2023年五年级下册思维拓展-尾数和余数问题（春季培优讲义）（通用版）含答案.pdf
2023年小学五年级数学下册思维通用版尾数和余数问题习题及答案知识点总结：自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题【经典例题1】1 7 X 1 7 X 1 7 X-X 1 7积的尾数是几？k_ _ _ _/Y1 0 9 个 1 7【思路分析】若干个自然数的积的尾数等于这若干个自然数尾数之积的尾数，1 0 2个1 7的连来积的尾数等于1 0 2个7的连乘积的尾数。【本题解答】我们先列举前几个7的积，看看尾数在怎样变化，1个7的尾数就是7；7 X 7的尾数是9；7 X 7 X 7的尾数是3；7 X 7 X 7 X 7的 尾 数 是1；由此可见，积的尾数以7、9、3、1这四个数字循环出现，1 0 2+4=2 5 2,说 明1 0 2个7相乘，积的尾数是9,即1 0 2个1 7相乘，积的尾数是90【扩展训练】1.9 X 9 X 9 X-X 9 X 9 积的末尾数字是几?_ _ _/Y2 0 1 3 92.3 X 3 X 3 X X 3 X 3（2 0 0 9 个 3 相乘）的积的个位数字是多少？3.2 0 1 2 个 2 0 1 2 相乘的末位数字是 oA.2 B.4 C.6 D.8【经典例题2】一个两位数除7 2 3,余数是3 0,满足条件的两位数共有 个，分别是 o【思路分析】由题意知：7 2 3+匚1=商3 0,义商=7 2 3-3 0=6 9 3,把 6 9 3 分解质因数6 9 3=3 X3 X7 X 1 1,因为除数比3 0 大，满足条件的两位数3 X1 1=3 3,3 X3 X7=6 3,7 X1 1=7 7,3 X3 Xl l=9 9 o【本题解答】7 2 3-3 0=6 9 3把6 9 3 分解质因数：6 9 3=3 X3 X7 X1 1满足条件的两位数：3 X1 1=3 3,3 X3 X7=6 3,7 X1 1=7 7,3 X 3 X 1 1=9 9。答:满足条件的两位数共有4 个,分别是3、6 3、77、9 9 o【扩展训练】k 1 1 0 除以一个两位数余数是5,符合条件的所有两位数是多少？2、将2 0 1 6 除以一个两位数，所得余数为6,请问满足上述条件的两位数共有多少个？3、已知一个两位数除1 1 7 7.余数是4 9。求满足这样条件的所有两位数。【经典例题3】三化成小数后，小数点后面第1 0 0 个 数 字 是。7【思路分析】计算;=0.1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7，商是一个循环小数，循环节是“1 4 2 8 5 7”，周期是6 位,即 1,4,2,8,5,7 这六个数字是一个循环。现在要求商的小数点后面第1 0 0 个数字是几，看6位一循环一共循环了多少次，还余几个数，从余数是几确定小数点后面 第 1 0 0 个数字是几。【本题解答】因为三=0.1 4 2 8 5 77周期是6 位，1 0 0+6=1 6 4,所以小数点后面第1 0 0 个数字是8。【扩展训练】1、把分数%化 成小数，小数部分第2 0 1 3 位上出现的数字是多少？2、把分数三 化成小数的形式，小数点后面第2 0 1 6 位上出现的数字是多少？3、把分数 三 化成小数的形式，小数部分第2 0 1 4 位上出现的数字是多少？这2 0 1 47个数字的和是多少？【经典例题4】22 0 1 2的个位数字是多少？（其中2。表 示 n 个 2相乘）【思路分析】2 9 2 读作2的2 0 1 2 次方，表示2 0 1 2 个 2 连乘。若干个2的连乘积的个位数字呈现周期性。2 i 的个位数字是2；2 2 的个位数字是4；2 3 的个位数字是8；2 的个位数字是6；的个位数字是2；2,的个位数字是4；2n（n为自然数）的个位数字依次是2,4,8,6,2,4,8,6,，周期为4。【本题解答】因为2 （n为自然数）的个位数字是2.4,8,6循环出现,周期为4。2 0 1 2 4-4=5 0 3,所以,2如2的个位数字60【扩展训练】1、7犯5的个位数字为多少？2、2 0 1 3个8相乘的积是一个很大的数,这个数的个位数字是一。3、2 0 1 1 2。1以2 0 1 2 2眼的末位数字是多少？【经典例题5】力循环小数1.1 0 1 0 ，移动前一个循环点，所得最小的数是多少？【思路分析】要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数，显然这个数是0,再看0后面一位以上的数字，有0 1,0 2,其中01最小。【本题解答】所得最小的数是1.1010203.【扩展训练】1.在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是多少?2、给0.767676再添上一个循环点，使所得的循环小数的值最大，那么这个循环小数应写作。3、把小数0.1234567变成循环小数，要使小数点后第100位上的数字是5,那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？【经典例题6】算式11111+7的余数是多少？【思路分析】这道题写由若干个1来试除，看除到哪一位，正好能被7整除。【本题解答】经试除，111111能被7整除，即111111+7=15873,6个数字为一个周期。2 0 1 4 4-6=3 3 5 4,表示原数被7整除3 3 5 次后还余下四位，是 1 1 1 1。1 1 1 1 4-7=1 5 8 5所以，原数除以7的余数是5。【扩展训练】1、4 4 4 4 4+6 当商是整数时，余数是几？v-v-)2 0 0 42、2 2 2 1 3 所得的余数是几?V V )3 0 0 0 个 23、6 1 6 1 6 1 6 1+7 当商是整数时,余数是几？k_ _ 22 0 2 0 个 6 1答 案【经典例题1】1.9【解 析】因为1个9的个位数字是9,9 X 9的个位数字是1,9 X 9 X 9的个位数字是9,，积的尾数以“9、1”两个数字循环出现，周期为2,2013 2=1006 1,所以积的尾数是9.2.3【解 析】因为1个3的个位数字就是3.3 X 3的个位数字是9。3 X 3 X 3的个位数字是7。3 X 3 X 3 X 3的个位数字是1,，积的尾数以“3,9,7,1”四个数字循环出现，周期为4,20094-4=502 1,所以积的尾数是为3.C【解 析】2012个2012相乘的末位数字与2012个2相乘的末位数字相同。因为1个2的末位数字就是2,2 X 2的末位数字是4,2 X 2 X 2的末位数字是8,2X2X 2 X 2的末位数字是6,，积的尾数以“2,4,8,6”四个数字循环出现,周期为4,2012+4=503,所以积的末位数字是6。【经典例题2】1.15、21、35【解析】110-5=105,105=3X5X7。符合条件的两位数 3 X5=15,3X7=21,5X7=35。2.4 2016-6=2010,2010=2X3X5X67O 符合条件的两位数：2义5=10,3义5=15,2X3X5=30,6 7,共有 4 个。3.51 68 84【解析】除数X商=1477-49=1428,并且除数是大于4 9的两位数。1428=2X 2 X 3 X 7 X 1 7,满足条件的所有两位数：3X17=51,2X2X17=68,2 X 2 X 3 X 7=8 4。【经典例题3】1.3【解 析】丝=0.周期是3位,2013+3=671,所以小数点后面第2 0 1 3个数字是3。2.7【解析】乂 0.0 2 力,周期是2 位，（2 0 1 6-2）6 2=1 0 0 7,所以小数点后面第2 0 1 6个数字是7。3.5 9 0 6 4【解析】孑=0.4 2 8 5 7 i,周期是6 位,2 0 1 4+6=3 3 5 4,所以小数点后面第 2 0 1 4 个 数 字 是 5。这 2 0 1 4 个 数 字 的 和 是：（4+2+8+5+7+1）X3 3 5+（4+2+8+5）=9 0 6 4。【经典例题4】1.3【解析】因为7 （n为自然数）的个位数字是7,9,3,1 循环出现，周期是4。2 0 1 5+4=5 0 3 3,所以,7 2 a 5 的个位数字是3。2.8【解析】2 0 1 3 个 8相乘的积可用8 刈 3 表示。因为8 n （n为自然数）的个位数字是8,4,2,6循环出现，周期为4 o 2 0 1 3 4-4=5 0 3 1,所以,8 颉的个位数字是8。3.6【解析】2 0 1 产“*2 0 1 2.2 的末位数字与1 如 2 如 2 的末位数字相同，因为I2 0 1 1的末位数字是1,则原式子就与2.2 的末位数字相同。因为2 n （n为自然数）的个位数字是2,4,8,6 循环出现，周期为4。2 0 1 2+4=5 0 3,所以，2 犯 2 的个位数字6。即原式子积的末位数字是60【经典例题5】1.8 0 5 2 4 1 0 2 0 0 7【解析】要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数,显然这个数是0,再看0后面一位以上的数字，有 0 5,0 2,0 0,0 7,其中0 0 最小。2.0.7 6 7 6 7 6 8【解析】要得到最大的循环小数，首先找出小数部分最大的数，显然这个数是7,再看7 后面一位以上的数字，有 7 67,7 68,其中7 68 最大，所以最大的循环小数0.7 67 67 683.3 7【解析】表示两个小圆点中，后一个小圆点应加在7的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪个数字上面。(1)设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3,(1 0 0-上+3=3 2,第 1 0 0位数字是7。设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4,(1 0 0-3)+4=2 4 1,第 1 0 0 位数字是4。设前一个小圆点加在“3”的上面,这时循环周期是5,(1 0 0-2)+5=1 9 3,第 1 0 0 位数字是5。【经典例题6】1.2【解析】4 4 4+6=7 4,周期是3,2 0 0 +3=662,表示原数被6 整除66次后还余下两位，是4 4,4 4+6=7 2,所以余数是2。2.0【解析】2 2 2 2 2 2 +1 3=1 7 0 9 4,周期是6,3 0 0 0 +6=5 0 0,表示原数刚好被1 3 整除5 0 0 次，所以余数是0。3.5【解析】61 61 61 67=8 8 0 2 3,3 个 61 为一个周期，2 0 2 0 +3=67 3 1,表示原数被 7 整 除 67 3 次后还余下一个61,61 +7=8 5,所以余数是5。
