2023届高中数学大题二轮复习第26讲焦点弦结论-解析版.pdf
第 2 6 讲焦点弦结论如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直 线 斜 率（或倾斜角）、定 比 分 点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线中比较综合的考点，下面介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用.椭圆焦点弦结论2 2结论：K和 尸2分别为椭圆T +方=1 3 6 0）的左、右焦点，A 3是过左焦点倾斜角为。的弦，点A在x轴上方，8 是过右焦点倾斜角为力的弦，点C在x轴上方，则焦半径公式：|4用=一，a-ccosO|叫=b2a+ccos,CF2=-,DF2=-a+ccos/?a-ccos 0焦点弦长公式一叫受而2ab2a1-c2 cos2 p焦点分弦公式：陷酬=匕竺小，罔=-=用 a-ccosG 1-ecosO|DZs|Q+CCOS 尸a-ccos 夕 _ 1 -ecos j31 +ecos/7 时几-1(2+1)cos。同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为Ia-c sin a结论：椭圆过焦点弦长公式：|A8|=2ab2-2 2一 c cos a2加a1-c1 sin2 a（焦点在X轴上）（焦点在），轴上）【例1】如下图所示，已知倾斜角为。的直线过椭圆+%=1的左焦点6,且与椭圆交于人百，y）,8（，%）两点，推导下面结论:若A F；=gB(或|叫=/1%,求离心率.(2)求 弦 的 长.(3)求A 4 B O面积的取值范围.【解析】(1)焦半径公式推导：在A A f；心中，由余弦定理|隹 =|前+阳行 一2|秋|.阳巴|co s d .*序由|A 用+|A E|=2 a，忻 E|=2 c 得|4周=-同理，在 A B fj E 中，忸用=：一-a-cco s 0 a+ccosO焦点分弦公式推导：若M=g B,(或 阈=2耳目),则b2=Ab2,即6 =A 1a-ccos0a+ccos3(2 +1)co s。(2)焦点弦公式推导：|A 8 1=|4用+忸用=匕:+-a-ccosO a+ccos02 ab2a2-c2 co s2 0(3)三角形面积公式推导：5Me o=|.|y,-y2|=/I B I s i n 0 .2 2 a-c co s 0【例 2】直线/经过椭圆C：H +=1右焦点尸，且与椭圆C交于A,8两点，若4 3|A B|=，求直线/的方程.【解析】.直线/经过椭圆C的右焦点，且|A B|=g,.直线/的斜率存在，设直线/的科率为k，且b0,则直线/的方程为y =/(x-l),与椭圆C的方程联立并消去)，得(3 +4%2卜2 _ 8 +以2 1 2 =0 ,A 0,设点A&,y,),点8(，%)，贝U百+=8；左2一，百,/|A B|=J 1 +&百-巧|=J l +4?J(百 +巧f-4再 电 =-3(7 )=?，解得 k=.二 直线/的方程为百x-0.y-6 =0或6工+夜丁-百=0.注意：可用焦点弦长公式验证答案：|A B|=2 ab21 2a2-c2 co s2 0 4-co s2 0号，可得co s，A =-.5解得 t a n 0=k=.2直线I的方程为品(-应，-乖=0或下 x +6 y-6 =0.2 2【例 3】设椭圆C:0+=l(a 8 O)的右焦点为F,过点下的直线与椭圆C交于a bA,8两点，直线/的倾斜角为4 5。，A尸=2 F B ,求椭圆C的离心率.【解析】设点尸(c,0),/的倾斜角为4 5。，.勺=1,./:y =x-c设 A(X 1 ,y j ,B(X2,为)，贝 U 4 F =(c-X ,FB-x2-c,乃)x-y +c由 A F =2 FB 得 =-2 y2.联立-X2+ay2 得(6 +/)y 2 +2 b2cy+b2(c2 一片)=0 ,万=1又/-C2=户，.(4+人)y2+2 b2 cy b4=0 ,；M +%=-2 b2 ca2+b2 a2+b2又 =-2乃，乃=J：；?，%乃=-24=-24 b4 c2m+用 a2+b2即 8 c2=/+，即 8 c2=/+(a2-c22 2 2 2 2 5/2,=a,=一,e=.9 9 3注意：可用焦点分弦公式推导来验证答入：e=A 1(4 +l)co s 0可得”当【例 4】点内，乃分别为椭圆E:1+：=l的左、右焦点，若过点行的直线交椭圆E于A,B两点，过点片的直线交椭圆E于C,。两点，且 他，CD,求|A B|+|C Z)|的最小值.【解析】当 A B 斜率为。时，|A B|=2 a=4 ,CD=2 ,AB+CD=6.a(2)当A B斜率不存在时,也有|A B|+|8|=6.(3)当AB斜率存在且不为0时，设斜率为,则他方程为y=G(x-).x_ y _.设点4（不，%）,点 趴 马,y2）,联立,丁+万一 得（1 +2%2卜2_ 40 h+4攵2一4 =0.y=k（x-/2）易知且%+电=生，1 +2&2 -i+2k2由弦长公式得|A 5|=y/l+k2-J+）2 -4再=川+二.夜 点 丫 解 谶 4。+抬)皿 +2氏2)1+2/1 +2 4 2设点。(必 旷3)，点。(“4 9%),:ABCD,.直线8 的斜率为-2,k4（1 +巧IC+2AB+CD=4（1 +/）4 0+廿）4（1 +d）（3无2+3）l+2k2+k2+2（1+2巧（一+2）12（P+2 A2+1）2k4+5k2+212 1 4+|&2 +）_/22k&+5k2+2=6 一 *2=6 62K?+2 2 gV k2+-.2,当且仅当/=1,即4=1 时，取等号，.jA 8|+|C D|=6-g =3.Ic9 3显 然 依 阴+皿 的 最 小 值 为 印注意：可用焦点弦长公式验证答案：I A8I+IC 02/2/a2-c2 c o s2。-c?s in?。12 162 +-s in2 20 34抛物线焦点弦结论与抛物线焦点弦长相关的结论：设他为过抛物线产=2内(2 0)焦点的弦，A(x,)1),8(x 2，为)，直线钻的倾斜角为0,则p22(1)%1%2,)乃=P-4(2)1 AF|=x.=-l，BF=X2+-=-L-.2 1 -cos 0 2 l+cos0(3)|AB=X +=_2,.sin 0L+_ L.2.IA.+C O S。FA FB p|B F|l-cos6若 AF=2尸8(或|A F|=2|尸B|),贝ljcose=l.A+l(5)OA OB=p2.2 StM)B=，.2sin6【例 1】已知抛物线V=4 x,焦点为点F,过点F作直线/与抛物线交于C,。两点，已知线段8 的中点M的横坐标为3,求弦|8|的长度.【解析】抛物线为V=4 x,.p=2,设C,D两点横坐标分别为百，屯,线段CD的中点M的横坐标为3,则 与 数=3,即%+=6,：.CD=CF+DF=X i+x2+p=6+2=8.【例 2】已知直线/经过抛物线J=8 x的焦点尸，且与抛物线相交于A,8两点,若直线/的倾斜角为60。，求|A 8|的值.【解析】：直线/的倾斜角为60。，.,.其斜率&=tan6(r =K，又由于点F(2,0),.直线/的方程为y=G(x-2).联立，)丫 ，消去 y 得 3x2-20 x+12=0,y=y/3(x-2)设点人(为,力),点3(,为),贝！西+工2=./J AB H AF|+|F|=X j+y+A+y=X1+A24-/?=-+4=.用焦点弦公式验证：|A 8|=%=?=%.sin2。34【例 3】已知抛物线C：F=4X与直线/交于A,8两点，O为坐标原点，直线/过抛物线的焦点，且AAOB面积为2 0,求直线/的方程.【解析】设直线/的方程为x=?y+l，则g x lx|v-%|=2 0 ,则-乃|=4 0 ,（乂-%）2=32，（凹+%）2_4%=32.丫 Y Y v 联立，2，整理得丁-4照-4=0,y+%=4 6，=Y，y=2 x16 F+16=32=加=1,:.x=y+l,.直线/的方程为=y+l.用抛物线焦点弦的结论验证答案：s.B=-=j=2 =s m e*=k=2sin8 2 sin 6/2tan8=l
