2022年初升高暑期数学衔接讲义（第2套）汇总.pdf

第 1讲 集 合 的 概 念 一、集 合 的 有 关 概 念 1.集 合 的 概 念 一 般 地，我 们 把 研 究 对 象 统 称 为 元 素，一 些 元 素 组 成 的 总 体 叫 集 合，简 称 集.2,表 示 方 法：一 般 用 大 写 字 母 4 8,C 或 大 括 号 表 示 集 合，用 小 写 字 母 表 示 集 合 中 的 元 素.3.集 合 相 等：构 成 两 个 集 合 的 元 素 完 全 一 样.4,集 合 元 素 的 特 性：确 定 性、互 异 性、无 序 性.确 定 性：给 定 一 个 集 合，那 么 任 何 一 个 元 素 在 或 不 在 这 个 集 合 就 确 定 了.例 如：“1 10之 间 的 偶 数”构 成 集 合，2,4,6,8,10是 这 个 集 合 的 元 素，而 1,3,5,7,9就 不 是 它 的 元 素；“较 大 的 数”、“漂 亮 的 花”不 能 构 成 集 合，因 为 组 成 它 的 元 素 是 不 确 定 的.互 异 性：一 个 集 合 中 的 元 素 是 互 不 相 同 的，即 集 合 中 的 元 素 不 重 复 出 现.例 如：方 程（X-炉=0 的 解 构 成 的 集 合 是 1,而 不 是 1,1.无 序 性：集 合 中 的 元 素 没 有 固 定 的 顺 序，元 素 可 以 任 意 排 列.例 如：1,2 和 2,1 是 同 一 个 集 合.5,元 素 与 集 合 的 关 系：（分“属 于”与“不 属 于 两 种）如 果。是 集 合 力 的 元 素，就 说。属 于 集 合 N,记 作 a e Z;如 果 不 是 集 合 N 的 元 素，就 说。不 属 于 集 合/,记 作“任 儿有 限 集:含 有 有 限 个 元 索 的 集 合 6 集 合 的 分 类，无 限 集:含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 空 集:不 含 有 任 何 元 素 的 集 合 07.常 见 数 集 的 写 法 数 集 自 然 数 集 正 整 数 集 整 数 集 有 理 数 集 实 数 集 符 号 NM 或 N*Z Q R例 1.下 列 指 定 的 对 象 能 构 成 集 合 的 是.大 于 2 的 整 数；所 有 的 正 小 数；所 有 的 小 正 数；万 的 近 似 值；高 一 年 级 优 秀 的 学 生；方 程 X?+1=0 的 解；L-|,2,*卜 m,0.5这 6 个 数；例 2.用 或“史”填 空.0 一 N；乃 一。；;Q；-1.2 Z；石 一 R;-3 Z；一 M；-3 N*.例 3.(1)已 知 l,x,V三 个 实 数 构 成 一 个 集 合，求 x 应 该 满 足 的 条 件.(2)已 知 集 合 产 的 元 素 为 1,，,-加-3,若 2 e P 且-1代 尸，求 实 数”的 值.二、集 合 的 表 示 1,列 举 法：把 集 合 中 的 元 素 一 一 列 举 出 来，并 用 大 括 号“”括 起 来 表 示 集 合 的 方 法.说 明：书 写 时，元 素 与 元 素 之 间 用 逗 号 分 开；一 般 不 必 考 虑 元 素 之 间 的 顺 序；集 合 中 的 元 素 可 以 是 数，点，代 数 式 等；列 举 法 可 表 示 有 限 集，也 可 以 表 示 无 限 集.当 元 素 个 数 比 较 少 时 用 列 举 法 比 较 简 单；若 集 合 中 的 元 素 较 多 或 无 限，但 出 现 一 定 的 规 律 性，在 不 发 生 误 解 的 情 况 下，也 可 以 用 列 举 法 表;对 于 含 有 较 多 元 素 的 集 合，用 列 举 法 表 示 时，必 须 把 元 素 间 的 规 律 显 示 清 楚 后 方 能 用 省 略 号，像 自 然 数 集 N 用 列 举 法 表 示 为 1,2,3,4,5,.例 4.用 列 举 法 表 示 下 列 集 合：小 于 4 的 正 偶 数 组 成 的 集 合；绝 对 值 小 于 5 的 所 有 整 数 的 集 合;小 于 6 的 所 有 自 然 数 的 集 合；方 程 x2+x=O的 所 有 实 数 根 组 成 的 集 合;方 程 组|fxx+=蚱 2产 实 数 解 组 成 的 集 合.2,描 述 法：用 集 合 所 含 元 素 的 共 同 特 征 表 示 集 合 的 方 法,称 为 描 述 法.一 般 格 式：x|p(x),例 如:x|2 x-3 o,(x,y)|y=x2+1.说 明：弄 清 集 合 代 表 元 素 是 数 还 是 点、还 是 集 合 或 其 他 形 式？例 如：(x j)|y=丁+3x+2 与 yy=x2+3x+2 是 两 个 不 同 的 集 合.只 要 不 引 起 误 解，集 合 的 代 表 元 素 也 可 省 略，例 如：整 数 即 代 表 整 数 集 Z.例 5.用 描 述 法 表 示 下 列 集 合：由 大 于 2 小 于 等 于 26的 所 有 奇 数 组 成 的 集 合；不 等 式 2 x-l 0 的 所 有 解 组 成 的 集 合；抛 物 线 v=%2上 的 点 组 成 的 集 合.例 6.设 集 合”=l,x,x 2-x,8=l,2,x,且/=从 求 X 的 值.例 7.已 知 P=x|2 x 4左,x e N,若 集 合 尸 中 恰 有 4 个 元 素，则()A.6(人 7 B.64%7 C.5 A:6 D,5 6例 8.已 知 集 合/=卜|3 2-3 x+2=O,ac7?.(1)若 4=0,求。的 取 值 范 围；(2)若 Z 中 至 多 一 个 元 素，求 的 取 值 范 围.例 9.设 实 数 集 S满 足 下 面 两 个 条 件：Iw S；若 QWS,则 一 wS.-a(1)求 证：若 QE S,贝 IJ I-E S；a(2)若 2 c S,则 在 S中 必 含 有 其 它 两 个 数，试 求 出 这 两 个 数；(3)求 证：集 合 S中 至 少 有 三 个 不 同 的 元 素.跟 踪 训 练 1,下 列 说 法 正 确 的 个 数 为（）集 合 1,3,5,7）与 集 合 2。,囱,7,卜 5|表 示 同 一 集 合；集 合 xy=x-1 与 集 合 巾=x-1 不 是 同 一 集 合；集 合 卜 状=-1 与 集 合（x M|y=T 是 同 一 个 集 合；集 合 2,3 和 集 合 3,2 是 同 一 集 合；集 合（2,3）和 集 合（3,2）是 同 一 集 合；方 程,d-5 x-6=0 的 解 集 为（6,-1）.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2,用 列 举 法 表 示 下 列 集 合：卜 舟 Z i；(x,y)|y=2x,l x 3,xe N.3.用 描 述 法 表 示 下 列 集 合:正 偶 数 集；大 于 2 的 实 数；1 0 0以 内 能 被 3 整 除 的 正 整 数.4,已 知 a w0,1,2,3且 住 1,2,3,则。的 值 为（）A.0 B.1 C.2 D.35,已 知 集 合/=x|f=x,那 么（）A.Oe A B.C.le“D.。二/6,给 出 下 列 说 法：集 合 k e N|d=x用 列 举 法 表 示 为-1,0,1）；实 数 集 可 以 表 示 为 x|x为 实 数 或&；方 程 组 _ y=_ 的 解 组 成 的 集 合 为 X=1/=2；其 中 不 正 确 的 有.（把 所 有 不 正 确 的 说 法 的 序 号 都 填 上）7,若 集 合“=卜|2-ax+l0=。，则 实 数”的 取 值 范 围 是.8.设 集 合 R 0 是 两 个 非 空 数 集，定 义 集 合 尸+。=。+厢 eP,6e。,若 尸=0,2,5,。=1,2,6,则 尸+。中 元 素 的 个 数 为（）A.9 B.8 C.7 D.69,定 义 集 合 运 算/*8=z|z=xy,xe4ye8.设/=1,2,5=0,2,则 集 合 4*5 中 所 有 元 素 之 和 为（）A.0 B.2 C.3 D.6第 2 讲 集 合 间 的 基 本 关 系 你 能 发 现 下 面 这 两 个 集 合 之 间 的 关 系 么？Z=1,2,3,8=1,2,3,4,51.子 集：一 般 地，对 于 两 个 集 合 4 8,如 果 集 合 4 中 任 意 一 个 元 素 都 是 集 合 8 中 的 元 素，就 称 集 合/是 集 合 B 的 子 集，记 作 4=8（或 8 2 4）,读 作“N 包 含 于 8”（或“8 包 含”）.（反 面：与）我 们 经 常 用 平 面 上 封 闭 曲 线 的 内 部 代 表 集 合，这 种 图 称 为 隆，图（如 下 图 所 示）：表 示：A a B2.集 合 相 等：如 果 集 合 力 是 集 合 8 的 子 集，且 集 合 8 是 集 合 4 的 子 集，则 集 合 力 和 集 合 8中 的 元 素 是 一 样 的，因 此 集 合/与 集 合 8 相 等，记 作/=反 3.真 子 集：若 集 合 但 存 在 元 素 且 就 称 集 合 工 是 集 合 B 的 真 子 集，记 作 8（或/）,读 作“/真 包 含 于 夕（或 8 真 包 含 4”）.4,空 集：不 含 任 何 元 素 的 集 合 称 为 空 集，记 作 0.规 定：空 集 是 任 何 集 合 的 子 集，空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 集.例 1.用 适 当 的 符 号 填 空：。0川；0 3 夫 X+1=0；-1,8 Z；0,2 x*=2 x；0 0；N.卜 卜 是 正 数；0 1；1,2 _ 2,1.例 2.下 列 表 述 正 确 的 是（）A.0=0 B.0 c O C.0eO D.0 2O例 3.写 出 下 列 集 合 的 所 有 子 集：彳=1；(2)=,2.(3)C=1，2,3；(4)。=123,4.结 论：若 一 个 集 合 包 含 个 元 素，则 其 子 集 数 为 个，其 真 子 集 数 为 个.例 4.已 知 集 合 满 足 l,2 q M a l,2,3,4,5,写 出 集 合 M 的 所 有 可 能 情 况.例 5.(1)已 知 集 合/=L2,8=x|x e/,试 用 列 举 法 写 出 集 合 8,并 指 出 Z 与 8 的 关 系；(2)已 知 集 合/=L2,8=x|x u/,试 用 列 举 法 写 出 集 合 8,并 指 出。与 8,4 与 B的 关 系.例 6.(1)若 集 合=x*+x-6=0,5=x|Wx+l=0),B是/的 真 子 集，求 加 的 值.设 集 合/=x X+4 x=0,5=x|x2+2(a+l)x+a2-l=0,若 8=4,求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 7.(1)己 知 集 合/=x|-l x45,S=x|/n-5xw+l),且/U 则 实 数”，的 取 值 范 围 为.已 知 集 合/=x|-l x 4 5,x|m-5 x 2 m+3,且,则 实 数 m的 取 值 范 围 为（3）已 知 集 合/=M-1 X 4 5,B=xm-5x2m+3,且/2 台，则 实 数 机 的 取 值 范 围 为.跟 踪 训 练 1.已 知 集 合 4=x|a-1 4 x 4 a+2,8=卜|3 x 5,则 使/2 8 成 立 的 实 数 的 取 值 范 围 为（）A.a3a4 B.43 4 x 4 4 0,a3a4 D.02,对 于 集 合 A,B,“A q B”不 成 立 的 含 义 是（）A.8 是 力 的 子 集 B./中 的 元 素 都 不 是 8 的 元 素 C.力 中 最 少 有 一 个 元 素 不 属 于 8 D.3 中 至 少 有 一 个 元 素 不 属 于 力3,若 集 合”=x|#-3 x+2=0 中 只 有 一 个 元 素，则 实 数”（）9 9 9A,-B.-C.0 D.0 或 世 2 8 84.A=xx=-y2+6,x e N,y e N 的 真 子 集 个 数 为.5.设 集 合 Z=x|14x42,S=x|x a,若 则 实 数”的 取 值 范 围.6.设 集 合/=l,2,a,B=l,a2-a,若 8 a 力，求 实 数。的 值.7,已 知 集 合 力=卜|一 2 4 47,B=xm+x2m-,若 3=4 求 实 数 机 的 取 值 范 围.8.集 合 M=x|x=a2+i,a e N，,尸=x|x=/-4 a+5,a e N，,则 下 列 关 系 中，正 确 的 是（）A.M S P B.P M Q.P=M D.无 法 确 定 两 者 关 系 9,已 知/=x|x=（2+l）;r,eZ B=yy=（4k）7r,kEZ,则 下 列 关 系 中，正 确 的 是（）A.A i B B.A=B C.B iA D.无 法 确 定 两 者 关 系 1 0,设 力 是 整 数 集 的 一 个 非 空 子 集，对 于,若 左 且 上+/,则 无 是/的 一 个“孤 立 元，给 定 S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,由 S 的 3 个 元 素 构 成 的 所 有 集 合 中，不 含“孤 立 元”的 集 合 共 有 个.1 1.已 知 集 合/=T,2,8=k*_ 2 如+6=0.若 B W0 且 8 星 4,试 求 实 数 的 值.第 3 讲 集 合 的 基 本 运 算 并 集 交 集 补 集 概 念 由 所 有 属 于 集 合 或 属 于 集 合 8 的 元 素 组 成 的 集 合，称 为 集 合 4 与 8 的 并 集.由 所 有 属 于 集 合 A 且 属 于 集 合 8 的 元 素 组 成 的 集 合，称 为 集 合 力 与 8 的 交 集.对 于 一 个 集 合 力,由 全 集 U中 不 属 于 集 合/的 所 有 元 素 组 成 的 集 合 称 为 集 合 A 的 补 集.记 号 Z U 8（读 作“Z 并 8”）（读 作“4 交 8”）5（读 作“A 的 补 集”）符 号/U 8=小 4如 e 8 Z C l 8=小 4且 x e 8 Cb.A=小 1/且 把 力 图 形 表 示 C性 质 AJA=A/n/=/Cb,U=0Ai)0=A AC0=0 Cb,0=UA H B=BCA(Q)=/例 1,设 4=1,3,4,6,8=2,3,5,6,U=123,4,5,6,7,8,求:(1)4 U 8=.(2)/r i 8=.(3)q Z=(4)CgB=.(5)(c/)n(c*)=.(6)(”)U C B)=.(7)q(力 U 8)=.(8)Q(n s)=.例 2.设/=M-2 x W 5,8=x 04x7,U=R,求:(1)/U 8=.(2)/n=.(3)G,/=.(4)G，B-.(Q M)n(Q 8)=.(6)(Q.J)U(Q S)=.Q(/U 6)=.(8)G n 8)=.r-;学 会 归 纳：例 3.如 图，。是 全 集，M,P,S是 U 的 三 个 子 集，则 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 是（）A.（n p）n s B.（v n p）u s c.（Mn p j n c D.（w n p j U Qs例 4.设 集 合/=|a+l|，3,5,B=la+,cr+1a,a1+2a-,当 4 口 8=2,3时，求A)B.例 5.已 知 集 合/=X|-2 4 X 3,B=xmx 0|,8=+ox+b 4 0,若 AJ B=R,/n s=x|3x4 4,求 a+6的 值.例 7.A=xx2-ax+a2-19=0,B=|x|x2-5x+6=0|,C=|x|x2+2x-8=0|.(1)ACB=AJB,求。的 值；(2)。枭(4口 8)且/f l C=0,求“的 值；(3)AQB=A n C 0,求“的 值.跟 踪 训 练 1.设 集 合=何 1,Q=xx2 4,则 尸 1。=.2,若=0,1,2,3,8=x|x=3a,“e Z,则 4 0 8=()A.1,2 B.0,1 C.0,3 D.3.设 全 集=6 k 8,4=1,3,5,7,5=2,4,5,贝|J Q(/(U8)=.4.设 集 合 加=卜|-1 4 2,N=x|x 4%,若 口、二 0,则 我 的 取 值 范 围 是（）K.k-1 D.-l)t 25.设 全 集 U=R,Axx2-x-20,8=小-1 l|UB.x|l x 2|C.x|0 x l D.x|xl)6,设/=x*-x+6=0,S=x|x2-x+c=0),4 n B=2,贝|J/U 2=.7,已 知/=(x，V)/=x+l,8=(x,y)|y=x 2,则 的 子 集 个 数 为()A.2 B.3 C.4 D.88,已 知 5 0名 学 生 参 加 跳 远 和 铅 球 两 项 测 验，分 别 及 格 的 人 数 为 40,3 1人，两 项 均 不 及 格 的 人 数 为 4 人，那 么 两 项 都 及 格 的 人 数 为 人.9,当 两 个 集 合 中 一 个 集 合 为 另 一 集 合 的 子 集 时，称 这 两 个 集 合 构 成“全 食 对 集”；当 两 个 集 合 有 公 共 元 素，但 互 不 为 对 方 的 子 集 时，称 这 两 个 集 合 构 成“偏 食 对 集”.对 于 集 合 4=卜，1,L=l,a Z 0,若/与 8 构 成“全 食 对 集”，则 0 的 取 值 集 合 为;若 N 与 8 构 成“偏 食 对 集”，则。的 取 值 集 合 为.1 0.已 知 集 合/=(x,y)|x2+/41,x,y wZ,B=(x,)|x|2,|2,x,y e z),定 义 集 合 5=(x,+x2,yt+y2)|(,)e A,(x2,y2)e 5),则/8 中 元 素 的 个 数 为()A.77 B.49 C.45 D.30第 4 讲 集 合 习 题 课 1.设 集 合 4=x|xeZ且-104x4-1,8=小 w Z且 忖 4 5,则/IJ8中 元 素 的 个 数 为（）A.11 B.10 C.16 D.152.已 知 N a 0,1,2,3,且/中 至 少 有 一 个 奇 数，则 这 样 的 集 合/共 有（）A.16 B.15 0.14 D.123.设 集 合”=x|x=5-4a+a2,aw&,N=yy=4b2+4b+2,b e R,则 下 列 关 系 中 正 确 的 是（）A.M=N B.M N C.N M D.M c N4,设 集 合 尸=加|-1 机。,0=“e Ris?+4mx-40对 任 意 实 数 x恒 成 立,则 下 列 关 系 中 成 立 的 是（）A.尸。B.Q P C.P=Q D.PCQ=05,数 集=x|x=（2+l）乃,eZ,8=x|x=（4 后 1）乃,左 e Z,则 4,B 之 间 的 关 系 是（）A.A B B.B A C.A=B D.A B6.设 集 合 M=（x,y）|3x-2y=-l,P=（x,y）|5x+3y=ll,则 A/n2=7,设 集 合 4=x|2x+l 3,xe N,B=|x|-3 x 2）,贝=8,已 知 集 合/=。，2,4,B=x=ah,a,h&A,则 集 合 8 的 子 集 为 个.9.设=小 2 7-6=0,N=x|2ox-l=0,若=则 所 有 满 足 条 件 的”的 集 合 是.10.若 a,b w R,集 合 l,a+6,a=jo,g,“，求 6-a 的 值.11.某 班 举 行 数、理、化 三 科 竞 赛，每 人 至 少 参 加 一 科，已 知 参 加 数 学 竞 赛 的 有 2 7人，参 加 物 理 竞 赛 的 有 2 5人，参 加 化 学 竞 赛 的 有 2 7人，其 中 仅 参 加 数 学、物 理 两 科 的 有 1 0人，仅 参 加 物 理、化 学 两 科 的 有 7 人，仅 参 加 数 学、化 学 两 科 的 有 1 1人，而 同 时 参 加 数、理、化 三 科 的 有 4 人，求 全 班 人 数.1 2.已 知 集 合 4=x*+（加+2）x+l=0,x e 1,且/n x|x O=0,求 实 数 m 的 取 值 范 围.1 3,已 知 集 合/=耳-2 V x 4,5=x|x-a 0).(1)若 4 n 8=0,求 实 数。的 取 值 范 围；(2)若 4 呈 8,求 实 数。的 取 值 范 围.1 4,已 知 4=x|f-2 x-8=0,5=x|x2+a r+a2-12=0,若 B U Z”,求 实 数 的 取 值 范 围.15.已 知 全 集。=何。1 0,叱,4 口 8=2,(q/)n(G8)=l,9,(品/)|n 8=4,6,8,求 集 合 4 和 反 16.已 知 集 合/=x|x/+l,5=x|2 x 4).(1)若 4 0 8=0,求 实 数。的 取 值 范 围；(2)当“取 使 不 等 式 2+出 以 恒 成 立 的。的 最 小 值 时，求(。/川 尻17.已 知 集 合 4=X|-1 4 X 4 2,5=X|-3 X-1),是 否 存 在 集 合 C 同 时 满 足 以 下 三 个 条 件：C 中 含 有 3 个 元 素；C n S*0;Cu(U8)nZ.若 存 在，求 出 集 合 C；若 不 存 在，说 明 理 由.第 5 讲 充 分 条 件 与 必 要 条 件、命 题 1,命 题 的 概 念 一 般 地，我 们 把 用 语 言、符 号 或 式 子 表 达 的，可 以 判 断 真 假 的 陈 述 句 叫 做 命 题.其 中 判 断 为 真 的 语 句 叫 做 真 命 题，判 断 为 假 的 语 句 叫 做 假 命 题.2.命 题 的 形 式：数 学 中 命 题 常 写 成“若 夕，则 4”或 者“如 果 P,那 么，通 常 我 们 把 命 题 中 的 P 叫 做 命 题 的 条 件，g叫 做 命 题 的 结 论.3,四 种 命 题：对 于 两 个 命 题，如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 分 别 是 另 一 个 命 题 的 结 论 和 条 件，那 么 我 们 把 这 样 的 两 个 命 题 叫 作 互 逆 命 题，其 中 一 个 命 题 叫 作 原 命 题，另 一 个 命 题 叫 作 原 命 题 的 逆 命 题.原 命 题 为“若 夕，则 4，则 逆 命 题 为“若 4,则.日 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的 条 件 的 否 定 和 结 论 的 否 定,我 们 把 这 样 的 两 个 命 题 叫 作 互 否 命 题,如 果 把 其 中 一 个 命 题 叫 作 原 命 题,那 么 另 一 个 命 题 叫 作 原 命 题 的 否 命 题.原 命 题 为“若 则，则 否 命 题 为“若 力，则 夕”.一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的 结 论 的 否 定 和 条 件 的 否 定,我 们 把 这 样 的 两 个 命 题 叫 作 互 为 逆 否 命 题,如 果 把 其 中 一 个 命 题 叫 作 原 命 题,那 么 另 一 个 命 题 叫 作 原 命 题 的 逆 否 命 题.若 原 命 题 为“若，则 夕”，则 逆 否 命 题 为“若 r*则 力”.二、充 分 条 件 和 必 要 条 件 1,定 义:一 般 地，若 P 则 q 为 真 命 题，是 指 由 P 通 过 推 理 可 以 得 出 q.这 时 我 们 就 说,由 P 可 以 推 出 4,记 作 P=4.并 且 说，。是 q 的 充 分 条 件，4是 P 的 必 要 条 件.相 反，“若 P,则 4”为 假 命 题，那 么 由 条 件 夕 不 能 推 出 结 论 4,记 作。至 4.此 时，我 们 就 说。不 是 4的 充 分 条 件，4不 是。的 必 要 条 件.2,充 要 条 件:如 果“若。，贝”和 它 的 逆 命 题“若 4,贝 IJ。”均 是 真 命 题，即 既 有 P=4,又 有 q n p,就 记 作。o q.此 时，?既 是 g的 充 分 条 件，也 是 q 的 必 要 条 件，我 们 说?是 夕 的 充 分 必 要 条 件，简 称 充 要 条 件.重 点 剖 析：1.对 充 分 条 件 的 理 解(1)设 集 合=小 满 足 条 件 p,8=x|x满 足 条 件 g.若/U 8,则 P 是 4的 充 分 条 件;若/且 8,则 P 不 是 4的 充 分 条 件.(2)我 们 说。是 的 充 分 条 件，是 指 由 条 件 P 可 以 推 出 结 论“，但 并 不 意 味 着 只 能 由 这 个 条 件 P 才 能 推 出 结 论 夕，一 般 来 说，对 给 定 的 结 论 心 使 得 4成 立 的 条 件 P 是 不 唯 一 的.例 如：x=6 n f=3 6.但 是，当 x w 6时，=3 6 也 可 以 成 立，故“工 2 6”是“/=3 6”的 充 分 条 件.2,对 必 要 条 件 的 理 解(1)设 集 合 A=卜,满 足 条 件 p,B=x|x满 足 条 件 q.若/2 8,则 P 是 夕 的 必 要 条 件;若/工 8,则 P 不 是 4的 必 要 条 件.(2)我 们 说 4是。的 必 要 条 件，是 指 以 夕 为 条 件 可 以 推 出 结 论 3 但 并 不 意 味 着 由 条 件 P只 能 推 出 结 论 4.一 般 来 说，对 给 定 的 条 件?，由。可 以 推 出 的 结 论 4是 不 唯 一 的.例 如：若 四 边 形 是 平 行 四 边 形，则 这 个 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 相 等.另 外，若 四 边 形 是 平 行 四 边 形，则 这 个 四 边 形 的 一 组 对 边 平 行 且 相 等.显 然 这 两 个 命 题 都 是 正 确 的.3.证 明 命 题 充 要 性 时，既 要 证 明 原 命 题 成 立(充 分 性)，又 要 证 明 它 的 逆 命 题 成 立(必 要 性).例 1.判 断 下 列 说 法 是 否 是 命 题.如 果 是 命 题，判 断 其 真 假.(1)x 6；(2)垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 平 行 么？2+4=7；(4)武 汉 市 坐 落 于 湖 北 省；(5)若 两 个 三 角 形 的 周 长 相 等，则 这 两 个 三 角 形 全 等.例 2.把 下 列 命 题 写 成“若 夕，则 夕”的 形 式，并 判 断 其 真 假.(1)实 数 的 平 方 是 非 负 数；(2)底 边 相 等 且 高 相 等 的 两 个 三 角 形 是 全 等 三 角 形；(3)能 被 6 整 除 的 数 既 能 被 3 整 除 也 能 被 2 整 除；(4)弦 的 垂 直 平 分 线 经 过 圆 心,并 平 分 弦 所 对 的 弧.例 3.下 列“若。，则 4 形 式 的 命 题 中，哪 些 命 题 中 的。是 4 的 充 分 条 件?(1)若 四 边 形 的 两 组 对 角 分 别 相 等，则 这 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形；(2)若 两 个 三 角 形 的 三 边 成 比 例，则 这 两 个 三 角 形 相 似；(3)若 四 边 形 为 菱 形，则 这 个 四 边 形 的 对 角 线 互 相 垂 直；(4)若/=1,贝 ljx=l；(5)若。=6,则 ac=be；(6)若 x，V 为 无 理 数，则 号 为 无 理 数.例 4.下 列“若 则 4”形 式 的 命 题 中，哪 些 命 题 中 的 4 是 P 的 必 要 条 件?(1)若 四 边 形 为 平 行 四 边 形，则 这 个 四 边 形 的 两 组 对 角 分 别 相 等；(2)若 两 个 三 角 形 相 似，则 两 个 三 角 形 的 三 边 成 比 例；(3)若 四 边 形 的 对 角 线 互 相 垂 直，则 这 个 四 边 形 为 菱 形；(4)若 x=l,则/=1;(5)若 ac=be,贝=b；(6)若 V 为 无 理 数，则 x，y 为 无 理 数.例 5.下 列 各 题 中，哪 些 P 是 4的 充 要 条 件？(D P：四 边 形 是 正 方 形，q：四 边 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 且 平 分；(2)P：两 个 三 角 形 相 似，4：两 个 三 角 形 三 边 成 比 例；(3)P-xya：,g：x 0 j 0；(4)P：x=l 是 一 元 二 次 方 程 江+6x+c=0 的 一 个 根，4：a+b+c=0(a H 0).例 6.设 p：|4x-3|41,g:x2-(2a+l)x+a 2+a 40.若 是 4 的 充 分 不 必 要 条 件，求 实 数 a 的 取 值 范 围.例 7.求 证：一 元 二 次 方 程 ar。+bx+c=0有 一 正 根 和 一 负 根 的 充 要 条 件 是 acax对 于 一 切 实 数 都 成 立 的 充 要 条 件.例 9.已 知 全 集=正，非 空 集 合/=卜|七|0,S=|x|(x-a)(x-a2-2)o.(1)当。=；时，求(Q,8)U/；(2)命 题 P：x e/,命 题 4：x e 8,若 4是。的 必 要 不 充 分 条 件，求 实 数”的 取 值 范 围.跟 踪 训 练 1.l,（2x-l）x=0 是 x=0”的（）A,充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 2.设 x e R,贝 小 一 5 0 是 的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 3.设 P：-2 x 4,g:（x+2）（x+a）0；若 4 是 P 的 必 要 不 充 分 条 件，则 实 数。应 满 足()A.4 7 4 B.a-4 C.a 44,设 P：实 数 x 满 足.d _ 4 a x+3/0）,4：2 x 4 3.若 P 是 4 的 必 要 不 充 分 条 件，则 实 数”的 取 值 范 围 是.5,已 知 尸=x|a _ 4 x a+4,Q=xl x 0.x y第 6 讲 全 称 量 词 与 存 在 量 词 1,全 称 量 词 与 存 在 量 词 概 念(1)短 语“所 有 的”“任 意 一 个”在 逻 辑 中 通 常 叫 做 全 称 量 词，并 用 符 号“V”表 示.含 有 全 称 量 词 的 命 题，叫 做 全 称 量 词 命 题.(全 称 量 词 命 题 的 形 式：V x e M.p(x)(2)短 语“存 在”“至 少 一 个”在 逻 辑 中 通 常 叫 做 存 在 量 词，并 用 符 号“丁 表 示.含 有 存 在 量 词 的 命 题，叫 做 存 在 量 词 命 题.(存 在 量 词 命 题 的 形 式：虫 e M,p(x)2,全 称 量 词 命 题 和 存 在 量 词 命 题 的 否 定(1)假 设 全 称 量 词 命 题 为“V x e M,p(x)”，则 它 的 否 定 为“并 非 任 意 一 个 x e M,p(x)”，也 就 是.(2)假 设 存 在 量 词 命 题 为“女 e,P(x)”，则 它 的 否 定 为“不 存 在 x e M,p(x)”，也 就 是“Vxe A/,-v?(x).例 1.判 断 下 列 全 称 量 词 命 题 的 真 假.(1)所 有 的 素 数 都 是 奇 数；(2)Vxe7?,|x|+l l；(3)对 任 意 一 个 无 理 数 x,/也 是 无 理 数.例 2.判 断 下 列 存 在 量 词 命 题 的 真 假.(1)有 一 个 实 数 x,使 f+2 x+3=0;(2)平 面 内 存 在 两 条 相 交 直 线 垂 直 于 同 一 条 直 线;(3)有 些 平 行 四 边 形 是 菱 形.例 3.写 出 下 列 命 题 的 否 定，并 判 断 真 假.(1)所 有 能 被 3整 除 的 整 数 都 是 奇 数；(2)对 任 意 x e Z,的 个 位 数 字 不 等 于 3；(3)存 在 一 个 实 数 的 绝 对 值 是 正 数；(4)有 些 平 行 四 边 形 是 菱 形；(5)e 7?,x2-2x+3=0；(6)e 7?,x+2 0;Vx e l,-l,0,2 x+1 0；%e N,x?x；Hr w N*,x 为 29的 约 数.其 中 真 命 题 的 个 数 为()A.1 B.2 C.3 D.4例 5.命 题 p：V-l x l,x2-l 0 B.-n p:V-l x 0C./7：3-1 X 0 D.:3-1 x 0 命 题 R,X2-X 0的 否 定 P是()A.3xe R,x2-x 0 B.Vxe R,x2-x 0 D.Hxe R,x2-x 0例 6.已 知 2分+6*-1(蚱 7?),对 于 V x e H,不 等 式”4 恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.例 7.(1)若 使 得 犬-+10成 立”是 假 命 题，则 实 数 义 的 取 值 范 围 是(2)若 使 得/一+1 n B.Bn G 7?,V/W G R,m-n=mC./n G R,3m e R,m2 n D.e R,n2 n2.将“犬+/22中”改 写 成 全 称 量 词 命 题，下 列 说 法 正 确 的 是（）A,yx,yeR,x2+y2 2A B.Bx,yeR,x2+y2 2xyC.Vx,.y 0,x2+j；2 2xy D.3x 0,y 0,x2+y2 l”的 否 定 是（）A.VX G 7?,X 1 B.不 存 在 工 火，使 C.VXG/?,x 1 D.3XG/?,x 14.命 题“以 凡/2 0”的 否 定 为（）A.Vxe/?,x2 0 B.不 存 在 X E R,使 f 0 D.3xe R,x2 05,若“土 凡。/+2工+。0”为 真 命 题，则 实 数。应 满 足（）A.Q 1 B.al C.-lal D,-1 tz 16.若 Hxw R,+2X-Q 0 是 真 命 题，则 实 数 的 取 值 范 围 是.7,已 知 命 题“P：士 之 3,使 得 2x-1 加”是 假 命 题，则 实 数 加 的 最 大 值 是.8,若 命 题“3 x e R,使 得/+掰 X+2 L 3 0”是 假 命 题，则 实 数 机 的 取 值 范 围 _-第 7讲 等 式 性 质 与 不 等 式 性 质 1,实 数 比 较 大 小 的“标 杆”：若 一 60,则 若 一 6=0,则 a=6；若。一 60,则 aac=bc性 质 4 a=b=ac=be性 质 5 a=h,cwOn-=-c c3.不 等 式 基 本 性 质：性 质 1 ab=bb,bc=ac性 质 3 a b=a+cb+c性 质 4 a b,c0=ac be；a b,c ac b,c d=a+cb+d性 质 6 a b O,c d 0=ac bd性 质 7 abOna例 1.比 较 下 列 代 数 式 的 大 小：(1)2x?x+1 与 x2+x 1;(2)a2+廿 与 2ab.例 2.用 十 字 相 乘 法 分 解 下 列 因 式：(1)x2 l x 8=;(2)3x2+5 x-1 2=_ 例 3.设 a=G,/=V 1 5-4,c=J F T-百，那 么 d 的 大 小 关 系 式 为.例 4.已 知 a+b=l,0=，+/,+则 的 大 a+tr a+b a+Zr a+b小 关 系 是()A.M N B.M N 0.M=N D.M N例 5.实 数 a,b,c,d 满 足 条 件：a b,c 0(a-d)伍-d)0,则 有()A.a c d b B.c a b d C.a c b d D.c a d be2;若 贝 若 则 若 a bc a b 0,则 4 人；若 a/)且!,，则 a 0,6 0.c-a c-b a b其 中 正 确 的 是.(填 上 所 有 正 确 命 题 的 序 号)例 7.已 知 4 6 0,C 0,试 证 明：.a Q+c