2023届湖北省部分市州高三年级上册学期元月期末联考数学试题含答案.pdf

2023届湖北省部分市州高三上学期元月期末联考数学试题一、单选题1 .已知复数z满足Z.0 +2 i）=3 +4i （其中i为虚数单位），则目=（）A.1 B.2 C.旧 D.5【答案】C【分析】利用复数除法运算求得z,进而求得忸.3 +4i （3 +4i）（l-2 i）H-2 i 1 1 2.z -:-1 详解】1+公（1+2 i）（l-2 i）5 5 5.故选：C2,已知 集 合=*卜1“1 ,W后，则集合 g l=（）A.M c N B.M 2 N c.t（Mc N）【答案】D【分析】求函数的定义域求得集合N,由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】T x 0解得X 1,所以N =x bl.所以 A/cN=*|-lx l M u?/=x|x l。（用c N）=x x 0,xx e,，x 4 0,则函数N=/（l_ x）的图象大致是（）XoXB.【分析】分 段 求 出 函 数 的 解 析 式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.y =/(I)+【详解】当i-x o,即x 0,得x l-e,令y 0,得x 2,令夕 0,得lM x 0,Z）0）7.己知名，玛分别为双曲线：a b2 的左，右焦点，点 p 为双曲线渐近线上一or.D A tanZPF.F,=-点、，若P K L P F -3,则双曲线的离心率为（）5 5A.3 B.4 C.&D.2【答案】Bb=3【分析】由题可得/尸巴=2/咫 工，然后利用二倍角公式结合条件可得。4,然后根据离心率公式即得.【详解】因为W班。为百鸟的中点，所以忻。|=|。尸Z P F E =NF PO,所以 N P O 工=2 N P F R,乂tan 做 工=；,tanZPOF2=-1所以故选：B.8.在三棱锥P-/8 C 中，A B =2B C =2,N/8 c =60。，设侧面P8C 与底面H8C的夹角为a ,若73三棱锥P-H 8 C 的体积为3,则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，tana=（）G4一A.4 B.3 C.百 D.4【答案】B【分析】通过计算推出“8 为 8 C 的外接圆的直径，P 到平面N8C的距离为2,设4 8 的中点为则G为 的 外 接 圆 的 圆 心，设三棱锥P-N 8C的外接球的球心为,半径为R,根据火+仁”=2以及/?2=0|/+0 0：求出尺的最小值及取最小值时，有P Q J平面/B e,再取4G8 c的中点E,连。凡P E,则可得/P Q=a,计算可得tana=亍【详解】因为4B=2BC=2,ZABC=6 0 所以AC2=AB2+BC2-2/1B-BCCOS60=4+l-2 x 2 x lx-=32所以“c =6,所以NC2+BC2 =N炉，所以“C1 8C,所 以 为 B C 的外接圆的直径,设 的 中 点 为 a,则a为“8C的外接圆的圆心,S4AHe=-AC-BC-x y/3 x 1 =因为 2 2 2,设P到平面/8 C的距离为则 Vip cABC =-3 5Z ABCh=x-h=M BC 3 2 3,所以人=2,当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，设三棱锥P-/8 C的外接球的球心为,半径为R,则。平面N8C,若点p和点在平面Z8C的同侧，如图:则/?+0。向,=2,即。0 e 2-及，当且仅当尸，。三点共线时,取等号，在 R t o q/中，斤=0/2+0。：，所以 0O；=R2_O/2=R2_2（2 _ R）;R -所以R J1 2R2-4R+4,所以 4,当且仅当尸，。三点共线时，取等号,若点尸和点0在平面/8 C的异侧，则R-O Q 2 2,所以R N O Q+22,若0 与Q 重合时，夫=1 bc B.cicb Q c a b Q cb a【答案】ABC,In a=eA=-In=eh=x c=分析将clnQ=c e=l化为 c,设 c,得。=廿，b=lnx,x,利用函数y=e*,y=inx,的图象可求出答案.【详解】由clnaIn a=e6=x设 c.In a=eA=c-e=1可知，c*0,所以 c1,则 a=e，b=nx,x,e y=lnx,y 的图象,由图可知，当、a b,此时c 正确;当看、o b,此时B 正确;当x三时，a b c,此时A 正确.故选：ABC1 1.已知函数/G）=sin%sin2x,则下列说法正确的是（）A.兀是/（X）的一个周期B./G）的图象关于点中心对称C./G）在区间 2打上的零点个数为43石D./G）的最大值为丁【答案】ABD【分析】根据周期函数的定义，验证可知A 正确；根据中心对称的定义，验证可知B 正确；由/（x）=sin=sin2x=0,解方程求出零点可知c 不正确；由（,7=4痴 6（1-如 2 x）,通过换元，设Z =sin2x e0,l；化为关于/的函数，利用导数求出其值域，可得到结果.【详解】对于 A,因为/(x+n)=sin2(x+7t)sin(2(x+n)=(-sinx)2sin2x=sin2xsin2x=/(x),所以兀是/（x）的一个周期，故 A 正确;对 于B,因为/（%2-）=/（兀 7）=疝 2（兀-小 虫 2（）=如 2 .（-2；0 =-疝 2,皿2.-）所以/（X）的图象关于点I ）中心对称，故 B正确；对于 C,由 /。）=s i n x s i n 2 x =0 ,得1=桁或 2 x =E,k Z,kitx 得丫=桁或 2 ,k eZ,由0 4 碗 4 2 兀及AeZ得=0 或k =l 或左=2,所以x =0 或x =2 兀或x =无，0 2 nx=-x =由 2 及e Z得=或=I 或无=2 或后=3 或=4 ,所以x =或 2 或x =7 t 或 2或X 二2 兀，_ n _ 3所以/（x）在区间 ，2 兀 上的零点为X =O,5,戈=兀，-x=2 n9共 5 个，故 C 不正确；对于 D,/()=s i n2x s i n 2 x =s i n2x-2 s i n x c o s x=2 s i n3xc o s x所以(/(x)=4 s i n6 x c o s2 x=4 s i n6x(l-s i n2x)设 =s i n 2 xw 0,l ,y=4t3(-t)=4/3-4/4(0 r 1),则 了=1 2/一 3=4(3 4Z),33，八 0 Z 一 ,A f V 1令y 得 4,令/3-3+-2-V 3-3=点 P 轨迹的长度为12 4 2,故 D 选项正确:故选：ACD.三、填空题1 3,（44）的展开式中，常数项为【答案】6【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式I 展开式的通项公式为C；*（t）=（T）C 7 令4-2 厂=0,解得r=2；令4-2 r=-l,则r 无自然数解.故答案为：6展开式中的常数项为l T）-xC：xx=61 4.已知红箱内有5 个红球、3 个白球，白箱内有3 个红球、5 个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为.17【答案】32#0.53125【分析】根据全概率公式求得正确答案.5 5 3 3 17 x_I _x _【详解】依题意，第二次取到红球的概率为8 8 8 8 32.1 7故答案为：3 21 5.过抛物线V=2 p x(p 0)焦点厂的直线/与抛物线交于48两点，点48在抛物线准线上的射影分别为4再，|4 闻=1 0,点P在抛物线的准线上.若AP是幺 曲的角平分线，则点P到直线/的距离为.【答案】5【分析】连 刊 PB，根据抛物线的定义以及/44=尸 尸，证明4 M&/=,从而推出1 尸 4日 可 和 2 尸1/8,可得1 M l 就是点尸到直线/的距离，再根据推出I叫|=|P尸I,结合|4 闯=1 0,可 得|阳=5【详解】如图，连尸尸，PB,由抛物线的定义可知，I 闫 词，又NP/4=/P/J M P|=|/P|,71所以PA 4A H 尸/尸，所以|DPA4|i=_ i|PP IFT|I,Z-PF A NPA】A 2 ,即所以 户用就是点P 到直线/的距离，兀因为.H 啊，|m=|呵 N PF8 =P=,所以PFBWPBIB,所以|尸功|=|尸产|,所以|P4 I=|尸用=1 世 I,又|4 引=1 0,所以|=|尸用=|即=5故点P 到直线/的距离为5.故答案为：5b_1 6,已知关于x的 不 等 式(-/。恒成立，则)的最大值为【答案】e【分析】令/(x)=S-e)x-l n x-b,若 e0时，/(e )0 时，利用导数求出/的最小值为l +l n(a-e)-6 ,则关于1 1 1 b l +l n(a-e)X的不等式(a-e)x Tn x-6 2 0 恒成立，转化为e)-q，再令8.)a(e),利用导数求出其最大值为1，则得%一%,由此可得结果.详解令/(x)=(a _e)x _l n x _b,则，)=一,一嚏，若 a-e O 时，/(e-)=(e)e f-l n e -6=(e)e -)=-l n e-/,+l-Z =-l 0 时，令/(x)0,得”e,令/(x)0,得 x 因为a e ,所以a a a,/l +l n(a-e)令g(,)=人 叽-l-l n(a-e)-l n(a -e)a-e _ _ 一e _贝 I g (a)=a1 一 示,h(a)=-e-In(a-e)h,(za.)-e-y-1-=-a-y令 a-e,则 5-e)a-e (a-e)0,，/、i、/z(2 e)=-l n(2 e-e)所以M a)在(e,+8)上为减函数，因为 2 e-e =1-1 =0,所以当 e a (2 e)=0 ,g (a)0,当 a 2 e 时，A(2 e)=0,g (a)0所以g(a)在(e,2 e)上为增函数，在(2 e,+o o)上为减函数，(2 c)+l n(2 e-e)J所以当a =2 e 时，g(a)取得最大值，最大值为 2 e e,J 1 1 -、/b 1一4 i l n(a e)所以。a a e ,所以。的最大值为e.故答案为：e.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:一般地，已知函数W/(x)，x 十 例，y =g(x)，x e c,d 若 内 心 目,M C,d,总有/6)g&)成 立,故/(x)1 r ax g(x)1 n%若 心 玉 可，加有/&)g&)成立，故/(x)a g(x)m(3)若 肛 十 例，切 4 川，有/6)g(X 2)成立，故/(x L =+G 拒-=2B D2+C D2=B C2,所以 8。J_CD.如图，以。为原点，OB,O P所在直线分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则力(0,-1,0),80,0,0),C(-l,2,0)(-1,0,0)P 9,0,G),所 以 方=(1,1,0),=(b,l,G),皮=(0,2,0),而=(1,0,6)B C =(-2,2,0),平面PCD的法向量分别为=(X。0。/。)，n-D C =0 12%=0所 以 卜.而=0,即禺=0,取/=百,则 伊，T),20.2022年 11月 2 1 日.第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛(每支球队均与另外三支球队进行一场比赛)：每场比赛胜者积3 分，负者积0 分；若出现平局，则比赛双方各积1 分.若每场比赛中，一支球队胜对手12或负对手的概率均为4,出现平局的概率为万.(1)求甲队在参加两场比赛后积分X 的分布列与数学期望；(2)小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率.5【答案】(1)分布列见解析，21 1 5 1 2【分析】（1）甲队参加两场比赛后积分X 的取值为0,1,2,3,4,6,求出*取每个值的概率后,可得分布列和数学期望；（2）根据题意分析，可得要使四支球队积分相同，则每只球队总积分为3分或者4 分，然后分2种情况求出概率，再相加可得解.【详解】（1）甲队参加两场比赛后积分X 的取值为0,1,2,3,4,6,尸(X=0)=x =一 尸(X=l)=x +x则 4 4 1 6,4 2 24-4P(X=2)=-x-=-P(X=3)X1 +1XL2 2 4,4 4 4 41=8,P(X=4)=1X1 +LXU p(X=6)=L L4 2 2 4 4,4 41二,所以随机变量X 的分布列为：X012346P11 64_4_82 _411 6随机变量X 的数学期望:E(%)=0 x +l x+2 x+3 x-+4x+6 x-=v 7 1 6 4 4 8 4 1 6 2（2）由于小组赛共打6 场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6 场比赛总积分的所有情况 为 1 2 分，1 3 分，1 4分，1 5 分，1 6 分，1 7 分，1 8 分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4 整除，所以每只球队总积分为3分或者4 分.若每支球队得3分:则 6 场比赛都出现平局，其概率为：f若每支球队得4 分：则每支球队3 场比赛结果均为1 胜 1 平 1 负,八 1 1 1 1 1 1,6/；=X X X X X x6 =其概率为：-4 2 4 4 2 4 4,口所以四支球队积分相同的概率为 P=P.+P=+A=JJ_-2 6 4、5 1 2/y22 1.已知耳，片为椭圆C：/+乒=1 ）的左、右焦点.点加 为椭圆上一点，当,不 收 取兀最 大 值 加，瓯+丽）诋=6.（1）求椭圆c 的方程；（2）点P为直线x=4上 一 点（且P不在x 轴上），过点尸作椭圆C的两条切线尸力，P B,切点分别为A,B,点B关于x 轴 的 对 称 点 为*,连 接 交 x 轴于点G.设/E G,的面积分别为工，邑，求四一邑|的最大值._【答案】（1）4 33 7 34【分析】（1）由己知结合椭圆定义，可求。与。的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中/=/?+/,即可求得。与b,也就得出椭圆方程.（2）利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线4 8的定点坐标，然后解设4 8的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点G的坐标，由此求出一 2|的关系式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意有当 为 椭 圆短轴端点时7 TZF.M F.=-“耳 成 最 大，此时 3,则 不 明 为正三角形，则4=2。且+丽）砥=2 砺 何=2 6 皿哼=回7 =6ba=2/3（又/=/+c2,二 =2,b-s/i t c=lx2 y2,故椭圆方程为4 3 .（2）设“士，必），/,名）,尸（4,以*0）,空+里=1 堂+空=1则依题意有以：4 3 ,PB.4 3/、r+里=1 丫 国=1因 均，血都过点P（4）,则3 ,2 3则4 8方程为“卜1即力8过定点。，）.故设 8方程为x =%y +l,用x,x=my+1 3,+4/=1 2,（3m2+4y2+6my-9 =0 6 A W 9:.y+y 2 3m2+4,必%3/+4,又 （，一%）直线，方程为了=目),令得再 +%=（耳+1）%+（0 2 +1）必=2，肛/2 +X +2M+必 必+%必+%-9=2m-/+1=2”3m+4+1=4弘+%一 6？3 加 2 +4,G（4,0）.|ST|=；IgG|.M|一|%层回+%|=今9|向 _ 9 迸=丁m3 同=白当且仅当 叫“A空即 3,3 时取等号3G故a-S2 I 最大值为丁.2 2.设函数/（x）=2（2-c s 2 x）-s i n2 x 当。=1时，求/G)在10。上的最值;(2)对4”W x 4 O，+8),不等式 2 0,对于、武。,+8)恒成立，设(x)=a x(2-x）-s i nx分QN I、。4 0、0。0所以g(/)在 ，兀 上单调递增，所以 g O n =g()=,g()ax=g(兀)=兀 Q 一 cos 兀)一 sin 兀=3兀即/。)向“=0,/G L 2。兀(2-cosx)2 (：+兀)(2 cos x)-sin x 2an(2-cos x)即以(2-cosx)-sinx 0,对于 (。产)恒成立，/?(x)=ax(2-cos x)-sin x A(0)=0当 时 (x)Nx(2-cosx)-sinx由(1)知 小，兀 时，工。-cosx)-sinxNO,所以“x)N0,当 x c(兀,+00)时 x(2-cos x)-sin x=x(1-cos x)+x-sin x 0当”0 时，&)=皿2 小忆巴，句 时，岫)0,不符合题意当0 1 时，(x)=2 a(co sx-x sin x)-co sx =2Q_Qcosx+arsinx-cosx即(0)=1,设(x)=2Q _ a cos x+ar sin x _ cos x则(%)=(2 +1 )sin x+ax cos x当 闫 叼 时，G）。，即）在（畤）单调递增,所 以 存 在 旬 使 得“小）=,当xe（，x。）时，所以人（X）在（，%）单调递减，此时（x）/，（0）=0,不合题意综上所述，a的取值范围为U E）.