2023年中考数学压轴题33圆与新定义综合问题（教师版含解析）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专 题 3 3 圆 与 新 定 义 综 合 问 题典例剖析._ Z【例 1】（2022石景山区一模）在平面直角坐标系X。），中，点 P 不在坐标轴上，点 P 关于x轴的对称点为R,点 P 关于），轴的对称点为尸2,称P1PP2为点P 的 关联三角形”.（1）已知点A（1,2）,求点4 的“关联三角形”的面积；（2）如图，己知点B（相，加），的圆心为7（2,2）,半径为2.若点B 的“关联三角形”与O T有公共点，直接写出?的取值范围：（3）已知。的半径为r,O P=2 r,若点P 的 关联三角形”与 有 四 个 公 共 点，直接写出NPBP2的取值范围.【分析】（1）根据x 轴，y 轴对称，求出相应的对称点坐标，根据三角形面积公式求出面积即可；（2）四边形。4QC是。7 的外接四边形，Q 求出点。的坐标，即可判断；（3）分两种情形：当PP2与。相切于点时，如图2 中，当P P I与。O 相切于点F时，如图3 中，分别求解即可.【解答】解：（1）.点A（1,2）关于x 轴对称的对称点（1,-2）,点 A 关于冲轴对称的点 A2（-1,2）,/.S A A 4 A=AX2 X 4=4；J AAA.A.2（2）O T 的圆心为T（2,2）,半径为2,二四边形OAOC是。T 的外接四边形（如 图 1 中），：.D（4,4）,点8 的“关联三角形”与。丁有公共点，旦 B（切，），.,.2-(3)当 PP2与。相切于点E 时，如图2 中,：OE=r,0P=2r,.NOPE=30,.N O 1=/O P P=6 0 ,.当60 Z O P P 90时，点 P 的“关联三角形”与。有四个公共点.N O PF=N O PP=30,.当0 V/O P P V 3 0 时，点 P 的“关联三角形”与O。有四个公共点，综上所述，点 P 的“关联三角形”与。有四个公共点，N P P P 2的取值范围为：0 2（2）如图2 中，作等边0 E F,点 E 在 x 轴上，O E=E F=O F=1,设直线y=Jx+2愿 交 x 轴于M,交 y 轴于M 则 M（-2,0）,N （0,2愿）,过点E 作 E H L M N 于 H,：OM=2,ON=2依，tan/MWO=,./NMO=60,.EH=EMsin60=,2观察图象可知，线段A 8到。的“平移距离”为由的最小值为亚.2（3）如图3,连接。4,交。于点A ,则 O A=V12+（V 3）2=2，0 4 到O。任意一点距离的最小值为04=0 4-1 =1,.点 4 （1,运），2 2设平移后圆上另一点为8 ,由题意得：4 B=1,有三种情况：点 8 与点。重合，则点8 的坐标为（工，近）；2 2 点 8与 点（1,0）重合，则点8的坐标为（&,近）；2 2 点 8与 点（-工，逅）重合，则点8的坐标为（0,遂）；2 2 例 3 （2 0 2 2 开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：我 的 三 角形叫敬“勤业三角形”.（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号）等边三角形；等腰直角三角形；含 3 0 角的直角三角形；含 1 2 0 角的等腰三角形.（2）如 图 1,A 8 C 是。的内接三角形，AC为直径，力为A B 上一点，且 BO=2 A ,作D E Y OA,交线段OA于点F,交。于点E,连接BE交A C于点G.试判断 A E Q和 A 8 E 是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出股的值；如果不是，请BE说明理由；（3）如图2,在（2）的条件下，当 A F：F G=2：3时，求/8 E Z）的余弦值.EDDC图1图2【分析】(1)根 据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定；(2)如图，连结 0 E,设N A 8 =a,可证得NAEO=NABE=a,/ADE/AEB,可得A E r=A B-A D,结合可得A B=JEAE,即可判定AEQ和”；都 是“勤业三角形“，再根据相似三角形的性质即可求 得 毁 的值；BE(3)如图，过点G 作 G/AB交 DE于点/,可得A F G/s 卒D,/EIG/EDB,可证得叫乌口萼，EB BD ED 4设 EG=3“，则 B E=4a,利 用 里 巫，可求得 力=生 巨 2，F=-Z l_a,从而可得BE 3 3 5答案.【解答】解：等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形：等腰直角三角形两直角边的比值为1,直角边与斜边的比为1：&，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”；设含30角的直角三角形的最短边长为。，则斜边长为2”，另 一 条 直 角 边 长 为a：如 a=l：如，故含3 0 角的直角三角形是“勤业三角形”；如图：ZXABC 中，ABAC,Za=120,过点 4 作 于点。，.NB=NC=30,设 A)=“，贝 i A8=AC=2a,B D=D C=a,:.B C=2 a,：.AB：B C=A C：B C=I：V3含 120角的等腰三角形是“勤业三角形”,故答案为：；(2)解：AAE。和A8E都 是“勤业三角形”,证明如下：如图：连接0 E,设NA8E=a,J ZAOE=2ZABE=2a,：OA=OE,.*.ZOAE=A(1800-ZAO)=A (180-2a)=90-a,2 2y.：DE A.AC,：.ZAED+ZOAE=90,即NAED+90-a=90,NAED=NABE=a,叉,：NEAD=NBAE,：./ADEs XAEB,.A E A D D EA B AE EBAEr=AD-AB,:BD=2AD,：.AD A B,3A E 21A B 2,4炉=3A2，.-A E =1=-，A D =1=-，A B V 3 A E.4EO和ABE都 是“勤业三角形”，.D E =A E =1 二 百.E B =A B V 3 =3 (3)解：如图：过点G 作 G/A 8交。E 于点/,E.，尸G/s码力，/XElGs2 EDB,.G I _ IF _ G F _ 3 E G _ G I _ E IA D D F A T i E B B D E D：.GI=AD,2：BD=2AD,.G I 3 fB D 4.E G G I E I.3 E B B D E D 7设 E G=3“，EB=4a,由（2）知，旦B E 3.回=生3,3：.E=E D=M a,DI=ED-El=Z l _a_ a=VLa,4 3 3，/尸=声1斗 a，D DEF=/+/F=V 3+a=a，5 5在 R t Z E F G 中，6 73c o s E G=空 二0 _心 应，E G 3 a 5即 c o s/8 E O=-应.5【例4】（2 0 2 2清苑区二模）【问题提出】如 图1,。与直线。相离，过圆心O作直线。的垂线，垂足为“，且交。于P、。两点（。在P、/之间）.我们把点尸称为O。关于直线。的 远点，把尸。的值称为。关于直线。的“远望数”.（1）如图2,在平面直角坐标系X。），中，点E的坐标为（0,4）,过点E画垂直于y轴的直线m,则半径为1的。0关于直线m的“远点”坐标是（0,-1）,直 线m向下平移 3或5个单位长度后与C。相切.（2）在（1）的 条 件 下 求 关 于 直 线 机 的“远望数”.【拓展应用】（3）如图3,在平面直角坐标系x O y中，直线/经过点M（6遥，0）,与y轴交于点N,点尸坐标为（1,2）,以尸为圆心，。尸为半径作。凡 若。尸与直线/相离，。是。尸关于 直 线/的“远点”.且。/关 于 直 线/的“远望数”是12遥，求直线/的函数表达式.【分析】（1）根据远点，远望数的定义判断即可.（2）根据远望数的定义，求出A E,A 8的长即可解决问题.（3）如图，设直线/的解析式为y=f c r+4连接O F并延长，交。尸于H,交直线/于点G,设 直 线/交y轴于N （0,），由勾股定理及解直角三角形求出点N （0,3遥），再运用待定系数法即可求得答案.【解答】解：（1）根 据“远点”定义，可得点A是。关于直线机的“远点”，的半径为1,（0,-I）；;点 的 坐 标 为（0,4）,；.O A=4,当直线，”向下平移3个单位或5个单位后。相切，故答案为：（0,-1）,3或5.（2）的坐标为（0,4）,0 8=0 4=1,：.AE=OE+OA5,AB=2,.。0关于直线团的“远望数”=A B M=2 X 5=10.（3）设 直 线/的 解 析 式 为（&W 0）,连 接。尸并延长，交。尸于“，交直线/于点G,设直线/交y轴于N （0,”），.点/坐 标 为（1,2）,O F=y+2=V5：OF为。尸的半径，：.OH=2 疾,：。是。尸关于直线/的 远点”.且。尸关于直线/的“远望数”是12娓.；.OG工M N 于 点、G,OH OG=T2娓,即 2代 0G=12灰，：.OG=6,:点 M（6遥，0）,：.O M=6 娓,*-M C=V o P-O G=V（6/5）2-62=12：tan Z N M O=ONOGOM MG n=6.初一五:.n=3y,：.N（0,3粕）,把 M（6遥，0）,N（0,3泥）分别代入），=h+b（Z0）,6k+b=0b=3V5解得：，k=2b=3V5直线/的函数表达式为丫=-A.V+3V5满分训练一.解 答 题（共 20题）1.（2022长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例 如：如 图 1,在48C 中，AO为边8C 上的中线，八钻。与ABC相似，那么称ABC为关于边8 c 的“优美三角形(1)如图2,在48C 中，B C=M A B,求证：ABC为关于边BC的“优美三角形”；(2)如图3,已知ABC为关于边BC的“优美三角形”，点 是4BC边 8 c 的中点，以B D为直径的。恰好经过点A.求证：直线CA与。相切；若O O 的直径为2遥，求线段A 2的长；(3)己知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形，BC=4,N8=30,求4BC的面积.图1图2图3【分析】(1)利用两边成比例，夹角相等证明ABDS A C B A即可求解；(2)连接0 4,证明NCA+/040=90,可 得 04_LA C,再 由。4 是。的半径,即可证明直线A C与。0 相切；由求出4 c=4我，再 由 胆=幽=亚，设 4。=我 ，则 A8=2x,BC 2在 RtZiA8Q中，利用勾股定理求出x 的值，即可求A8=4：(3)过点A 作 4E LBC 交于E 点，分两种情况讨论：若BA)sZB C 4,可求A8=2 V 2.在 中，A E=*A B=&,则 SA4BC=筵A?8C=2&；若CAQs C BA,可求 4 C=2&,在 RtZXABE 中，设 A E=x,则 8：=愿*,C E=4 -x,在RtzMEC中，利用勾股定理可求工=遂 1,再求SAABC=A4E8C=2禽 2.【解答】(1)证明：是中线，.B O=_1B C=2 AB,2 2 AB CB 2,.ABC是关于边8 c 的“优美三角形”;(2)证明：连接04,A8C为关于边BC的“优美三角形”，.ACADACBA,.Z C A D Z C B A,：0A=0B,：.Z O A B=Z C B A,：.Z C A D=Z 0 A B,是。的直径，A ZBAD=90,：.ZO A B+ZO A D=90Q,：.ZC A D+ZO A D=90Q,J.OAVAC,；0A是0。的半径，直线AC与O。相切；解：,:C A D sX C B k、.ACCD-BC,；.4C=4日，.AD A C V2 AB BC设 A D=&x,则 48=2x,在 Rt/VWD 中，AB2+AD1=B D2,B P 4X2+2X2=24,X=2,：.A B=4；(3)解：过点A作A E L 8 c交于E点，若a W s4 3 C 4,：.AB2B D B C,；.A B=2&,在 RtZABE 中，ZB=30,.E=XW=M，2.,SAABC=y AEBC=2我；若 A C A D sC B A,:.AC2=CD-BC,.C=2&,在 R t Zi A B E 中，ZB=3 0 ,设 A E=x,则 8 =旧用CE4-y13x,在 R t ZX A EC 中，AC2=A E2+CE2,(4-V 3 x)2=8,解得x=F l,：.SM B C=-AE-B C=2y/3+2；综上所述：(?的面积为2&或 2 禽 土2.图12.(2 0 2 2 西城区校级模拟)点P C n,y i),。(以，)是平面直角坐标系中不同的两个点，且 X 1#X 2.若存在一个正数k,使 点P,Q的坐标满足|y i -*|=A|x i -X 2|,则 称 P,Q为一对 限斜点”，k叫做点P,。的“限斜系数”，记作女(尸，Q).由定义可知，k(P,Q)=k(。，P).例：若 P (1,0),Q(3,工)，旬 0-2|=2|1-3|,所以点P,Q为一对“限斜点”，且2 2 4“限斜系数”为1.4已知点 A (1,0),B(2,0),C (2,-2),D(2,工).2(1)在点A,B,C,。中，找出一对“限斜点”：A、C或 4、,它们的“限斜系(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”，点E,B也是一对“限斜点”，且它们 的“限斜系数”均 为 1.求点E 的坐标；(3)。半径为3,点 M 为。上一点，满足MT=1的所有点7,都与点C是一对“限斜点”，且都满足k(T,C)21,直接写出点M 的横坐标X”的取值范围.【分析】(1)根据定义通过计算求解即可：(2)设E(x,y),由题意可得仗|=|x-1|,飙=仇-2|,求解方程即可求点E的坐标；(3)由题意可知C点在直线)，=-x上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以0为圆心3为半径的圆上，则T点在以。为圆心2为半径的圆上或以0为圆心4为半径的圆上，当7点在直线)=-x上时，k=,再由&(7,C)2 1,可 知7点在直线y=-x的上方，T点在直线丫=-x的上方，直线y=x-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部.【解答】解：(1)4(1,0),C(2,-2),有|0+2|=2|1-2|,.A、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；(1,0),D(2,)，有|0-上|=-1|1-2|,2 2 2.4、D为一对“限斜点”，且“限斜系数”为工；2故答案为：A、C或A、D,2或工；2(2)设 (x,y),.,M=k-lb bi=k-2|)：.x-l|=|x-2|,解得x=g,2-y ,2/.(旦，A)或(旦，-)2 2-2 2(3)VC(2,-2),点在直线=-x上，T点在以M为圆心1为半径的圆上,点在以。为圆心3为半径的圆上，T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环,当T点在直线y=-x上时，设 丁(孙-m),|-m+2km -2|):.k=1,:k CT,C).T点在直线广=-x的上方，直线y=x-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，3.(2 02 2常州一模)对于平面直角坐标系x O.y中的图形M、N,给出如下定义：P为图形例 上任意一点，。为图形N上任意一点，如果P、。两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间 的“图距离“，记作N).已知点A (-2,6),B (-2,-2),C(6,-2).“(点。，A A B C)；(2)线 段L是直线y=x (-2 W x W 2)上的一部分，若 d(L,A B C)=1,且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；(3)OT的圆心为T(r,0),半径为1.若d(Q T,A B C)=1,直接写出/的取值范围.【分析】(1)画出图形，结合定义即可求解;(2)线段L上点/?(-1,-1)至I J Z V I B C的边A B的距离是1,到边BC的距离是1；过点S作SH/x轴交A C于点H,直线y=x交线段A C于点G,过G点作G W 1.G H交于W,求出直线A C与直线y=x的交点G(2,2),在等腰直角三角形 SG H中，求出G W=,则可求S(2-返，2-亚)，即可求解；2 2(3)分三种情况讨论：当0 7在 A 8C的左侧时，7(-4,0)；当。丁在 4 8C内部时，当T点与。点重合时，满足题意；过T点作交于历，设直线A C与x轴交点为M则尸M N是等腰直角三角形，求 出7(4-2&,0),可得0W/W4-2加 时，若 d(GT,A AB C)=1；当。T在 A B C右侧时，过T点作TK 1 _ A C交于K,同可求 T(4+2&,0),则 r=-4 或 0W/W4 -2企 或 r=4+2加 时，d(QT,4 8C)=1.【解答】解：(1)如 图1,点。到 A B C的最短距离为2,：.d(点 O,AB C)=2；(2)如图 2,：A B=8,B C=8,N 4 =N C=4 5 ,4=、是第一、三象限的角平分线，直线y=x垂直线段4 C,线段L上点/?(-1,-1)至1 A 8C的边A B的距离是1,到边BC的距离是1,设线段L上点S到线段A C的距离为1,过点S作S”x轴交A C于点H,直线y=x交线段A C于点G,过G点作G W L G”交于W,设直线A C的解析式为y kx+b,.f_2k+b=616k+b=-2解得h=T,I b=4.y=-x+4,联立方程组y=x,y=-x+4解得I ly=2：.G(2,2),.SG H是等腰直角三角形，：SG=,.L2：.S(2-亚,2-返)，2 2 线段SR 的长是线段L 长的最大值，此时线段L 的两个端点横坐标为-1,2-1；2(3)当。T在ABC的左侧时，：d CQT,A8C)=1,。7 的半径为 1,：.T (-4,0),/./=-4；当O T 在ABC内部时，如图3,当丁点与。点重合时，d(O r,ABC)=1,此时r=0,如图4,过 7 点作TM_LAC交于M,设直线AC与 x 轴交点为M .,A8=8,8 c=8,;NA=NC=45 ,：.ZMNP=45,PMN是等腰直角三角形，,.TM=2,/.TN=2 近,：.T (4-2V 2，0),.1=4，0W fW 4-2&时，若 d(OT,A8C)=1；如图5,当O T 在ABC右侧时，过 7 点作TKLAC交于K,由可知K77V是等腰直角三角形，：TK=2,:.TN=2 近,：.T (4+2A/2.0),z=4+2/2；综上所述：/=-4 或 0WW4-2&或 f=4+2&.图5图3图14.（2022秦淮区二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I 类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第n 类圆.【初步理解】（1）如图，四边形ABC。是矩形，。01 和。02 都与边A。相切，0 0 2 与边A8相切，和。03都经过点8,。03经过点。，3 个圆都经过点C.在这3 个圆中，是矩形ABCD的第I 类圆的是，是矩形A8C。的第H类圆的是.【计算求解】（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4 和 6,直接写出它的第I 类圆和第H类圆的半径长.【深入研究】（3）如图，已知矩形A B C D,用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）作它的1个 第I类圆;作它的1个第n类圆.【分析】(1)由定义直接判断即可:(2)第I类圆分两种情况求：当4 C=6,A 8=4时和A O=4,B C=6时；第I类圆和第I I类圆都利用勾股定理和垂径定理求解即可;(3)第一步：作N B A。的平分线；第二步：在角平分线上任取点E,过点E作垂足为点尸；第三步：以点E为圆心，E F为半径作圆E,交A C于点G,连接F G；第四步过点C作C H 尸G,C”交AO于点H；第五步过点”作AO的垂线，交N 6 A D的平分线于点0;第六步：以点。为圆心，0”为半径的圆，。即为所求第I I类圆.【解答】解：(1)由定义可得，的 矩 形 有 一 条 边 与。1相切，点8、C在圆上,是第1类圆;的矩形有两条边A。、A B与。0 2相切，点C在圆上,；是第H类圆;故答案为：，;(2)如 图1,设A O=6,4 8=4,切点为E,过点。作E尸_L B C交B C于凡 交4。于E,连接80,设 B 0=r,则 0E=r,0/=4 -r,由垂径定理可得，BF=CF=3,在 Rt A J?。尸 中,r=(4 -r)2+32,解得r=2 58如图2,设AD=4,8 C=6,切点为E,过 点0作E F 1 B C交B C 于 F,交A力于E,连接80,设 B 0=r,则 0E=r,O F=6 -r,由垂径定理可得，BF=CF=2,在 Rt ZB O尸 中,?=(6 -r)2+22,解得厂=改;3综上所述：第I类圆的半径 是 空 或 改;8 3如图3,AD=6,4 8=4,过点。作 MNJ_4 交于点M,交 BC于点M 连接OC,设 AB边与。的切点为G,连接OG,：.GOAB,设 O M=r,则 O C=r,则 ON=4-r,：OG=r,:.BN=r,：.NC=6-r,在 RtZXOCN 中，尸=(4-r)2+(6-r)2,解得r=10-4百，.第U类圆的半径是1 0-4 7 3；(3)如图4,第一步，作线段4。的垂直平分线交A。于点E,第二步，连接EC,第三步，作 EC 的垂直平分线交E F于点O,第四步，以。为圆心，EO 为半径作圆，：.Q 0 即为所求第I 类圆；如图5,第一步：作N8A。的平分线：第二步：在角平分线上任取点E,过点E 作 E尸，A Q,垂足为点F；第三步：以点E 为圆心，E F 为半径作圆E,交AC于点G,连接FG；第四步：过点C 作 CHFG,CH交 AD于点”；第五步：过点”作 4。的垂线，交NBA。的平分线于点。；第六步：以点。为圆心，0”为半径的圆，。即为所求第II类圆.图2ED5.（2 0 2 2丰台区二模）在平面直角坐标系x O y中，。的半径为1,A为任意一点，8为。上任意一点.给出如下定义：记A,8两点间的距离的最小值为p （规定：点A在。上时，p=0）,最大值为q,那么把正担的值称为点A与。的“关联距离”，记 作d（A,2。）.（1）如图，点。，E,F的横、纵坐标都是整数.d CD,Q O）=2 ；若点M在线段E F上，求d（M,Q O）的取值范围；（2）若点N在直线y=J x+蓊 上，直接写出“（N,。）的取值范围；（3）正方形的边长为机，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P,。0）的最小值为1，最大值为丁正，直接写出机的最小值和最大值.【分析】（1）运用新定义“关联距离”，即可求得答案；根据新定义“关联距离”，分别求出d（E,OO）=2,d CF,Q O）=3,即可得出答案；（2）设 O N=d,可得p=d-l,q=d+l,运用新定义“关联距离，可得（M Q O）=d,再利用即可求得答案；2 2(3)如图2,找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案.【解答】解：(1)(0,2)到。的距离的最小值2=1,最大值4=3,：.d(D,QO)=11=2,2故答案为：2；当M在点E处，d CE,。0)=2,当 M在点尸处，d(F,。)=21=3,2(例，QO)W 3；(2)设 O N=d,*.p=d-r=d-1,q=d+r=d+l,：.d(N,O。)=2 tl=d-l+d+l=“,2 2 点N在直线x+2 后上，设直线交x轴于点2,交y轴于点A,如 图I,则 x=0 时，y=2y/3 y=0 时，x=-2,(0,2A/3)8(-2,0),，O A=2百，O B=2,A A B=VOA2-K)B2=4,当 O N _L A 8 时，d(N,Q O)最小，：.SMOB=O A O B=AB-O N,即X 2=X 4 O N,2 2 2 2：.O N=yf 3,无最大值，：.d(N,。0)(3)如图2,:d(P,Q O)的最小值为I,最大值为A/T3，.两个同心圆中，小圆的半径为1,大圆的半径为丁正，：.m的最小值 是 姆Z l=依-近，V2 2在 Rt ZO M“中，0 M=V I 5，0 H=m -I,M H=m,(/7 Z -1 )2+(A m)2=2,2解得：山=-2 (舍去)或布=应；5y八-M图26.(2022大兴区一模)在平面直角坐标系xOy中，。0 的半径为1,已知点A,过点A 作直线MN.对于点A 和直线M N,给出如下定义：若将直线MN绕点A 顺时针旋转，直线MN与。有两个交点时，则称MN是0。的“双关联直线”，与O O 有一个交点尸时，则称是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”.(1)如 图 1,A(0,4),当 MN与 y 轴重合时，设 MN与。0 交于C,两 点.则 MN是0 0 的“双 关联直线”(填“双”或“单”)；空的值为 旦 或 互；-AD 3 一(2)如图2,点 A 为直线y=-3 x+4 上一动点，A P是。0 的“单关联线段”.求0 A的最小值；直接写出AP。面积的最小值.【分析】（1）利用。的“双关联直线”定义解答即可，需要用分类讨论的方法解答；（2）利用垂线段最短，过点。作0 A垂直于直线y=-3x+4于点A,则此时0 A最小，利用三角形的面积公式解答即可；利用。的“单关联线段”的定义可得A P与。相切，判断0 A最小时，A P O的面积最小，利用勾股定理和直角三角形的面积公式解答即可.【解答】解：（I）当M N与y轴重合时，Y MN与OO交于C,。两点，根据。的“双关联直线”的定义可知：是。的“双关联直线”；当点C在y轴的正半轴时，AC=3,AD=5,.A C_-3;AD 5当点。在y轴的正半轴时，AD=3,AC=5,.A C 二5，AD 3综上，空 的值为：2或AD 5 3故答案为：双；色或互；5 3（2）过点。作。4垂直于直线y=-3 x+4于点A,如图,设直线y=-3 x+4 与y 轴交于点M,与x 轴交于点M令 x=0,贝 Uy=4,：.M(0,4),OM=4,令 y=0,贝 lj-3x+4=0,.4 x,3：.N&0),3：.ON=生,3 MN=VOM2-K)N2=-o7 SA0 M N 4X=2 411综上，。的半径为1 2或 空；5 11(3)解：连接A片如图,：A B为。的直径，：.AF1BC.：。0是 AB C的切圆，A C是。的切边,：.ABAC.:.ACFSBAF.AFCFAF8，A尸=4遍./4C-VCF2+AF2=12，AB=VAF2+B F2=6 遥.是弧8厂的中点，.ZFAD=ZBAD.F E _ A F _ 4=2 B E AB 6娓 3-设 F E=2 k,则 8E=3 A,;B F=F E+B E=10,：.2k+3k=Q.=2.：.EF=4,BE=6.：EHAB,ACAB,：.EH/AC.-B-E =E H,.B C AC._6_ _ E Hs+i o H：.EH=4.8.(2 0 2 2朝阳区一模)在平面直角坐标系x Oy中，对于直线/：y=kx+b,给出如下定义:若直线/与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.(1)如 图1,。的半径为1,当k=l,b=l时，直接写出直线/关于。的圆截距”;（2）点M的坐标为（1,0）,如图2,若0M的半径为1,当6=1时，直 线/关 于 的“圆截距 小于I漏，求k的取值范围；如图3,若 的 半 径 为2,当的取值在实数范围内变化时，直 线/关 于 的 圆于点8,根据勾股定理求出“圆截距”即可；（2）根据圆的垂径定理，确定弦长为生行时，弦的位置，注意分类，确定直线的解5析式，根据直线的增减性确定A的取值范围即可；当最短弦长为2时，分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解.【解答】解：（1）：k=l,b=,直线/的解析式为y=x+l,设直线与x轴交于点4,与），轴交于点8,则 A（-1,0）,B（0,1）,；*AB=2 +2=企,即直线/关于。的“圆截距”为我；图2如图2,设直线与y正半轴交点为P,且P（0,1）,:点M的坐标为（1,0）,。的半径为1,，圆与x轴正半轴交点为Q（2,0）,当6=1时，直线/的解析式为丫=履+1,当直线经过点。时,2计1=0,解得k=-工；2过点M作M凡LP。，垂足为凡：O P=1,0。=2,pQ=yl2+22=V 5 ,si n /P Q0=空=2 ,P Q V 5 5,：M Q=,sin ZP QO=&M Q 5:.M F=J,Q F=,心 _2=22/5 5设直线尸Q与圆M的另一个交点为C,贝lj Q C=2 Q F=,.关于0M的“圆截距”小于生区,5:.k的取值范围是-上 k 0；2设直线PM与圆的交点为M；点P（0,1）,点M的坐标为（1,0）,O P=O M,：.ZP M O=45 ,：.ZQM N=45 ,根据圆的对称性，直线PQ和直线PD关于直线PN对称，此时ED=CB,；.N O M N=45 ,Z D M Q=90 ,的坐标为（1,-1）,：.k+=-1,解得k=-2,直线P。的解析式为），=-2 x+l,关于OM的“圆截距”小 于 卷 卫，大 的 取 值 范 围 是-2；综上，k的 取 值 范 围 是-2或-工&V 0.2当的取值在实数范围内变化时，直线/关于。”的“圆截距”的最小值2,设直线与y轴交点为。（0,相），则过。点 的“圆截距”的最小值2,如下图，即RT=2,M QVRT,由题知，为等边三角形，ZM RQ=60,/.4,，x=J E 不合题意，舍去.,-x=y3-V2-:.B E=MX=3-氓.:.DE=BD-BE=4+1.AABEsAD C E,迪D E C D V:.A E=MDE=3 近+如.AC=4E+CE=3&+禽+愿-7 2=2 7 3+2 7 2；设 DC 的长度为m CE=x,:NAEB=NDEC=90,ZBAC=ZBDC,:.AAB EsAD C E.B E A B C E C D,;A B=MD C,:.B E=4 C E=MX.：BD=4,；.D E=4-禽 x.：CEr+DEz=CD2,x2+(4-V 3 x)2=a2-.*.4x2_g2x+16-a2=0.A ()2-4X4(16-/)0,V a0,.心 2,有最小值2.即D C的长度最小值为2.X2+(4-V3X)2=22-解得：x=.：.CE=yj 3-：.B E=3.：.D E=B D-B E=.:.AE=MDE=M.：.AC=AE+CE=2yf 3.由(2)知：A P DS/X B P C,.A P =A C =蓊 二 五 P D B D=4 2在 R tA A P D 中，t a n Z A D P=-.P D 210.(2 02 2城关区校级模拟)如图，在平面直角坐标系X。)，中，点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果NA P B=4 5 ,那么称点P为线段A B的“完美点设A、B、P三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是(4,3),O C的半径是 3V2_；y轴正半轴上是否有线段A B的“完美点”？如果有，求 出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当N A P B的度数最大时，点P的坐标为(0,-V 7)_.【分析1（1）过点C 作 CDLAB于点D,利用圆周角定理和垂径定理计算CD,AD 的长度，进而得到线段04 的长度即可得到点C 坐标；利用勾股定理即可求得AC的长度，则。C 的半径可求；设。C 交 y 轴于点D,E,连接CD,CE,过点C 作 CGJ_C。于点G,Cn LAB于点F,利 用（1）的结论和垂径定理计算线段EG的长度，则线段0E,的长度可求，结论可得；（2）设O C 与 y 轴切于点P,在 y 轴上任取一点。（与 点 P 不重合），连 接 BQ,AQ,B Q 与。C 交 于 点 连 接 A Q,利用圆周角定理和三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，得到当点P 为O C 与 y 轴的切点时，当NAP8的度数最大，利用切割线定理求出线 段 0 P 的长即可得出结论.【解答】解：（1）：点 4 与点8 的坐标分别是（1,0）,（7,0）,：.OA=1,OB=7.B=6.2：.OD=AO+AD=4.：ZAPB=45,NAC8=2/APB=90,：CDA.AB,CA=CB,：.CD=AB=3.2：.C(4,3).叱=乩 2心2=3收，O C的半径是3近.故答案为：(4,3)：3/2；y轴正半轴上有线段A8的“完美点”，理由：设O C交y轴于点D,E,连 接CD,C E,过 点C作CGA.CD于 点G,CF1AB于点F,如图，,：CGDE,CF1,AB,ZO=90,四边形OFCG为矩形.；.CG=0F=4,0G=CF=3.在CGE中，：EG2=CE2-CG2,*-E G=WC G2=：.GE=DG=42-：.OE=OG-GE=3-近,0D=0G+DG=3+如.：.E(0,3-&),D(0,3+&).；.)，轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为(0,3+&)或(0,3-&)；(2)设O C与y轴负半轴切于点P,在)，轴负半轴上任取一点。(与点P不重合)，连接8Q,AQ,BQ与。C交于点D,连接A Q,如图，NADBNAQB,：.ZAOBZAQB.，当 P 运动到0 c 与 y 轴切时，NA P8的度数最大.是。C 的切线，二0 尸=OAOB./.OP=VOA-OB=41X7 S：.p（o,-VV）.故答案为（0,-V 7）.11.（2021常州一模）在平面直角坐标系xOy中，。的半径是F U，A,8 为。外两点,A B=2&.给出如下定义:平移线段A 8,使平移后的线段A B 成为。0 的弦（点 A,B 分别为点A,8 的对应点），线段4 4 长度的最小值成为线段AB到。的“优距离”.图1图2（1）如 图 1,0 0 中的弦PP2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是 f行；在点P,尸 2,P 3,尸 4 中，连接点A 与 点 1 2 的 线 段 长 度 等 于 线 段 到。的“优距离”；（2）若点A（0,7）,B（2,5）,线段A A 的长度是线段A 8到。的“优距离”，则点A 的坐标为(1,3)；(3)如图2,若 4,B 是直线y=-x+6 上两个动点，记线段AB到。的“优距离”为d,则 d 的 最 小 值 是 请 你 在 图 2 中画出d 取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.【分析】(1)根据平移的性质，可以得到A8PP2P3P4,由图可以得到AP2的长度等于线段4B 到。的“优距离”；(2)根据定义和(1)提示，可以知道，平 移 A B,使对应点落在圆上，即在圆上满足AB/A B,AB=A 8,这样的A B 只有两条，别切位于圆心两侧，根据题意画出草图，可以得到如图1的位置，线段4 4 是线段AB到。0 的优距离，利用A 和 8 坐标，求出直线A 8解析式，从而得到直线A B 的比例系数上=-1,同时可以得到为等腰直角三角形，因为A B=2&,过。作 OHLA B,利用垂径定理和勾股定理，求出0，=2加,利用N4例0=4 5,得到0TM为等腰直角三角形，过“作“轴于E 点，从而可以求得“(2,2),得到直线A B 解析式为y=-x+4,设 A(a,-a+4),过 4 作 4 轴于F,在 RtAA 0产中，利用勾股定理，列出方程即可求解；(3)由(2)可知，AB经过平移，对应点落在圆上，AB/A B,AB=A B,符合条件的A B 只有两条，并且位于。点两侧，如图2,根据垂线段最短，当 AA L A B时，d 最小，过。作B,分别交A B 于 4,交A B于T,用(2)中方法求解。，和 O T,得到 T 的长度，即可解决.【解答】解：(1)AB平移得到尸 2,：.AB/PPi,同理，AB/P3P4,，P1P2 P3P4,由图可得，连接点A 与点P2的线段长度等于线段AB到。的“优距离”，故答案为：平行，P2,；(2)如 图 1,过 8 作 8G_Ly轴于G,则 G(0,