2023年九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）.pdf

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)1.如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于点A(-L O)和点8(3,0),。为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6).(1)求抛物线的解析式；点 E 在 x 轴上，且 A EC 和 A ED 相似，求点E 的坐标；(3)若直角坐标系平面中的点F和点A、C、。构成直角梯形，且面积为1 6,试求点F的坐标.2.如图，抛物线经过点A(-2,0),8(-3,3)和坐标原点。，顶点为C.(1)求抛物线的表达式：(2)求证：8OC是直角三角形；(3)若点尸是抛物线上第一象限内的一个动点，过 点?作 PMLx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与3 0 c 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，抛物线y=-2+7(4 0)与X轴的负半轴交于点A,与 X轴的正半轴交于点8,与 y 轴交于点C.(1)求点8 的坐标;(2)如 图 I,点 P在第三象限的抛物线上，横坐标为?，BP交)，轴于点。，8=-加时,求的值；如图2,在(2)的条件下，点 Q在线段叨上，连接PC、QC.A C,Z A C Q =ZPCD,PC=yj2CQ,求 NPCQ的正切值.4.如 图 1,直线y=-x +5与 X轴、y 轴分别交于8、C 两点，经过8、C 两点的抛物线与 x 轴的另一交点坐标为4 一 1,0).(1)求 8、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合)，过点P 作直线。y 轴，交抛物线于点E,交 x 轴于点凡 设点P 的横坐标为机G若点P 的横坐标为，力 请用，”表示线段PE的长度并写出，的取值范围；有人认为：当直线。与抛物线的对称轴重合时，线段PE的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由；过点P 作 直 线 轴(图 2),交 AC于点Q,那么在x 轴上是否存在点R,使 得PQR与 3 0 c 相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.试卷第2 页，共 9 页5 .如图，设抛物线y =a r 2+x +c 与x 轴交于两个不同的点A(1,O)、对称轴为直线x =-l,顶点记为点C.且 N A C B =9 0。.(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知过点A的直线y =-x+l 交抛物线于另一点E.若点P在x 轴上，以点P、B、C为顶点的三角形与A EB相似，求点尸的坐标；(3)在(2)的条件下，8 c p 的 外 接 圆 半 径 等 于.(直接写答案)6.己知抛物线)，=以 2-4 +3 与x 轴交于A,B 两点，(A在 B 的左侧)，与y 轴交于C,若 OB=O C,且 C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为。，点P在抛物线的对称轴上，且 N A P D =Z A C 8,求点户的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点M,过 M 作轴于N,以A、M、N为顶点的三角 形 与 相 似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由.7.如图，已知过坐标原点的抛物线经过A(不，0),8(刍，3)两点，且演、演是方程f+5 x+6 =0 两根(3)，抛物线顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点。在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A、。、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；(3)户是抛物线上的动点，过点尸作PMLx轴，垂 足 为 是 否 存 在 点 P 使得以点尸、M、。为顶点的三角形与B O C 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8.如 图 1,抛物线5 =以 2+笈+4(。0)交工轴于4、8两 点(A 在 8左侧)，交 y 轴于点、C,OC=OB=2OA.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,点 T 在抛物线上，且 N 7 BA =Z A C。，求 点 T的坐标；(3)如图3,将线段C O 绕点C逆时针旋转a。至 C O 0 a 0)交于A、8两点,直线y=x+，交 y 轴于点E.(1)当机=(时，求 A、B 两点的坐标；(2)若 5 E =2 A E,求，的值；3(3)当，时，平行于y 轴的直线x=r 交直线y=x+加和抛物线于c、。两点，当以。、E、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出，的值.1 4.综合与探究：如图，抛物线产-3+3与 x 轴交于A,B两 点(点 A在点B的左侧)，与 y 轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;PD(2)点 P 在直线8 c 上方的抛物线上,过点P作x 轴的垂线/,连接A P 交 8 c 于点D 当 WAD最大时，求点尸的坐标及Wpn的最大值；(3)在(2)的条件下，在/上是否存在点。，使 B C。是直角三角形.若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.1 5.如图，已知4(-2,0)、B(3,0),抛物线 =，序+法+4 经过A、B 两点，交 y轴于点C.点 P 是第一象限内抛物线上的一动点，点 P 的横坐标为相.过点尸作PMLx轴，垂足为点”，PM交 8C 于点Q.过点P 作 P N L B C,垂足为点N.(2)请用含m的代数式表示线段P N的长；(3)连接P C,在第一象限的抛物线上是否存在点P,使得NBCO+2NPCN=90。？若存在，请求出“的值；若不存在，请说明理由；(4)连接4。，若AACQ为等腰三角形，请直接写出m 的值1 6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=0+6 x+c与 x 轴交于A(-1,0),B(4,(2)如 图 1,点。为第四象限抛物线上一点，连接A。，BC交于点E,连接8 D,记 BDES.的面积为S/,AASE的面积为S 2,求寸的最大值；2(3)如图2,连接AC,BC,过点O 作直线/BC,点P,。分别为直线/和抛物线上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点P,。，使 P Q B s M A B?若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.试卷第8 页，共 9 页1 7.如 图 1,已知抛物线)=2+区+3 与 x 轴分别交于4-3,0),8(1,0)两点，与 y 轴交于点C,点。为抛物线的顶点，连接A。、C D、AC、BC.(2)求证：AACD是直角三角形；(3)判断Z A C B和ZO A D的数量关系，并说明理由；(4)如图2,点尸是线段AD上一个动点，以A,F,。为顶点的三角形是否与A8C相似？若相似，请直接写出点尸的坐标；若不相似，请说明理由.1 8.如 图 1,己知二次函数y=ox2+bx+c1(辱0)的图象与x 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,-2),顶点为。，对称轴交无轴于点E.(1)求该二次函数的解析式;(2)设 M 为该抛物线上直线8C 下方一点，过点M 作 x 轴的垂线，交线段BC于点N,线段 MN是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由;(3)连接CE(如图2),设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P 作 PQJ_x轴,垂足为0.连接P E,请求出当APOE与ACOE相似时点P 的横坐标.参考答案:1 2 31-(i)y =,x-x-(-2 遥-1,0)或(2 遥-1,0)(3)点 尸 的 坐 标 为 停 图 和(3,0).2.(l)y =x2+2x(2)见解析(3)存在，点尸坐标为(g)或(3,1 5)3.(1)8 (2,0)(3)t a n N P C Q =；4.(l)y =-x2+4x+5 P E =-1+5 (O w 5)；不同意他的观点，理由见解析；或序0)或5.(1)m=3,y=x p(3,o)或尸c、V 2 6 十2口(3)-或一 2 56.(l)y =X2-4X+3(2)/(2,2)或(2,-2)(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：M(，)，必(6,1 5),%(|,-1)答案第1 页，共 3 页7.y =/+2 x E(-l,3)或凤-1,1)5 5 7 7(3)存在尸点，尸的坐标是(1,3),(-5,1 5),1?8.(l)y =-x+x+4 卜 埒)或 3,1)2 V T 5-2y2BP 47 21?39.（1）?=x+x+44 2 M点的坐标为（0,6）或（0怖；M点的坐标为（0后）或（0函 或（。，|4 R1 0.（1）抛物线表达式为y =一“+42 5（3四边形A 3 C。面积最大值为了，点。的 坐 标 为 卜,5存在，的值是-23 或-1或-4二11 6 1 61 1.(1)2 4 畤，刍4 1 6 存在，M（3,5）或M 3-屈 1 +2 L1 ,1 2.(l)y =-%-x-4(2)y =x+2、4 40(8,2 0)或(5,)1 3.(1)A、B两 点 的 坐 标 为(3,.|)答案第2页，共3页(2)4(3)以。、E、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，的值为1 +近 或1-近 或21 4.(1)A(-2,O),B(6,O),C(O,3)A里，酸 的 最 大 值 为2k 4 J A D 1 6(3)存在，(3,-6)或(3,柠 叵1或(3,三 叵 或(3,9)2 91 5.(l)y=x2+x+43 32 9 6(2)P N =一 不胴 +w7(3)存在，-4小6行-1 2(4)_或-5 51 6.(l)y=-x2-x-2(2)?(3)存在.符合条件的点P的 坐 标 为(鬃,作)或 J +2历三 叵).9 9 5 51 7.(1)抛物线解析式为尸-/-2 X+3；顶点。的坐标为(-1,4)；(2)见解析(3)N 0 A(4)相似，尸点的坐 标 为(-1,)或(-2,2).2 、41 8.(l)y=-x-x-2(2)线段MN存在最大值，最大值为T 点P的横坐标为5或2或或竺也近8 8答案第3页，共3页