2021-2022学年上海市金山区高二年级下册学期3月月考数学试题含答案.pdf

2021-2022学年上海市金山区高二下学期3月月考数学试题一、填空题1.在等差数列S,中，田0=1 8,卬=2,则公差=【答案】2【分析】根据等差数列的公式求得公差，【详解】依题意即=出+8d,l 8=2+8d,d=2故答案为：22.若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是片（一3）,则椭圆的标准方程为/x2-1-=1【答案】12 3-2V X r=1（b 0）r、）.【分析】由题意设椭圆方程为。b-,贝！有2”也c=3,再 结 合 矿=/+厂 求出。力,从而可求出椭圆的方程v2 X2、+三=1（。60）【详解】由题意设椭圆方程为。,则2a=4bc=3解得a=2y/3b=VJc=3+二=1所以椭圆方程为12 3V x2,故答案为：12 33.线段4 6两端点4 4在两坐标轴上移动，且|4团=2,则线段4 8中点轨迹方程为【答案】/+/=1【分析】设 8中点为P G M,再分别表示4 8的坐标，根据1/例=2求解即可.【详解】设月8中点为P&M,不妨设 凡），8（0,6）,则又|曲=2,故（2琦+（2埒=2 2,化筒可得犬+炉=1+0 _2-X a=2x力 +0 h =2yr=y故答案为：一+/T【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，需要根据题意设动点坐标，再求出相关点的表达式,再根据线段长度列式化简，属于基础题.4,直线/：（2加+1匕+（?+1 =3，+232经过的定点坐标是【答案】0，1）J x+y-2 =0【分析】将直线方程化简为（x+，-2）+?（2 x+y-3）=,进而令1 2 x+y-3 =即可解得答案【详解】把直线/的方程改写成：（x+y-2）+?（2 x+y-3）=0,J x+y-2 =0（x=1令1 2 x+y-3 =0,解得：了 =1,所以直线/总过定点0，1）.故答案为：（1,1）.5.过点（，2）与抛物线/=8x只有一个公共点的直线有 条【答案】3【分析】根据点与抛物线在直角坐标系中的位置关系：抛物线外，即可知过（，2）与V=8x只有一个公共点的直线条数行的直线，故3条故答案为：3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，由点与抛物线的位置关系判断过该点与抛物线只有一个公共点的直线条数6 .与双曲线于一正二1有共同的渐近线，且 经 过 点 的 双 曲 线 方 程 是.-1【答案】9 4【详解】设片9-1J6/i （r =4x2/h一;将1 3,2 0）代入求得 一4 .双 曲 线 方 程 是9 4 -7 .已知数列S”的前项和为J，且S，=2“-2,则数列 b g z。，的前项和T“=;(+1)【答案】2【分析】由S =2 a,-2,推得得出数列值 为等比数列，得到4=2 ,求 得 噫 为=”，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由数列 的前项和为工，且 邑=2 6,-2,当2 2 时，SU-2 q,_ -2 ,两式相减,可得 a”=S _ S T=2 a _ 2 a“T,即 可=2%_|,n w N*,令=1,可得4=2,所以数列“是首项为1,公比为2的等比数列，所 以%=2”，T(+1)则l o g M=，所以 2 .故答案为：2 .8.已知点尸是抛物线V=4 x上的动点，点p在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|4时，|/|+1尸M|的 最 小 值 是.【答案】历7【分析】首先根据抛物线的定义转化内+附4=回+间J再根据数形结合分析四十冏的最小值.【详解】抛物线的焦点是厂a),且当i“i 4时，点A在抛物线外.根据抛物线的定义可知即闫四一1.|PJ|+|PA/|=|P/4|+|PF|-I-PA+PFAF当4P，/三点共线时，等号成立，呻 河 的 最 小 值 是 网 T,AF=/(4-1)2+(0-0)2=y/a2+9,户 +户蛆的最小值是百历-1.故答案为：行 石-1【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化户叫=P口-1.属于基础题.9.已知数列M /满足q =3 3，e-勺=2 n,则的最小值为2 1【答案】万a 3 3 3 3=F n-1 =F n-1【分析】先利用累加法求出。=3 3+/-，所以 n,设/()n,由此能导出=5 或 6时/()有最小值.借此能得到的最小值.【详解】解:Va n+/a n=2 n,，当2 2 时，an=Can-an-j )+(.an-i -an-2+(2 一。/)+田=2 1+2+(-1)+3 3=*-+3 3且对n=1 也适合，所以an=n2+3 3.。3 3 1=十 -1从 而 3 3 1-33、八=-n =-z-+10设/(),令，(),则/()在(而 +8)上是单调递增,在 IOd)上是递减的，因为“6 N+，所以当 =5或 6时/()有最小值.a5 5 3&_ 6 3 _ 2 1又因为了一丁，1 一了_ 2 ,所 以 的最小值为6 -22 1故答案为了【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法.还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性.1 0.关于曲线V ,则以下结论正确的个数有 个.曲 线 C关于原点对称；曲 线 C中xi -2,2 ,蚱 卜 2,2；2 2 o 曲 线 C是不封闭图形，且它与圆厂+=8 无公共点；曲 线 C与曲线 ：凶+帆=4 有 4个交点，这4点构成正方形.【答案】2【分析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.-1 +4=1【详解】将方程/中的苍丁分别换为-XL ,方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；=1_ 0因为/,解得2或,-2）。（2,必），同理可得：一 一?）2,”），故错误；根据可知，该曲线不是封闭图形；4 4 1 -2=1 2 Q联立X y 与 厂+）广=8,可得：X4-8X2+32=0,将其视作关于一的一元二次方程，故=6 4-4X3 2 m0 0 7因此，L=1故选：D.1 2.已知抛物线C：=4 x,过焦点F 且倾斜角为3 的直线交C 于A,8 两点，则 弦 的 中 点 到准线的距离为（）5 8A.5 B.3 C.3 D.8【答案】C【分析】先求得N 8的方程为耳-y-力=,联立方程组，结合根与系数的关系，求得10 x,+x2=-3,进而求得弦力8 的中点到准线的距离，得到答案.【详解】由题意，抛物线C：/=4 x,可得焦点尸（L0）,准线方程为产-1,设“G，必），8。2，%）,直 线 的 方 程 为 K x-y-K =o,fV 3x-x/3=0联立方程组l =4x,整理得3/-心+3=0,10 5%+X）=则-3,所以弦Z 3 的中点的横坐标为3,5 8卜 1 =一则弦4 8 的中点到准线的距离为3 3.故选：C.X2 y2 _1 3.以过椭圆靛+F一”的右焦点且垂直于x 轴的弦P。为直径的圆与点43）的位置关系是（）.A.点A在圆内 B.点A 在圆外 C.A 在圆上 D.点A 与圆的关系不确定【答案】A尸。l=/【分析】根据题意计算-2 一了，判断M用与半径的大小关系得到答案.【详解】当时,解 得 小 土 故 同 心=9,圆心为玛3）,“一-a-2-,-c-2-=-b-2-b2=ra+c a,故点A在圆内.片-1故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的弦长，点与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.c=_ f1.9991 4.数列匕 满 足“(2闻-2)(2向-1),其前项和为北，若/丽 成 立，则的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A_ 2一 _ _ J _1 _【分析】由c(2-2)(2“-1)可化简得(2-1)(2时-1),再 利 用 裂 项 相 消 可 求 出 利 用1,999条 件 (丽 即 可 求 解_ 2-2 _ 1 _ 1_ 详解，”=(21,+l-2)(2,I+1-l)=(21,-1)(2,+1-1)=(2-1)(2H+t-l)T Z 1 1 、/1 1 、/I 1 、1 2-1 22-1 22-1 23-1 2-1 2,+1-11 1 1 1 1 1 1 12-1 2n+l-1 2”-1.由 2向-1 1000 2+-1 1000,2+,-1 b 0）尸 2 21 6.已知椭圆 a-h2 的离心率与双曲线E：x-J =2 的离心率互为倒数，且椭圆。的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若双曲线的虚轴的上端点为名，问是否存在过点名的直线/交椭圆c于“，N 两点，使得以MN 为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线/的方程；若不存在，请说明理由.答案（1）了+-；（2）存在，、=缶+&或 y=_ 应 X+0.【分析】（1）将己知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件,求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线/斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于人的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.2 2 上=1 警=五【详解】解：双曲线=2,即 为 2 2，其 离 心 率 为 0）e=-j=则 椭 圆。卜 的离心率为 12因为双曲线E的实轴长为2及、焦距为4,设椭圆。的焦距为2 c,则2c，2夜,4 成等比数列，所以（2起 f=8 c,解得C=1._ C _ 1又e a应，及/=+。2,解得&力=LX2 2 1一+V =1所以椭圆C的标准方程为2；（2）双曲线E的虚轴上端点为名（0,拒）.当直线/的斜率不存在时，/：x =,点 ，N为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意:故直线/的斜率存在，设斜率为晨则直线/的方程为=依+四,联立方程组 尸 履+消去y,得（1 +2 公 产+4历履+2 =0l，/,、,7 2,41显然历 了-4（1 +2%）2。，解得%彳或左=（*）4 6 k 2设点GQJNH，”），贝广+=所以+&%2+0）=k2xtx2+g k（X+Xz）+22k2 8k2 2/-8 左 2+2 +4 左 2 2-2 公-1 +2 公1 +2/+-1 +2/-1 +2 左 2 ,若以MV 为直径的圆过原点，则 丽,丽，所 以 两.丽=0,所以国+乂=,2 2-2 k2 八-7+-r =0即 1+2 r 1+2 左 2 ,且=0所 以 1 +2 公，解 得 左=士&，符合（*）式，所以直线/的方程为N =&x+&或y =-0 x+&1 7,在数列 5 中，+3 q,=6 （e N）El（1）判断数列I 9 J 是否为等比数列？并说明理由；（2）若对任意正整数，%恒成立，求首项6的取值范围.【答案】（D 答案见解析.（2）。2）6+,（6 ）【分析】（1）转化条件得 9 1 9人由等比数列的概念即可得解：,=1 ，一讣一3 尸+?（2）易得当 3时，符合条件：当 3 时，I 3；9（根据为奇数、为偶数分类讨论，由恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）因 为 +3%=6”,所以。向=6 -3 区6+,6 ”.3-6+1-7-=6 =-3 +所以 9 9 9所以当6 n 29 即 3时，96 an-“96“一,6 _a-鼠=，=一 =_ 2所以当“一3时，数列6-9不是等比数列;6 a.-0当 9 ,即2。产 一3时,凡上。凡9 ，所 以 1=一3父32所以当“产3时,数列6 9是等比数列;2 ,=0当 3时，9 ，所 以 9 恒成立:所以%当(2)由(1)知,4 T(-3产+总6 二是等比数列，且 首 项 为 公 比 为-3,即9当”为奇数时，Q|3尸+6?”092 2CIA -，所以 3 3又2_T_3T单调递减，所以=1时,2_ r3T取得最大值，所以q当为偶数时，生.-|)(-3 r +6”y 092 2”a,+一，所以 3 3又2 2”-4-3 3单调递增，所以当 =2时,2 2-4-3 3的最小值为2,所以四 =匕这是以原点为圆心，-2 为半径的圆，直 线/过 点 心 2）,当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=6,代入圆的方程得V =1,卜=1,.直线/被圆所截得弦长为2,符合题意；当直线/的斜率存在时，设斜率为k,则直线/的方程为，一 2=。一 ），即日-y+2-曰 =o,由弦长为2,半弦长为1,圆的半径为2,所以圆心到直线/的距离为亚口=6，巩石 女 粗 石+7由点到直线的距离公式得办一73 +71 7，解得 k=12,所以直线/的方程为：.y=12 x H4.（2）当“一 一 3 时，设“（X。/。）,则过4 点的切线方程为：叫 x+%y=i,XQ 一即 x（x-3 yny=，由直线 的方程得二。仄3、代入切线方程得到I23、%x=l设加（士,必）*七,必），则I16X(1+T%=137，同理1=1因 为/在 曲 线 C 上，3-，司+工2=7。2/,2,2=2%，所 以/为 线 段 MN%/xo 一 /的中点，所 以 总+豆=6；（3）设尸（石，必），R%）,则。（F，-凹）,（再,0）,y=#（x-x）则直线E。：2匹2 2 i代入曲线C 的方程mx+T并整理得：（4?x：+nyf 卜2 -2nyfxtx+”x；y：-4x；=0Q,R 的横坐标一演是这个方程的两实数根，2/iy,X%一 百IT.4/wXj+nyx力 二针(_&)=2.2 玉 4mx+甘4*必y2-y=-4m%：2 +ny2xPQ PR=(-2X1,-2yt)-(x2-xl,y2-yt)=-2x,(x2-x,)+,(%-乂)2nyfxf 4mx ：_ 2xy（2n-4m）=一 乙 -2-2 -4-2-2=-A-2-2-4mx+nyx 4川 玉 +ny 4mxi 4-ny 7 =一,=一,/.2n-=1-1=0由于 4 2,.而.丽=0【点睛】本题考查已知圆的弦长求直线方程，双曲线和椭圆中的直线与直线，直线与曲线的交点坐标问题，属较难试题，关键难点是第（3）小题中根据0,R 的横坐标-X/R是方程的两实数根，灵活使用韦达定理求当一斗，要注意准确运算.