高考数学复习21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究.pdf

微专题2 1 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究秒杀总结1、基本思路（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设 正 确（肯定型），由此得出问题的结论.（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.2.技巧总结（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否 有 解（存在）.（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.典型例题例 1.（2 02 2 江西景德镇模拟预测（理）已知椭圆C:，+2=1（0 6 0）经过两点M 7 3,-y,N他I 2 4/求椭圆C的方程：（2）4 8分别为椭圆C的左、右顶点，点 P为圆f+y 2=4 上的动点（尸不在坐标轴上），以 与 P 8 分别与椭圆 C交 E、尸两点，直线E 尸交x 轴于点，请问点P的横坐标与点的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.2 2例 2.（2 02 2 安徽淮南第一中学一模（理）已知椭圆C:夕+方=1（。匕 0）的左、右焦点分别为A、F”点尸（2,何在椭圆c上,且满足=P 封.（1）求椭圆c 的方程；（2）设。为坐标原点，过点尸2 且斜率不为零的直线/交椭圆C于不同的两点A、B,则在x 轴上是否存在定点M ,使得MO平分若存在，求出网点坐标；若不存在，请说明理由.r2 v2 1例 3.（2 02 2 山西晋中模拟预测（理）己知椭圆C:+方的离心率e =,椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为2 百.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆C右焦点的直线4,4的斜率分别为匕，满足勺&=-2,交C于点E,F,4 交C于点G”，线段E F 与GH的中点分别为M,N.判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说1明理由.例 4.（2 02 2 四川省泸县第一中学二模（理）已知抛物线7：，=2 0，（。0）,直线丫 =履+1 交T于A、B 两（2）如图，抛物线T在 A、3两点处的切线分别与y轴交于C、D,A C和 30交于G,G C +G D +GEO-证明：存 在 实 数 使 得 G E =2 A B.例 5.（2 0 2 2 重庆实验外国语学校一模）已知椭圆G：/+g =l（a 0）的左、右焦点分别为6、尼，P为椭圆上的一点，耳弱的周长为6,过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆G的右焦点为抛物线C 2:y2=2 p x的焦点.求椭圆G与抛物线G 的方程；（2）过椭圆G的右顶点。的直线/交抛物线C,于/、8两点，点。为原点，射线。4、08分别交椭圆于C、。两点，O C。的面积为，以/、C、C、8为顶点的四边形的面积为邑，问是否存在直线/使得$2=?多?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.例 6.（2 0 2 2,四川成都七中二模（理）在5c中，A8的坐标分别是（-后,0）,（亚,0）,点G是4 5。的重心，轴上一点M 满足GM/1 3,且=用.（1）求的顶点c的轨迹E的方程；（2）直线/:丁 =丘+加与轨迹相交于P,Q 两点，若在轨迹E上存在点/?,使四边形O P R Q 为平行四边形（其中。为坐标原点），求?的取值范围.过关测试1.（2 0 2 2全国模拟预测（理）已知圆。:丁+产=2 与x 轴交于4,8两点，动点尸满足直线”与直线8 P的斜率之乘积为2（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点（1,0）的直线/与曲线E交于M,N两点，则在x轴上是否存在定点。，使得QM QN的值为定值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.2.（2 0 2 2辽宁一模）已知点8（孙）在抛物线E：f=2py上，4，4分别为过点力，8且与抛物线E相切的直线，/）,勾相交于点（巧，九）条件：点M在抛物线E的准线上；条件：；条件：直 线 经 过 抛 物 线 的 焦 点 凡（1）在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；（2）若。=2,直线y=x+4与抛物线E交于C、。两点，试问：在x轴正半轴上是否存在一点N,使得的外心在抛物线E上？若存在，求N的坐标；若不存在，请说明理由3.（2 0 2 2江西赣州一模（理）在平面直角坐标系X。中，A（-2,0）,8（2,0）,M（-l,0）,N（l,0）,点P是平面内的动点.若以A B为直径的圆。与以PM为直径的圆T内切.证明：|P M|+|P N|为定值，并求点尸的轨迹的方程；（2）设斜率为g的直线/与曲线E相交于C、。两点，问在E上是否存在一点。，使直线QC、。与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点。的横坐标；若不存在，说明理由.2 24.（2 0 2 2广东高三阶段练习）已知椭圆C：+套 =1（“6 0）的右焦点厂（0）在 直 线 四+丫-26=0上，且离心率为g .求椭圆C的方程；设A（-a,0）,B（a,0）,过点A的直线与椭圆C交于另一点P（异于点B）,与 直 线 交 于一点M ,ZPFB的角平分线与直线x 交于点N,是否存在常数彳，使 得 戢=，潴？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.2 25.（2 0 2 2四川泸州二模（理）已知椭圆C：+g =l（a b 0）的左，右顶点分别为4 B,且|A B|=4,椭 圆C过点（0）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率不为0的直线/与C交于，N两点，若直线8的斜率是直线ZN斜率的两倍，探究直线/是否过3定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.2 2.6.（2 0 2 2 天津市蓟州区第一中学一模）设椭圆E:*+方=1（a 6 0）过点用（2,，%（跖 1）两点，O为坐标原点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点4 8,且04,08?若存在，写出该圆的方程，并求|A 8|的取值范围，若不存在，请说明理由.-21.（2 0 2 2 福建三明高三期末）已知椭圆C：乌+与=1（4 6 0）,耳、玛为椭圆的左、右焦点，焦距为a b-2 夜，P（近,一 B）为椭圆上一点.3（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0,一：）的直线/与C交于a 8两点；线段8的中点为A/,在 y 轴上是否存在定点N,使得 N A A W =2 N A B N 恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2 28.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知双曲线C:，-g=l（a 0 力0）的左焦点为用右顶点为人渐近线方程为y=6 x,尸到渐近线的距离为（1）求 C的方程；若直线/过尸，且与C交于尸，。两 点（异于C的两个顶点），直线*=/与直线N P,40的交点分别为N.是 否 存 在 实 数 使 得 卜 时+可 卜,加-F 叫？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.2 29.（2 0 2 2 陕西商洛一模（理）已知椭圆C：1r+=1（3 0）的左、右焦点分别为片C-c,0）,B（。，0）,点 力（0,b）满足 A K -A 乙=2，M +A 勾=2G（1）求。的方程.（2）设过工的直线4，4 的斜率分别为勺，&，且k#2=-l，4 与 C交于点。，E,4 与 C交于点G,H,线段。E与 GH的 中 点 分 别 为 N.判断直线是否过定点.若过定点，求出该定点：若不过定点，请说明理由.41 0.（2 0 2 2 江西模拟预测（理）如图，椭圆+J =人 0）的两顶点4（-2,0）,B（2,0）,离心率e 差,过y 轴上的点尸（0，州 4，拄 0）的直线/与椭圆交于。，。两点，并与x 轴交于点尸，直线AC与直线3。交于点0 当，=26 且C D =4 时，求直线/的方程；（2）当点P异于4 8两点时，设点P与点0横坐标分别为与,X。,是否存在常数2使=4成立，若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.1 1.（2 0 2 2 河南三模（理）已知双曲线C:-*=1（4 0/0）的右焦点为F（c,0）,a,b,c 成等差数列，过产的直线交双曲线C于 P、Q两点，若双曲线C过点（1）求双曲线C的标准方程；（2）过双曲线C的左顶点A作直线A P、A Q,分别与直线x=，交于M、N两点，是否存在实数加，使得以MN为直径的圆恒过尸，若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.1 2.（2 0 2 2 云南一模（理）在平面直角坐标系宜万中，已知6（-6,0）,工（6,0）,尸（2,0）.动点C与 片，F2的距离的和等于1 8,动点。满足。C +。4+O 6=0.动点。的轨迹与x 轴交于A,B 两 点,A的横坐标小于8的横坐标，M 是动点。的轨迹上异于A,B的动点，直线4M与直线x=3 交于E点，设直线AM的斜率为 k,B E 的中点为7,点M 关 于 直 线 口 的对称点为P.（1）求动点。的轨迹方程；（2）是否存在a,使 P的纵坐标为0?若存在，求出使P的纵坐标为0的所有女的值；若不存在，请说明理由.2 21 3.（2 0 2 2 全国模拟预测）已知双曲线C:*-亲 TgO力0）的右焦点为尸（2,0）,点尸到C的渐近线的距离为1.（1）求 C的方程.53(2)若直线/,与 C的右支相切,切点为凡乙与直线4 ：x=：交于点0,问x轴 上 是 否 存 在 定 点 使 得M P M Q?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.1 4.(2 0 2 2 黑龙江实验中学模拟预测(理)圆E:+%=l(a人 0)的离心率为母，且过点，等)，点A B分别为椭圆E的左顶点和右顶点.求椭圆E的标准方程；是否存在定点M(/,0)(-afa),对任意过点M 的直线C D (C O在椭圆C上 且 异 于 两 点)，都有心。=3 怎若存在，则求出 的值；若不存在，请说明理由.2 21 5.(2 0 2 2 河南模拟预测(文)已知椭圆C：0+方=1(“匕 0)的离心率为3，直线x+2 y-4 =0 与椭圆仅有一个公共点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/：x=l,试问在x 轴上是否存在一定点加，使得过的直线交椭圆于P,。两点，交/于 M 且满 足M加P 目|=N扃P|，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16.(2 02 2 福建模拟预测)已知动圆过点尸(0,1),且与直线/：y=-l 相切.(1)求动圆圆心的轨迹E的方程：点 P一动点，过 P 作曲线E两条切线上4,P B,切点分别为A,B,且 B 4 _ L P 3,直线AB 与圆/+产=4相交于C,D 两 点,设点P到直线A B 距离为d.是否存在点P,使得必=4/?若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.17.(2 02 2 安徽六安一模(理)已知椭圆C:+/=i(a i)的左右焦点分别是K，F2,右顶点和上顶点分别为A,B,486A的面积为|-血.(1)求椭圆C的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角 8 M N,这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.6微专题2 1 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究秒杀总结1、基本思路（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.2.技巧总结（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.典型例题例1.（2 02 2 江西景德镇模拟预测（理）已知椭圆C:，+2=1（0 60）经过两点M 73,-y ,N他I 2 4/求椭圆C的方程：（2）4 8分别为椭圆C的左、右顶点，点 P为圆f+y 2=4 上的动点（尸不在坐标轴上），以 与 P 8 分别与椭圆 C交 E、尸两点，直线E 尸交x 轴于点，请问点P的横坐标与点的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）上+上=14 3（2）点P的横坐标与点H的横坐标之积为定值，定值为4【解析】【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出。力的值，确定椭圆方程（2）设 必 与尸8直线与椭圆联立，求出E、/两点的坐标表达式，写出直线E 厂方程，求出与x 轴的交点”点的坐标，联立两条直线求出尸点的坐标，计算乘积判断是否为定值（1）3 二1/十 斤 一 f a2=4 v-2 v2将 M,N点坐标代入椭圆方程得：;钻,解得：，所以椭圆方程为匕+二=11 ,42 h2=3 4 3隙+前 印根据圆方程为丁+=4 可知，为圆的直径，点尸在圆上，所以设直线2 4 方程为：1y=M x+2)y =k(x +2),%N 0,联立 丫2 _ 得：(3+4&2卜2 +1 6%2%+1 6/-1 2 =0,所以演 4=-2/=整瞪,T+T-所 以 片 含 挥 代 入 直 线 得：人 二 袅同理设直线总方程为:y=_/_ 2)X2 丁+J=14 3y =-J(x-2),联立,K得:1 6_1?2 1 6 1 6 c c F-1 6-1 2&2X-FX+F _1 2 =0 则5=2XL=许3+F所 以=8-6公4+3公12k4+3公3k2-37 k直线E尸 的 方 程 为-一 罚3 -3 f -8 +6 所以3日1k 5 3+4 j,令=o得:%_ 12k Ik-8/+6 _-(3+4公)(6 r+6)_ 6a+6X，13+4 r,32 2-3+3+4 公 一(3+4有(3%2 _3)-3-3，y =&(x+2)联立直线PA,P B 1 、得：%=七 竺，所以X,.XH=勺 竺 竺 邛=4,所以点尸的横坐标y=(x-2)k+1 k+1 3-3K、k与点的横坐标之积为定值，定值为4V2 V2例2.（2 0 2 2安徽淮南第一中学一模（理）已知椭圆C:+%=1（4人0）的左、右焦点分别为耳、尸2,点网2,&）在椭圆C上，且满足尸耳/=2可.（1）求椭圆C的方程；（2）设。为坐标原点，过点心且斜率不为零的直线/交椭圆C于不同的两点A、B,则在x轴上是否存在定点M,使得MO平分Z A MB?若存在，求出加点坐标；若不存在，请说明理由.2 2【答案】（1）二+=1;8 4 存在，M（4,0）.【解析】【分析】（1）分析可知P八，耳 ,可 得 出 椭 圆C的两个焦点的坐标，利用椭圆的定义可求得。的值，可得出6的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设 直 线/=冲+2,设点M（x ,0）、A（X QJ、8（吃,必），将直线/的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，分析可知勺 +&=，利用斜率公式结合韦达定理求出的值，即可得出结论.2（1）?LKJUU UUUU解：（1）因为p/p =p g ,所以，PF2-（PF2-PF=O,即然耳鸟=0,所以，叫，百鸟又点 P（2,啦）在椭圆 c 上，.*（-2,0）、6（2,0）,且由椭圆定义得2 a =|P用+|尸用=J（2 +2）2 +（0-&+（2-2）2+（0 何=4母,2 2则 i,-4 则椭圆C 的 标 准 方 程%+小L解：假设存在定点M 满足要求，因为直线/斜率不为零，所以设直线/：x =m y +2,设点M（x（）,0）、A（X 1,y J、B（x2,y2）,联立x=nt y+2x2+2y2=S可得，后+2）y2+4m y-4=0则 A=1 6/2 +1 6（疗+2）=32（/+l）0,4 m 4由韦达定理可得,+因为直线。例平分NA M8,则MA+3B=0，即 T-+2L-=0,菁一 天）工 2 玉）一一+一造 一=0,m yx 4-2 -x0 m y2+整理得 2%y%+（2 -%）（y +必）=0 ,2?（-+（2 -玉 J （-=0I i +2/m z.J.,/n（4-Xo）=O,由于meR,.”产 生 所 以 存 在 M（4,o）满足要求.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为（当，八）、（巧,九）；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或）的一元二次方程，必要时计算A；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为王+/、不（或乂+%、乂%）的形式；（5）代入韦达定理求解.r2 2 1例 3.（2 0 2 2 山西晋中模拟预测（理）已知椭圆C?+=l（a b 0）的离心率6=5,椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为26 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆C 右焦点的直线4,4的斜率分别为匕，k2,满足小他=-2,交 C 于点后尸，4 交C 于点G,H ,线段E F 与G”的中点分别为M,N.判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说3明理由.【答案】三+其=1;4 3(2)直线M N 过定点(,().【解析】【分析】(1)根据题意可求出a,b,c,即可求出答案.(2)把直线Z,与4 分别与椭圆进行联立得到点M,N 的坐标,再分情况讨论直线M N 斜率存在和不存在，再利用人=-2,(1)设右焦点尸(c,0),c0,即可得到答案.c _ 1a 2,由题知，a,b=2/,求得a=2,b=W),c=l,a2b2+c2,所以椭圆C 的标准方程为三+=1 .4 3设4：y=(x-l),，2：y=e(x T)，y=K(x T)，联立直线4与椭圆C 的 方 程 得 y2+=1,4 3消去y 得，(4 6+3)/-8 好+4-12=0,由根与系数的关系知玉+=者三，则,K,I乙 K I Dy,+必 -3k.代入直线4的 方 程 得 互 产=瓦;,所以M4 代 _3K、4储+3 4 年+3,同理得N，%-3k1、%+3%+3,当 直 线 的 斜 率 存 在 时，设直线4皿：丫 =如+，4（4m+4）Z：+3匕+3 =0,将点M,N 的坐标代入直线4 ，得/.2 q八（4相 +4”）与+3自 +3=0,易知左,期为方程（4利+4）公+3左+3=0 的两个根，由根与系数的关系知勺出=：；7，4%?+4由题知人出=-2,所以L=2,得=一搭加，4 m+4 11所以直线。：丫=蛆-机=，1-5）,所以直线肠V过定点（,042 4”2当直线1W 的斜率不存在时，/匕=7 7 ，即将=公，%+3 4依+3所以匕=一&，且 的=-2.不 妨 设 勺=血，k2=-V2,所以4k；4号+34月4A；+38T T即直线MN:x=t，满足过定点（,0综上，直线MN过定点例 4.（2022四川省泸县第一中学二模（理）已知抛物线丁：/=2 0，（。0）,直线y=fcx+l交T 于A、B两 求 P 的值；（2）如图，抛物线T 在 A、8 两点处的切线分别与 轴交于C、D,AC和 3。交于G,GC+GD+GEO-证明：存在实数2,使得GE=2AB.【答案】P=2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将 y=x+l代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于。的等式，即可解得正数P 的5%+/=2 pxxx2=-2p值；（2）将丁=&+1代入/=4y,列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点G的坐标，分=0、k#0两种情况讨论，在=0时，推导出C、D、G重合，可得出2=0；在4/0时，求出8 的中点M的坐标，利用斜率关系可得出GM/AB,结合平面向量的线性运算可证得结论成立.（1）解：将 =x +1 代入 f=2 p y 得 f-2 P x 2 p =0,设A（X，y J、B（x2,y2）,则A=4 p 2+8 p 0,由韦达定理可得则AB1二血卜 一引=+工2-以m=3,J 4 P?+8 p =8，解得P =2或p =-4 （舍），故p =2.解：将丁=米+1代入X?=4中得入2-4 -4 =0,设 吟）、彳 吟 则公=1 6及2 +1 60，由韦达定理可得对y =求导得y,42BP y =X-,2 42X则抛物线T在点A处的切线方程为y-+式1-2同理抛物线7在点8处的切线方程为）,=|X-?，x=联立得，y=a +b2a bT,所以 一 所以G点的坐标为（2 Z,-1）,y =一 当左二o时，即切线AC与 班交于y轴上一点（o,-1）,此时C、D、G重合，由 G C+G O +G E =0，则G E =0,又A 3 w 0，则存在之=。使得G E =4 4 8成立;当壮0时，切线AC与y轴交于点0（0,-3,切线BD与y轴交于点心-9由 一匕）+一；）_2油一（4+4_,得C D的中点时（0,-2 A2-1）,2k 12 8由 G C+G +G E =0得 G E =-（G C+G D）=-2 G M ,即 GE/GM.X=-（2A=k 所以 G W/AB,所以，GM/AB a”2 Z-06又A 8 w O，所以存在实数2使得G E =/1 4 3成立.综上，命题成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为（王,无）、（巧，/）；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或）的一元二次方程，必要时计算:（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为王+9、西9（或乂+%、）1%）的形式；（5）代入韦达定理求解.例5.（2 02 2重庆实验外国语学校一模）已知椭圆G：J+g =l（a 60）的左、右焦点分别为白、%,P为椭圆上的一点，的周长为6,过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆G的右焦点为抛物线6：丁=2内的焦点.求椭圆G与抛物线C?的方程；（2）过椭圆C1的右顶点。的直线/交抛物线G于/、8两点，点。为原点，射线0 4、。8分别交椭圆于C、。两点，。8的 面 积 为 以 力、C、3、8为顶点的四边形的面积为邑，问是否存在直线/使得$2=5，？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【答案】椭 圆 的 方 程 +=1，抛物线的方程为/=4 x（2）存在直线/,方程为x-k 2=0或者x+y-2 =0.【解析】【分析】（1）由焦点三角形周长，通径和椭圆的关系式可求”,Ac,进而求解G，G；（2）设/的方程为了 =阳+2,设A（XQJ、。0）2 6(2)设 直 线/:y =+m与5 +2 =1的两交点为P v.,;：,Qi.v.,i -I联立:y=kx-m(x2 y2 消 去 丁得:+=12 6(k2+3)x?+2lawc+/7 72 6 =0.A =4k2nr-4(炉+3)(病-6)=12(2公-m2+6)0.(1)且 玉+工2=一2kmm2-6k2+3因为四边形OP R Q为平行四边形，所 以 线 段P Q的中点即为线段OR的中点，所 以R点的坐标为（西+与，乂 +%），整理得口-2km 6mk2+3k2+y-2km 2 6m 2由 点R在椭圆上，所 以1尸+3,_ 整理得2加2=公+3.I -12 6将（2）代 入（1）得加20,二?W0,由（2）所以机的取值范围为2 2考 点：1、求轨迹方程；2、直线与椭圆的综合问题.9过关测试1.(2 0 2 2全国模拟预测(理)已知圆0:*2+产=2与x轴交于4 8两点，动点P满足直线”与直线5P的斜率之乘积为(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点(1,0)的直线/与曲线E交于，N两点，则在x轴上是否存在定点,使得Q M-Q N的值为定值？若存在，求出点。的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】三+丁=1，(x w土应)；存在点。(o 使得QMQN为 定 值-义，理由见解析；【解析】【分析】(1)设出动点P(x,y)(x 7土&),利用直接法求解轨迹方程；(2)先求出直线/斜率为0时不合题意，得到直线斜率不等于0,从而设出直线/的方程犬=1 +口，联立第一问求出的轨迹方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，设出Q(?,0),求解。例Q N,化简整理得到QW Q N=(1-2)-普 从 而 得 到 存K+N在点Q，o使得Q W3为定值(1)令 y=0 得：x=&，不妨设 A(-应,0),B(&,0),P(x,y)片 土&),则叵 22整理得：5+丁=1,1*士0)；动点尸的轨迹方程E为5+丁=1,(x#&)；存在点。(肛0),使得QM Q N为定值，理由如下：当直线/斜率为。时，则直线/为y=o,此时与5+=1,(x x 3)无交点，故不合题意，舍去，即直线/斜率不为0设2(%,。)，直线/设为x=l+O,则与曰+y 2=i,(x#士联立得：俨+2)尸+2 6一1 =0,设2klM(X|,y),M(X 2，%),则%+%=-，,=一 ，所以Q M Q N =(xl-m,yi)-(x2-m,y2)=(xl-m)(x2-w)+y,y2=xlx2-m(xl+x2)+m2+yly2=(+kyl)(+ky2)-m(+kyl+ky2)+m2+yly210=（42+1）%+。一僦）（+必）+（加-1）2当4?-5=0 即相1时，QM QN为定值，即存在点。(训使得。M 3 为定值综上：存在点恢得QM QN为定值14)16【点睛】圆锥曲线上是否存在点使某些量为定值的题目，经常考察，一般题目计算量大，且变量多，此时要抓住核心不变量，进行化简整理，主要方法是分离常数法，配方法等，本题中，将。M QN化简整理为。例QV=(/-2)-竽 二 是解题的关键所在.、7 k+22.(2022辽宁一模)已 知 点 4(占,%)，8(,当)在抛物线足*2=2外 上，4，4 分别为过点4 8 且与抛物线E 相切的直线，J 相交于点(/，九)条件：点 M 在抛物线E 的准线上；条件：/口公条件：直线Z 8 经过抛物线的焦点尸.(1)在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；(2)若 =2,直线y=x+4 与抛物线E 交于C、。两点，试问：在 x 轴正半轴上是否存在一点N,使得CDN的外心在抛物线E 上？若存在，求 N 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】(1)答案见解析(2)存在，N(4+4&,0)【解析】【分析】(1)求导写出点4 8 处的切线方程，写出准线方程及焦点坐标，若选择作为条件，设出点M 的坐标,表 示 出 直 线 联 立 抛 物 线 证 明：若选择作为条件，先求出进而证明；若选择作为条件，设出直线联立抛物线证明.(2)假设存在，求出于8 的中垂线联立抛物线先解出外心坐标，再去反推点N 的坐标.(1)由题意，抛物线化为y=2,则y=二，则乙 的切线斜率匕=五，2Pp P所以4 的 方 程 为),-凹=(*-%)，将x:=2 p y 代入，化简整理得中=p(y+y)同理可得4 的方程为工2=p(+%)11抛物线E:f=2p y的准线为y =-f ,焦点厂的坐标为若选择作为条件，作为结论，证明如下：因为点M在抛物线E的准线上又4，4相 交 于 点 所 以 直线A B的方程为y-可设点河的坐标为。,一!）,o =p -y +y j z 、/、，点 A,8坐标满足方程x x=p y-与，即,。二0 1 j-1，进而直线N 8经过抛物线的焦点尸（0，与,得证1 乙）又 卜=卜 9,消去y整 理 得 二-芈 Vg 2期 2P 2P 2设直线4、4的斜率分别为K，*有 krk,=2/若选择作为条件，作为结论，证明如下:因为4,4,设直线4、的斜率分别为匕，k2中 二 夕/+，又4,，2相交于点M，所以 :，”=（4+必）证xlxQ=p 设点M的坐标为所以 21 乙）-=0,所以 X 1%!=-p 2：三=二4=_1,所以4_ L，2,得证.）P P有尢 Z,=1,即 xtx2=-p2P P解得）,=辛=一4,所以点M在抛物线E的准线上，得2P 2+乂）/x、，点 4,8的坐标满足方程/x=p|）与|,即直线A B的 方 程 为 再 尸=进 而 直 线N 8经过抛物线的焦点尸（0,1若选择作为条件，作为结论，证明如下：直线A B经过抛物线的焦点F,设直线A B的方程为y=kx+,V=k x+P.所以 2消去y整理得V 2 p k t-p 2=。，所以为=-p 2,x2=2p y设直线4、/,的斜率分别为勺，&2,有k/k,=&红=W=-1,所以_U,p p p-）,得证.得证12又4,/,相 交 于 点，所以卜x=!v+v)、，解得y=W 2=-4,所以点在抛物线E 的准线上，得证.x2x=p(y+y2)2p 2/x/、fy=x+4假设存在点 N(,0)(机 0),由 _ 4 丫，可得产一4了-16=0，所以 +而=4,XCXD=-6,设线段CO的中点为网程外)，则 毛=区=2,%=毛+4=6,进而线段。的中垂线方程为y-6 =-(x-2),即y=-x+8,联 立 厂=4)得y=一 1+8X2+4X-32=0.解得x=-8 或 4,从 而 CGN的外心。的坐标为(4,4)或(-8,16),又 m=V1T17.J&+X/j2 _ 4 x c j=&X J16+64=4加，|DP|=H=2V10,若。的坐标为(4,4),|Q=EZ/=2&72所以=J|Q呼+|D/f=4 G ,则|QL|=QN=(/7?-4)2+16=46因为 7 0,所以加=4+4&若。的坐标为(-8,16),|尸|=卜8 q+川=10亚 则|QD|=+叶=4而|8|=|QV|=1(?+8)2+16。4形,则 0 的坐标不可能为(-8,16),故在x 轴的正半轴上存在一点N(4+4五,0),使 得 CGN的外心在抛物线E 上.【点睛】本题关键点在于假设点N 的存在，求出CD的中垂线方程，联立抛物线求出外心坐标，再通过到三角形顶点距离相等解出点N 的坐标即可.3.(2022江西赣州 一 模(理)在平面直角坐标系xQy中，A(-2,0),8(2,0),M(-l,0),N(l,0),点尸是平面内的动点.若以A 8为直径的圆。与以PM 为直径的圆7 内切.证明：|PM|+|PN|为定值，并求点尸的轨迹E 的方程；(2)设斜率为g 的直线/与曲线E 相交于C、。两点，问在 上是否存在一点0,使直线Q C、Q。与夕轴所围成的三角形是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求出点。的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】证明见解析，+=14 313 存在，1【解析】【分析】（1）依据两圆相内切的性质去证明|*W|+|P N|为定值，依据椭圆的定义去求点P的轨迹E的方程;（2）依据设而不求的方法去保证QC、以 为等腰三角形的两腰，且点。在 E上即可解决.（1）依题意有，。7 =网-网=2-幽2 2 2连结PN,由点。和 7 分 别 是 和 加的中点知，|0 7|=用又4 2 =|M N ,所以点尸的轨迹是以M,N为焦点的椭圆因为 2cl =4,c=1,所以/?2=/c?=3，故点P的轨迹E的 方 程 为 三+匕=14 3假设存在满足条件的点0,依题意知，kQc+kg =O设 C&）,D（x2,y2）,。（%,%）,则 3 片+4 y）=1 2,由%+=。得，-%（玉 +）-%（乂 +）2）+2%=0 ,设/的方程为X=2 y+f,代入椭圆方程得，1 6 丫 2 +1 2 夕+3/-1 2 =0.由A 0 得，/1 6,由韦达定理得，M +必%=三 而上又玉=2 乂+，x2=2y2+t,所以玉 刈+工 2%一%(西 +)一 X。(y+%)+2xQy0=4yly2+(t-2y0-x0)(0）的右焦点尸（。,0）在直线6 r+y-2 G =0a b-上，且离心率为3 .（1）求椭圆C 的方程；（2）设A（-,0）,3（凡0）,过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P（异于点B）,与直线x=。交于一点M,/PFBU U U U U U的角平分线与直线x=交于点N,是否存在常数力，使得?若存在，求出义的值；若不存在，请说明理由.【答案】三+上=1;16 12（2）存在，/=；,理由见解析【解析】【分析】（1）先把尸9,（）代入直线方程，求出c,根据离心率和a,4 c 求出椭圆方程；（2）设出直线AP的方程，联立椭圆方程，求出点P 的坐标，表达出直线AP的斜率，再使用二倍角公式及直线N F的斜率表达出直线”的斜率，从而得到等式，求出（2%-乂）（乂%+8）=0,得 到%，X 的关系，得到义的值.（1）因为右焦点尸9,0）在 直 线 后+丫-2有=0 上，所以6 c-2 a=0,，c=2e=a=4,:.b2=16 4=12.a a 2所以椭圆C 的 方 程 为 三+匕=1.16 12存在，2=；,理由如下：因为A(-4,0),8(4,0),尸(2,0),设M(4，x),N(4,%),P(x0,%).显 然 当%015可设直线A P的方程为x =my-m*0）,8因为点“在这条直线上，则%=8,m =.y联立:丁，得（3 病+4）/-2 4 冲=0 的两根为和0 ,I I 4）-1 o2 4/n .1 2/?t2-1 6yQ =3 帆2s+4 ，%=f n%yQ -4 =-3-.彳-+-4-24/77k 二%二 3/+4=4 J 8y =&,即 x0-2 1 2 m2-1 6 2 ni2-4 1 6 y；种 2 ,3m2+4 t a n 2 8=2 -=4=*-设4 B F N”则N PFB=2 ，一闻1 i-t a Y。L(了 4 y；m2-48y 4%1 6-y,2-4-（2%-乂）（丫 1%+8）=。，因为M M。，所以2 y 2-%=，；%=g）-故 存 在 常 数 使 得 B N =【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案.2 25.（2 0 2 2 四川泸州二模（理）已知椭圆C：+2=1（。0）的左，右顶点分别为4,B,且|AB|=4,椭圆C过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率不为0的直线/与C交于A/,N两点，若 直 线 的 斜 率 是 直 线 4 N斜率的两倍，探究直线/是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.2 2【答案】（1）二+二=1;4 3 直 线/过 定 点 理 由 见 解 析.【解析】【分析】（1）列出方程组，求 出 6 的值，求出椭圆方程；（2）设出直线/的方程，联立后得到两根之和，两根之积，162由斜率关系得到方程，化简后得到方=：,进而求出直线所过定点.(1)由题意得：2 a =4,且 摄+磊=1,解得：。=2,从=3,所以椭圆方程为：:+弓=1.直线/过定点总，。)理 由 如 下：由(1)得：A(-2,0),8(2,0),设x =my+联立椭圆方程得：(3 w2+4)y2+6mby+3 Z?2-1 2 =0 ,设 (%,%),则弘 +y2=，丫跖=二:则原kAN 由 =乌7，化简得：机 X%-。+2)(乂 +%)+(3 人-2)必=0,将A1 Z X,十 Z A|Z X-y-v Z.-6mh 3/?2-1 2 ,u xB zQ,c 3?e +2),1 3m(b+2 才厂口八 匚 g”x +必=。，“，y%=c，”代 入 得:(3 3-2)彳+)，2 =由 于，/+%不 恒 为 0,所以3nr+4 1 2 3m2+4 _ 3m-+4 J 3%2+43 6-2 =0,解得：/=-|,故X=/)，+!过定点(g,0).【点睛】这道题目的难点是在根据斜率关系得到的