2022-2023学年人教A版选择性必修第三册第七章正态分布讲义.pdf

7.5 正 态 分 布 新 课 程 标 准 学 业 水 平 要 求 1.通 过 误 差 模 型，了 解 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量.通 过 具 体 实 例、借 助 频 率 分 布 直 方 图 的 几 何 直 观，了 解 正 态 分 布 的 特 征.2.了 解 正 态 分 布 的 均 值、标 准 差、方 差 及 其 含 义.1.了 解 正 态 密 度 函 数、正 态 分 布 与 标 准 正 念 分 布 的 概 念.（数 学 抽 象）2.了 解 正 态 曲 线 的 性 质，会 利 用 正 态 曲 线 的 性 质 解 决 简 单 的 求 概 率 或 面 积 问 题.（直 观 想 象、数 学 运 算）3.会 求 正 态 分 布 在 给 定 区 间 的 概 率，能 利 用 正 态 分 布 知 识 解 决 实 际 问 题.（数 学 建 模、数 学 运 算）必 备 知 识 自 主 学 习 导 思 1.什 么 是 正 态 分 布？2.如 何 求 正 态 分 布 在 给 定 区 间 的 概 率？1.正 态 分 布 1（X-）2 正 态 密 度 函 数，刻 画 随 机 误 差 的 函 数 加）=而,其 中 R,。0 为 参 数.对 任 意 的 R,人 工）0,它 的 图 象 在 x轴 的 上 方，轴 和 曲 线 之 间 的 区 域 为 面 积 1,我 们 称 火%）为 正 态 密 度 函 数.正 态 密 度 曲 线：正 态 密 度 函 数 的 图 象 为 正 态 密 度 曲 线，简 称 正 态 曲 线.正 态 分 布：定 义：若 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 X）,则 称 随机 变 量 X 服 从 正 态 分 布;记 作：XN(J1,a2)；特 例：当=0,。=1时，称 随 机 变 量 X 服 从 标 准 正 态 分 布.1O X M a b X思 考？若 乂 心，标)，怎 样 表 示 上 图 中 阴 影 A,B 的 面 积?提 示：阴 影 A 的 面 积 P(XSx)；阴 影 B 的 面 积 P(aXb).2.正 态 曲 线 的 特 点 曲 线 是 单 峰 的，它 关 于 直 线 x=4 对 称；(2)曲 线 在 处 达 到 峰 值 志；当 同 无 限 增 大 时，曲 线 无 限 接 近 于 轴.思 考？，。取 值 不 同 对 正 态 曲 线 有 何 影 响？提 示：当 参 数。取 固 定 值 时，正 态 曲 线 的 位 置 由 4 确 定，且 随 着 的 变 化 而 沿 轴 平 移；当 取 定 值 时，当。较 小 时，峰 值 高，曲 线“瘦 小 表 示 随 机 变 量 工 的 分 布 匕 戢 集 中,当。较 大 时，峰 值 低，曲 线 矮 胖 表 示 随 机 变 量 x分 布 上 徽 分 散.3.XN(/i,o2)在 区 间 口-ko,黑+板)上 的 概 率 概 率：Pqt-区 X 0+(7)-0.682 7,P(/z-2(7 X 4Z+2cr)0.954 5,PQi-3(yX2)=0.15,则 P(OX1)=()A.0.85 B.0.70 C.0.35D.0.15【解 析】iC.P(0X l)=P(lX 2)=0.35.3.(教 材 例 题 改 编)若 X 小 总，则 D(X)=.【解 析】因 为 XA(1，!，所 以。(=；.答 案：；关 键 能 力 合 作 学 习类 型 一 正 态 曲 线（数 学 抽 象、直 观 想 象）题 组 训 练、1.下 面 关 于 正 态 曲 线 的 叙 述 错 误 的 是（）A.曲 线 在 x轴 上 方 且 与 轴 不 相 交 B.当 x 时，曲 线 下 降；当=2.答 案：20 23.一 个 正 态 分 布 密 度 函 数 是 偶 函 数，且 该 函 数 的 最 大 值 为 忐,则 该 正 态 分 布 密 度 函 数 的 解 析 式 为.【解 析】因 为 该 正 态 分 布 密 度 函 数 是 偶 函 数，所 以 正 态 曲 线 关 于)轴 对 称，即=0,而 正 态 分 布 密 度 函 数 的 最 大 值 4;,所 以 高 二 忐，解 得。=4.1 X?故 函 数 的 解 析 式 为 九 0=本 历-e 32,%R.-)答 案：*幻=3 2，X&R解 避 略 利 用 正 态 曲 线 的 特 点 求 参 数 4,。(1)正 态 曲 线 是 单 峰 的，它 关 于 直 线 X=对 称，由 此 特 点 结 合 图 象 可 求 出 正 态 曲 线 在=4 处 达 到 峰 值 志，由 此 特 点 结 合 图 象 可 求 出 色 圈【补 偿 训 练】1 J L若 随 机 变 量 X的 正 态 分 布 密 度 函 数 为 x)=7歹 e 2,X在(-2,-1)和(1,2)内 取 值 的 概 率 分 别 为 pi,2,则 P U 2的 关 系 为()A.P2B.PP2C.P=P2D.不 确 定【解 析】选 C.由 题 意 知=0=1,所 以 正 态 曲 线 关 于 直 线=。对称，所 以 P l=P 2.类 型 二 正 态 分 布 下 概 率 的 计 算(直 观 想 象、数 学 运 算)【典 例】1.已 知 0N(0被,且(-2冬 0)=0.4，则 P(2)等 于()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解 析】选 A.因 为 P 2)+P(0室 2)+P(-2冬 0)+P 4 2)=%-2),P(0Sf2)=P(-2 2)=1 1-2P(-2f0)=0.1.2.设 JN(1,22),试 求：尸(-1 生 3)；(2)P(3 更 5)；(3)尸 5).【解 析】因 为 JN(1,2?),所 以=1,7=2,(1)尸(-1云 3)二 尸(1-2 云 1+2)=P(/i-(7+cr)=0.682 7.因 为 尸(3走 5)二 尸(-3 底-1),所 以 P(3 生 5)=；P(-3f5)-P(-1e3)=1 P(l-4fl+4)-P(1-2 曰+2)=；P(J L I-2(7 J L l+2(7)-P(/l-(7+CT)=1(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.(3)P(支 5)=尸(生-3)=；1-尸(-3 生 5)=1 1-P(l-4 f l+4)=1 1-P-2(y c+1)=P(X c-1).(1)求 c 的 值；(2)求 P(-4 X c+l)=P(X c-1)l)=(c+l)-2,c=2.(2)P(-4 X 8)=P(2-2 x 3 X 2+2x3)=0.954 5.类 型 三 正 态 分 布 的 实 际 应 用(数 学 建 模、数 学 运 算)簸/.求 概 率 或 频 数【典 例】数 学 考 试 试 卷 满 分 是 150分，设 在 一 次 考 试 中，某 班 学 生 的 分 数 X近 似 服 从 正 态 分 布，目 均 值 为 1 1 0,标 准 差 为 20.求 这 个 班 在这 次 数 学 考 试 中 分 数 在 9 0分 以 上 的 概 率.【思 路 导 引】将 尸(XN90)转 化 为 P(X*p),然 后 利 用 对 称 性 及 概 率 和 为 1,得 到 2P(X 9-a)+0.682 7=1,进 而 求 出 P(矣 90)的 值.【解 析】由 题 意 可 知，分 数 X N(U 0，202),二 110,c r=20,P(X90)=P(A110-20)=P(X型-cr),因 为 P(X-C T)+P W aXn+P(X2i+cr)=2尸(X9-a)+0.682 7=1,所 以 P(X90)=1-P(Xju-(7)=1-0.158 65=0.841 35.株 式 探 究 本 例 条 件 不 变，若 这 个 班 的 学 生 共 5 4人，求 这 个 班 在 这 次 数 学 考 试 中 130分 以 上 的 人 数.【解 析】因 为 尸 闷 3 0)二 尸 闷 10+2 0)=尸(X孕+a),所 以 P g-a)+?(/-区 0/+。)+0(必+。)=0.6827+2尸(曰+0)=1,所 以 尸(冶，+=0.158 65,即 P(XN130)=0.158 65.所 以 54x0.1586579(人),即 130分 以 上 的 人 数 约 为 9 人.角 度?.实 际 应 用 问 题【典 例】某 人 骑 自 行 车 上 班，第 一 条 路 线 较 短 但 拥 挤，到 达 时 间 X(分 钟)服 从 正 态 分 布 M5,1)；第 二 条 路 线 较 长 不 拥 挤，X服 从 M 6 0 1 6).若 有 一 天 他 出 发 时 离 点 名 时 间 还 有 7 分 钟，问 他 应 选 哪 一 条 路 线？若 离 点 名 时 间 还 有 6.5分 钟，问 他 应 选 哪 一 条 路 线？【思 路 导 引】求 出 概 率，通 过 概 率 值 说 明 原 因.【解 析】还 有 7 分 钟 时，若 选 第 一 条 路 线，即 XZ(5,1),能 及 时 到 达 的 概 率 Pi=P(X7)=P(X5)+尸(5 X7)=1+；尸。，-2。X/+2cr).若 选 第 二 条 路 线，即 XN(6,0.16),能 及 时 到 达 的 概 率 P2=P(XW7)=P(X6)+P(6 X7)=；+；P也-2.5(7 X?+2.5cr).因 为 PxPi,所 以 应 选 第 二 条 路 线.同 理 还 有 6.5分 钟 时 应 选 第 一 条 路 线.:解 题 策 略 解 答 正 态 分 布 的 实 际 应 用 题 的 关 注 点 方 法：转 化 法，把 普 通 的 区 间 转 化 为 3。区 间，由 特 殊 区 间 的 概 率 值 求 出.理 论 基 础：正 态 曲 线 的 对 称 性；曲 线 与 入 轴 之 间 的 面 积 为 1；P q-aX+(7)-2%X q+2o)-3(JX+3 的 概 率 值.题 组 训 练、1.红 外 线 自 动 测 温 门 能 有 效 避 免 测 温 者 与 被 测 温 者 的 近 距 离 接 触，降 低 潜 在 的 病 毒 感 染 风 险，某 厂 生 产 的 红 外 线 自 动 测 温 门，其 测 量 体 温 误 差 服 从 正 态 分 布 M O，0.31 2),从 已 经 生 产 出 的 测 温 门 中 随 机 取 出 T 牛，则 其 测 量 体 温 误 差 在 区 间(0.4,0.7 内 的 概 率 为()(附 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 M/z)则 P(J L I-迂 0+(7)=0.682 7,P也-2(7 f+20)=0.954 5)A.0.317 4 B.0.271 8C.0.135 9 D.0.045 6【解 析】选 C.由 红 外 线 自 动 测 温 门 测 量 体 温 误 差 服 从 正 态 分 布 M0.1,0.32)，得=0.1,(7=0.3.所 以 测 量 体 温 误 差 在 区 间(0.4,0.7 内 的 概 率 为：P(0.4 长 0.7)=+。均+2a)=|P(ji-2区 均+2a)-P-也%+=0.135 9.2.工 人 制 造 的 零 件 尺 寸 在 正 常 情 况 下 服 从 正 态 分 布 NQi,/),在 一 次 正 常 的 试 验 中，取 1 000个 零 件，不 属 于(/,-3。，+3c)这 个 尺 寸 范 围 的 零 件 可 能 有 _个.【解 析】因 为 P业-3运？+3 7)=0.997 3,所 以 不 属 于 区 间(/-3,+3Q内 的 零 件 个 数 约 为 1 000 x(1-0.997 3)=2.7=3个.答 案：33.某 厂 生 产 的 圆 柱 形 零 件 的 外 径 尺 寸 XN(4,0.25).质 检 人 员 从 该 厂 生 产 的 1 000件 零 件 中 随 机 抽 查 一 件，测 得 它 的 外 径 为 5.7 cm.试 问 该 厂 生 产 的 这 批 零 件 是 否 合 格？【解 析】由 于 圆 柱 形 零 件 的 外 径 尺 寸 XN(4,0.25),则 X在 区 间 4-3 x 0.5,4+3x0.5,即 2.5,5.5 之 外 取 值 的 概 率 约 为 0.002 7.而 5.7阵 2 5,5.5,这 说 明 在 一 次 试 验 中，出 现 了 几 乎 不 可 能 发 生 的 事 件，根 据 统 计 中 假 设 检 验 的 基 本 思 想，认 为 该 厂 生 产 的 这 批 产 品 是 不 合 格的.专 用 某 设 备 在 正 常 运 行 时，产 品 的 质 量 服 从 正 态 分 布，其 参 数 为/=1 000g,a2=l,为 了 检 验 设 备 运 行 是 否 正 常，质 量 检 验 员 需 要 随 机 地 抽 取 产 品，测 量 其 质 量.当 检 验 员 随 机 地 抽 取 一 个 产 品，测 得 其 质 量 为 1007 g 时，他 立 即 要 求 停 止 生 产，检 查 设 备.他 的 决 定 是 否 有 道 理 呢？【解 析】如 果 设 备 正 常 运 行，产 品 质 量 服 从 正 态 分 布 M/,4）,根 据 3cr 原 则 可 知，产 品 质 量 在/-3 T=1 000-3=997 g 和+3cr=1 000+3=1 003 g之 间 的 概 率 为 0.997 3，而 质 量 超 出 这 个 范 围 的 概 率 只 有 0.002 7,这 是 一 个 几 乎 不 可 能 出 现 的 事 件.但 是 检 验 员 随 机 抽 取 的 产 品 为 1 007 g,这 说 明 设 备 的 运 行 有 可 能 不 正 常，因 此 检 验 员 的 决 定 是 有 道 理 的.课 堂 检 测 素 养 达 标 1.以 下 关 于 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 说 法 中 正 确 的 个 数 是（）曲 线 都 在 无 轴 的 上 方，左 右 两 侧 与 x轴 无 限 接 近；曲 线 关 于 直 线 x=0 对 称；曲 线 呈 现“中 间 高，两 边 低”的 钟 形 形 状；曲 线 与 入 轴 之 间 的 面 积 为 1.A.1 B.2 C.3 D.4【解 析】选 C.由 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 特 点，易 知 说 法 正 确,对 于，曲 线 关 于 直 线=4 对 称，错 误.1(X+3)22.设 随 机 变 量 X 的 正 态 密 度 函 数 为 於)=豕 阮 e 4,x(-oo,+oo),则 参 数，。的 值 分 别 是()A./=3,(7=2 B./z=-3/tr=2C./=3,(7=-/2 D.=-3,a=y2【解 析】选 D.由 正 态 密 度 函 数 表 达 式 知=-3,a=2.3.设 离 散 型 随 机 变 量？MO,1),则 P(生 0)=.【解 析】因 为 标 准 正 态 曲 线 的 对 称?由 为 x=0,所 以 尸(生 O)=P(O)=g.答 案：g4.已 知 正 态 分 布 落 在 区 间(0.2,+oo)上 的 概 率 为 0.5,那 么 相 应 的 正 态 曲 线 段)在=时，达 到 最 高 点.【解 析】由 于 正 态 曲 线 关 于 直 线 i=4 对 称 且 其 落 在 区 间(0.2,+8)上 的 概 率 为 0.5，得=0 2答 案：0.25.(教 材 练 习 改 编)设 XA(O,J,则 P(-1 X 1)=.【解 析】因 为，所 以=0=；,所 以 P(-1 X 1)=P(O-2(7 X 0+27)=0.954 5.答 案：0.954 5关 闭 Word文 档 返 回 原 板 块