.2【答案】c化简/（x）的解析式，根据正切函数的单调性求得正确答案.【详解】由于/（九）l-co s 2 x _ 1 -(1 -2 s i n?%)s i n2 x2 s i nx co s xt a nx，而/(x)=t a nx 在区间T To，H 上单调递增,所以/（x）的最大值是/无=#).故选：C7T 7t7 .如图为某质点简谐运动的部分图像，它符合函数y =As i n（g +。）（A 0,。0,一-一）的形2 2式，则（)71B.A =2,CO=1 y 9 =一 7CC.A=2 G=2,(p=-6c 7CD.A=2,co=2 9 =【答案】D由题知A=2,=y,进而得y =2 s i n(2 x +e),再 代 入 点 即 可 得 夕=g,进而得答案.【详解】解：由题知A =2,-T=-2 1 2 1 2 22 万所以7 二乃=一，解得口=2,CD所以，y =2 s i n(2 x +e),再将(学，2)代入得2 =2 s i n(2 x +81即2x.+e =工+2&肛 Z e Z ,解得1 2 ；1 2 J 1 2 2式(p=-2k7r.k G Z,3L I、】乃 兀因为-(0 bcB.a c bC.cabD.cba【答案】A利用对数函数的单调性判断.【详解】解：因为a =l o g 3%l o g 3 3 =l,0 cb=l o g 3 v l o g；r =l,c=l o g0 3e 0,当x /时，/(x)恒在g(x)的上方C./(x)与g(x)有三个交点D.3x0 0,当X/时，g(x)恒在/(x)的上方【答案】C D通过试值找到两函数在x 0时两个关键的交点坐标(2,4),(4,16),从而在同一坐标系中作出两函数图像,通过图像即可判断选项.【详解】4 1)=1,g =2,2)=g(2)=4,3)=9,g(3)=8,4)=g(4)=16 ,5)=25,g(5)=32,则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示:C正确,由图易得当X 4时，g（x）恒在f（x）的上方，故B错误，D正确,故选：CD.兀10.将函数y =c os（2x +的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把它向右平移守3个单位，得到函数A x）的图像，则下列是y =/（x）对称轴的是（）5兀A x=-6c 7兀C.x=-24B.兀x=6D.7兀X=6【答案】ABD由图像变换求解函数解析式，整体代入法求对称轴方程.【详解】函数 =c os（2x +E的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =c os x +2-I 6的图像,再把它向右平移三个单位，得到函数 x）=c os（x兀的图像,7TTT令x=kit,keZ,解得y=/U)对称轴方程为x=kit+,keZ,6 6当左=一1时，对称轴为=一 型；当左=0 时，对称轴为=四；当&=1时，对称轴为x=4.6 6 6故选：ABD1 1.已知/(x)的定义域是R,/(x)既是奇函数又是减函数.若a,b w R,且a+h 0 B./()+/(/?)0C.f(a+b)0【答案】AD根据/(X)定义域为R,且其既是奇函数又是减函数，可知/(0)=0,结合。+匕 0 即可判断A,C选项，a+0 0,则a 一/(。)，即可判断B,D选项.【详解】/(X)的定义域为R,且 f(x)既是奇函数又是减函数，则/(0)=0，.a+人/(0)=0,故 A 正确，C 错误，.a+b F(询，即，.-.f(a)+f(b)0,故 D 正 确,B 错误.故选：AD.12.提 鞋(斜)公 式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：a sin x+bcos x=+b2 sin(x+j),其 中-兀 兀.若 tan%，T T%e(0,-),则下列判断正确的是()A.当 (),方 0 时，(p=(p()B.当。0 时，冗C.当。0,Z?0时，(p=_%D.当。0,力 0,b 0,则0 e ,此时 tan。=tan/,0%,(p=(pn,A 正确；7 C71若。0,则 5 兀，tane=-tanQo=tanQr-00),71-0,/?0,则 0,tan =-tan(p)=tan(-%),一/0,(p=-(p0,C 正确；若a 0,b 0,则一万/，tan夕=tan%=tan(0 一%),;r%一%0,又sin?a+cos2a=1,cosa=-；,则sin a=Vl-cos2 a=2叵.又由诱导公式，3得s i n(a+JI)=-s i n a=-故答案为：一 逑3/、2 +1,x 2 015 .已知 函 数 力=是增函数，则实数”?的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2x+m,x 0【答案】(8,2根据函数的单调性列不等式，由此求得加的取值范围.【详解】由于/(x)在R上递增，所以2x 0+m 2+l，即加W 2,所以加的取值范围是(一吗2.故答案为：(一*216.煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物.某种煤油中污染物的含量为P。，测得这种煤油通过x m的圆形黏土管道后污染物的含量P如下表：x/m0123PPoO.8 po().6 4 poO.5 12po若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要 m的圆形黏土管道.(参考数据:l g 2 a o.3)【答案】17根据表格得到p=0.8 ,解不等式P。()8 4 p0 2%,可得结果.【详解】由表可知，p=po-O.8x,由 p=Po 0.8 W Po 2%,得0 8 2%，2 l g 2-2 Is2-2 0 3-2两边取常用对数得x l g O.8 l g，得x 2-f-=-7 =17.100 l g 8-l 3 1g 2-l 3 x 03-1所以若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要17 m的圆形黏土管道.故答案为：17四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台一一支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究.随机调查了 1（X X）名市民，结果显示：使用支付宝的有4 5 6人，使用微信支付的有7 8 3人，两种都使用的有29 8人.（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）【答案】15 8人（2）5 9 人（1）由题意“使用支付宝”的去掉“两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信支付”的人.（2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”，“只使用支付宝不使用微信支付”“两种支付方式都使用”，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果.【小 问1详解】因 为“使用支付宝”的有4 5 6人，“两种支付方式都使用”的有29 8人，所 以“只使用支付宝不使用微信支付”的有4 5 6-29 8 =15 8 （人）.【小问2详解】同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有7 8 3-29 8 =4 8 5 （人），所以，“至少使用一种移动支付方式”的有4 8 5 +15 8 +29 8 =9 4 1（人），故“两种移动支付方式都不使用”有1000-9 4 1=5 9 （人）.18.已知函数/（x）=l o g“x （。0，G H 1）,且/（。）+/（4。）=4.（1）求实数。的值；（2）解关于x的不等式：/2（X）-4/（X）-5 0.【答案】（1）=2（2）卜 g x 0,所以4 =2.【小问2详解】令f =/(x),不等式转化/_ 4 5 0，即“+1)-5)0,解之得一l v，v 5,即一l l og 2 X 5,而一l =l og 2|，5 =l og23 2 ,所以L X322故该不等式的解集为j x|；x32.1 9.如图，以。为圆心，半径为2的圆与x轴正半轴相交于点A,质点P在圆周上逆时针运动，其初始位置为 (x/3,-1),角速度为 2 ra d/s.(1)求点尸的纵坐标丫关于时间/(单位：s)的函数解析式；(2)求在6 0s内(即质点P经过点A的次数.【答案】y =2 s i n(2 f-(2)2 071 7 C 先求出f时刻后，P经过的角度为f x 2-w=2 f-三，然后再根据三角函数求解.6 6(2)根据函数的周期计算.【小 问1详解】7T由外(6,-1)得N A。兄=-,6因为质点P运动的角速度为2 ra d/s,TT IT所以 时刻后，尸经过的角度为f x 2-=2 r-,6 6故P的纵坐标y =2 s i n （2 f _聿）【小问2详解】2元由（1）知周期7 =q=兀，2而 1 9兀 6（X 2 07 1所以质点P至少经过点A达1 9次，TT因为质点P从4到达A至少需 要 五S,7T而6 0 1 9兀 一，即第2 0个周期可以到达点A,1 2所以质点尸经过A点的次数为2 0.2 0.已知函数f（x）=；、+;、.（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断f（x）的单调性，并用定义法给予证明.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）/（幻是R上的增函数.，证明见解析（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.【小 问1详解】因为/（X）的定义域是R ,且当 Vx e R 时，/（T）=|=x），故/（X）奇函数；【小问2详解】Y 2 变形得中4 -1 4 +1-2 ,2-=-=-4 +1 4 +1 4 +1/、2令 r=4*+l，则因为/=4,+1 在 R上是增函数，r e（l,+oo）,2又在（1,4 W）上是单调递增，所以力是R增函数，下面用定义法证明：任取两个实数4，X2 GR,且X|%2，2?2（4%-4*）因为为 x2,所以4$4%,所以4、_ 4*O,4X：+1 0,所以/（%）-/（工 2）。，即/（内）/（工 2），故，（x）是 R上的增函数.2 1.已知函数/(x)=s i n x c os(m+x)+s i n XCOSX.（1）求，（幻的单调递减区间;（2）若不等式|/（X）-叫 2在X G 上恒成立，求实数”的取值范围.TT Z U【答案】(1)+E,+E (k e Z)6 33（2）（-,1）（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数f（x）的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果;（2）根据函数A x）在 0卷上的单调性求出函数x）在 0卷上的值域，将不等式|/（X）-同 2在I TT Tx e 0,-上恒成立，化为加-2 f（x）机+2 在 x e 0,-上恒成立，再利用了的最值列式可求出结果.【小 问 1详解】因为/（X）=-si n2 x +V3 si n x c o s x=c o s_i-+sjn 2x,兀 1所以/（x）=si n（2 x+w）-G，6 2人兀 c i 兀,3兀 c i ,令 F 2女 兀 2x H W-F 2kri,攵 e Z,2 6 2jl 2兀解得 F kit x F kji 9 k Z,6 3J T 2冗即/3)的单调递减区间为_+E,+E(攵e Z).6 3【小问2 详解】当x e 0 f 时，2 x+9 R，3,所以f(x)在 0,y上单调递增；6 6 6 2 L 6 _当 仁,勺时，2x d 6 ,所以/(X)在 上单调递减;6 2 6 2 6 16 2 因为/(o)=o,人 夕=-1,所以/的值域是又由|/(x)m|2 在 x e 0,1 上恒成立，得加一 2/(x)m+2 在 x e 0,-|上恒成立，3得 c l，解得一一?2I 23所以实数小的取值范围是(一-,1).222.已知/(x)=l n(x-l)，g(x)=-x2+x-2.(1)分别画出y =/(x)、y =g(x)的图象(不必写出画法，请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑);-x(2)用二分法求函数(x)=/(x)-g(x)的零点与(精确度为0.3)；(3)V x l,用 M(X)表示/(X),g(x)中的较大者，记为“。)=11 1*/(力，8(力,当方程M(x)=a 有三个不同的实数根时，求实数”的取值范围.【答案】(1)答案见解析 与 可 取3.5,3.75中的任一个值(1)根据对数函数和二次函数的性质和图象即可得出答案；(2)因为/(x)-g(x)=()可以等价于y=f(x)与y=g(x)的交点问题，由图知，因为/(3)g(4),所以/e 3,4 ,再由二分法的定义即可求出函数力(x)=/(x)-g(x)的零点x.；(3)因为方程M(x)=a可转化为y=M(x)与y=a的交点问题，结合图象即可得出答案.(注意画图象的细节，如y=ln(x l)的渐近线，lln62,y=-/o +乙9工 一2的最大值为3 1,与工2 16轴的交点为(g,0),(4,0),图象画得不够准确，适当扣分.)【小问2详解】因为/(X)-g(x)=。可以等价于y=fM与y=g(x)的交点问题，由上图知，因 为/g，/g，所以xe3,4,因为/(3.5)=ln2.5l,即 3.5)1,g(3.75)=1,即/(3.75)g(3.75),所以毛 w3.5,3.75,而 3.75-3.5=0.25 0.3,所以 与可取3.5,3.75中的任一个值.【小问3详解】因为方程M(x)=。可转化为y =M(x)与y =。的交点问题，如图，因为g(l)=3,In2.7 5=InJ(2.7 5 In=In,2 23所以 Xo)=l n(Xo-l)K l n2.7 55，所以g/(不)，49 劣 do又g max(x)=，所以当一。一 =M(X)与y =a有三个交点,16 2 16所以实数。的取值范围是